2025年二次根式乘除试题及答案

二次根式乘除试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共15分）

1.已知二次根式$\sqrt{3}$和$\sqrt{6}$，下列等式中正确的是（）。

A.$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{18}$

B.$\sqrt{3}\div\sqrt{6}=\sqrt{\frac{1}{2}}$

C.$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{9}$

D.$\sqrt{3}\div\sqrt{6}=\sqrt{18}$

2.如果$3\sqrt{a}+2\sqrt{b}=5\sqrt{2}$，那么$a+b$的值为（）。

A.12

B.9

C.8

D.4

3.已知$x^2-5x+6=0$，则$\sqrt{x^2-5x+6}-\sqrt{6}$的值为（）。

A.$3\sqrt{2}-2$

B.$2\sqrt{2}-3$

C.$3\sqrt{2}+2$

D.$2\sqrt{2}+3$

4.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$，且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=3$，则$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2$的值为（）。

A.4

B.10

C.8

D.14

5.若$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{c}$，且$a+b=25$，$c=49$，则$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$的值分别为（）。

A.4和5

B.3和6

C.6和5

D.5和4

二、填空题（每题4分，共20分）

6.简化表达式：$6\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{12}$。

7.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=4$，且$a+b=8$，求$\sqrt{a}-\sqrt{b}$的值。

8.简化表达式：$5\sqrt{2}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}\times\sqrt{5}-\sqrt{30}$。

9.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$，且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$，求$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2$的值。

10.简化表达式：$\frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-\sqrt{3}}$。

四、解答题（每题10分，共30分）

11.解方程：$2\sqrt{x}-3=5\sqrt{x}+4$。

12.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6$，且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$，求$a+b$的值。

13.简化表达式：$\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，并化简到最简二次根式。

五、证明题（每题10分，共20分）

14.证明：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$当且仅当$a=b$。

15.证明：对于任意正数$a$和$b$，有$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{ab}$。

六、应用题（每题10分，共20分）

16.一根长为$10\sqrt{3}$米的绳子，被分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。求这两段绳子的长度。

17.一个长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，且$a^2+b^2=16$，$b^2+c^2=36$，$a^2+c^2=25$。求长方体的体积。

试卷答案如下：

一、选择题（每题3分，共15分）

1.B

解析思路：根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{3\times6}=\sqrt{18}$，选项A正确。根据二次根式的除法法则，$\sqrt{3}\div\sqrt{6}=\sqrt{\frac{3}{6}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$，选项B正确。选项C和D都不符合二次根式的性质。

2.C

解析思路：由题意可得$3\sqrt{a}+2\sqrt{b}=5\sqrt{2}$，两边同时平方得$9a+12\sqrt{ab}+4b=50$，整理得$9a+4b=50-12\sqrt{ab}$。因为$a$和$b$都是正数，所以$\sqrt{ab}$也是正数，故$9a+4b>50-12\sqrt{ab}$，即$9a+4b>50$。由于$a$和$b$都是正数，所以$a+b$的值不可能超过50，故选项C正确。

3.A

解析思路：由题意可得$x^2-5x+6=0$，解得$x=2$或$x=3$。因此$\sqrt{x^2-5x+6}=\sqrt{2^2-5\times2+6}=\sqrt{4-10+6}=\sqrt{0}=0$，所以$\sqrt{x^2-5x+6}-\sqrt{6}=0-\sqrt{6}=-\sqrt{6}$，选项A正确。

4.C

解析思路：由题意可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=3$，两式相加得$2\sqrt{a}=8$，解得$\sqrt{a}=4$。两式相减得$2\sqrt{b}=2$，解得$\sqrt{b}=1$。因此$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2=4^2-1^2=16-1=15$，选项C正确。

5.D

解析思路：由题意可得$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{c}$，两边同时平方得$a\timesb=c$。因为$a+b=25$，$c=49$，所以$a\timesb=49$。解得$a=7$，$b=4$。因此$\sqrt{a}=\sqrt{7}$，$\sqrt{b}=\sqrt{4}=2$，选项D正确。

二、填空题（每题4分，共20分）

6.$3\sqrt{3}$

解析思路：合并同类项，$6\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{12}=(6+4-2-2)\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。

7.2

解析思路：由题意可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$，两式相加得$2\sqrt{a}=8$，解得$\sqrt{a}=4$。两式相减得$2\sqrt{b}=4$，解得$\sqrt{b}=2$。因此$a+b=4^2+2^2=16+4=20$，选项C正确。

8.$3\sqrt{2}$

解析思路：合并同类项，$5\sqrt{2}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}\times\sqrt{5}-\sqrt{30}=5\sqrt{6}+2\sqrt{15}-\sqrt{30}$。由于$\sqrt{30}=\sqrt{5\times6}=\sqrt{5}\times\sqrt{6}$，所以$5\sqrt{6}+2\sqrt{15}-\sqrt{30}=5\sqrt{6}+2\sqrt{15}-\sqrt{5}\times\sqrt{6}=3\sqrt{6}$。

9.9

解析思路：由题意可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$，两式相加得$2\sqrt{a}=7$，解得$\sqrt{a}=\frac{7}{2}$。两式相减得$2\sqrt{b}=3$，解得$\sqrt{b}=\frac{3}{2}$。因此$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{49}{4}-\frac{9}{4}=\frac{40}{4}=10$，选项C正确。

10.$\sqrt{15}$

解析思路：分母有理化，$\frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-\sqrt{3}}\times\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{5}+2\sqrt{3})(2\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=