线性代数试题库及答案_第1页
线性代数试题库及答案_第2页
线性代数试题库及答案_第3页
线性代数试题库及答案_第4页
线性代数试题库及答案_第5页
已阅读5页,还剩1页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

线性代数试题库及答案姓名:____________________

一、选择题(每题2分,共20分)

1.若矩阵A是一个对称矩阵,则A的转置矩阵______。

A.一定是A本身

B.一定是A的逆矩阵

C.一定是A的伴随矩阵

D.一定是A的共轭矩阵

2.设向量a=(1,2),向量b=(2,1),则向量a和向量b的夹角余弦值是______。

3.若行列式|A|=0,则A______。

A.一定是满秩矩阵

B.一定是非满秩矩阵

C.一定是可逆矩阵

D.一定是不可逆矩阵

4.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的逆矩阵是______。

5.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&0&1\\

0&1&0\\

1&0&1

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的秩是______。

6.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

2&1&0\\

3&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的行列式是______。

7.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的秩是______。

8.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的特征值是______。

9.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&1\\

1&1

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的伴随矩阵是______。

10.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的逆矩阵是______。

二、填空题(每题3分,共15分)

1.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则A的行列式是______。

2.设向量a=(1,2),向量b=(2,1),则向量a和向量b的夹角余弦值是______。

3.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的逆矩阵是______。

4.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&0&1\\

0&1&0\\

1&0&1

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的秩是______。

5.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

2&1&0\\

3&2&1\\

1&1&2

\end{pmatrix}

\]

则矩阵A的行列式是______。

三、解答题(每题10分,共30分)

1.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的逆矩阵。

2.设向量a=(1,2),向量b=(2,1),求向量a和向量b的夹角余弦值。

3.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的特征值和特征向量。

四、证明题(每题10分,共20分)

1.证明:若矩阵A可逆,则其行列式不为零。

2.证明:若矩阵A和B都是n阶方阵,且AB=BA,则A和B的秩相等。

五、计算题(每题10分,共20分)

1.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2&3\\

4&5&6\\

7&8&9

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的行列式。

2.设矩阵A为:

\[

A=\begin{pmatrix}

1&2\\

3&4

\end{pmatrix}

\]

求矩阵A的特征值和特征向量。

六、应用题(每题10分,共20分)

1.设线性方程组为:

\[

\begin{cases}

x+2y-z=1\\

2x+y+2z=2\\

-x+y-z=0

\end{cases}

\]

求该方程组的通解。

2.设线性方程组为:

\[

\begin{cases}

x+y+z=1\\

2x-y+3z=2\\

3x+2y-z=3

\end{cases}

\]

判断该方程组是否有解,若有解,求出方程组的通解。

试卷答案如下:

一、选择题答案及解析:

1.A

解析:对称矩阵的转置矩阵等于其本身。

2.0

解析:向量a和向量b的点积为0,说明它们垂直,夹角余弦值为0。

3.B

解析:行列式为0意味着矩阵的秩小于其阶数,因此是非满秩矩阵。

4.\(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}

4&-2\\

-3&1

\end{pmatrix}\)

解析:通过行变换将A转换为单位矩阵,然后取逆得到A的逆矩阵。

5.2

解析:矩阵A的秩等于其非零行数,这里有两个非零行。

6.0

解析:矩阵A的行列式为0,因为第一列的元素都是第二列的两倍。

7.3

解析:矩阵A的秩等于其非零行数,这里有三个非零行。

8.3,1

解析:通过求解特征方程得到特征值3和1。

9.\(\begin{pmatrix}

1&-2&1\\

-3&1&-3\\

1&-2&1

\end{pmatrix}\)

解析:通过行变换将A转换为单位矩阵,然后取伴随矩阵得到A的伴随矩阵。

10.\(\begin{pmatrix}

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\

-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}

\end{pmatrix}\)

解析:通过行变换将A转换为单位矩阵,然后取逆得到A的逆矩阵。

二、填空题答案及解析:

1.2

解析:行列式计算为1*4-2*3=2。

2.0

解析:向量a和向量b的点积为1*2+2*1=4,模长分别为\(\sqrt{5}\)和\(\sqrt{5}\),夹角余弦值为0。

3.\(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}

4&-2\\

-3&1

\end{pmatrix}\)

解析:通过行变换将A转换为单位矩阵,然后取逆得到A的逆矩阵。

4.2

解析:矩阵A的秩等于其非零行数,这里有两个非零行。

5.0

解析:矩阵A的行列式为0,因为第一列的元素都是第二列的两倍。

三、解答题答案及解析:

1.\(\begin{pmatrix}

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\

-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}

\end{pmatrix}\)

解析:通过行变换将A转换为单位矩阵,然后取逆得到A的逆矩阵。

2.0

解析:向量a和向量b的点积为1*2+2*1=4,模长分别为\(\sqrt{5}\)和\(\sqrt{5}\),夹角余弦值为0。

3.特征值:3,1;特征向量:对应特征值3,特征向量为(1,1,1),对应特征值1,特征向量为(1,-1,0)。

四、证明题答案及解析:

1.证明:若矩阵A可逆,则其行列式不为零。

解析:可逆矩阵的定义是存在一个矩阵B使得AB=BA=I,其中I是单位矩阵。根据行列式的性质,有|AB|=|A||B|=|I|=1,因此|A|≠0。

2.证明:若矩阵A和B都是n阶方阵,且AB=BA,则A和B的秩相等。

解析:由于AB=BA,可以通过行变换将A和B同时转换为相同的行最简形式。因此,A和B的秩相同。

五、计算题答案及解析:

1.0

解析:矩阵A的行列式为0,因为第一列的元素都是第二列的两倍。

2.特征值:3,1;特征向量:对应特征值3,特征向量为(1,1,1),对应特征值1,特征向量为(1,-

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论