2025年大二线代期末试题及答案

大二线代期末试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

则矩阵A的行列式值为：

A.2B.5C.6D.8

2.若矩阵A可逆，则以下哪个结论一定成立？

A.A的行列式值为0

B.A的逆矩阵存在

C.A的秩为0

D.A的列向量线性无关

3.设向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)线性无关，则以下哪个向量组也线性无关？

A.\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)

B.\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3+\vec{a}_4\}\)

C.\(\{\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)

D.\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3-\vec{a}_4\}\)

4.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

则矩阵A的秩为：

A.1B.2C.3D.4

5.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，则向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的点积为：

A.1B.2C.3D.6

6.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

则矩阵A的伴随矩阵为：

A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&-2\\-3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&4\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&3\\-2&4\end{bmatrix}\)

7.设向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)线性相关，则以下哪个结论一定成立？

A.\(\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3=\vec{0}\)

B.\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\)中至少有一个零向量

C.\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\)中至少有一个向量可以表示为其他两个向量的线性组合

D.\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\)的秩为0

8.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

则矩阵A的逆矩阵为：

A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&-2\\-3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&4\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&3\\-2&4\end{bmatrix}\)

9.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，则向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的叉积为：

A.\((1,2,3)\)B.\((2,3,4)\)C.\((3,4,5)\)D.\((4,5,6)\)

10.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

则矩阵A的转置矩阵为：

A.\(\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}\)

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

则矩阵A的行列式值为______。

2.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，则向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的点积为______。

3.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

则矩阵A的逆矩阵为______。

4.设向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)线性无关，则以下哪个向量组也线性无关？______。

5.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

则矩阵A的秩为______。

6.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，则向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的叉积为______。

7.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

则矩阵A的伴随矩阵为______。

8.设向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)线性相关，则以下哪个结论一定成立？______。

9.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

则矩阵A的转置矩阵为______。

10.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，则向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的点积为______。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

求矩阵A的逆矩阵。

2.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的点积。

3.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

求矩阵A的行列式值。

4.设向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)线性无关，求向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)是否线性无关。

5.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩阵A的秩。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若矩阵A可逆，则其行列式不为0。

2.证明：若向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)线性无关，则向量组\(\{\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)也线性无关。

五、计算题（每题10分，共20分）

1.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩阵A的特征值和特征向量。

2.设向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，向量\(\vec{c}=(7,8,9)\)，求向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)的线性组合，使得该组合等于向量\((1,1,1)\)。

六、综合题（每题10分，共20分）

1.设矩阵A为：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩阵A的行列式值，并判断矩阵A是否可逆。

2.设向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)如下：

\[\vec{a}_1=(1,2,3,4),\vec{a}_2=(2,3,4,5),\vec{a}_3=(3,4,5,6),\vec{a}_4=(4,5,6,7)\]

求向量组\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)的秩，并判断该向量组是否线性相关。

试卷答案如下：

一、选择题（每题2分，共20分）

1.答案：B

解析思路：计算行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=2\)。

2.答案：B

解析思路：可逆矩阵的定义是其逆矩阵存在，因此B选项正确。

3.答案：C

解析思路：检查向量组\(\{\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)的线性相关性，发现无法通过线性组合得到零向量，故线性无关。

4.答案：C

解析思路：计算矩阵A的秩，通过初等行变换或观察发现矩阵的秩为3。

5.答案：C

解析思路：计算点积\(1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=3\)。

6.答案：A

解析思路：计算伴随矩阵，根据伴随矩阵的定义，A选项正确。

7.答案：C

解析思路：线性相关的定义是至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，故C选项正确。

8.答案：A

解析思路：计算逆矩阵，根据逆矩阵的定义，A选项正确。

9.答案：C

解析思路：计算叉积，根据叉积的定义，C选项正确。

10.答案：A

解析思路：计算转置矩阵，根据转置矩阵的定义，A选项正确。

二、填空题（每题2分，共20分）

1.填空：2

解析思路：计算行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=2\)。

2.填空：3

解析思路：计算点积\(1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=3\)。

3.填空：\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)

解析思路：计算逆矩阵，根据逆矩阵的定义，A选项正确。

4.填空：\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3+\vec{a}_4\}\)

解析思路：检查向量组的线性相关性，发现无法通过线性组合得到零向量，故线性无关。

5.填空：3

解析思路：计算矩阵A的秩，通过初等行变换或观察发现矩阵的秩为3。

6.填空：\((3,4,5)\)

解析思路：计算叉积，根据叉积的定义，C选项正确。

7.填空：\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&4\end{bmatrix}\)

解析思路：计算伴随矩阵，根据伴随矩阵的定义，C选项正确。

8.填空：\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3-\vec{a}_4\}\)

解析思路：检查向量组的线性相关性，发现无法通过线性组合得到零向量，故线性无关。

9.填空：\(\begin{bmatrix}1&3\\-2&4\end{bmatrix}\)

解析思路：计算逆