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文档简介

第=page11页,共=sectionpages11页山东省聊城市2025届高三一模数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={x|2x−1≤3},则A∩B=A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}2.若z=2i1+i,则z的共轭复数z=A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i3.曲线y=xlnx在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为A.4 B.2 C.1 D.14.已知角α∈(0,π),向量a=(1,3),b=(cosA.2π3 B.π3 C.π45.设等比数列{an}的公比为q,则“q>0”是“数列{A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,M,N是C上的任意两点,△FMNA.13 B.12 C.27.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+ax2+(6−a)x+2a,若A.[0,+∞) B.[0,6] C.[−6,3] D.[0,3]8.在四棱锥P−ABCD中,AD // BC,E,N分别为PA,CD的中点,经过E,B,C三点的平面交PN于点F,M为AD上一点,且PM⊥平面ABCD,△MCD为等边三角形,CD=6,∠PDM=45°,则经过F,M,C,D四点的球的表面积为

A.32π B.48π C.64π D.96π二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos2x+3sinA.f(x)的最小正周期为2π

B.f(x)在0,π6上单调递增

C.直线x=π3是曲线y=f(x)的一条对称轴

D.将y=f(x)的图象向右平移10.将四个不同的小球,放入四个编号为1,2,3,4的盒子中,每个小球放入各个盒子的可能性都相等,设ξ表示空盒的个数,η表示1号盒子中小球的个数,则A.每个盒子中恰有1球的概率为14

B.事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立

C.随机变量η的方差为34

D.随机变量ξ11.设动直线l:y=kx−k+2与抛物线C:x2=2y相交于A,B两点,分别过A,B作C的切线,设两切线相交于点P,则A.直线l经过一定点 B.抛物线C的焦点为12,0

C.点P到坐标原点的距离不小于2 D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.设实数a>0,函数f(x)=10x+a113.在△ABC中,已知AB=5,AC=4,cos(C−B)=78,则△ABC14.在一块黑板上共有10个点,其中任意3点都不共线,现将任意两点用红色线段或绿色线段连结起来,在所得到的图形中三边同色的三角形至少有_________个.四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某学校为了调动学生学习数学的积极性,在高二年级举行了一次数学有奖竞赛,对考试成绩优秀(即考试成绩不小于130分)的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况,随机抽取了部分考试成绩,并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组(90,100)的频数为10.(1)求a的值和样本容量;(2)估计所有参赛学生的平均成绩;(3)假设在抽取的样本中,男生比女生多20人,女生的获奖率为12.5%,填写下列2×2列联表,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,判断男生与女生的获奖情况是否存在差异?性别奖励合计获奖未获奖男女合计附:χ2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816.(本小题12分)在三棱锥P−ABC中,△PAC为等边三角形,∠BAC=90°,AC=2AB=4,E为PC的中点,M为线段BC上一点,sin(1)证明:ME//平面PAB;(2)若PM=13,求直线PA与平面AME17.(本小题12分)已知函数f(x)=1(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个不同的极值点x1,x2,且fx118.(本小题12分)已知圆C1:(x+2)2+y2=254,圆C(1)求圆心C的轨迹方程;(2)设A(−1,0),M,N是圆心C轨迹上的不同两点,过点A作AH⊥MN,垂足为H,若直线AM与AN的斜率之积等于−2,求动点H轨迹的长度.19.(本小题12分)若各项为正数的无穷数列{an}满足:对于∀n∈N ​∗都有a(1)判断无穷数列{n+1}(2)若{a(ⅰ)证明:存在正整数n,使得不等式an+1(ⅱ)证明:存在正整数n,使得i=1n1a参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.B

6.A

7.B

8.C

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.2

13.1514.20

15.解:(1)根据各个小组的频率之和等于1,得10×(0.005+0.010+0.010+0.015+0.025+a)=1,解得a=0.035.

设该样本容量为n,则由第一小组的频数为10,得10n=0.010×10,解得n=100,即该样本容量为100.

(2)根据该样本频率分布直方图得样本平均数的估计值为

x=95×0.1+105×0.1+115×0.25+125×0.35+135×0.15+145×0.05=120,

所以,所有参赛学生的平均成绩估计值为120分.

(3)由题意得,在抽取的样本中有男生60人,女生40人.其中女生有5人获奖,有35人未获奖;男生有15人获奖,45人未获奖.由以上数据可得下列2×2列联表

零假设H0:男学生与女学生获奖情况不存在差异.

根据列联表中的数据,得χ2=100×(15×35−5×45)260×40×20×8016.解:(1)证明:因为∠CAM+∠BAM=∠BAC=90∘,

所以由sin∠CAM=55,得sin∠BAM=255.

因为S△AMC=12AC⋅AM⋅sin∠CAM=255AM,

S△AMB=12AB⋅AM⋅sin∠BAM=255AM,

所以S△AMC=S△AMB,因此BM=MC,即M为BC的中点.

又因为E是PC的中点,所以ME//PB,

又因为PB⊂平面PAB,ME⊄平面PAB,

所以ME//平面PAB;

(2)取AC的中点O,连结OP,OM,

因为△PAC是等边三角形,O是AC的中点,所以OP⊥AC,

因为OM//AB,AB⊥AC,所以OM⊥AC.

在△POM中,因为OP=32AC=23,OM=12AB=1,PM=13,

所以OM2OP2=PM2,因此OP⊥OM.

以O为坐标原点,分别以OM,OC,17.(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=x−2a+1x=x2−2ax+1x,

 ①当a≤0时,对于任意x>0,f(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;

 ②当a>0时,设g(x)=x2−2ax+1,其中△=(−2a)2−4=4a2−4,

若△≤0,即0<a≤1,则对于任意x>0,f(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.

若△>0,即a>1,

令f(x)>0,解得0<x<a−a2−1,或x>a+a2−1;

令f(x)<0,解得a−a2−1<x<a+a2−1

这时f(x)在(0,a−a2−1)内单调递增,在(a−a2−1,a+a2−1)内单调递减,

在(a+a2−1,+∞)内单调递增.

综上,当a≤1时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;

当a>1时,f(x)在(0,a−a2−1)内单调递增,在(a−a2−1,a+a2−1)内单调递减,

在(a+a2−1,+∞ )内单调递增.(18.解:(1)由圆C1和圆C2的方程得C1(−2,0),C2(2,0),半径分别为52,2.

设动圆C的半径为r,则由圆C与圆C1和圆C2都外切得,|CC1|=r+52,|CC2|=r+12,

从而|CC1I−|CC2I=2<|C1C2|,

因此,圆心C的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支.

设该双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则a=1,c=2,b=3,

所以圆心C的轨迹方程为x2−y23=1(x>0).

(2)设直线MN的方程为x=my+n,

由x=my+n,x2−y23=1,得(3m2−1)y2+6mny+3n2−3=0,

其中3m2−1≠0,Δ=(6mn)2−4(3m2−1)(3n2−3)>0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=−6mn319.(1)解:因为(n

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