2025年中考数学几何模型归纳训练：腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分训练（原卷版）

专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理fAeorewi）：在等边三角形内任意一点尸到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐•维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

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例题讲模型

2

模型1.等边三角形中维维尼亚模型2

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

习题练模型

例题讲模型］

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：在等边V/2C中，P是平面上一动点，过点尸作尸PFLBC,PDLAB,过点/作

结论：①如图1,若动点P在三角形/8C内时，则PD+PE+PF=4M；

②如图2,若动点P在三角形48c外时，则P0+PE-PF=/M。

（当点尸在三角形/8C外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

模型证明

证明：①如图1,连结/尸，BP,CP。；丫48。是等边三角形，，/2=8C=/C,

S“BC=ABPS.BCP；

AAiHASAD.I+△+△ASCA/2ACP=-BC-AMPD+PE+PF=AM.

②如图3,连结4P,BP,CP。：VNBC是等边三角形，：.AB=BC=CA,

则5/.=凡4砥+邑，3-兄80=3/3.尸0+!/0M一330.尸尸=；50（「。+M一尸尸）,

7

S"S.BP+S3；：

AS.ACP=BC".PD+PE-PF=AM.

模型运用

例1.（2024•河北•二模）如图，尸为边长为2的等边三角形N8C内任意一点，连接B4、PB、PC,过尸点

分别作8C、AC、N2边的垂线，垂足分别为。、E、F,贝!IPD+PE+P尸等于（）

A.—B.V3C.2D.2c

2

例2.（2024八年级•广东•培优）如图，点P为等边"BC外一点，设点P到三边的距离尸。=%,尸£=%,P尸=%,

D.24G

例3.（23-24八年级上•浙江宁波•期中）如图，尸是等边三角形/8C内一点，且尸4=4,尸8=2后，尸C=2,

以下3个结论：①/BPC=120。；②AB=2出；@SAABP=4y/3；④若点尸到V4BC三边的距离分别为,

A

PF,PG,则有P£+PF+PG=火/2,其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

例4.(23-24八年级上•云南昆明・期末)如图(1),已知在V/8C中，AB=AC,^./8=60。,过N作AP1BC

于点P,点M是直线2C上一动点，设点M到V/BC两边/2、NC的距离分别为加，"，V48c的高为肌

(1)当点M运动到什么位置时，m=n,并说明理由.

(2)如图(2),试判断加、〃、〃之间的关系，并证明你的结论.

22i2

(3)如图(3),当点M运动到5c的延长线上时，求证：=—+—

202220221011

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

条件：如图，等腰V48c(48=/C)中，点尸在8C上运动，过点尸作PHLAC,CELAB,

结论：①如图1,若动点尸在边3C上时，则尸E+P0=C尸。

②如图2,若动点P在8c延长线上时，则尸产-PE|=CD。

图1图2

模型证明

证明：①如图1,连结4P；是等边三角形，.••/8=NC,

则S/BCMS/BP+S/CPML/BJD+L/C-PEMJ/BIPO+PE)，SABC=-ABCF.,.PE+PD=CFo

^ADCt^Abr^ACr?[2'AABC)

①如图2,连结4P；：V/2C是等边三角形，

则SJBC=S4BP-SJCP='/B-PF-L/C-PE=」AB-(PF-PE)，SABC=-AB-CD：.PF-PE=CD.

AABC△ADL△A\/△AbC

模型运用

例1.（23-24八年级上•广西百色・期末）如图，已知△4BC是等腰三角形，/B=/C,点。是2C上任意一点,

OELAB,OFLAC,等腰三角形的腰长为4,面积为4g,则OE+O尸的值为（）

A.1.5B.2百C.2.5D.3

例2.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）如图，将矩形48CD沿昉折叠，使点D落在点8处，尸为折

痕访上的任意一点，过点尸作PGL8E,垂足分别为G,H,若/。=16,CF=6,贝1J尸G+/W=.

例3.（23-24八年级下•江西吉安•阶段练习）数学课上，老师画出一等腰V/2C并标注：AB=AC=10,

乙4=30。，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答.

图1图2图3

（1）甲同学提出：NB=NC=度；（2）乙同学提出：V/3C的面积为:

(3)丙同学提出：点。为边8c的中点，DE1AB,DF1AC,垂足为£、F,请求出尸的值；

(4)丁同学说受丙同学启发，点。为边3C上任一点，DE1AB,DF1AC,CHVAB,垂足为E、F、H,

则有DE+Z)尸=CH.请你为丁同学说明理由.

例4.(23-24山西八年级上期中)(1)如图(1),已知在等腰三角形/3C中，=N。，点P是底边3C上

的一点，PDLAB,垂足为点。，PE1AC,垂足为点E.求证：尸。+尸£为定长.

(2)如图(2),己知在等腰三角形中，=点尸是底边8C的延长线上的一点，PDLAB,垂

足为点。，PEVAC,垂足为点E.求证：PD-PE为定长.⑶如图(3),已知：点尸为等边三角形4BC

内任意一点，过P分别作三边的垂线，分别交三边与。、E、F.求证：PD+PE+PF为定长.

例5.（2024•江西・一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，NB

=NC,则四边形N8CZ）为等邻角四边形.

图1图2

（1）定义理解：已知四边形48。为等邻角四边形，且/N=130。，/8=120。，则度.

（2）变式应用：如图2,在五边形/2CDE中，ED//BC,对角线AD平分2/2C.

①求证：四边形4B0E为等邻角四边形；②若//+NC+/E=300。，NBDC=/C,请判断小台⑺的形状，

并明理由.（3）深入探究：如图3,在等邻角四边形/BCD中，NB=NBCD,CELAB,垂足为E,点尸为

边上的一动点，过点尸作PN-LCD,垂足分别为M,N.在点尸的运动过程中，判断PM+PN

与CE的数量关系？请说明理由.（4）迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形/BCD是等邻角

四边形，ZA=ZABC,£为边上的一点，EDLAD,ECLCB,垂足分别为。、C,48=2&§dm,AD

=3dm,BD=而dm.M、N分别为/£、BE的中点，连接。A/、CN,求ADEN与ACEN的周长之和.

习题练模型

1.（23-24八年级上•浙江宁波・期末）如图，在等腰A/BC中，AB=4C=5,BC=6,。是△48C外一点,

。到三边的垂线段分别为。。，OE,OF,且OD:OE:OF=1:4:4,则NO的长度为（）

2.（23-24九年级上•重庆•期中）如图，在等腰AABC中，AB=AC,tanC=2,BD_LAC于点D,点G是底

边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F,若BD=4,GE=1.5,则BF的长度为（）

3.（23-24八年级下•福建泉州•期中）如图，P是三角形内一点，PD〃AB,PE〃BC,PF//AC,若

PD+PE+PF=6,且V4BC是等边三角形，则V4BC的周长为（）

A.12B.18C.24D.30

4.（23-24八年级上•江苏常州•阶段练习）如图，V4BC为等边三角形，点。是8C边上异于2,C的任意一

点，DE_L4B于■点、E.DFJ.AC于点,F.若8c边上的高线=6,则£＞后+。厂=

5.（2024・四川成都・模拟预测）如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,C4=6,C5=8,点尸为此三角形内部

（包含三角形的边）的一点且尸到三角形三边的距离和为7,则CP的最小值为.

6.（2024八年级•广东•培优）如图，13C中，/C=5C,点尸是边上任意一点，点0是45延长线上

任意一点，过点尸分别作尸。L/C于点。，PELBC于点、E,过点。分别作L/C于点RQG,3c于

点G,贝UPD+尸£+QGFQ.（填或“="）

7.（23-24九年级上•山东青岛・期末）如图，将矩形/BCO沿跖折叠，使点。落在点3上，点C落在点C

处，点尸为折痕EF上的任一点，过点尸作PG1BE、PH1BC,垂足分别为G、H,若4D=24cm,CF=9cm,

尸G=2cm则下列结论正确的有（填正确结论的序号）①。E=15cm②尸的面积是90cm2③

8.（2024八年级•广东•培优）如图，在“3C中，线段ND为中线，点。为线段/。的中点，直线/经过点

O,且8,C两点在/的同侧，过点瓦C,D,/作直线/的垂线，垂足分别为点£,F,H,G.则下列说

法一定正确的有.

①②AG=DH；③2AG=BE+CF；④若点2,C位于/异侧，有24G=BE-CF.

9.（2023•四川内江・中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘

徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的

面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形/BCD中，AB=5,AD=12,对角线/C与BZ）交于点

。，点£为BC边上的一个动点，EF1AC,EG1BD,垂足分别为点RG,贝!]M+£G=.

10.（23-24九年级上•江苏无锡•期末）如图，已知等腰RtZ\/3C中，ZC=90°,AC=\,尸为三角形内（含

边）一点，过点P分别作AB>BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、FEPD=PE=PF,则CE长为；

若PD=PE+PF,则点尸运动的路径长为.

11.（23-24八年级下•河南南阳•期中）在A/BC中，4B=/C,点P为△48C所在平面内一点过点尸分别作

PE〃NC交于点E,PF〃AB交BC于点、D,交NC于点尸.

（1）观察猜想:如图1,当点P在2C边上时，此时点P、D重合,试猜想PD,PE,PF与AB的数量关系:.

（2）类比探究:如图2,当点尸在A/BC内时，过点尸作交于点交NC于点N,试写出尸D,

PE,尸尸与N3的数量关系，并加以证明.

（3）解决问题:如图3,当点尸在AABC外时，若A8=6,PZ）=1,请直接写出平行四边形尸E/尸的周长.

AAA

E

B

P(D)

图1

12.（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1,在中，AB=AC,点尸为边3c上的任意一点，

过点P作尸。J_/2,PE工AC,垂足分别为。、E,过点C作CF_L42,垂足为R求证：PD+PE=CF.小明

的证明思路：如图2,连接4P,由A/5?与“CP面积之和等于仙3。的面积可以证得尸。+P£=CF（不需

写出证明过程）.

变化一下：（1）如图3,当点P在2c的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方

法，猜想PD、尸£和C尸的关系，并证明.

3

从几何到函数：如图4,在平面直角坐标系中有两条直线。、h,分别是函数乂=^工+3和%=-3x+3的图

像，11、办与x轴的交点分别为/、B.

（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C,点C的坐标是；（3）说明A/3C是等腰三角形；

（4）若上的一点河到//的距离是1,运用上面的结论，求点M的坐标.

图4

13.（23-24九年级上•四川成都•期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中,

S“ABC=S.APB+S'APC'即|AB-DC=^AB-MP+^-ACPN,'：AB=AC,：.DC=MP+PN,MP+PN是个固

定值.

（1）如图1,在矩形N3CD中，/C与。B交于O,48=3,40=4,P是4D上不与/和。重合的一个动点,

过点P分别作/C和AD的垂线，垂足分别为£,F,则尸E+Pb的值为

知识应用：（2）如图2,在矩形中，点N分别在边8c上，将矩形/BCD沿直线折叠,

使点。恰好与点3重合，点C落在点G处.点P为线段MN上一动点（不与点"，N重合），过点尸分别

作直线9,8c的垂线，垂足分别为E和尸，以PE,尸尸为邻边作平行四边形依。尸，若

0M=13,CN=5,口尸£”的周长是否为定值？若是，请求出口尸EQF的周长；若不是，请说明理由.

（3）如图3,当点尸是等边.“8C外一点时，过点尸分别作直线N3、AC,3C的垂线、垂足分别为点£、

D、F.若PE+PF-PD=3,请直接写出AABC的面积.

14.（23-24八年级下•四川宜宾•阶段练习）阅读材料：如图，“3C中，AB=AC,尸为底边3C上任意一

点，点尸到两腰的距离分别为4,2,腰上的高为/，，连接/P,则邑陋＞+5“°=豆"「即：

AB*rx+ACT2=AB'h,：.rx+r2=h（定值）.

（1）理解与应用：如图，在边长为3的正方形4BCD中，点£为对角线AD上的一点，且BE=BC,F为CE上

一点，FM_L8c于W,FN1BD千N,试利用上述结论求出W+网的长.

(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形"，那么尸的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在

三角形内任一点”，即：已知等边“3C内任意一点尸到各边的距离分别为？但%，等边“3C的高为〃，

试证明外+马+4=〃(定值).

(3)拓展与延伸：若正"边形44…内部任意一点尸到各边的距离为彳4…/，请问4+2+…+〃是否为

15.(2022•黑龙江绥化•中考真题)我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.

过

点C作CG_L4B于G.利用面积证明：DE+DF=CG.

(2)如图二，将矩形/8CD沿着E厂折叠，使点/与点。重合，点3落在十处，点G为折痕E尸上一点，过

点G作GM_L尸C于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的长.

AR4F

(3)如图三，在四边形48C。中，£为线段上的一点，EALAB,EDLCD,连接AD,且忘="，

CDDE

BC=5,CD=3,BD=6,求ED+E4的长.

16.（2023・陕西渭南•二模）（1）【问题提出】

如图1,在等腰小BC中，48=/C,尸是底边8C上的任一点（不与8、C重合），尸于E,PFVAB

于R8O_LZC于。.求证：BD=PF+PE；

（2）【问题探究】如图2,和ACDE是两个含30。的直角三角形，其中N/C2=/DCE=90。,

ZABC-ZCED=30°,连接BE,BE=1G,求的长；

（3）【问题解决】如图3,四边形/BCD是某农业观光园的部分平面示意图，2。是一条灌溉水渠，£为入

口，E在线段3C上，管理人员计划从入口E处沿笈4、由分别修两条笔直的小路，将园区分割为

ABAp

△CDE和△/££）三个区域，用来种植不同的农作物.根据设计要求，E