2025人教版七年级数学下册导学案：第八章 实数 小结与复习

人教版初中数学七年级下册

第八章实数小结与复习导学案

一、学习目标：

1.梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念

之间的联系；

2.会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算.

二、学习过程：

知识梳理

一、算术平方根

1.算术平方根的定义：

__-a的______________

读作：“

2.算术平方根的性质：

(1)一个正数的算术平方根有一个;0的算术平方根有一个，是;—没

有算术平方根.

(2)被开方数a是非负数，即;«是非负数，即.(双重非负性)

(3)被开方数越大，对应的算术平方根也____.若a>b>0,则—>—>0.

(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小)倍.

二、平方根

1.平方根的定义:

2.平方根的特征：

(1)正数有个平方根，它们互为:

(2)0的平方根是;

⑶没有平方根.

3.平方根的表示:

正数a的算术平方根可以表示为,正数a的负的平方根，可以表示为一

正数a的平方根可以用表示，读作“

4.平方根与算术平方根的联系与区别：

'1.包含关系：,

联系＜2..

」3.一............一

(1.个数不同：_________________________________________________________.

区别《

I2.表示法不同：.

二、"方根

1.立方根的定义：

类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“”，其

中a是,3是.

正数的立方根是;负数的立方根是;0的立方根是.

立方根的性质：一般地，口=.

平方根与立方根的区别和联系

平方根立方根

正斐攵

性

0

质

负举丈

表示方法

被开方致

的范00

四、实数及其运算

L有理数

我们知道有理数包括和,它们都可以写成或者

________________的形式.

5，-3-，-27-，1-1-，-9-.

254911

5_一,-3--_,2-7-_-,1-1-_,9--_.

254911

［归纳］___________________________________________________________

2.无理数

通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是.

无限不循环小数又叫做.

例如行，-柄，啦，近等都是无理数.

兀是无理数吗？1.01001000100001...是无理数吗？.

常见的无理数的三种形式：

(1);

(2)；

(3).

3.实数

和统称为实数.

(1)按定义分

(2)按性质分

实数＜

,,,―煦,,，屈，，冗，..

-4-3-2-101234

当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是的，即

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示

一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，

数a的相反数是,这里a表示任意一个实数.

［归纳］____________________________________________________________

4.实数的运算性质

(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数

不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行

开立方运算.

(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.

1.交换律：加法,乘法

2.结合律：加法,乘法

3.分配律：___________________________

考点解析

考点1:算术平方根的概念及计算

例1.求下列各数的算术平方根：

(1)100(2)竺49(3)0.0001

例2.化简:

(2)J(-IQ(3)J(—2)x(—8)

【迁移应用】

【1-1】VB的算术平方根是()

A.4B+4C.2D+2

[1-2]一个正方形的面积变为原来的4倍，则它的边长变为原来的一倍;面积变

为原来的9倍，则它的边长变为原来的一倍;面积变为原来的100倍，则它的边

长变为原来的一倍;面积变为原来的n倍时，则它的边长变为原来的倍.

[1-3]求下列各数的算术平方根.

(1)64；(2)0.25；(3自(4)52；⑸(一自：(6)104.

考点2：算术平方根的非负性应用

例3.若(x-4)2+Jy+3=0,求(x+丫尸"9的算术平方根.

【迁移应用】

若实数x、y、z满足Vx+2+(y—3)2+|z+6|=0,求xyz的算术平方根.

考点3:平方根的概念及计算

例4.求下列各式的值:

(1)廊；(2)-7081；⑶唱,

例5.已知一个正数m的平方根为2n+1和4-3n.

⑴求m的值；

(2)|a-1|+Vb+(c-n)2=0,a+b+c的平方根是多少？

例6.已知2a-1的算术平方根是3,b-l的平方根是±4,c是履的整数部分,

求a+2b-c的平方根.

【迁移应用】

[3-1]下列式子中，正确的是()

A.±V4=2B.7W=-2C.V4=+2D.V?=2

[3-2]W：(1)7121=.；(2)-VL69=；

(3)-V(-0.3)2=;(4)±V324=.

[3-3]已知一个正数的平方根是2x+3和x-9,则这个数是.

[3-4]求下列各数的平方根.

(1)49；(2琮;(3/(4)0.36；(5)(-1)2.

[35]求下列各式中的x.

(l)9x2-25=0,(2)4(x—2/—9=0.

考点4:立方根的概念及计算

例7.列各式的值：

⑴标⑵E⑶痣.

例8.已知a?=16,|b|=9,证=—2,且ab<0,be>0,求a—b+c的值.

例9.对于结论：当a+b=0时.a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根，b

看成b3的立方根.由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个

数也互为相反数”

(1)举一个具体的例子进行验证；

(2)若^7-y和J2y-5互为相反数,且x-3的平方根是它本身，求x+y的立方

根.

【迁移应用】

[4-1]下列说法正确的是()

A.9的算术平方根是±3B.-8没有立方根

C.-8的立方根—2D.8的立方根是±2

[4-2]下列各式中，正确的是()

A.-V^6=-0.6B.V^S=-V5C.J(-13)2=-13D.V36=±6

[4-31如果7^7=1.333,V237~2.872,那么^23700约等于()

A.28.72B.287.2C.13.33D.133.3

[4-4]已知a-5的平方根是±4,2b-1的立方是-27,求a-4b的算术平方根.

［4-5］已知A=m-3n-m+3是n-m+3的算术平方根,B-m-2n+Vm+2n

是m+2n的立方根，求B-A的平方根.

考点5:实数的概念、性质及分类

例10.如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来:

1

^夕

-

--刀

2OI,

ABOCDE

.11L

-•,-

-2-101234

例11.把下列各数填在相应的大括号内:

0,-2，V3,-V27,0.12,-J—,7?,—,—,1.21212121...,0.1010010001..^-.

V27724

有理数：｛

无理数：］

非负数：（

分数：］

负实数：I

例12.如图所示，数轴上A,B两点表示的数分别为一1和四，点B关于点A的

对称点为C,求点C所表示的实数.

AB

-----1-----------1------------------1——>

-10Q

【迁移应用】

【5-1】如图，数轴上A,B两点表示的数分别为e和51，则A,B两点之间表示

整数点共有()

A.6个B.5个C.4个D.3个

-0J2571~"

[52]若将三个数-8,位,VTT表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的

数是.

-2-1045

[53]把下列各数分别填入相应的集合内:

有理数集合无理数集合

考点6:实数的大小比较

例13.通过估算比较下列各组数的大小：

⑴V5与1.9；(2)坛;1与1.5.

例14.比较下列各组数的大小.

(1)班与2.5;(2)正与3.

2

【迁移应用】

【6-1】将下列各实数按从小到大的顺序排列，并用号连接起来.

~2,1看，一石，1一冗，J2,1.141.

[6-2]比较3,4,胸的大小.

[6-3]已知"＜病＜〃+1(n为正整数)，则2n的立方根为.

[6-4]比较下列各组数的大小:

⑴例与V10；(2)765与8；(3)等与0.5；(4)/与1.

考点7:实数的运算

例15.计算:

(1)|V3-2|-(-2)2+2X^；(2)|2-V10|+|V10-V14|+|4-VT4|；

(3杀(2/+8)一？(保留小数点后两位).

43

【迁移应用】

[7-1]下列计算正确的是（）

A.|V2-V3|=V2-V3B.V9=±3

C.3V2+V3=3V50.7^27=-3

[7-2]练习：

(1)2V2-3V2；(2)|V2-V3|+2V2.

[7-3]化简与计算：