山东省聊城市2025届高三一模数学试卷（聊城一模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省聊城市2025届高三一模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|2x−1≤3}，则A∩B=A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}2.若z=2i1+i，则z的共轭复数z=A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i3.曲线y=xlnx在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为A.4 B.2 C.1 D.14.已知角α∈(0,π)，向量a=(1,3)，b=(cosA.2π3 B.π3 C.π45.设等比数列{an}的公比为q，则“q>0”是“数列{A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMNA.13 B.12 C.27.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x3+ax2+(6−a)x+2a，若A.[0,+∞) B.[0,6] C.[−6,3] D.[0,3]8.在四棱锥P−ABCD中，AD // BC，E，N分别为PA，CD的中点，经过E，B，C三点的平面交PN于点F，M为AD上一点，且PM⊥平面ABCD，△MCD为等边三角形，CD=6，∠PDM=45°，则经过F，M，C，D四点的球的表面积为

A.32π B.48π C.64π D.96π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos2x+3sinA.f(x)的最小正周期为2π

B.f(x)在0,π6上单调递增

C.直线x=π3是曲线y=f(x)的一条对称轴

D.将y=f(x)的图象向右平移10.将四个不同的小球，放入四个编号为1，2，3，4的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设ξ表示空盒的个数，η表示1号盒子中小球的个数，则A.每个盒子中恰有1球的概率为14

B.事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立

C.随机变量η的方差为34

D.随机变量ξ11.设动直线l：y=kx−k+2与抛物线C：x2=2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则A.直线l经过一定点 B.抛物线C的焦点为12,0

C.点P到坐标原点的距离不小于2 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设实数a>0，函数f(x)=10x+a113.在△ABC中，已知AB=5，AC=4，cos(C−B)=78，则△ABC14.在一块黑板上共有10个点，其中任意3点都不共线，现将任意两点用红色线段或绿色线段连结起来，在所得到的图形中三边同色的三角形至少有_________个．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀(即考试成绩不小于130分)的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组(90,100)的频数为10．(1)求a的值和样本容量；(2)估计所有参赛学生的平均成绩；(3)假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为12.5%，填写下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？性别奖励合计获奖未获奖男女合计附：χ2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816.(本小题12分)在三棱锥P−ABC中，△PAC为等边三角形，∠BAC=90°，AC=2AB=4，E为PC的中点，M为线段BC上一点，sin(1)证明：ME//平面PAB；(2)若PM=13，求直线PA与平面AME17.(本小题12分)已知函数f(x)=1(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，且fx118.(本小题12分)已知圆C1：(x+2)2+y2=254，圆C(1)求圆心C的轨迹方程；(2)设A(−1,0)，M，N是圆心C轨迹上的不同两点，过点A作AH⊥MN，垂足为H，若直线AM与AN的斜率之积等于−2，求动点H轨迹的长度．19.(本小题12分)若各项为正数的无穷数列{an}满足：对于∀n∈N ​∗都有a(1)判断无穷数列{n+1}(2)若{a(ⅰ)证明：存在正整数n，使得不等式an+1(ⅱ)证明：存在正整数n，使得i=1n1a参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.A

7.B

8.C

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.2

13.1514.20

15.解：(1)根据各个小组的频率之和等于1，得10×(0.005+0.010+0.010+0.015+0.025+a)=1，解得a=0.035．

设该样本容量为n，则由第一小组的频数为10，得10n=0.010×10，解得n=100，即该样本容量为100．

(2)根据该样本频率分布直方图得样本平均数的估计值为

x=95×0.1+105×0.1+115×0.25+125×0.35+135×0.15+145×0.05=120，

所以，所有参赛学生的平均成绩估计值为120分．

(3)由题意得，在抽取的样本中有男生60人，女生40人.其中女生有5人获奖，有35人未获奖;男生有15人获奖，45人未获奖.由以上数据可得下列2×2列联表

零假设H0:男学生与女学生获奖情况不存在差异．

根据列联表中的数据，得χ2=100×(15×35−5×45)260×40×20×8016.解：(1)证明：因为∠CAM+∠BAM=∠BAC=90∘，

所以由sin∠CAM=55，得sin∠BAM=255．

因为S△AMC=12AC⋅AM⋅sin∠CAM=255AM，

S△AMB=12AB⋅AM⋅sin∠BAM=255AM，

所以S△AMC=S△AMB，因此BM=MC，即M为BC的中点．

又因为E是PC的中点，所以ME//PB，

又因为PB⊂平面PAB，ME⊄平面PAB，

所以ME//平面PAB;

(2)取AC的中点O，连结OP，OM，

因为△PAC是等边三角形，O是AC的中点，所以OP⊥AC，

因为OM//AB，AB⊥AC，所以OM⊥AC．

在△POM中，因为OP=32AC=23，OM=12AB=1，PM=13，

所以OM2OP2=PM2，因此OP⊥OM．

以O为坐标原点，分别以OM，OC，17.(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=x−2a+1x=x2−2ax+1x，

 ①当a≤0时，对于任意x>0，f(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增;

 ②当a>0时，设g(x)=x2−2ax+1，其中△=(−2a)2−4=4a2−4，

若△≤0，即0<a≤1，则对于任意x>0，f(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增．

若△>0，即a>1，

令f(x)>0，解得0<x<a−a2−1，或x>a+a2−1;

令f(x)<0，解得a−a2−1<x<a+a2−1

这时f(x)在(0,a−a2−1)内单调递增，在(a−a2−1,a+a2−1)内单调递减，

在(a+a2−1,+∞)内单调递增．

综上，当a≤1时，f(x)在(0,+∞)内单调递增;

当a>1时，f(x)在(0,a−a2−1)内单调递增，在(a−a2−1,a+a2−1)内单调递减，

在(a+a2−1,+∞ )内单调递增.(18.解：(1)由圆C1和圆C2的方程得C1(−2,0)，C2(2,0)，半径分别为52，2．

设动圆C的半径为r，则由圆C与圆C1和圆C2都外切得，|CC1|=r+52，|CC2|=r+12，

从而|CC1I−|CC2I=2<|C1C2|，

因此，圆心C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支．

设该双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a=1，c=2，b=3，

所以圆心C的轨迹方程为x2−y23=1(x>0)．

(2)设直线MN的方程为x=my+n，

由x=my+n,x2−y23=1,得(3m2−1)y2+6mny+3n2−3=0，

其中3m2−1≠0，Δ=(6mn)2−4(3m2−1)(3n2−3)>0．

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1+y2=−6mn319.(1)解：因为(n