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文档简介
二次根式乘除试题及答案姓名:____________________
一、选择题(每题3分,共15分)
1.已知二次根式$\sqrt{3}$和$\sqrt{6}$,下列等式中正确的是()。
A.$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{18}$
B.$\sqrt{3}\div\sqrt{6}=\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{9}$
D.$\sqrt{3}\div\sqrt{6}=\sqrt{18}$
2.如果$3\sqrt{a}+2\sqrt{b}=5\sqrt{2}$,那么$a+b$的值为()。
A.12
B.9
C.8
D.4
3.已知$x^2-5x+6=0$,则$\sqrt{x^2-5x+6}-\sqrt{6}$的值为()。
A.$3\sqrt{2}-2$
B.$2\sqrt{2}-3$
C.$3\sqrt{2}+2$
D.$2\sqrt{2}+3$
4.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$,且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=3$,则$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2$的值为()。
A.4
B.10
C.8
D.14
5.若$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{c}$,且$a+b=25$,$c=49$,则$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$的值分别为()。
A.4和5
B.3和6
C.6和5
D.5和4
二、填空题(每题4分,共20分)
6.简化表达式:$6\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{12}$。
7.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=4$,且$a+b=8$,求$\sqrt{a}-\sqrt{b}$的值。
8.简化表达式:$5\sqrt{2}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}\times\sqrt{5}-\sqrt{30}$。
9.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$,且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$,求$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2$的值。
10.简化表达式:$\frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-\sqrt{3}}$。
四、解答题(每题10分,共30分)
11.解方程:$2\sqrt{x}-3=5\sqrt{x}+4$。
12.若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6$,且$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$,求$a+b$的值。
13.简化表达式:$\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,并化简到最简二次根式。
五、证明题(每题10分,共20分)
14.证明:$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$当且仅当$a=b$。
15.证明:对于任意正数$a$和$b$,有$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq2\sqrt{ab}$。
六、应用题(每题10分,共20分)
16.一根长为$10\sqrt{3}$米的绳子,被分成两段,其中一段的长度是另一段的两倍。求这两段绳子的长度。
17.一个长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$,且$a^2+b^2=16$,$b^2+c^2=36$,$a^2+c^2=25$。求长方体的体积。
试卷答案如下:
一、选择题(每题3分,共15分)
1.B
解析思路:根据二次根式的乘法法则,$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{3\times6}=\sqrt{18}$,选项A正确。根据二次根式的除法法则,$\sqrt{3}\div\sqrt{6}=\sqrt{\frac{3}{6}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$,选项B正确。选项C和D都不符合二次根式的性质。
2.C
解析思路:由题意可得$3\sqrt{a}+2\sqrt{b}=5\sqrt{2}$,两边同时平方得$9a+12\sqrt{ab}+4b=50$,整理得$9a+4b=50-12\sqrt{ab}$。因为$a$和$b$都是正数,所以$\sqrt{ab}$也是正数,故$9a+4b>50-12\sqrt{ab}$,即$9a+4b>50$。由于$a$和$b$都是正数,所以$a+b$的值不可能超过50,故选项C正确。
3.A
解析思路:由题意可得$x^2-5x+6=0$,解得$x=2$或$x=3$。因此$\sqrt{x^2-5x+6}=\sqrt{2^2-5\times2+6}=\sqrt{4-10+6}=\sqrt{0}=0$,所以$\sqrt{x^2-5x+6}-\sqrt{6}=0-\sqrt{6}=-\sqrt{6}$,选项A正确。
4.C
解析思路:由题意可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$,$\sqrt{a}-\sqrt{b}=3$,两式相加得$2\sqrt{a}=8$,解得$\sqrt{a}=4$。两式相减得$2\sqrt{b}=2$,解得$\sqrt{b}=1$。因此$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2=4^2-1^2=16-1=15$,选项C正确。
5.D
解析思路:由题意可得$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{c}$,两边同时平方得$a\timesb=c$。因为$a+b=25$,$c=49$,所以$a\timesb=49$。解得$a=7$,$b=4$。因此$\sqrt{a}=\sqrt{7}$,$\sqrt{b}=\sqrt{4}=2$,选项D正确。
二、填空题(每题4分,共20分)
6.$3\sqrt{3}$
解析思路:合并同类项,$6\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{12}=(6+4-2-2)\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
7.2
解析思路:由题意可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6$,$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$,两式相加得$2\sqrt{a}=8$,解得$\sqrt{a}=4$。两式相减得$2\sqrt{b}=4$,解得$\sqrt{b}=2$。因此$a+b=4^2+2^2=16+4=20$,选项C正确。
8.$3\sqrt{2}$
解析思路:合并同类项,$5\sqrt{2}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}\times\sqrt{5}-\sqrt{30}=5\sqrt{6}+2\sqrt{15}-\sqrt{30}$。由于$\sqrt{30}=\sqrt{5\times6}=\sqrt{5}\times\sqrt{6}$,所以$5\sqrt{6}+2\sqrt{15}-\sqrt{30}=5\sqrt{6}+2\sqrt{15}-\sqrt{5}\times\sqrt{6}=3\sqrt{6}$。
9.9
解析思路:由题意可得$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5$,$\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$,两式相加得$2\sqrt{a}=7$,解得$\sqrt{a}=\frac{7}{2}$。两式相减得$2\sqrt{b}=3$,解得$\sqrt{b}=\frac{3}{2}$。因此$\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{49}{4}-\frac{9}{4}=\frac{40}{4}=10$,选项C正确。
10.$\sqrt{15}$
解析思路:分母有理化,$\frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-\sqrt{3}}\times\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{5}+2\sqrt{3})(2\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=
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