高考数学人教A版理科第一轮复习课件第八章立体几何85

8.5

直线、平面垂直的判定与性质-2-知识梳理双基自测2311.直线与平面垂直

任意

m∩n=Oa⊥α

-3-知识梳理双基自测231b⊂αa∥b-4-知识梳理双基自测2312.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是

,就说这两个平面互相垂直.

直二面角

-5-知识梳理双基自测231(2)判定定理与性质定理

垂线

交线

l⊥α-6-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)线面平行或垂直的有关结论①若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.②若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).③垂直于同一条直线的两个平面平行.④一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.⑤两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.(2)证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件.2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)已知直线a,b,c;若a⊥b,b⊥c,则a∥c.(

)(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.(

)(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(

)(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(

)(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(

)答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×-8-知识梳理双基自测234152.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是(

)A.A1D

B.AA1 C.A1D1 D.A1C1答案解析解析关闭由题易知,A1C1⊥平面BB1D1D,又OB1⊂平面DD1B1B,所以A1C1⊥B1O答案解析关闭D-9-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P69练习)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体A-BCD(如图2),则在空间四面体A-BCD中,AD与BC的位置关系是(

)图1 图2A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直 D.异面但不垂直答案解析解析关闭在题图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如题图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.答案解析关闭C-10-知识梳理双基自测234154.(教材习题改编P67T2)P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影.(1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的

心;

(2)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的

心;

(3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是△ABC的

心.

答案解析解析关闭

(1)P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,可知O到△ABC三边距离相等,即O是△ABC的内心;(2)由PO⊥平面ABC且BC⊂平面ABC,得PO⊥BC,又PA⊥BC,PO与PA是平面POA内两条相交直线,所以BC⊥平面POA,从而BC⊥AO.同理AC⊥BO,所以O是△ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC与底面所成的角相等,易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,从而OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心.答案解析关闭(1)内

(2)垂

(3)外-11-知识梳理双基自测234155.如图,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是

.

答案解析解析关闭①因为AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正确;②因为AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB,故②正确;③因为AF⊥PB,若AF⊥BC,则AF⊥平面PBC,则AF∥AE,与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.答案解析关闭①②④-12-考点1考点2考点3例1如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.思考证明线面垂直的常用方法有哪些?

-13-考点1考点2考点3(1)证明

延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.-14-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3解题心得1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面).2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.-19-考点1考点2考点3对点训练1(2017山东潍坊一模)在如图所示的空间几何体中,EC⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,CE∥BF,且CE=2BF,G,H,P分别为AF,DE,AE的中点.求证:(1)GH∥平面BCEF;(2)FP⊥平面ACE.-20-考点1考点2考点3证明:(1)取EC中点M,FB中点N,连接HM,GN.∴四边形HMNG是平行四边形,∴GH∥MN,∵GH⊄平面BCEF,MN⊂平面BCEF,∴GH∥平面BCEF.-21-考点1考点2考点3又EC∥BF,EC=2BF,∴OP

BF,∴四边形PFBO是平行四边形,∴PF∥BO,∵BO⊥AC,BO⊥EC,AC∩EC=C,∴BO⊥平面ACE,∴FP⊥平面ACE.-22-考点1考点2考点3例2如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.思考证明面面垂直的常用方法有哪些?-23-考点1考点2考点3

(1)证明

因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3解题心得1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直.3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l⊂α,l⊥β,缺一不可.-26-考点1考点2考点3对点训练2(2017河南洛阳三模)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,AA1⊥平面ABCD,∠BAD=60°,AB=2,BC=1,AA1=,E为A1B1的中点.(1)求证:平面A1BD⊥平面A1AD;(2)求多面体A1E-ABCD的体积.-27-考点1考点2考点3(1)证明:∵AB=2,AD=BC=1,∠BAD=60°,

∴BD2+AD2=AB2,∴BD⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥AA1,又AA1∩AD=A,AA1⊂平面A1AD,AD⊂平面A1AD,∴BD⊥平面A1AD,又BD⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面A1AD.-28-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点3考向一

平行与垂直关系的证明例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.思考处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想是什么?-30-考点1考点2考点3证明

(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.-31-考点1考点2考点3(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.-32-考点1考点2考点3考向二

探索性问题中的平行与垂直关系例4如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=45°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E为AB上一点,且

点F为PD中点.(1)若k=,求证:直线AF∥平面PEC;(2)是否存在一个常数k,使得平面PED⊥平面PAB?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.思考探索性问题的一般处理方法是什么?-33-考点1考点2考点3-34-考点1考点2考点3-35-考点1考点2考点3考向三

折叠问题中的平行与垂直关系例5如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';思考折叠问题的处理关键是什么?-36-考点1考点2考点3-37-考点1考点2考点3-38-考点1考点2考点3解题心得平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略:(1)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化,要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.(2)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识找点.(3)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系.-39-考点1考点2考点3对点训练3(1)(2017河南濮阳一模)如