8.3 实数及其简单运算（第2课时 实数的性质及运算）（教学设计）-（人教版2024）

8.3实数及其简单运算（第2课时实数的性质及运算）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第八章实数8.3实数及其简单运算，内容包括：第二课时实数的性质及运算2.内容解析本节课是在前面学习了有理数的混合运算和实数的概念和分类的基础上安排的，之前有理数的混合运算为这节课奠定了方法基础和知识基础.新课标中提出，义务教育阶段的数学课程，要从数学本身的特点出发，从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程，本节课就在这个思想的指导下设计的.教材通过类比有理数的运算设置唤醒学生探究交流的激情，让学生在类比、探索、交流的过程中感悟实数的运算法则，同时让学生在学习知识技能的同时，注意数学思想方法和良好学习习惯的养成，使学生体验数学的“实践第一”和数学来源于实践，又服务于实践的思想.基于以上分析，本节课的教学重点是:理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.二、目标和目标解析1.目标（1）理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义；（2）掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.2.目标解析（1）教材类比有理数的绝对值，相反数引入，利于激发学生的学习兴趣和好奇心.学生通过计算，观察，类比，总结，归纳实数的性质和运算法则，有利于学生充分理解和牢固掌握实数的性质和运算法则.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.（2）学生能根据有理数的运算对实数进行运算，构建关于实数运算的知识体系，既有利于学生知识学习也利于方法的迁移.（3）熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.三、教学问题诊断分析在本课学习之前，学生们已经掌握了有理数的运算顺序和运算法则，但把知识迁移到对无理数的运算仍有难度，尤其对于合并同类二次根式是后面的知识，所以在此处讲解时应注意引导学生通过分配律的逆应用来理解，这类无理数的计算.基于以上分析，本节课的教学难点为:掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.四、教学过程设计（一）复习导入完成下面表格【设计意图】复习有理数的相反数，绝对值和倒数，为后面探究实数的有关性质做好知识铺垫.（二）新知讲解问：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)a是一个实数，它的相反数为−a(2)a是一个实数，它的绝对值为a(3)如果a≠0，那么它的倒数为1a【设计意图】利用问题引入，激发学生学习兴趣，提出问题引导学生类比学习，既巩固旧知，又利于对新知学习和掌握，养成类比学习的意识.（三）新知运用1.填空(1)2的相反数是−2,绝对值2,倒数1(2)−π的相反数是π,绝对值π,倒数1π(3)−6的相反数是6,绝对值6,倒数1(4)−37的相反数是37,绝对值32.下列各组数中相等的一组是__B_,互为相反数的一组是_D_,互为倒数的一组是_A_.A.−−7与−(−7)B.−4和−(−4)2C.【设计意图】通过练习让学生掌握实数的相关性质，培养学生对比学习的能力，增强对知识的迁移能力.（四）典例讲解例1(1)分别写出3.14−π的相反数和绝对值；(2)指出−5(3)求3−64(4)已知一个数的绝对值是3，求这个数.解(1)∵−∴3.14−π的相反数是π−3.14和绝对值是π−3.14(2)∵−5=−∴−5，1−33(3)∵3∴3(4)∵3=3∴绝对值是3是3或例2.计算(1)3+2(3)23−解(1)3=3+(=3(2)3=(3+2)3=5(3)原式==4=4(4)原式=1−3−(2−=1−3−2+=−4+结论：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算.任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.归纳：有理数范围内的加、减、乘、除和乘方的结果都是有理数;无理数范围内的加、减、乘、除的结果是有理数或者无理数;无理数与有理数加、减结果是无理数;无理数与有理数乘、除结果是无理数或者有理数;例3计算（结果保留小数点后两位）(1)5−7解(1)5(2)π∙在近似计算时、计算过程中有时也使用“去尾法”、即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入。【设计意图】通过典例讲解让学生深刻理解实数的性质，类比有理数的运算对实数进行运算，通过学生观察，思考，归纳，总结得出有理数范围内，无理数范围内和实数范围内的加减乘除运算结果的类型，为后面解决问题做好知识储备.（五）针对训练1.计算下列各式的值.(1)2−11−2(3)13−15解(1)原式=2−11−2=(2)原式=22−32=(3)原式=15−(4)原式=2.计算下列各式的值.(1)(−(2)81(3)3(4)3解(1)原式=9(2)原式=9−(3)原式=(4)原式=−2+【设计意图】通过此题训练熟练掌握实数的运算法则和运算规律.（六）变式训练1.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m。(1)求m的值；(2)求m+1+解(1)根据题意可得：m=2−(2)∵m=2−2∴∴m+12.数轴上表示1，2的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C表示的数为x.(1)写出实数x的值；(2)求(x−2解(1)∵AB=2(2)∵x=∴(x−【设计意图】通过结合数轴考查实数的运算，巩固学生所学的知识，并培养学生的迁移能力和综合解题的能力.（七）拓展探究1.设a,b都是有理数，且a,b满足a3+b−分析：有理数与有理数加减乘除乘方的结果都是有理数，有理数与无理数加减结果为无理数，除0以外有理数与无理数的乘除结果为无理数，所以易得a解由题意可得：a∴a=3【设计意图】通过练习利用之前所总结的有理数与无理数之间的混合运算的结论解题，培养学生现学现用的能力.（八）当堂检测1.下列实数中，其相反数比本身大的是(A)A.−2025B.0C.120252.−11的相反数是__11___,绝对值是_11____,倒数是___−3.绝对值等于5的数是___±5__，5的平方是___5__,−5的平方是___4.5−35.3−2=6.计算下列各式(1)2(2)2−(3)3(4)26解(1)原式=(2)原式=2−(3)原式=6+10+(4)原式≈27.如图，已知数轴上的A,B,C三点分别表示实数a,b,c(1)化简a−b+(2)若a=x+y4，b=−z2,c=−4mn，且满足x与y互为相反数，z(3)在(2)的条件下，在数轴上找一点D,其表示的整数为d，且满足D到点A，C的距离之和为10，并求出d的值。解(1)由数轴可知:a−b>0,c−b<0,c−a<0,原式==a−b−c+b−c+a=2a−2c(2)由题意可知:x+y=0,z=−1,mn=1,∴a=0,b=−∴98a+99b+100c=−99−400=−499(3)当点D在C的左侧时，−4−d+0−d=10解得当点D在A,C之间时，d+4+0−d=10,此时不成立当点D在A的右侧