2024-2025学年贵州省黔南州九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省黔南州九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（2分）祥蛇纳福，瑞气盈堂．愿君新岁似灵蛇，身姿矫健跃高峰．祝福所有九年级学子6月勇夺桂冠．现将祥蛇纳福图绕某点旋转180°得到的图形是（）A． B． C． D．2．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的一个根是（）A．x＝2 B．x=12 C．x＝4 3．（2分）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（）A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升4．（2分）如图，在⊙O中，∠D＝35°，则∠ABC的度数为（）A．110° B．140° C．145° D．155°5．（2分）若点A（﹣2，y1），B（0，y2）都在抛物线y＝2x2﹣3上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定6．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是（）A．点B在圆内 B．点C在圆上 C．点D在圆外 D．点D在圆内7．（2分）抛物线y＝x2﹣5x+2与x轴的交点情况为（）A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．不能判断8．（2分）若x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（）A．6 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣69．（2分）在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝ax+b的大致图象可能是（）A． B． C． D．10．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，若∠ACD＝30°，BC＝2，则CD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．211．（2分）用一金属圆柱体材料切削加工成横截面是正六边形的螺帽，其形状和尺寸如图所示，则该金属圆柱体材料的底面直径长至少是（）A．2cm B．23cm C．433cm 12．（2分）在修建贵南高铁某路段时，需对铁路旁边某一斜坡进行加固，现用混凝土喷射机将混合料喷射到坡面，如图是喷射机工作时的截面图，以喷出口为原点建立平面直角坐标系，若混合料的喷出路线可以用二次函数y=−18x2+2x刻画，斜坡可以用一次函数y＝xA．6 B．62 C．8 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．14．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是25，则n的值为15．（3分）国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成3行4列，后又增加了30架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为x行，根据题意可列方程为．16．（3分）如图，P为矩形ABCD外一点，∠APB＝90°，AB＝2，BC＝3，则PD的最大值为．三、解答题（本大题共9小题，共64分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝9；（2）x2﹣x﹣2＝0．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣3），B（3，﹣1），C（2，0）．（1）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）求（1）中点A经过的路径AA1的长（结果保留19．（5分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+3（a≠0）经过点（2，3）．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）当0≤x≤4时，y的取值范围是．20．（8分）某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山B．蜡炬成灰C．物腐虫生D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成）（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是．（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到B卡片为例，数据记录如下：试验次数n10030050010002000抽到B卡片次数m3070126251500抽到B卡片频率m0.3000.2330.2520.2510.250根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于（精确到0.01），所以该同学的说法（用“正确”或“错误”填空）；（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，放回并混在一起，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．21．（5分）阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x=±3，∴原方程的解为x上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．22．（9分）某种商品的销售单价y1（元/件）与销售月份x（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）；每件的成本y2（元/件）与销售月份x（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低．（1）求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率．（2）求该商品销售单价y1关于销售月份x的函数解析式．（3）在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润＝售价﹣成本）23．（8分）某数学兴趣小组在学习了圆的切线判定定理后，讨论了过圆外一点P，用尺规作⊙O的切线PA和PB的方法：①连接PO1，分别以点P和点O1，为圆心，大于12PO1的长为半径画弧，两弧交于②作直线MN交线段PO1于点O2；③以点O2为圆心，PO2的长为半径作圆⊙O2，与⊙O1相交于A，B两点；④连接PA，PB．PA和PB即是所求的切线．（1）根据上述作法，求证：PA，PB是⊙O1的切线；（2）若PA＝8，AO1＝4，求AB的长．24．（8分）排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度AB＝4m，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是y=1（1）求此时水面的最大高度．（2）若水面上升0.5m，则水面宽度将增加多少米？25．（9分）如图1所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．将△ADE绕点A逆时针旋转．连接BD，CE．（1）当△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示位置，求证：BD＝CE．（2）当△ADE绕点A逆时针旋转到C，D，E三点在一条直线上时，如图3．①BD和CE还相等吗？BDCE（用“＝”或“≠”填空）．②若∠BAC＝120°，猜想DA，DB，DC的数量关系，并加以证明．

2024-2025学年贵州省黔南州九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号1234567891011答案BADCAACCDBC题号12答案A一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（2分）祥蛇纳福，瑞气盈堂．愿君新岁似灵蛇，身姿矫健跃高峰．祝福所有九年级学子6月勇夺桂冠．现将祥蛇纳福图绕某点旋转180°得到的图形是（）A． B． C． D．【解答】解：现将祥蛇纳福图绕某点旋转180°得到的图形是选项B．故选：B．2．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的一个根是（）A．x＝2 B．x=12 C．x＝4 【解答】解：x2﹣4＝0，x2＝4，则x＝±2，所以x1＝2，x2＝﹣2，显然只有A选项符合题意．故选：A．3．（2分）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（）A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升【解答】解：下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是：旭日东升，故选：D．4．（2分）如图，在⊙O中，∠D＝35°，则∠ABC的度数为（）A．110° B．140° C．145° D．155°【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠D＝35°，∴35°+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝145°．故选：C．5．（2分）若点A（﹣2，y1），B（0，y2）都在抛物线y＝2x2﹣3上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定【解答】解：把A（﹣2，y1），B（0，y2）分别代入y＝2x2﹣3得y1＝2×（﹣2）2﹣3＝5，y1＝2×02﹣3＝﹣3，所以y1＞y2．故选：A．6．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是（）A．点B在圆内 B．点C在圆上 C．点D在圆外 D．点D在圆内【解答】解：因为AB＝3，r＝4，3＜4，所以点B在圆内；因为在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，所以AC=AB2所以点C在圆外；因为AD＝4，r＝4，4＝4，所以点D在圆上．故选：A．7．（2分）抛物线y＝x2﹣5x+2与x轴的交点情况为（）A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．不能判断【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣5x+2，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2＝25﹣8＝17＞0．∴抛物线与x轴有两个交点．故选：C．8．（2分）若x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则x1x2﹣（x1+x2）的值为（）A．6 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【解答】解：根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣6．∴x1x2﹣（x1+x2）＝﹣6﹣（﹣1）＝﹣5．故选：C．9．（2分）在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝ax+b的大致图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：在A中，由一次函数图象可知，a＜0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＞0，故选项A错误，不符合题意；在B中，由一次函数图象可知，a＜0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＞0，故选项B错误，不符合题意；在C中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项C错误，不符合题意；在D中，由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项D正确，不符合题意；故选：D．10．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，若∠ACD＝30°，BC＝2，则CD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．2【解答】解：如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB平分弦CD，∴AB⊥CD，∴∠BEC＝90°，∵∠ACD+∠BCE＝∠ABC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴CE＝BC•sin∠ABC＝2×1∴CD＝2CE＝2．故选：B．11．（2分）用一金属圆柱体材料切削加工成横截面是正六边形的螺帽，其形状和尺寸如图所示，则该金属圆柱体材料的底面直径长至少是（）A．2cm B．23cm C．433cm 【解答】解：如图，设点O为正六边形的中心，过点O作OC垂直于正六边形的AB边，C为垂足，连接OA．因此可知OC＝1cm，∠AOC=1∴OA=OCcos∠AOC=该金属圆柱体材料的底面直径长至少是2OA=433故选：C．12．（2分）在修建贵南高铁某路段时，需对铁路旁边某一斜坡进行加固，现用混凝土喷射机将混合料喷射到坡面，如图是喷射机工作时的截面图，以喷出口为原点建立平面直角坐标系，若混合料的喷出路线可以用二次函数y=−18x2+2x刻画，斜坡可以用一次函数y＝xA．6 B．62 C．8 【解答】解：由题意，联立方程组y=−1∴x=12y=6或x=−4∴M的坐标为（12，6）．∴点M到喷出口所在水平面的垂直距离是6．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．14．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是25，则n的值为2【解答】解：根据题意得nn+3解得n＝2，经检验：n＝2是分式方程的解．故答案为：2．15．（3分）国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成3行4列，后又增加了30架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为x行，根据题意可列方程为（3+x）（4+x）＝3×4+30．【解答】解：设方阵增加的行数为x行，则新方阵增加了x列，由题意得：（3+x）（4+x）＝3×4+30．故答案为：（3+x）（4+x）＝3×4+30．16．（3分）如图，P为矩形ABCD外一点，∠APB＝90°，AB＝2，BC＝3，则PD的最大值为10+1【解答】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OD在矩形ABCD外部交⊙O于点P，则此时PD有最大值，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴OP＝AO＝1，∠BAD＝90°，∴OD=A∴PD＝OD+OP=10即PD的最大值为10+故选：10+三、解答题（本大题共9小题，共64分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝9；（2）x2﹣x﹣2＝0．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝9，则x﹣3＝±3，所以x1＝0，x2＝6．（2）x2﹣x﹣2＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则x=1±所以x1＝2，x2＝﹣1．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣3），B（3，﹣1），C（2，0）．（1）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）求（1）中点A经过的路径AA1的长（结果保留【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）由勾股定理得，OA=1∴点A经过的路径AA1的长为19．（5分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+3（a≠0）经过点（2，3）．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）当0≤x≤4时，y的取值范围是2≤y≤11．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点（2，3），∴a×22﹣2×2+3＝3，解得a＝1．∴这条抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，y有最小值，最小值为2，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝42﹣2×4+3＝11，当0≤x≤4时，y的取值范围为2≤y≤11．故答案为：2≤y≤11．20．（8分）某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山B．蜡炬成灰C．物腐虫生D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成）（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是14（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到B卡片为例，数据记录如下：试验次数n10030050010002000抽到B卡片次数m3070126251500抽到B卡片频率m0.3000.2330.2520.2510.250根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25（精确到0.01），所以该同学的说法错误（用“正确”或“错误”填空）；（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，放回并混在一起，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．【解答】解：（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是14故答案为：14（2）根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所以该同学的说法错误；故答案为：0.25，错误；（3）列表如下小菲小娜ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有8种，∴P（恰好在同一社团）=821．（5分）阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x=±3，∴原方程的解为x上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．【解答】解：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0，（x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）+6＝0，设y＝x2﹣2x，则（x2﹣2x）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+6＝0，解得y1＝2，y2＝3．当y1＝2时，x2﹣2x＝2，解得x=1±3当y2＝3时，x2﹣2x＝3，解得x＝3，﹣1．原方程的解为x122．（9分）某种商品的销售单价y1（元/件）与销售月份x（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）；每件的成本y2（元/件）与销售月份x（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低．（1）求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率．（2）求该商品销售单价y1关于销售月份x的函数解析式．（3）在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润＝售价﹣成本）【解答】解：（1）设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为x，根据题意得：50（1﹣x）2＝32，解得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意，舍去），答：5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为20%；（2）设y1关于x的函数解析式为y1＝kx+b，把点（5，50）与点（7，32）代入y1＝kx+b中得：5k+b=507k+b=32解得：k=−9b=95∴y1关于x的函数解析式为：y1＝﹣9x+95；（3）∵抛物线的顶点坐标是（8，21），∴设y2关于x的函数解析式为y2把点（5，30）代入y2a（5﹣8）2+21＝30，解得：a＝1，∴y2设销售这种商品每件获得的利润是w元．则w=y∵a＝﹣1，b＝7，∴−b∴该抛物线开口向下，对称轴直线是x=7∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．∵x＝5，6，7，8，∴当x＝5时，w取最大值，∴5月销售这种商品，每件获得的利润最大．23．（8分）某数学兴趣小组在学习了圆的切线判定定理后，讨论了过圆外一点P，用尺规作⊙O的切线PA和PB的方法：①连接PO1，分别以点P和点O1，为圆心，大于12PO1的长为半径画弧，两弧交于②作直线MN交线段PO1于点O2；③以点O2为圆心，PO2的长为半径作圆⊙O2，与⊙O1相交于A，B两点；④连接PA，PB．PA和PB即是所求的切线．（1）根据上述作法，求证：PA，PB是⊙O1的切线；（2）若PA＝8，AO1＝4，求AB的长．【解答】（1）证明：∵PO1是⊙O2的直径，∴∠PAO1＝90°，即PA⊥O1A，∵O1A是⊙O1的半径，∴PA是⊙O1的切线，同理可得PB是⊙O1的切线；（2）解：由（1）知∠PAO1＝90°，∴PO∵PA，PB是⊙O1的两条切线