第20课时　等腰三角形 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分考点梳理第四章图形的性质第20课时等腰三角形知识点1角平分线和线段垂直平分线的

性质与判定性质判定角

平

分

线角平分线上

的点

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠的点，在这个角的角平分线所在的直线上到角

两边的距离

相等

到角两边的距离相等

性质判定线

段

垂

直

平

分

线线段垂直平

分线上的

点

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠的点，在

这条线段的垂直平分

线上到这条

线段的两个

端点的距离

相等

到线段两个端点的

距离相等

知识点2等腰三角形和等边三角形的性

质与判定性质判定等腰

三角

形（1）等边对等

角；（2）等腰三角

形三线合一；（3）是轴对称

图形，有一条对

称轴（1）定义：有

两边相等的三角

形；（2）等角对等

边性质判定等边

三角

形（1）三边相

等；（2）三个角都

相等且都等于

60°；（3）是轴对称

图形，有三条对

称轴（1）定义：三

条边都相等的三

角形；（2）三个角都

相等的三角形；（3）一个角是

60°的等腰三角

形知识点3等腰三角形的性质拓展图示结论

等腰三角形两腰上的高、中线和两底角的角平分线分别都相等，即BD＝EC

等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，即∠DBC＝

∠A图示结论

等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，即AD∥BC

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，即DE＋DF＝BG图示结论

等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高，即DF－DE＝BG名师指津1.

等角对等边是证边相等的常用办法.2.

三线合一是证两条边相等、两个角相

等以及两条直线互相垂直的重要依据.3.

分类讨论和方程思想是解决等腰三角

形多解问题的两大法宝，画出图形，数

形结合是解这类题目的基本方法.考虑全

面，分类讨论，逐一解决，不要漏解.4.

重要结论：考点一

角平分线的性质与判定例1

（1）如图1，AE，BE，CE分别

平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，

ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面

积为36，则△ABC的周长为（

C

）CA.

48B.

36C.

24D.

12图1

（2）如图2，点E是BC的中点，

AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，连接DE.

下列四个结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD.

其中成立的是

.（填序号）①②④

图2考点二

线段垂直平分线的性质与判定例2

（1）如图1，在△ABC中，AB，

AC的中垂线DM，EN分别交BC于点

M，N，连接AM，AN.

若∠BAC＝

79°，则∠MAN的度数为（

C

）CA.

20°B.

21°C.

22°D.

23°图1

A.

7B.

8C.

10D.

12C图2（3）如图3，CD是∠ACE的平分线，

DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点

F，DE⊥BE于点E.

若BC＝3cm，AC

＝5cm，则CE＝

⁠cm.图31

考点三

等腰三角形的性质与判定例3

（1）如图1，在△ABC中，D，E

分别为AB，AC边上的点，DA＝DE，

DB＝BE＝EC.

若∠ABC＝130°，则

∠C的度数为（

D

）DA.

20°B.

22.5°C.

25°D.

30°图1（2）如图，△ABC为等腰三角形，AB

＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF.

①如图2，若AF⊥CB，AB＝10，BF

＝8，求线段AC的长；

图2

②如图3，点E为线段AB上一点，连接

CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF，

点D为AF的中点，连接CD.

求证：

∠ACD＝∠BCE.

图3[答案]解：②证明：∵∠ACE＝∠B，∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，∴∠ACB＝∠AEC.

∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，∴∠AEC＝∠BAC，

∴AC＝EC.

如答案图，延长BC至点G，使CG＝CF，连接AG.

∵CG＝CF，且点D为AF的中点，∴CD∥AG，（答案图）∴∠ACD＝∠GAC.

∵∠CEA＝∠ACB，∴∠ACG＝∠CEB.

∵AB＝BC，AE＝BF，∴BE＝CF＝CG.

又∵AC＝CE，

∴△ACG≌△CEB

（SAS），∴∠GAC＝∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE.

（答案图）考点四

等边三角形的性质与判定例4

（1）（2024·自贡）如图1，等

边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（

D

）A.

（24－12

）mB.

（24－8

）mC.

（24－6

）mD.

（24－4

）mD图1（2）如图2，在正方形ABCD中，E是

边AD上一动点（不与点A，D重合）.

边BC关于BE对称的线段为BF，连接

AF.

①若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等

边三角形；图2[答案]解：

①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°.∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°.由对称的性质，得∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC＝BA，∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝60°，∴△ABF是等边三角形.②延长FA，交射线BE于点G，△BGF

能否为等腰三角形？如果能，求此时

∠ABE的度数；如果不能，请说明理由.图2[答案]②解：由①得BF＝BC＝BA，∵E是边AD上一动点，∴BA＜BE＜BG，∴BF≠BG.

若FB＝FG，则有∠FGB＝∠FBG＝

∠CBG，此时E与D重合，不合题意.若GF＝GB，连接CG

交AD于点H，如答案图，（答案图）∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝

BG，∴△CBG≌△FBG（SAS），∴FG＝CG，∠BFG＝∠BCG.

∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF.

∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝

∠BCG.

∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG，∴∠BAF＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝180°－∠BAD＝90°，（答案图）∴∠FGC＝180°－∠HAG－∠AHG＝90°，

∵GB＝GF＝GC，

∴∠ABE＝∠ABC－∠GBC＝90°－

67.5°＝22.5°.综上所述，△BGF能为等腰三角形，此

时∠ABE的度数为22.5°.（答案图）1.

如图，在△ABC中，AB边的中垂线

DE分别与AB，AC边交于点D，E，

BC边的中垂线FG分别与BC，AC边交

于点F，G，连接BE，BG.

若△BEG的

周长为16，GE＝1，则AC的长为

（

B

）A.

13B.

14C.

15D.

16B（第1题）2.

（2024·赤峰）等腰三角形的两边长分

别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则

这个三角形的周长为

⁠.3.

已知△ABC为等边三角形，点D在BC

边上.17

【基本图形】（1）如图1，以AD为一

边作等边△ADE，连接CE.

请直接写出

AC，CE，CD之间的数量关系；解：（1）CE＋CD＝AC.

图1

图2【迁移运用】（2）如图2，点F是AC边

上一点，以DF为一边作等边△DEF，

连接CE.

求证：CE＋CD＝CF；

图1

图2解：（2）证明：如答案图1，过点D作

DG∥AB，交AC于点G.

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B

＝60°，∴△CDG为等边三角形，∴CD＝DG＝CG.

（答案图1）

∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°.∴∠CDG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG，即∠CDE＝∠GDF，∴△CDE≌△GDF（SAS），∴CE＝GF，∴