2025年中考数学几何模型归纳训练：相似模型之母子型（共边共角）模型解读与提分训练（全国版）

专题25相似模型之母子型（共边共角）模型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解

模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

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例题讲模型

............................................................................1

模型L“母子型,，模型（共边共角模型）........................................................1

习题练模型］

例题讲模型］

【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.，，母子型，，模型（共边共角模型）

模型解读

“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三

角形相似。

DBC

图2图4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

条件：如图1,ZC=ZABD；结论：AABDS^ACB,AB2ADAC.

证明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,：.^ADB^/\BAC,.•.丝=竺，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）双垂直模型（射影模型）

条件：如图2,ZACB=90°,CD±AB；

结论：AACDsAABCsACBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD'=DADB.

证明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=9Q°,ZA+ZB=9Q°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,AACD^^ABC,...生=丝，：.AC2=ADAB.同理可证：BC2=BDBA,CU=DA-DB.

ABAC

3）“母子”模型（变形）

条件：如图3,ZD=ZCAE,AB=AC；结论：△ABOS^ECA；

证明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共边模型

条件：如图1,在四边形A3CD中，对角线3D平分/ABC,ZADB=NDCB,结论：BD2=BABC;

证明：：对角线8。平分/ABC,

•••ZADB=ZDCB,，xADBsADCB,.•.丝=殷，BD2=BABC

DBBC

例1.（2024.河北石家庄.二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，ZBAE=ZDAC,AB=9,

AD=n,则CE长为（）

例2.（2023•湖北孝感・模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P

RPAp

是线段AB上一点（AP>5。），若满足失=黑，则称点p是A3的黄金分割点.黄金分割在我们的数学学

APAB

习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”.

（1）应用：如图1,若点C是线段钻的黄金分割点（AC>3C）,若筋=1,则AC的长为.

（2）运用：如图2,已知等腰三角形ABC为“黄金三角形"，AB=AC,ZA=36°,8。为/ABC的平分线.求

证：点。是AC的黄金分割点.（3）如图3中，AB=AC,ZA=36°,8尸平分交AC于尸，取43的

中点E,连接E尸并延长交BC的延长线于BC=1,请你直接写出CM的长为__________.

C

图3

例3.（22-23八年级下•湖南衡阳•期中）如图，在矩形A5CD中，对角线AC,3D交于点。，庭,即于

点E,已知3E:DE=3:1,BD=26,则矩形ABCD的周长为

例4.（2024•广西南宁•三模）阅读与思考，完成后面的问题.

射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理.如图，在Rt^ABC中，ABAC=90°,是

斜边BC上的高，则有如下结论：

①AT>2=BDgC；@AB2=BDBC-,@AC2=CDBC.下面是该定理的证明过程（部分）：

：AD是斜边BC上的高，ZADB90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.ZBAD=ZC.：.AAB£>^AC4D（依据）..即.女.

ADCD

A

(1)材料中的“依据”是指;(2)选择②或③其中一个结论加以证明;

(3)应用：AABC中，ZA=90°,C(-3,0),点A在y轴上，求顶点A的坐标.

例5.(2023•山东淄博・九年级统考期末)如图，已知AABP，点、C,D在边AB上,连接PC,PD,使ZADP=60°,

且AACPSAPDB.(1)请判定APCD的形状，并说明理由；(2)若AC=2,BD=3,求AABP的面积.

例6.(2024•浙江温州•三模)如图，在锐角三角形A3C中，AC>BC.以点C为圆心3c长为半径画弧，交

边A3于点£),连接8.点E是CB延长线上的一点，连接AE,若AB平分/CAE.

(1)求证：(2)当4)=9时，求生的值.

例7.(2024•河南•二模)三角形的布洛卡点^Brocardpoint^是法国数学家和数学教育家克洛尔

(A.LCre//el780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被

一个数学爱好者法国军官布洛卡(Bracarrfl845-1922)重新发现，并用他的名字命名.如图1,若内

一点尸满足===则点尸是AABC的布洛卡点，是布洛卡角.

(1)如图2,点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；PA,PB、PC的数量关系

是；(2)如图3,点尸为等腰直角三角形ABC(其中/54C=90。)的布洛卡点，且N1=N2=N3.

①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若AABC的面积为g,求APBC的面积.

例8.(2024・四川广元・中考真题)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是

培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形

(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决.

在"RC中，点。为边A8上一点，连接CO.(1)初步探究：如图2,若NACD=ZB,求证：AC2=ADAB-,

(2)尝试应用：如图3,在(1)的条件下，若点。为A3中点，BC=4,求CO的长；(3)创新提升：如图4,

点后为8中点，连接BE,若NCDB=NCBD=30。,ZACD=ZEBD,AC=2不，求BE的长.

图3图4

习题练模型

1.（2022•浙江衢州•统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,ZB=36°.分别以点AC为圆心，大于工AC

2

的长为半径画弧，两弧相交于点DE,作直线DE分别交AC,BC于点、F,G.以G为圆心，GC长为半

径画弧，交BC于点H,连结AG,A8.则下列说法镇用的是（）

2

A.AG=CGB.ZB=2ZHABC.ACAH=ABAGD.BG=CGCB

2.（2024・河北张家口•一模）如图，点。在AABC的边AC上，添加一个条件，使得△相周口△他c.以下是

天翼和往琛的做法.下列说法不正确的是（）

天冀的做法：添加条件ZABD=NC.

证明：•：ZABD=ZC,NA=NA./.AADB^AABC（两组角对应相等的两个三角形相似）

往琛的做法：添加条件粤=畀.

ACCB

证明：：/4=/4,空=婴....△AD3sAABC（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）

ACCB

A.天翼的做法证明过程没有问题B.往琛的做法证明过程没有问题

C.天翼的做法添加的条件没有问题D.往琛的做法添加的条件有问题

3.（2024•浙江•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,点E在线段3。上（不与点8,点。重

合），ZAED=2ZADE,则DE的长为（）

A.7.8B.5C.7.5D.8

4.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，正五边形的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长是.

5.（2024•四川成都.中考真题）如图，在中，ZC=90°,AD是AABC的一条角平分线，E为AD中

点，连接8E.若BE=BC,CD=2,贝l」5£）=.

6.（23-24九年级下•辽宁本溪•阶段练习）如图，在中，AB=2AC.以点A为圆心，以AC的长为半径

作弧交边4?于点D分别以点DC为圆心，以大于gc。的长为半径作弧，两弧交于点尸，作射线AP交BC

于点E,则F名C的值为.

7.（23-24九年级上•陕西汉中•期中）如图，点C、O在线段A3上，且以）是等腰直角APCD的底边.当

△PDBS^ACP时（尸与A、8与尸分别为对应顶点），ZAPB=

8.（2024•河北邢台•校考二模）如图1,在AABC中，AB=AC,BC=24,tanC=，，点尸为BC边上一

点，则点尸与点A的最短距离为.如图2,连接AP,作/APQ,使得NAPQ=NB,PQ交AC于Q,

则当BP=11时，A。的长为.

9.（2023•山东东营•统考中考真题）如图，在AABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC,BC

于点£）,E；分别以点。，E为圆心，大于;OE的长为半径作弧，两弧交于点尸；作射线CF交A3于点G,

若AC=9,BC=6,A3CG的面积为8,则AACG的面积为.

10.（2023•内蒙古・统考中考真题）如图，AC,A£»,CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点八下

列结论：①CP平分/ACD；②AF=2DF；③四边形MCP是菱形；④AB?=ADEF

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

11.（2024.湖北黄石•三模）已知菱形ABCD中，点£、G分别为边AD、上一点，连接CE、EG.若

NDCE=ZAEG,ED=2AE=4,EG=—,则CE的长

3

12.（2024•广东九年级课时练习）如图，点C、。在线段上，且APC。是等边三角形.ZAPB=120°.

（1）求证：AACPSAPDB；（2）当AC=4,8。=9时，试求CD的值.

ADB

13.（2022・江西・统考中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ZACD=ZABE.

(1)求证：AABCS^AEB；(2)当A3=6,AC=4时，求AE的长.

AB

14.（2024・上海・中考真题）如图所示，在矩形ABCQ中，E为边以>上一点，且AE_LBD.

（1）求证：AD2=OQOC;（2）尸为线段AE延长线上一点，且满足斯=5=耳5D,求证:CE=AD.

15.（2024・四川南充・二模）在矩形ABCD中，AD>AB,在AD边上截取AE,使AE=AB,点。为AC的中

点.如图1,连接E。并延长交3c于点b，连接8E交AC于点G.

图1图2

⑴求证：CD=CF；⑵若NACB=30。，证明GE2=OC.OG.

（3汝口图2,若AC=10,连接CE,当CE取最小值时，求CE的最小值及矩形ABCD的面积.

16.（2023•山西临汾•统考二模）阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务.

规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的"倍，则称三角形为“倍角三角形”.当”=1时,

称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形"；当〃=2时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索

后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系.

如图，在AABC中，NBAC,ZB,"所对的边分别为a,b,c,若NBAC=2NB,则合一廿二历.

下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：

证法1：如图1,作NBAC的平分线AD,ZBAD=ZCAD=-ABAC.

2

NBAC=2ZB,/BAD=ZCAD=ZB

ACDCAD

,/^ACD—NBCA「.△ACD〜4BCA---=----

BCACAB

设DC=%，贝UAD=RD=a—x.*/AC=b,BC=a,AB=c

bXa-X2222

,,一T—-..b—ciXja—cue—be..a—b—be

abc

证法2：如图2,延长C4到点0,使得AD=AB=c,连接……

任务：（1）上述材料中的证法1是通过作辅助线,构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）.

（2）请补全证法2剩余的部分.

17.（23-24九年级下•河南南阳•阶段练习）如图，在AABC中，NW=/54C=45。，点尸为AABC内的

一个动点，已知ZBPA=135。，ZAPC=90°.⑴求证：△BP2ACPB；（2）求一的值.

18.（2023•广东深圳•一模）【探究发现】（1）如图①所示，在等腰直角AABC中，点。，。分别为边54,BC

上一点，且02=00,延长0。交射线C4于点E,则有下列命题：①LBDOs^BCA；②△EDAS^ECO；

③ABDOS^EDA；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；

【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰JBC中，AB=AC=5,3c=8,点£»,。分别为边区4,3c上一

点，且08=00,延长0D交射线C4于点E,若03=2,求AE的值；

【拓展应用】（3）在等腰AABC中，AB=AC=a,BC=b,（a<b<2a）,点D,。分别为射线54,BC±

一点，且03=8,延长0。交射线C4于点E,当△ADO为等腰三角形时，请直接写出。2的长（用a,b

表示）.

BO

④

③

19.（2024・辽宁大连•三模"课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综

合与实践”的数学课.课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维.

【设置情景】王老师给出了如下几何图形：

“如图1,已知AABC中，点。为边上一点，点E为44BC外一点，连接AE、EC.此时我们假设这个几

何图形满足=的数量关系.”

【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答.

（1）“若/8+/片=。（0。＜。＜180。），AB=CE,再给出和AE的长度，可以求出。的长度.”为了简

化计算，王老师提出令6=150。，皮）=1,AE=2,求C£）的长（结果无需化简）；

（2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论.后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，

令点E在BC上运动，将条件“〃4。=/区4。+/£1€4”改为了“2/24£＞=2/£46=/3"，其他条件不变，

想要探究边的关系.王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答.

【拓展探索】“如图2,已知"SC中，点。为3c边上一点，点E为BC上一点，2NBAD=2NEAC=NB,

若BC=2,探究A3、AC,EC的数量关系，并证明.

20.（2023•宁夏・统考中考真题）综合与实践

问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣

并展开探究.

探究发现：如图1,在JRC中，ZA=36°,AB=AC.

（1）操作发现：将AABC折叠，使边BC落在边区4上，点C的对应点是点E,折痕交AC于点£>,连接DE,

DB,则=。，设AC=1,BC=x,那么AE=（用含x的式子表示）;

（2）进一步探究发现：黑9=好二这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：自”=避二1

腰AC2腰AC2

拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的“5C是

黄金三角形.如图2,在菱形ABCD中，ZBAD=12°,AB=1.求这个菱形较长对角线的长.

专题25相似模型之母子型（共边共角）模型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解

模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

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例题讲模型

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【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.，，母子型，，模型（共边共角模型）

模型解读

“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三

角形相似。

DBC

图2图4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

条件：如图1,ZC=ZABD；结论：AABDS^ACB,AB2ADAC.

证明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,：.^ADB^/\BAC,.•.丝=竺，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）双垂直模型（射影模型）

条件：如图2,ZACB=90°,CD±AB；

结论：AACDsAABCsACBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD'=DADB.

证明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=9Q°,ZA+ZB=9Q°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,AACD^^ABC,...生=丝，：.AC2=ADAB.同理可证：BC2=BDBA,CU=DA-DB.

ABAC

3）“母子”模型（变形）

条件：如图3,ZD=ZCAE,AB=AC；结论：△ABOS^ECA；

证明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共边模型

条件：如图1,在四边形A3CD中，对角线3D平分/ABC,ZADB=NDCB,结论：BD2=BABC;

证明：：对角线8。平分/ABC,

•••ZADB=ZDCB,，xADBsADCB,.•.丝=殷，BD2=BABC

DBBC

例1.（2024.河北石家庄.二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，ZBAE=ZDAC,AB=9,

AD=n,则CE长为（）

【答案】A

【分析】根据平行四边形ABCD,得到AD=BC=12,AD||BC,继而得到46=的。，结合

结合NB=NB证明△B4£1SABC4,列出比例式解答即可.

本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似的性质是解

题的关键.

【详解】：平行四边形ABCD,">=BC=12,A£)||BC,NBCA=NZMC,

VZBAE=ZDAC,：.ZBCA=ZBAE,

AfiRFQRF97

;ZB=ZB,：.ABAEs^BCA,：.——=——，A—=——，解得BE=一，

BCBA1294

21

故CE=BC-BE一,故选A.

例2.(2023・湖北孝感•模拟预测)阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点尸

RPAp

是线段A8上一点(AP>5P),若满足黑=三，则称点尸是A3的黄金分割点.黄金分割在我们的数学学

APAB

习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”.

C

图3

⑴应用：如图1,若点C是线段AB的黄金分割点(AC>3C),若AB=1,则AC的长为.

(2)运用：如图2,已知等腰三角形A3C为“黄金三角形"，AB=AC,ZA=36°,8。为—ABC的平分线.求

证：点。是AC的黄金分割点.(3)如图3中，AB=AC,ZA=36°,B尸平分/ABC交AC于凡取A3的

中点E,连接E尸并延长交BC的延长线于M.SC=1,请你直接写出CM的长为.

【答案】(1)苴二1(2)证明见解析(3)CM=叵口

22

【分析】(1)设AC=“，则3c=1-。，根据黄金分割的含义可得：整=空，即AC2=3CAB,再解方

ACAB

程即可；(2)证明△C5DSAC4B,推出匕=多，推出W=%，可得结论.

BCACADAC

(3)如图，连接AM,同理可得：ZABC=ZACB=72°,Zl=Z2=36°=ZBAC9可得AF=3/=5C=1,

证明MELAS,MB=MA,Z.CAM=72°-36°=36°=ABAC,可得C是的黄金分割点，S.BC<CM,

可得二7=37,设。W=尤，再解方程可得答案•

CMBM

【详解】（1）解：；点C是线段A3的黄金分割点（AC>80,AB=1,

设AC=a,贝=a,——=——，BPAC2=BC-AB>

ACAB

a2=l-a,a2+a—1=0>解得：a=--（负根舍去），AC=—―:

22

（2）证明：VAB=AC,ZA=36°,ZABC=ZC=72°,

又,/3D平分ZABC,：.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

Z.BDC=360+36°=72°,：.AD=BD,BC=BD,即AD=3r>=BC,

又,/ZC=ZC,ZCBD=ZA,/.Z\CBD^ACAB,

.CDBC.CDAD

点是AC的黄金分割点.

"~BC~~XC'"AD"AC

（3）如图，连接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Nl=N2=36。=NB4C,

AF=BF=BC=1,为AB的中点，AF=BF,：.ME±AB,：-MB=MA,

图3

ZABM=NBAM=72°,ZAMB=36°,：.ZCAM=72°-36°=36°=ABAC,

同理可得C是BAf的黄金分割点，且3C<CN,

.BCCM1V

设CW=x,------，整理得：x2-x-l=O,

"CMBMx1+x

解得：y（负根舍去—

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，黄金分割点的含义,相似三角形的

判定与性质，一元二次方程的解法，熟记黄金分割的含义是解本题的关键.

例3.（22-23八年级下•湖南衡阳•期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC.BD交于点、O,CE_LBD于

点E,已知3E:£）E=3:1,BD=2拒,则矩形A3CD的周长为

【答案】2-73+6/6+273

【分析】首先根据题意求出BE=士叵，DE力,然后根据矩形的性质得48=90。，然后证明

22

DFCF3

△DCEs卫BE,得分二三，求得CE=W，然后利用勾股定理求出8和5C的长度，即可得出结果.

CEBE2

【详解】解：：BE：DE=3:1,BD=2A/3,：.BE=—,DE=—

22

•.•四边形ABCD是矩形，AZBCD=90°,

VCE±BD,ZCED=ZBEC=90°,ZDCE=ZCBE=90°-ZBCE,:.^DCE^^CBE,

73

fj=H'即雇=音解得虚（负值舍去）

2

•：NCED=ZBEC=90°/.CD=^DE2+CE2=6，BC=Y/BE2+CE2=3

矩形ABCD的周长为2（CO+8C）=2（道+3）=2君+6.故答案为：26+6.

【点睛】本题考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形判定与性质，证明AOCESACBE是解题关键.

例4.（2024•广西南宁•三模）阅读与思考，完成后面的问题.

射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是

斜边BC上的高，则有如下结论：

①AD2=BD.DC；②AB。=BDBC;®AC2=CDBC.下面是该定理的证明过程（部分）：

：是斜边BC上的高，ZADB=90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.ZBAD=ZC.：.AABD^ACAD（依据）.即仞2=BDOC.

（1）材料中的“依据”是指;（2）选择②或③其中一个结论加以证明;

⑶应用：AABC中，ZA=90°,3（1,0）,C（-3,0）,点A在y轴上，求顶点A的坐标.

【答案】（1）两角分别对应相等的两个三角形相似（2）见解析（3）顶点A的坐标为（0,百）或（0,-如）

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证

明和计算.（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答;

（2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似"证明即可得证；③根据“两角分别对应

相等的两个三角形相似”证明（3）根据题意以。为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证

明的射影定理得。4?=OBOC=lx3,即可求出0A=6，由此求出顶点A的坐标.

【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似,

故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似;

（2）证明：@AB-^BDBC,理由如下:

ADJ.BC,ZCAB=90°,：.ZADB=ZCAB=90°,

VZABD=ZCBA,：./\ABD^CBA,=：.AB2=BDBC-,

BCAB

@AC2=CDBC，理由如下：VADIBC,ZC4B=90°,AZADC=ZCAB=90°,

ACCD.

•XACD=/BCA,「・△ACD0°A5C4,-----=AC2=CD-BC;

BCAC

（3）解：如图，根据题意以。为坐标原点建立平面直角坐标系，•••8（1,0）,C（-3,0）,：.OB=1,OC=3,

VZCAB=90°,AO.LBC,OA2=og.oc=lx3,OA=g,；.顶点A的坐标为（。，⑹或（0,-6）.

例5.（2023•山东淄博・九年级统考期末）如图，已知点C,。在边上，连接PC,PO,使/ADP=60。,

且AACPSAPDB.（1）请判定APCD的形状，并说明理由；（2）若AC=2,BD=3,求AABP的面积.

【答案】（1）APCD是等边三角形，理由见解析（2）66+150

【分析】（1）根据相似三角形的性质得出NACP=/PD3=180O-NPft4=120。，然后根据邻补角得出

ZPCD=60°,进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）解：APCD是等边三角形，理由如下，

---AACPS/DB,ZADP=60°；.ZACP=NPDB=180°-/PDA=120°,

?.NPCD=180°-APAC=60°,：.RCD是等边三角形，

（2）解：•••△尸8是等边三角形，设等边三角形的边长为。，

74cPC2a

'：AACPS^PDB,=,又,；AC=2,BD=3,,解得：a=娓（负值舍去），

PDDBa3

如图所示，过点P,作PELCD于点E,

ED

CD=-xy[6=-s/2,：.AB=AC+DB+CD=2+3+y/6=5+^6,

222一

AAB尸的面积为:48*/^=）（5+布卜90=苑会亚

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性

质是解题的关键.

例6.（2024・浙江温州•三模）如图，在锐角三角形A3C中，AC>BC.以点C为圆心3c长为半径画弧，交

边A8于点。，连接8•点E是CB延长线上的一点，连接AE,若平分NC4E.

⑴求证：AACD^AAEB.（2）当4）=班）时，求——的值.

EB

【答案】⑴见解析⑵3

【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识

点并灵活运用是解此题的关键.（1）由题意得：BC=CD,由等边对等角得出NCBD=NCOB,从而得出

ZADC=ZABE,再由角平分线的定义得出ND4C=N£AB,即可证明△ACDs44EB；

（2）由题意得出空=1,由相似三角形的性质得出工=1，从而即可得解.

AB2EJD2

【详解】(1)证明：由题意得：BC=CD,:.ZCBD=ZCDB,:.ZADC=ZABE,

•.,AB平分/CAE,:.ZDAC^ZEAB,.^ACD^^AEB；

CD1BC1

(2)I?：,AD=BD,-♦.公ACDS&AEB,：.处=出-.-BC=CD,

AB2ABEBEB~2

例7.（2024•河南•二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoim）是法国数学家和数学教育家克洛尔

（A.LCre//el780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被

一个数学爱好者法国军官布洛卡（BrorarJl845-1922）重新发现，并用他的名字命名.如图1,若AABC内

一点尸满足===则点尸是AABC的布洛卡点，是布洛卡角.

（1）如图2,点P为等边三角形4BC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；出、PB、PC的数量关系

是；（2）如图3,点尸为等腰直角三角形ABC（其中/&LC=90。）的布洛卡点，且N1=N2=N3.

①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若“15C的面积为3,求APBC的面积.

2

【答案】（1）30°,PA=PB=PC；⑵①△ABPs^BCP,证明见解析；（3）SAPBC=1.

【分析】（1）根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答；（2）①找证明

过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明；②把三角形

"RC面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个根据条件可以利用勾

股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求解.

【详解】解：（1）由题意知：ZBAP=ZCBP=ZACP,

•.•△ABC为等边三角形，ZABC=ZBCA=ZCAB,AB=BC=AC,

:.AAPB%BPC,:.AP=BP,:.ZPAB=ZPBA,

NPBA=ZPBC,ZPBA+NPBC=60°,ZPBC=30°,同理可证得出：NBAP=ZCBP=ZACP=30°,

ZABP=ZBCP=ZCBP=30°,R4=P3=PC故答案是：30°,PA=PB=PC.

(2)①AABPSABCP

证明：；AABC是等腰直角三角形NABC=NACB=45。，BPZABP+Z2=Z3+ZBCP=45°,

：/2=/3,:.ZABP=NBCP,又：N1=N2,AABP^ABCP.

---APAB^PBC,AAP=—BP,CP=^/2BP,S^=-S^,：.CP=2AP.

CPBPBC22PAB2APBC

ZAP3=/3PC=180O-（Nl+ZABP）=18（）o—（N2+ZABP）=135。，；.ZAPC=360°-ZAPB-ZBPC=90°.

在RtZXAPC中，VCP=2AP,AC=5由勾股定理得AP=1,CP=2,

，

,•S^APC='CP,AP=1,..1SAABC=S^pBC+S^pAC+S^pAB=S.PBC+“5S^PBC=3,•ScPBC=1-

【点睛】本题考查了新概念问题、等边三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性质、相似三角形

的判定定理和性质、勾股定理，涉及知识点多，综合性强，题目较难，解题的关键是：通过阅读材料，弄

明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答.

例8.（2024・四川广元・中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是

培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形

（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决.

在AABC中，点。为边上一点，连接C£>.（1）初步探究：如图2,若NACD=ZB,求证：AC2=ADAB；

（2）尝试应用：如图3,在（1）的条件下，若点。为A3中点，BC=4,求CO的长；（3）创新提升：如图4,

点E为8中点，连接BE,若NCDB=NCBD=30。,ZACD=ZEBD,AC=2小,求BE的长.

【答案】⑴证明见解析(2)CD=2夜⑶01

【分析】(1)根据题意，由NACD=N3,NA=NA,利用两个三角形相似的判定定理即可得到

AACD^AABC,再由相似性质即可得证；(2)设A£)=8D=加，由(1)中相似，代值求解得到AC=血机，

An।

从而根据AACD与&ABC的相似比为益=&求解即可得到答案；

(3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H,如图1所示，设CE=DE=a,过点5作班'_LEC于点

F,如图2所示，利用含30。的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的

判定与性质得到当=4「=穿=金-=W，代值求解即可得到答案.

ACAriCrL2y//a<7

ACAD

【详解】(1)证明：•；NACD=NB,AA=AA»•,*/\ACD00ZXABC,/.-,AC2=AD-AB；

ABAC

(2)解：・・,点。为AB中点，・••设==根，

由(1)知△ACDSA^C,AC2=ADAB=m-2m=2m2,

「,AD1CD1

***AC=42m，，△ACD与AABC的相似比为宝;二五，，万5=7?，;BC=4CD=2直；

(3)解：过点。作所的平行线交A8的延长线于点H,过。作CY_LAB,如图1所示：

•・•点£为CO中点，:•设CE=DE=a,*：ZCDB=ACBD=30°,；.CB=CD=2a,ZZ)CB=120°,

在Rt^BCy中，CY=^CD=a,则由勾股定理可得=2氐，过点8作取，EC于点/，如图2所示:

1L/-

AZFCB=60°,AZCBF=30°,CF=-BC,ACF=a,BF=岛,；,EF=2a,