2025人教A版高二数学上学期期末教学质量模拟检测（二）（含解析）

2024-2025学年上学期人教A版)高二年级期末教学质量模拟检测

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若过点A(l,l)的直线/与圆C：x2+y2_4x_8y+2=0交于M，N两点,则弦长|儿网的最小值

为()

A4B2A/2C.40D.8夜

2.已知圆£：/+,2=4和圆：/+/一8%一6丁+16=0,则G与的位置关系是()

A.外切B.内切C.相交D.外离

22

3.如果椭圆的方程是土+2L=i，那么它的焦点坐标是()

42

A.(±2,0)B.(O,±2)C.(±V2,0)D(0,±^)

4.已知点P(a,l),Q(—2,—3),若|PQ|=5,则。=()

A.lB.-5C.l或_5D._］或5

AB

5.若空间中四点A,BCD满足4次+AC=4DB，则，■=()

BC

113

A.AB.3C.-D._

344

6.我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，意思是说,

有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)，如图所示已

知圆O的半径为2丈，过C作圆。的两条切线，切点分别为M,N,若MN=®JM,则对角线

AC长度为()

A.4+2a丈B.2+后丈

C.10-2拒丈D.2+4行丈

7.抛物线＞2=4x的焦点到其准线的距离为()

1

A.-B.lC.2D.4

2

8.已知向量Z=(l,2,—6),S=(1,1,73),则£•B=()

A.-lB.OC.lD.2

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知｛£,瓦斗构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.a+2c,a+2b,b-c

B.a+2b,a-b,b-c

C.a-b,a+c,b-c

D.〃+B,a+b+c,b+c

22

10.已知椭圆C：3+J=1的左，右焦点分别为耳，工，点尸为椭圆C上一动点,则下列说法正确的是

（）

A.椭圆C的离心率为L

2

B.|P1的最大值为6

的周长为

c.Z\FXPF210

D.存在点P,使得△KPK为等边三角形

11.已知曲线0：/+根》2=1，则下列结论正确的有（）

A.若0＜加＜1，则C是焦点在y轴上的椭圆

B.若加=1，则C是圆

C若m＞1，则C是焦点在V轴上的椭圆

D.若爪=0,则C是两条平行于y轴的直线

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若直线乙：屈一y—3=°与直线4：X+"9+=°平行，则/］与6之间的距离为.

13.空间直角坐标系O-孙z中，过点？(1，%，20)且一个法向量为7=(。,女。)的平面£的方程为

。(%-％0)+》(丁—%)+c(z—z0)=0,阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为

2x—y+z—4=0,直线/是两平面2x—y+5=0与x+3z—3=0的交线，则直线/与平面a所成

角的正弦值为.

14.若点A(0,4)和点5(—1,3)关于直线/:7九t+y+”=0对称，贝！1772+〃=-

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在空间四边形ABCD中，连接AC,5。设G分别是BC,的中点，化简下列各向量

表达式：

(1)AB+BC+AD；

—■1—■—.

(2)AD--(AB+AC).

16.平面几何中有一定理：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高所在直线的交点)的距离等

于外心(三角形外接圆的圆心)到该顶点对边距离的2倍.已知△ABC的垂心为。，外心为E,。和

E关于原点。对称，4(13,0).

(1)若E(3,0),点8在第二象限，直线5CJ_龙轴，求点8的坐标；

22

(2)若A,D,E三点共线，ZVIBC有一内切椭圆T：A+2y=l(a〉6〉0),证明：D,E为椭圆

ab

T的两个焦点.

17.化简：^(2a-b+41)一511^一；5+++

18.如图,在平面四边形A3CD中，A5=AO=1，BC=CD=Y2,且5C,CD，以瓦)为折痕把

2

△AB。和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且E产不重合.

D

(1)求证：EFLBD，

⑵若点G为△AB。的重心(三条中线的交点)，石G,平面求直线50与平面ABE所成角的

余弦值.

19.如图，在四棱锥P—A5c。中，底面ABCD为正方形，平面PA。J_底面ABC。，△PAD是

边长为6的正三角形，E,F分别是线段AB和PZ)上的点，AE=4-

(1)试确定点歹的位置，使得人尸〃平面PEC，并证明；

(1)若直线C户与平面Q4O所成角的正切值为之，求平面ABC与平面AFC夹角的余弦值.

-2

参考答案

I.答案：C

解析：/+/一4%—8y+2=o可化为(X—2)2+0—4)2=18，可得圆心C(2,4)，半径厂=3a・

当C4_U时，|MN|最小，此时点C到/的距离d=|CA|=可，

所^\MN\的最小值为24=2718-10=472-

故选：C

2.答案：A

解析：由C2：(x—4)2+(y—3)2=9,可得Ci与G的圆心距是5,又(+々=5,所以G与。2外切，故选

A.

3.答案：C

解析：由02=/一廿=2,则它的焦点坐标是(±0,0卜故选c.

4.答案：C

解析：因为点P(«,l)，Q(—2,—3),所以|PQ|=&+2)2+(1+3)2=5，

所以|a+2|=3,则q=l或一5・

故选:C.

5.答案：A

解析：•.•4方X+前=4丽，

:.AC=4(DB-DA^=4AB

二荏+碇=4通，

AB1

即团=3同，则

BC3

故选:A.

6.答案：A

解析：记OC与MN相交于E,

过。作A3的垂线，与A3相交于尸点，如图所示，

DC

OM=2丈,MN=®)M=2出文,

则腔=工加=百丈,

2

MF、石

在RtAMOE中，sinNMOE=——,

MO2

则NMOE=60°,

RtZXMOC中，OC=2OM=4丈,

RtaA。/中，OF=2文,

ZOAF=45°,则。4=2拒丈，

所以4。=0。+。4=4+2虚丈

故选：A.

7.答案：C

解析：因为抛物线的焦点到准线的距离为0,

所以由抛物线y2=4x可得p=2,

则焦点到其准线的距离为2.

故选：C

8.答案：B

解析：•.•a-^=lxl+2xl+（-V3）x^=0,

故选:B

9.答案：BCD

解析：A选项：令&+2C=x（M+2否）+y（5—C）,

X=1r

X=1

则《2%+y=0,解得4,

即Q+2c,a+2b，b—c共面，故A选项不符合题意；

B选项：设2+=x{d-b^+y{b-c^,

x-\

则%+y=2,此方程组无解，

-y=0

即方+2万，a-b,B—万不共面，故B选项符合题意；

x=l

C选项：设H-5=x（H+1）+y（5—d），贝！1＜丁二一1,

x-y=0

此方程组无解，即方-5,a+c,B-△不共面，故C选项符合题意；

D选项：设m+5=x（d+b+c^+y[b+c^,

x=l

则＜%+）=1,

x+y=0

此方程组无解，a+b,a+b+c,石+E不共面，故D选项符合题意；

故选：BCD.

10.答案：ABD

22________

解析：由椭圆C：上+2L=1，可得。=4心=26，则0=，/_62=2、

1612

对于选项A椭圆C的离心率e=£=J,故A正确；

a2

对于选项B,当点尸为椭圆C的右顶点时，可得|尸片|=Q+C=6,故B正确；

I1Imax

对于选项c,ARPF2的周长为2a+2c=12,故C错误；

对于选项D,当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得归用=|尸阊=。=4，由闾=2c=4,此时△4Pg

为等边三角形，故D正确.

故选:ABD

11.答案：ABD

解析：对于A,若0＜7“＜1，则工＞1，

m

所以C是焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若加=1,则曲线。：炉十,2=],

所以。是圆，故B正确;

对于c,若根＞1，则

m

所以C是焦点在x轴上的椭圆，故C错误；

对于D,若m=0,则％=±1,

所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确.

故选:ABD.

12.答案：2

2

解析：因为直线4:-3=0与直线Z,:x+my+2y/3=0平行，

所以直线4斜率存在，且—工=也，得到加=_1，此时心％-且＞+2君=0,即

m33

j

l2：y[3x—y+6=0满足/J//2，

-1-3-619

所以1与4之间的距离d==

故答案为：2.

2

13.答案：远m

138

解析：法一：因为平面a的方程为2x—y+z—4=0,

所以平面a的一个法向量[=(2,—1,1)，

又直线/」2"一，一5=。上有两个点A12,—1—],B(0,-5,l),

x+3z-3=0I3j

所以直线/的方向向量为玩=丽=(2,4,—g)，

所以直线/与平面«所成角的正弦值为|cos〈沅，滂|=

故答案为：叵.

138

法二：由题知两平面2%一y+5=0与x+3z—3=0的法向量分别为济=(2,—1,0)，卮=(1,0,3)，

设直线I的一'个方向向量m=(x,y,z)，

--»(

则比2=°即产一尸°,取x=l，则比=1,2,—；

m-m2=0x+3z=0

又平面a的法向量£,=(2,-1,1)，

V69

所以直线/与平面所成角的正弦值为

a13?

故答案为：叵.

138

14.答案：_2

解析：因为点A(0,4)和点8(—1,3)关于直线/:如+y+〃=0对称，

所以/是线段A3的垂直平分线，由AB，/，可得上----(-m)=-1解得m=l-

—1—0

又A5的中点坐标为(一所以—2+2+〃=0,解得〃=—3・

I22J22

故加+〃=—2.

故答案为：_2-

15.答案：(1)2%不

⑵而

解析：(1)通+反^+亚=正+国5,

：G是的中点，

：.AC+AD=2AG；

B

(2)；M是3c的中点,

AB+AC=2AM,

AD-^(AB+AC)=AD-AM=MD.

16.答案：(1)5(—5,6)

(2)见解析

解析：(1)因为E(3,0),。和£关于原点。对称，所以£>(—3,0).

设BC与x轴的交点为歹(,0)(〃z>0),如图所示.

即13+3=2(m+3),解得机=5.

设6(—5,〃)5>0),因为|BE|=|AE|,所以|班T+|EfT=|AE/，

则1+(3+5)2=(13—3)2,解得〃=6.

所以3(—5,6).

(2)证明：因为。和E关于原点O对称，且A,D,E三点共线，

所以A,D,E,。四点共线，即点A,D,E,。都在无轴上.

因为所以BCJL尤轴.

因为△ABC的外心为E,所以|5E|=|CE|,所以点B与点C关于x轴对称.

设BC与x轴的交点为F(-m,0),B(—m,n),C(—m,—ri),D(—s,0),E(s,0)(”,s>0,且加Ws).

由题意可得IAD|=21石/I，即13+s=2(m+s),化简得s=13—2m.

直线CD的斜率为二•,直线AB的斜率为-——,

—s+m3m—1313+m

所以一-—•|———]=—1,化简得〃2=(3加—13)(加+13).®

3m-13I13+mJ

Y!

直线AB的方程为y=-------(x-13).

13+m

22

由△ABC有一内切椭圆T:j+2r=1（。〉6〉0）,可得尸为BC与椭圆的切点，所以。=机.

ab

y=—7^(13),

l3+m

联立\,2整理

%+丁-1

|^Z?2(13+m)2+772,2］尤2—26m2n2x+169m2n2—m2b2(13+ni)2=0.

A=(26//2〃2)-4^Z?2(13+zn)2+zn2zz2^169/n2«2~m2b2(13+zn)2^=0,

即169n2(13+ni)2-b~(13+ni)4-m2n2(13+m)2=0.

因为(13+mA/0,所以169n2-b2(13+ZM)2—m2n?=0,

HP(13+m)(l3-m)n2-Z?2(13+m)2=0,即(13—根)/-Z?2(13+m)=0.

结合①可得廿=(13—附(3加—13).

设椭圆T的焦距为2c,则f=点—£=病—H=m2—(13—m)(3m—13)=(2//7-13)2=1,

所以。，E为椭圆T的两个焦点.

1一1

17.答案：——a+4b——c

33

一1-105-10-

解析：原式=1——b+2c--a+-b-—c+2a+2b+c

2323

=——a+^b——c

33

18.答案：(1)证明见解析

⑵且

3

解析：(1)由题知ER=Er>=、，RF=DF=昱’

2

设8。的中点为”,连接EH,FH,因为EB=ED，所以EH±BD，

又因为族=£)尸，所以FH_L3£)，且即,「Hu平面EFH,EHCFH=H,

所以平面EFH，又EFu平面EFH,所以BD±EF

⑵△BCD中,由勾股定理得3£>=1，所以△AB。为等边三角形•

连接AG并延长交3。于且AXJ_B£>•过G作Gx//BD-

以G为原点，如图所示建立空间直角坐标系.

在△AB£)中,AG=2A”=走,G〃=-AH>

3336

AfO,—,olEfo,O,—Inf-,--,0

I3JI26J