2024秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理练习含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1课时正弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，若a＝3，cosA＝eq\f(1,2)，则△ABC外接圆的半径为()A．6 B．2eq\r(3) C．3 D.eq\r(3)答案：D2．在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(3)，A＝60°，那么角B等于()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：因为a＝3，b＝eq\r(3)，A＝60°，所以sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(1,2).因为a>b，所以A>B，所以B＝30°.答案：A3．在△ABC中，b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则a的值为()A．10eq\r(2) B．2eq\r(10) C.eq\r(10) D.eq\r(2)解析：因为在△ABC中，b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝2，sin2A＋cos2A＝1，所以sinA＝eq\f(2\r(5),5).由正弦定理可得eq\f(a,\f(2\r(5),5))＝eq\f(5,sin\f(π,4))，解得a＝2eq\r(10).答案：B4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是()A．a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a＝b⇔sin2A＝sin2BC.eq\f(a,sinA)＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)D．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，故a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，故A正确．当A＝30°，B＝60°时，sin2A＝sin2B，此时a≠b，故B错误．依据比例式的性质易得C正确．大边对大角，故D正确．答案：B5．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC肯定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，由a＝bsinA得：2RsinA＝2RsinB·sinA，所以sinB＝1，所以B＝eq\f(π,2).答案：B二、填空题6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝3，B＝2A，cosA＝eq\f(\r(6),3)，则b＝________．解析：因为cosA＝eq\f(\r(6),3)，所以sinA＝eq\f(\r(3),3)，因为B＝2A，所以sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(2\r(2),3)，又eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，所以b＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝________．解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝eq\f(2a－b,c)＝eq\f(2×4k－3k,5k)＝1.答案：18．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，则AB边上的高是________．解析：由正弦定理，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以sinC＝eq\f(AB·sin30°,AC)＝eq\f(2\r(3)·sin30°,2)＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝60°或120°，(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin30°＝1.答案：1或2三、解答题9．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝45°，b＝4eq\r(5)，sinB＝eq\f(2\r(5),5).(1)求c的值；(2)求sinA的值．解：(1)因为C＝45°，b＝4eq\r(5)，sinB＝eq\f(2\r(5),5)，所以由正弦定理可得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(4\r(5)×\f(\r(2),2),\f(2\r(5),5))＝5eq\r(2).(2)因为sinB＝eq\f(2\r(5),5)，B为锐角，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(5),5)，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(10),10).10．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试推断三角形的形态．解：由已知得eq\f(a2sinB,cosB)＝eq\f(b2sinA,cosA)，由正弦定理得eq\f(sin2AsinB,cosB)＝eq\f(sin2BsinA,cosA).因为sinA，sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.所以2A＋2B＝π或2A＝2B.所以A＋B＝eq\f(π,2)或A＝B.所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．B级实力提升1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,3) C．1 D.eq\f(7,2)解析：因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(b,a).因为3a＝2b，所以eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinB,sinA)))eq\s\up12(2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(9,2)－1＝eq\f(7,2).答案：D2．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是________．解析：要使三角形有两解，则a>b，且sinA<1.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2),4)x，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2，,\f(\r(2),4)x<1，))所以2<x<2eq\r(2).答案：2<x<2eq\r(2)3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并推断△ABC的形态．解：因为2cos2B－8cosB＋5＝0，所以2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.所以4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去)．因为0＜B＜π，所以B＝eq\f(π,3).因为a＋c＝2b.由正弦定理，得sinA＋sinC＝2sinB＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).所以sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\r(3)，所以sinA＋sineq\f(2π,3)cosA－coseq\f(2π,3)sinA＝eq\r(3).化简得eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA