2025年中考数学几何模型归纳训练：相似模型之托勒密定理与不等式（原卷版+解析）

专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的托勒密定理与托勒密不等

式模型。

托勒密（Ptolemy）定理的历史，可追溯到公元2世纪，古希腊数学家和天文学家Ho/emy,他对三角

学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。从表面上看内。距必定理是关于边的等式，但由

于四边形外接圆的存在，尸⑹”町定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，定理有了较

好的应用背景。尸加3,少定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，而尸勿3冲不等式就是其重要的

拓展。

目录导航］

模型1.托勒密（定理）模型.............................................................1

模型2.托勒密不等式模型...............................................................6

习题练模型口

.........................................................................................................................................................8

模型L托勒密（定理）模型

模型解读

托勒密定理：四边形ABC。内接于圆，求证：ACBD=ADBC+ABCD.

cc

证明：如图，在8。上取一点P,使其满足N1=N2.

Ar)

VZ3=Z4,:.AACDs/\BCP,—=——，BPACBP=ADBC®

BCBP

ABAC

又ZACB=ZDCP,Z5=Z6,Z.AACBADCP,——=—,ACDP^ABCD.②

DPCD

①+②，有ACBP+ACPD=AZ>5C+AB・CD.

即AC(BP+PD)=ADBC+ABCD,故Aa3D=AD-8C+AB-CD.

特例：(1)当AA3C是等边三角形时，如图1,根据托勒密定理有：DBAC=ADBC+ABCD,

又等边AABC有AB=AC=BC,故：DB=DA+DC.

特例：（2）当AA5C是等腰直角三角形，如图2,根据托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:BC=1:1:0，代入可得结论：42AD=BD+CD.

特例：（3）当A45C是一般三角形时，如图2,根据托勒密定理可得：ADBC=ABCD+ACBD

又BC：AC：AB^a：b：c,代入可得结论：a-AD=b-BD+c-CD.

模型运用

例1.（2024・湖北武汉.模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘

积等于两组对边乘积之和.如图，。。中有圆内接四边形ABCD,已知BD=8,CD=5,AB=6,NB£）C=60。，

贝|JAD=()

c8夜-7D80-8

'7--7

例2.（2024・浙江•模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对

角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号.如图，四边形ABC。内

接于半径为2指的圆，ZA=120,ZB=45,AB=AD,则四边形ABCD的周长为（）

A.4A/3+6A/2B.10A/3C.4百+4夜D.4G+5夜

例3.（2023•河南商丘•模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：

克罗狄斯•托勒密（ClaudiusPtolemaeus,约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文

学家，地理学家，占星学家和光学家.

托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善.

托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

已知：如图1,四边形A3CD内接于<。，求证：AB-CD+5c•Ar>=AC-3r）下面是该结论的证明过程:

证明：如图1,^ZBAE=ZCAD,交BD于点、E.AD=AD>

ZABE=ZACD（依据1）,（依据2）,.•.丝=世

ACCD

..ABCD=ACBE,AB=AB：.ZACB=ZADE.

ZBAE=ZCAD,ZBAE+ZEAC=ACAD+AEAC,即NBAC=NEAD,

AABC^AAEZ),QAD-BC=ACED,

ABDC+ADBC=ACBE+ACED=AC(BE+ED)=ACBD.

任务：(1)托勒密定理的逆命题是;上述证明过程中的“依据1”为；“依据2”为.

(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：.

⑶如图2,以A3为直径的。中，点C为。上一点，且NABC=30。，/ACB的角平分线交：。于点

连接AD,BD,若AB=4,求CD的长.

例4.(23-24九年级上.浙江衢州•期中)如图，四边形ABC。内接于。。

(1)连接AC、BD,若乙BAC=/CAO=60。，则ZkOBC的形状为.

(2)在(1)的条件下，试探究线段A。，AB,AC之间的数量关系，并证明你的结论；

⑶若AB=BC，/D4B=N4BC=9。。，点尸为AB上的一动点，连接出，PB,PD,求证：PD=PB+&a.

例5.(24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习)【给出问题］：已知：。是正方形ABCD的外接圆，点尸在30

上(除A、2外)，试求NAPB的度数.

【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路.用圆来画出准确的

示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现.请善于思考的你帮助解答以下问题：

（1）①尺规作图，在：。中作出内接正方形ABCD（保留痕迹，不写作法）.②原题中Z4PB=_.

【深入思考】（2）【问题】如图1,若四边形ABCD是O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接

PA.PB、PC、PD,请探究尸D、PA.PC三者之间或者P。、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明.

（3）【拓展】如图2,若六边形ABCDEF是：。的内接正六边形，点尸为弧3c上一动点，请探究PA、PB、PC

三者之间有何数量关系：（不写证明过程）.

（4）【应用】如图3,若四边形ABCD是矩形，点尸为边。C上一点，ZAPB=45°,PD=2,PC=4,试

求矩形ABCD的面积.

例6.（2024•山东德州•一模）AA8C是。。的内接三角形，点尸是。。上一点，且点P与点A在8C的两侧，

连接以，PB,PC.⑴如图①，若AA8C是等边三角形，则线段加，PB,PC之间有怎样的数量关系，并证

明你的结论.（2）如图②，把（1）中的AA8C改为等腰直角三角形，N8AC=90。，其他条件不变，三条线段

PA,PB,PC还有以上的数量关系吗？说明理由.

（3）如图③，把（1）中AABC改为任意三角形，AB^c,AC=b,BC=。时，其他条件不变，则B4,PB,PC

三条线段的数量关系为（直接写结果）

（4）由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？

例7.（2024•浙江温州•三模）如图，已知圆内接VABC,点D为圆上一点且BD=CD，连接2。交BC于点E.⑴

求证：ZAEC=ZABD；（2）设AD=机，ZBAD=ZCAD=a.

①求证：AB+AC=2ADcosa；②若AD=N江,求AB-AC的值.（用含相、上的代数式表示）

模型2.托勒密不等式模型

模型解读

托勒密不等式模型：对于任意凸四边形ABC。，ACBD<ABCD+ADBC

证明：如图1,在平面中取点E使得NABE=/ACD,

易证.•.丝=殷，即ACBEnAB。①，

ACCD

AJ^ApARA(^

连接。E,如图2,,/—=—,；.—=—,又Na4C=/BAE+NCAE=NZMC+/CAE=NZME,

ACADAEAD

:.AABCsAAED,,即ACDEuADBC②，

ACBC

将①+②得：ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,：.AC-BD<AC(BE+DE)=AB-CD+AD-BC

即当且仅当A、B、C、。共圆时取到等号.

模型运用

例1.（23-24九年级上•湖北武汉•期中）在AABC中，A8=4,AC=2,以BC为边在AABC外作正方形BCDE,

线段引入CE交于点。，则线段A。的最大值为（）

A.672B.6C.4+2亚D.3拒

例2.（23-24八年级下.湖北武汉.阶段练习）如图，平面内三点A、B、C满足AB=5,AC=3,以8C为斜

边作等腰直角三角形BCD,连接AD,则AD的最大值为（）

A.2忘B.4A/2C.4D.8

例3.（2023・广东河源•三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点。

为坐标原点，。的半径为1,点43,0）.动点3在。上，连接A3,作等边VABC（A,B,C为顺时

针顺序），求OC的最大值；

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接08,以08为边在OB的

左侧作等边△BOE,连接（1）请你找出图中与0C相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值

为.

【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点8的坐标为（5,0），点尸为线段A3

外一动点，且上4=2,PM=PB,ZBPM=90°,求线段AM长的最大值及此时点尸的坐标.

【迁移拓展】（4）如图③，点。是以8C为直径的半圆上不同于&C的一个动点，以BD为边

作等边,请直接写出AC的最值.

习题练模型

1.（23-24九年级上•浙江金华•期中）如图，点P为正方形ABC。的外接圆。的A。上一点，连接丛PB,PC,

PA_i_PC

则的值为（）

rD

p

A.1B.72C.V3D.2

2.（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，四边形ABCD内接于O,AB=6,AD=10,NBAD=60。，点C

是弧的中点，则C4的长为.

3.（2024•天津•校考一模）如图，在AABC中，AD=y/lO,CD=^2,ZACB=90°,AC=2BC,则8。的最大值

为__________

B

D

4.（23-24九年级上.河北石家庄•期中）如图，A、P、8、C是。上的四个点，ZAPC=NCPB=60°.

⑴判断VABC的形状，并证明你的结论.⑵求证：PA+PB=PC.

（3）若BC=2百，点尸是弧AB上一动点（异于点A,B）,求上4+PB的最大值.

5.（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）（1）【基础巩固】如图1,NABC内接于Q,若NC=60。，弦AB=,

则半径/=;

（2）【问题探究】如图2,四边形ABCD的四个顶点均在。上，若NA£）C=60。，4D=OC,点B为弧AC

上一动点（不与点A,点C重合）.求证：AB+BC=BD；

（3）【解决问题】如图3,一块空地由三条直路（线段AD、AB,2C）和一条道路劣弧CO围成，已知

CM=DM千米，NDMC=60。,CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入

口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处,其中点尸在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中

的线段DM、MC、CP、PD,某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他

们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形OMCP

的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.

6.（23-24九年级上•山西大同•阶段练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：

克罗狄斯•托勒密（约90年-168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家.在数学方面，他还

论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘

积等于两组对边乘积的和.即：如图1,若四边形4BCD内接于。。，则有.

任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为.

（2）如图2,正五边形ABCDE内接于。O,AB=2,求对角线2。的长.

7.（23-24九年级上.江苏南京.期末）问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的

乘积，则称这个四边形为巧妙四边形.

初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称：,.

（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形.

如图①，四边形ABC。是。。的内接四边形.求证：ABCD+BCAD=ACBD.

小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：

在上取点使/MCBn/OCA.（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.）

推广运用：如图②，在四边形ABC。中，NA=NC=90。，AD=6,AB=46,CD=2.求AC的长.

8.（2023・湖南•一模）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完

美四边形”。（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是.

（2）如图1,在AABC中，AB=2,BC=1,AC=3,D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的

四边形为“完美四边形”，若DA,DC的长是关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+；（5m2-2m+13）=0（其中m为

常数）的两个根，求线段BD的长度.

（3）如图2,在“完美四边形"EFGH中，ZF=90°,EF=6,FG=8,求“完美四边形"EFGH面积的最大值.

H

G

9.（2024.山西大同.校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年〜公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大

成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到

了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

图1图2图3

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图1,四边形内接于求证：AB-CD+BC-AD=AC-BD

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2,作交BD于点、E.

A3BEABBE

-----=/ABE=NACD；.△ABEs△ACZ）=.'.AB*CD—AC,BE

ACCDACCD

；AB=ABNACB=ZADE（依据1）

ZBAE=ZCAD：.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC即ZBAC=ZEAD

（依据2）：.AD-BC=AC-ED

:.AB，CD+AD・BC=AC,（BE+ED）：.AB-CD+AD-BC^AC-BD

任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

（2）当圆内接四边形ABC。是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：.（请写出）

（3）如图3,四边形A8CD内接于。O,A8=3,AD=5,/区4。=60。，点C为BO的中点，求AC的长.

10.（23-24九年级上•山西临汾・期末）阅读下列材料，并完成相应任务

托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一

个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积.下面是该定理的证明过程（部分）

求证：ADBC+ABCD=ACBD

证明：以C顶点，CB为一边作NBCE交BD于点E,使得N3CE=NACD

XVZCAD=ZCBE：.VACD:NBCE，黑=MAADBC=ACBE,

BEBC

又ZADC=/BEC,NADC+ZABC=180°,/BEC+/DEC=180°,

ABAC

:.ZABC=NCED：.NCAB=NCDE：.AABC△DEC,/.—=——

DEDC

：.ADBC+ABCD=ACBD

任务：（1）请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我

们非常熟知的一个定理：.（3）如图②若NADB=N3DC=60。，试探究线段AD,"ZCD之

间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论.

11.（2024•河南南阳•一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒

密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究.托勒密定理：圆的内

接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

E

DD

•O

图1图2图3

己知：如图1,.求证：.

证明：如图2,作=交BD于点、E,

：..ABEsACD,：.ABDC=ACBE,......

NABCsAAED,：.ADBC=ACED,

：.ABDC+ADBC=ACBE+ACED=AC（BE+ED）=ACBD.

（D请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；

⑵如图3,已知正五边形A8CDE内接于（AB^l,求对角线BD的长.

12.（23-24九年级下•湖南长沙•阶段练习）如图，四边形A3。内接于O,对角线AC,相交于点E.

图1图2图3

（1）如图1,求证：=（2）如图2,尸为线段AC上一点，ZADF=ZBDC,

①求证：/XDFCSADAB；②求证：ABCD+ADBC=ACBD

（3）如图3,当DC=CB,AB=m,AD=n,CO=百时，求（用机，〃表示）.

13.（24-25九年级上•江苏宿迁•期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、

天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理.定理内容如下：任意一个凸四边形，两

组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立.即：四边形ABCD

中，有ABCD+3c•ADAACBD,当A、B、C、。四点共圆时，有ABCD+B。AD=AC-3D.

【尝试证明】（1）如图1,四边形ABCD内接于。，求证：ABCD+BCAD=ACBD.

证明：在AC上取点E,连接DE,使/CDE=/BDA.

图I

VZDCA=ZDBA,：._____,:.AB-CD=ECBD①,

ECCD

VZCDE=ZBDAf:・/CDE+ZBDE=/BDA+/BDE,^ZADE=ZBDCf

ApAfJ

又,：NDAE=NDBC,：.AADE^ADBC,：.——=—,

BCBD

：.②，®+®^ABCD+BCAD^（EC+AE）BD,即.

【直接应用】（2）如图2,A3为，。的直径，AB=5,AD=4,BF=1,求。尸的长;

图2图3图4

【拓展应用】（3）如图3,在四边形ABCD中，AC^CD,zS4CD=60°,AB=2,BC=6,则。8的最大值

为;

【灵活运用】（4）如图4,在等腰三角形ABC中，AB=AC=8,3C=12,点。在底边2C上，且ADAC=ZACD,

将三角形AC。沿着2D所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接£B,则£B的长为.

14.（24-25九年级上•陕西安康•阶段练习）【问题提出】（1）如图1,四边形ABCD内接于）0,AB=AD,

238=60。，连接AC,则ZACD的度数为.

【问题探究】（2）如图2,在四边形AECQ中，ZDAE=ZDCE=90°,AD^AE,连接AC,将ACD绕点A

顺时针旋转到aABE的位置，若AC=8,求四边形AECD的面积；

【问题解决】（3）如图3,若（。是一个半径为30m的圆形荷花池，4B和4D是荷花池上的两座长度相等的

小桥，且N54D=120。，现要在荷花池上再修建三座小桥AC、3C和CD,为使游客更好地欣赏荷花，要求

这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即AC+3C+CD的最大值）.

15.（2024•广东佛山•一模）（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1,若尸是圆内接正三角

形ABC的外接圆的BC上任一点，则NAP3=60。，在PA上截取尸河=PC,连接MC,可证明AMCP是

（填”等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到尸C=MC,再进一步证明PBC=,得到

PB=MA,可证得：.

（2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2,若P是圆内接正四边形ABC。的外接圆的8C上任

一点，则NAPB=NAPD=_。，分别过点5。作RM_LAP于M、DNLAP于N.

（3）写出尸氏尸。与序之间的数量关系，并说明理由.

A

图1图2

16.（23-24九年级下•浙江・期末）如图，是VABC外接圆的直径，。是圆心，,ACB的平分线交。0于

点。.（1）若。的半径为5,AC=6,求3C.（2）若AC=4,3C=6,求CD.

（3）探究，直接写出三条线段C4,Cfi,CD之间的数量关系.

\H

17.（2024・山东淄博•二模）已知，VABC内接于：O,平分/54c交边于点E,连接DBDC.

（1）如图1,过点。作直线MN〃3C,求证：MN是。的切线：

（2）小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段9，AC,之间存在着一种数量关系;

【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当乙BAC=120。时，线段AB,AC,AZ）之间满足数量关系

AB+AC=AD

【推理证明】延长AC到点尸使得CP=ABAD平分/BAC：.BD=CD:.BD=CD

又­,ZABD=/PCD:.AABDdPCD:.AD=PD

ZDAP=^ABAC=60°ADP为正三角形:.AD=AP=CP+AC=AB+AC

【类比探究】如图2,当的C=90。时，试猜想线段AB,AC,AD之间满足的数量关系，并证明你的结论；

【一般归纳】如图3,当/瓦1C=2a时，试猜想线段AB,AC,AD之间满足的数量关系（用含有a的三角

函数表示），并证明你的结论；

［拓展应用】如图4,过点£作EG,,垂足为G,过点£作硝，AC,垂足为H,求证：S四边形皿”=S^ABC

18.（23-24九年级上•浙江杭州•期末）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其

中这个角叫做美角.（1）如图1,若四边形ABCD是圆美四边形，则美角NA=______度.

（2）在（1）的条件下，若。的半径为10.①求80的长.②如图2,在四边形ABCD中，若C4平分/BCD,

求证：BC+CD=AC.(3)在(1)的条件下，如图3,若AC是。的直径，用等式直接写出线段AB，BC,

CO之间的数量关系.

专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似二角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的托勒密定理与托勒密不等

式模型。

托勒密（Ptolemy）定理的历史，可追溯到公元2世纪，古希腊数学家和天文学家打。岳四，他对三角

学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。从表面上看定理是关于边的等式，但由

于四边形外接圆的存在，放。/々">定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，定理有了较

好的应用背景。尸加3,少定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，而尸勿3冲不等式就是其重要的

拓展。

目录导航

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模型L托勒密（定理）模型.............................................................1

模型2.托勒密不等式模型...............................................................6

习题练模型

8

模型1.托勒密（定理）模型

托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：ACBD=ADBC+ABCD.

证明：如图，在上取一点P,使其满足N1=N2.

VZ3=Z4,：.AACDs^BCP,——=——，BPACBP=ADBC®

BCBP

40Ar

又ZACB二ZDCP,N5=/6,:.△ACBsgCP,—=—,ACDP=ABCD.②

DPCD

①+②，有=

即AC{BP+PD）=ADBC+ABCD,故AC-3D=AD-3C+AB-CD.

特例：（1）当AHBC是等边三角形时，如图1,根据托勒密定理有：DBAC=ADBC+ABCD,

又等边“3C有AB=AC=BC,故：DB^DA+DC.

特例：（2）当A43C是等腰直角三角形，如图2,根据托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:BC=1:1：75,代入可得结论：42AD=BD+CD.

特例：（3）当A43C是一般三角形时，如图2,根据托勒密定理可得：ADBC^ABCD+ACBD

又BC：AC：AB=a：b：c,代入可得结论：a-AD=b-BD+c-CD.

例1.（2024・湖北武汉•模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘

积等于两组对边乘积之和.如图，中有圆内接四边形ABCD,已知%>=8,CD=5,AB=6,ZBDC=60°,

8夜-6C8夜-7n8722-8

7'77

【答案】B

【分析】过点B作BELCD,垂足为E,过点8作BGLAC,垂足为G,根据同弧所对的圆周角相等可得

ZBDC=ZBAC=&）°,在MBDE中,利用锐角三角函数的定义求出DE和BE的长，从而求出CE的长，再

在垃BCE中,利用勾股定理求出2C的长，然后在RtAABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的

长，从而在H3CG中，利用勾股定理求出CG的长，进而求出AC的长，最后利用托勒密定理，进行计算

即可解答.

【详解】解：过点5作3EJLCD,垂足为E,过点8作8GLAC,垂足为G,

ZBDC=60°,Z.BDC=ABAC=60°,

在府3DE中，BD=8,DE=BD-cos600=8x-=4,B£=BDsin60°=8x—=4^,

22

CD=5,:.CE=CD-DE=5-4^1,在垃.BCE中,BC=JBE。+CE?=«4厨+5=7,

在RtZ\ABG中，AG=AB-cos60°=6x-=3,BG=ABsin60°=6x—=373,

22

在Rf3CG中，CG々BC?-BG?=b_(3我2=痉,，AC=AG+CG=3+后，

,•四边形ABCD是。的内接四边形，二=

.-.7AD+6x5=8（3+V22）,解得：AD=，呼一。,故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

例2.（2024•浙江•模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对

角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号.如图，四边形ABCD内

接于半径为2出的圆，ZA=120，ZB=45，AB^AD,则四边形的周长为（）

C.4石+40D.473+572

【答案】A

【分析】本考查了圆的相关性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，连接AC,BD,设圆心为0,

连接。。并延长交U。于连接AM,过A作4VLCD交CD延长线于N,由NZMB=120。，AB=AD,

得ZAB£>=30°,即得NA/=ZABD=30°,可得==BD=y/3AD=6,由ZADC=135°,

得_4斯是等腰直角三角形，AN=瓜,在Rt_ACW中，AC=2AN=2后，由托勒密定理的推论知有

2yf3BC+2V3CD=6x276,故3C+CZ）=60，从而可得四边形ABCD的周长为4若+60.

【详解】解：连接AC,BD,设圆心为。，连接。。并延长交一。于连接AM,过A作AN_LCD交CD延

长线于N,如图：ADAB=120°,AB^AD,:.ZABD=30°,

AD=AD=^ABD=30°,DM是C。的直径，.•.NZMM=90。:.AD^-DM,

2

O半径为2道，.•.£>〃=4若,AD=273=AB,BD=6AD=6,

AD_2^

ZADC=135°,:.ZADN=45°：.MN是等腰直角三角形,:.AN==A/6，

夜一收

ZDCB=180°-ZDAB=60°,AB^AD,ZDCA=ZBCA=30°,在Rt.AGV中，AC=2AN=2^6,

由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对

角互补时取等号.A&CD=MAC,.12^0+27^。。=6x2#,

:.BC+CD=6也,AB+BC+CD+AD=2^+672+273=4A^+6A/2,

四边形ABCD的周长为4括+6点，故选：A.

例3.（2023•河南商丘•模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：

克罗狄斯•托勒密（ClaudiusPtolemaeus,约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文

学家，地理学家，占星学家和光学家.

托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善.

托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

已知：如图1,四边形ABCD内接于（O,求证：=下面是该结论的证明过程：

证明：如图1,作44E=NC4D,交BD于点E.AD=AD>

..ZABE^ZACD（依据1）,AABE^,ACD（依据2）,.•.丝=超

ACCD

..ABCD=ACBE,AB=AB：.ZACB=ZADE.

ZBAE=ZCAD,/.ZBAE+ZEAC=ACAD+AEAC,即NBAC=NE4D,

・.△ABCs^AED,QADBC=ACEDf

AB♦DC+AD♦BC=AC♦BE+AC•ED=AC（BE+ED）=AC•BD.

任务：⑴托勒密定理的逆命题是;上述证明过程中的“依据1”为；“依据2”为.

（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：.

⑶如图2,以A3为直径的。中，点C为1O上一点，且NABC=30。，NACB的角平分线交（O于点。,

连接AD,BD,若AB=4,求CD的长.

【答案】（1）如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；

同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似（2）勾股定理（3）。=拒+迷

【分析】（1）利用逆命题的意义，矩形的性质，勾股定理，圆的有关性质和相似三角形的判定定理解答即

可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，矩形的性质及勾股定理解答即可；

（3）利用圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质分别求得四边形的

边长，再利用（2）的结论解答即可得出结论.

【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么

这个四边形是圆的内接四边形.证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；依据2”为：两个角分别

对应相等的两个三角形相似.故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么

这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似；

（2）解：如图，作=交BD于点、E,

AD=AD^：.ZABE=ZACD,ABE^.ACD,——=——，ABCD=AC-BE,

ACCD

AB=AB^二=ZADE,/BAE=ZCAD，/.ZBAE+ZEAC=ZCAD-^-ZEAC，

即=ABC^AED,:.与=学,:.ADBC=ACED.

ACAD

:.ABCD+ADBC=ACBE+ACED=AC（BE+ED）.ABCD+BC-AD=AC-BD,

.四边形ABC。是矩形，AAB=CD,AD=BC,AC=BD,ZABC=90°,

AB2+BC2=AC2,故答案为：勾股定理；

（3）解：血为直径，:.ZADB=ZACB=90°,

ZABC=30。，AB=4,■-AC=^AB=2,BC=AB-cos30°=273.

NACB的角平分线交于点。，=.•.AT）=3D,

：...ABD为等腰直角三角形，.•.AD==孝AB=2及.

.四边形ABCD为圆的内接四边形，:.ACBD+ADBC=ABCD.4CD=2x272+273x2721；.CD=版+娓.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三

角形的判定与性质，含30。交的直角三角形的性质，逆命题的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新

结论是解题的关键.

例4.(23-24九年级上•浙江衢州•期中)如图，四边形ABCD内接于上0.

(1)连接AC、BD,若/8AC=NCAO=60。，则△D8C的形状为.

(2)在(1)的条件下，试探究线段A。，AB,AC之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若AB=BC，/D48=/A8C=90。，点尸为AB上的一动点，连接抬，PB,PD,求证：PD=PB+亚卧.

【答案】(1)等边三角形；(2)AC=AB+AD理由见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)利用等弧对等角，可以判断出△OBC是等边三角形；

(2)如图1,在AC上截取AE=AO,连接。E,利用等边△DBC以及等边对等角的关系，可以证得

DEC(SAS),可以证明AC=AB+AO；

(3)如图2,根据已知条件易证得四边形A2C。是正方形，在PD上取也同样可证得△ZME妾A

BAP(SAS),可证得APAE为等腰直角三角形，所以「£=也雨.

【详解】(l)：N2AC=NBr»C=60°,ZCAD=ZCBD=60°,；.NBDC=NCBD=NBCD=60。,

.♦.△DBC是等边三角形.故答案为等边三角形.

(2)结论：AC=AB+AD.理由：如图1,在AC上截取AE=A£),连接DE.

：NOAE=60°,AO=AE,.,.△AOE是等边三角形，.•.AO=OE,ZADE=ZBDC=60°,：.ZADB=ZEDC,

\'DA=DE,DB=DC,：./\DAB^/^DEC(SAS),：.EC=AB,：.DE=AD：.AC=AE+EC^AD+AB.

(3)如图2中，在PD上取。•：ZDAB=ZABC^90°,

.•./BCQ=NAOC=90。，.•.四边形4BCD是矩形，•.•AB=BC，•••ABuBC，四边形ABC。是正方形，

：.DA=BD,ZADE=ZABF,DE=BP,：./\DAE^/\BAP(SAS),

J.AE^AP,NDAE=/BAP,：.ZPAE=ZBAD^9Q°,；.PE=gPA,

：.PD-PB=PD=DE=PE=6PA.

另解：（2）（3）问也直接利用托勒密定理，但是解答题还是建议常规辅助线方法为好，除非题中证明过托

勒密定理。

【点睛】本题考查了等边三角形、正方形以及全等三角形的判定和性质，证明三条线段之间的数量关系，

一般采用“截”、“补”法构造全等三角形，利用等量代换证明；根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，利

用等量代换求解是解答本题的关键.

例5.（24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习）【给出问题］：已知：。是正方形A3CD的外接圆，点尸在C。

上（除A、8外），试求/AP3的度数.

【分析问题］善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路.用圆来画出准确的

示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现.请善于思考的你帮助解答以下问题：

（1）①尺规作图，在。中作出内接正方形ABCD（保留痕迹，不