湖北省武汉市江汉区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版）

2024-2025学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1.有两个事件，事件（1）走到苹果树下，被成熟苹果砸中脑袋；（2）射击运动员射击一次，命中靶心．下列判断正确的是（）A.（1）是随机事件，（2）是确定性事件． B.（1）（2）都是确定性事件．C.（1）是确定性事件，（2）是随机事件． D.（1）（2）都是随机事件．2.公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.5.在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（）A.点P在外 B.点P在上或外C.点P在内 D.点P在上6.如图，在中，D，E分别为边上的点，，下列结论正确的是（）A. B. C. D.7.如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（）A. B. C. D.8.元旦联欢会上，有一个开盲盒的游戏：电脑屏幕上出现两个一模一样的盲盒，参加游戏的同学随机点开其中一个．打开其中一个，会获得奖品，打开另一个，会获得表演节目的机会．李明、王曼、张峰三名同学参加这个游戏，刚好有两人会表演节目的概率是（）A. B. C. D.9.如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（）A.13.5 B.15 C.16.5 D.1810.关于x的函数图像如图所示，其图像分两部分，一部分在直线和直线之间，另一部分在直线的右侧，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置．11.在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是________.12.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104123152251投中频率（m/n）0.560600.520.520490.510.5013.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王青的眼睛距地面的距离，同时量得，，则这栋楼的高是_______m．14.如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______．15.如图，在中，，D是边的中点，把沿翻折，得到，与交于点F．若，则的面积是____________________．16.抛物线（为常数）经过三点，与轴的交点在正半轴．下列结论：①；②；③抛物线与直线的一个交点的横坐标为，若，则；④当时，则方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是_______（填写序号）．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17.关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．18.如图，在中，是边上的高，且．（1）求证：；（2）若，，求长．19.某学校组织以“珍爱生命”为主题的安全教育知识竞赛，发现全校学生的成绩均不低于分（满分分），现从中随机抽取名学生的成绩进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组），并绘制成如下的成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：，，，，，，，，，，，，，，．安全意识主题知识竞赛成绩分组统计表组别竞赛成绩分组频数平均分

请根据以上信息，解答下列问题：（1）；（2）这名学生的平均成绩是分，中位数是分；（3）若学生竞赛成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生中竞赛成绩优秀的学生人数．20.如图，四边形内接于，过点A作交的延长线于E，．（1）求证：；（2）连接，若D是优弧的中点，，直接写出的长．21.如图是由小正方形组成的的网格，正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，线段绕点B逆时针旋转后得到线段，画线段；（2）观察发现，（1）中，都是直角三角形，在图（1）中，再画所有不同于M的点N使，都是直角三角形；（3）在图（2）中，先画的中点D，再画线段，使，且；（4）在图（2）中，P是线段延长线上一点，在线段上画点Q，使．22.同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；（2）当铅球距出手点的水平距离为时，求铅球距离地面的高度；（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．23.问题背景如图在中，点在上，点在上，．问题探究（1）如图（1），若是等边三角形，求证：；变式探究将特殊化成直角三角形．（2）如图（2），若，求证：；（3）如图（3），若，直接写出的长（用含的式子表示）．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为y轴．A，B是抛物线上两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线的解析式为，且的面积为35，求k的值；（3）如图（2），若于点C，求的最大值．

2024-2025学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1.有两个事件，事件（1）走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋；（2）射击运动员射击一次，命中靶心．下列判断正确的是（）A.（1）是随机事件，（2）是确定性事件． B.（1）（2）都是确定性事件．C.（1）是确定性事件，（2）是随机事件． D.（1）（2）都是随机事件．【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．熟练掌握其概念并能正确判断是解决此题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：对于事件（1）：走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋，是随机事件；对于事件（2）：射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件．故选：D．2.公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；B、不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．3.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根【答案】D【解析】【分析】先求出Δ＝b2﹣4ac的值，再判断出其符号即可．【详解】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝-8＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：抛物线，该抛物线的顶点坐标是，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5.在平面中，已知的半径为，，点P与的位置关系是（）A.点P在外 B.点P在上或外C.点P在内 D.点P在上【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，设的半径为，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外；②点P在圆上；①点P在圆内是解题的关键．直接根据点与圆的位置关系解答即可．【详解】解：∵的半径为，，，∴点P在内．故选：C．6.如图，在中，D，E分别为边上的点，，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，观察图形、数形结合，正确写出比例式是解题的关键．由可得出，再利用相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵，∴，∴，则，∴选项B符合题意．故选：B．7.如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，如图，根据等腰三角形性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可．【详解】解：连接，如图，∵，∴，∵，∴，即垂直平分，∴，∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上，，∴，，∵，∴为等边三角形，∴，∴．故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．8.元旦联欢会上，有一个开盲盒的游戏：电脑屏幕上出现两个一模一样的盲盒，参加游戏的同学随机点开其中一个．打开其中一个，会获得奖品，打开另一个，会获得表演节目的机会．李明、王曼、张峰三名同学参加这个游戏，刚好有两人会表演节目的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及刚好有两人会表演节目的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：将会获得奖品的盲盒记为A，会获得表演节目的机会的盲盒记为B，画树状图如下：由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中刚好有两人会表演节目的结果有：（A，B，B），（B，B，A），（B，A，B），共3种结果，∴刚好有两人会表演节目的概率为．故选：C．9.如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（）A13.5 B.15 C.16.5 D.18【答案】D【解析】【分析】过点分别作，的垂线，，由，的半径是13，作根据垂径定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由轴对称（翻折）得到点关于的对称点是对应的圆心，，连接，由切线性质可得，，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，进而在中用勾股定理可求出，长，即可解决问题．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，则于，由垂径定理的，连接，在中，，，过点作于，同理可得，，将沿翻折，恰好与弦相切于点，由翻折对称得，是对应的圆心，连接，，，，过点作于，，四边形是矩形，，，，在中，，，（勾股定理），，．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，轴对称和勾股定理，以及矩形的判定与性质，是一道几何综合性很强的试题．10.关于x的函数图像如图所示，其图像分两部分，一部分在直线和直线之间，另一部分在直线的右侧，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的图像与性质，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．由图像识别出函数是由两段组成，并且是由原函数图像向右平移和个单位即可解答．【详解】解：由题易知，∴，由函数解析式和图象可知，函数由两段组成，并且是由原函数图像向右平移和个单位，∴，即，∵，∴，∴．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置．11.在平面直角坐标系中，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是________.【答案】（5，-3）【解析】【详解】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，点P（-5，3）关于原点对称点P′的坐标是（5，-3），故答案为（5，-3）.12.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104123152251投中频率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50【答案】0.5【解析】【分析】利用频率的计算公式进行计算即可.【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．故答案为0.5．【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度不大．13.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王青的眼睛距地面的距离，同时量得，，则这栋楼的高是_______m．【答案】10【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：根据题意，，（反射角等于入射角），，，即，，所以这栋大楼高为，故答案为：10．14.如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得．【详解】解：连接，如图，，为的直径，即，，设该圆锥的底面圆的半径为，∴，解得，即该圆锥的底面圆的半径为．故答案为：．15.如图，在中，，D是边的中点，把沿翻折，得到，与交于点F．若，则的面积是____________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，三角形的面积．由折叠的性质推导出，是等边三角形，求得，；推导出，得到，得到，利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：由翻折可知，，∵点D是的中点，∴，∴．又∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，又∵，，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．16.抛物线（为常数）经过三点，与轴交点在正半轴．下列结论：①；②；③抛物线与直线的一个交点的横坐标为，若，则；④当时，则方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是_______（填写序号）．【答案】②④##④②【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意求出a的取值范围，b的值，即可判断①②；先求出直线经过定点，再进行判断③；将方程的解的个数转化为抛物线与直线的交点的个数，即可判断④．【详解】解：∵抛物线经过，两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为，当时，，整理得，，∴，解得，，∵抛物线与x轴的交点为，∴，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴，∴，∴，∴，即，故结论①错误；∵，故结论②正确；∵，∴直线经过定点，∵抛物线经过点，∴抛物线与直线的一个交点的横坐标为，即，∵，∴抛物线与直线在时有交点，当时，，，∴，∴，∵，∴不一定成立，故结论③错误；∵，∴，∴，即抛物线与直线的交点的个数即为方程的解的个数，∵，∴抛物线开口向下，，∴抛物线与直线有两个交点，∴方程必有两个不相等的实数根，故结论④正确．综上所述，正确的结论是②④，故答案为：②④．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17.关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．【答案】的值为，方程的另一个根为【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设方程的另一个根为，则利用根与系数的关系得，，然后解方程组即可．【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，解得，，即的值为，方程的另一个根为．18.如图，在中，是边上的高，且．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，证明∽是解题的关键．（1）证明∽即可；（2）由，求得，根据求解．【小问1详解】证明：∵是边上的高，∴，∵，∴∽，∴，∴．【小问2详解】∵，且，，∴，∴或（不符合题意，舍去），∴，∴的长为．19.某学校组织以“珍爱生命”为主题的安全教育知识竞赛，发现全校学生的成绩均不低于分（满分分），现从中随机抽取名学生的成绩进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组），并绘制成如下的成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下：，，，，，，，，，，，，，，．安全意识主题知识竞赛成绩分组统计表组别竞赛成绩分组频数平均分

请根据以上信息，解答下列问题：（1）；（2）这名学生的平均成绩是分，中位数是分；（3）若学生竞赛成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生中竞赛成绩优秀的学生人数．【答案】（1）；（2），；（3）人．【解析】【分析】（）用C组的频数除以其百分比可得样本容量m；（）求出各组的频数，根据平均数的计算方法求解；根据题目中的数据，可以计算出中位数；（）用总人数乘样本中成绩达到分以上（含分）所占比例可得答案．【小问1详解】解：由题意得，样本容量为：，故答案为：；【小问2详解】解：由题意得，组的频数为，组的频数为，组的频数为，∴这名学生的平均成绩是（分），∵共有名学生，将成绩从小到大的顺序排列，第，个数据为，，∴随机抽取的这名学生竞赛成绩的中位数是，故答案为：，；【小问3详解】解：（人）．答：估计全校名学生中竞赛成绩优秀的学生人数约人．【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表、用样本估计总体，平均数、中位数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.如图，四边形内接于，过点A作交的延长线于E，．（1）求证：；（2）连接，若D是优弧的中点，，直接写出的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据圆内接三角形对角互补得出，根据平行线的性质得出，于是得出，再根据等边对对角得出，即可得证；（2）连接，先证，即可证得，根据相似三角形的性质结合已知，即可求出的长，再证得，即可得解．【小问1详解】证明：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴；【小问2详解】解：连接，∵D是优弧的中点，∴∴由（1）知，∴，∵,∴，∴∴，∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理及推论，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．21.如图是由小正方形组成的的网格，正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，线段绕点B逆时针旋转后得到线段，画线段；（2）观察发现，（1）中，都是直角三角形，在图（1）中，再画所有不同于M的点N使，都是直角三角形；（3）在图（2）中，先画的中点D，再画线段，使，且；（4）在图（2）中，P是线段的延长线上一点，在线段上画点Q，使．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）见解析【解析】【分析】（1）利用网格特征以及旋转变化的性质作出点A的对应点M即可；（2）根据网格特征以及直角三角形的定义画出点即可；（3）利用网格特征且根据平行线的判定画出图形；（4）取格点T，连接交于点J，连接延长交于点Q，点Q即为所求（可以证明，推出）．本题考查作图﹣旋转变换，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形．【小问1详解】解：如图1中，线段即为所求；【小问2详解】解：如图1中，点即为所求；【小问3详解】解：如图2中，线段即为所求；【小问4详解】解：如图2中，点Q即为所求．22.同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况，其运动路径可看作抛物线的一部分，以地面水平方向为x轴，出手点与地面的垂线为y轴，单位长度为，建立了如图所示的平面直角坐标系．小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．（1）求该铅球运行路径所在抛物线的表达式；（2）当铅球距出手点的水平距离为时，求铅球距离地面的高度；（3）小红在投掷铅球时，铅球出手时和落地时的位置与小明的相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为时达到最大高度．假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求的最大值及此时铅球运行的水平距离．【答案】（1）（2）（3）的最大值为，此时铅球运行的水平距离为【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．（1）根据题意可设抛物线的表达式为．由可得，，将代入即可求解；（2）将代入，即可求解；（3）可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为，根据题意求出，再根据高度差为代入数据求解即可．【小问1详解】解：铅球出手时铅球离地面的高度为，可设抛物线的表达式为．由铅球运行的水平距离为时，铅球达到最大高度，，，．将代入，得，解得，．故抛物线的表达式为；【小问2详解】解：将代入，得．即铅球距出手点的水平距离为时，铅球距离地面的高度为；【小问3详解】解：根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹所在抛物线的表达式为，由题意知，该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线经过点，则，，．将代入，得，解得，，则．，当时，取最大值，