2025年中考数学几何模型归纳训练：相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型解读与提分训练（原卷版）

专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）/字模型和（双）8

（X）字模型.

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例题讲模型

模型L“N”字模型.................................................................................1

模型2."X，字模型（“8”字模型）.................................................................4

模型3.“0^字模型（“N8”字模型）..............................................................6

习题练模型

9

【知识储备】/字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的

是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论

小题还是大题都是屡见不鲜的。

例题讲模型

模型字模型

，，/，，字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹

这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。

①“4,字模型②反“N”字模型③同向双叱4”字模型④内接矩形模型

模型证明

条件：如图结论：吗

①“”字模型1,DE//BC-,AADEsdABCc9=9=

ABACBC

证明:：DE〃8C,:./ADE=/ABC,N4ED=NACB,：.LADE^/^ABC,=妲=型。

ABACBC

②反“"字模型条件：如图2,/AED=NB；结论：MDEs△4CB=9=^=@。

ACABBC

证明:AZA=ZA,（公共角）Z.LADE^^\ACB,

ACABBC

③同向双“N”字模型条件：如图3,EF//BC-,

结论：4AEFSA4BC,44EGs^ABD,MGFsAADC=王=里=坦。

BDCDAD

证明：/〃BC,：./AEF=NABC,ZAFE=ZACB,：.i^AEF^^ABC,

同理可证："EGS/\4BD,^AGF^AADC,=逆=①

ABACBC

④内接矩形模型条件：如图4,△48C的内接矩形。EFG的边跖在3c边上，D、G分别在48、4c边

上，1.AMIBC^结论：MDGSAABC,"DNS^ABM,LAGN^/\ACM^>DG_=AN_=AN_Q

BCABAM

证明：是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.LADG^/\ABC,

同理可证：KADNsAABM,AAGNSAACM,:.吧=处=处。

BCABAM

模型运用

例1.（2024•吉林长春•三模）如图，在一5C中，点。、£为边45的三等分点，点少、G在边5C上,

AC//DG//EF,CE交DG于点H.若ZC=12,则G”的长为.

A

E

H

BFGC

例2.（2023•广东广州•模拟预测）如图，正方形"A?。内接于AABC,点/，N在8c上，点P,。分别

在/C和边上，且3C边上的高4D=6,BC=12,则正方形跖VP。的面积为.

例3.（2024・湖南永州•模拟预测）如图：RtAABC中，ZC=90°,BC=\,AC=2,把边长分别为毛，4，

尤3,…%的〃个正方形依次放在“3C中；第一个正方形的顶点分别放在RtZ\/3C的各边上；第二

个正方形如"避生的顶点分别放在Rd/甲皆的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长

CMW4

例4.（2024•山东・中考真题）如图，点E为YN8CD的对角线/C上一点，4c=5,CE=\,连接DE并延

长至点尸，使得M=连接B尸，则BF为（）

例5.（23-24九年级上•广西南宁•阶段练习）如图，AD1BC,垂足为D,BELAC,垂足为E,AD与BE

相交于点尸，（1）判断△MC与ABEC是相似三角形吗？请说明理由；（2）连接ED,求证：CD•AB=AC•DE；

（3）若5/=5C,DE=3,BD=5,求CD的长.

BDC

模型2."X9字模型（“8”字模型）

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个

三角形相似.

①“8”字模型②反“8”字模型③平行双“8”字模型④斜双“8”字模型

模型证明

①“8”字模型

条件：如图1,AB//CD-,结论:△AOB-COD=符黑=*

.AB_OA0B

证明:•.•N5〃C£>,/B=/D,：.^AOB^hCOD,：

CDOCOD

②反“8”字模型

条件：如图2,/A=ND；结论：MOBs4口0（：09="=吗

CDODOC

.AB_0AOB

证明=AZAOB=ZDOC,（对顶角）：.AAOB^^DOC,

"CD~OD~OC

③平行双“8”字模型

条件：如图3,AB//CD；结论：处=些=坐。

DFCFCD

证明：：/台〃。。，...//=/£）,ZAEO=ZDFO,：.^AEO^/\DFO,

同理可证：XBEOsMFO,"BOsADCO,=—=—.

DFCFCD

④斜双“8”字模型

条件：如图4,N1=N2；结论：AAODs^BOC,A71OS^>ADOC<^>Z3=Z4„

证明:：/l=N2,//0D=N80C（对顶角），^AOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,即NO：r）O=8O:CO；

（对顶角），,MAOBsADOC,.*.Z3=Z4=

模型运用

例1.（2024•吉林・中考真题）如图，正方形N3C。的对角线ZC,相交于点。，点£是。4的中点，点下

是。。上一点.连接所.若/口0=45。，则竺的值为.

例2.（23-24九年级上•浙江杭州•期中）如图，4D与3c交于点。，E尸过点。，交4B于点、E,交CD于点

39CD

F,BO=1,CO=3,AO=-,DO=-.(1)求证：ZA=ZD.⑵若AE=2BE,求一.

22DF

例3.（2024・四川眉山・中考真题）如图，菱形48CD的边长为6,ZBAD=120°,过点。作。交BC

的延长线于点E,连结NE分别交3D,CD于点、F,G,则FG的长为.

例4.（23-24九年级上•安徽蚌埠•期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的

重心.⑴特例感知：如图（一），已知边长为3的等边的重心为点。，求△08C与28c的面积；

（2）性质探究：如图（二），已知小8C的重心为点O,请判断空、沁是否都为定值？如果是，分别求出

OA

这两个定值；如果不是，请说明理由;

（3）性质应用：如图（三），在正方形4BCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线/C于点

①若正方形/BCD的边长为4,求的长度；②若5久皿=2,求正方形/BCD的面积

模型3."NX，字模型（“N8”字模型）

模型解读

①一"4，+“8”模型②两“N”+“8”模型（反向双“N”字模型）③四“4”+“8”模型

图3

模型证明

①一””+“8”模型条件：如图1,DE//BC；

ADAEDEDFFE

结论：44DESA4BC,XDEFsMBF,

ABACBCFCBF

.ADAEDE

证明：・・・DE〃5C,；.NADE=NABC,ZAED=ZACB,：.LADE^LABC,==

'AB~AC~BC

*：DE//BC,:・/FDE=/FCB,ZDEF=ZCBF,：.LDEF^^\CBF,・,•匹=空=三

BCFCBF

,AD_AE_DE_DF_FE

''^B~~AC~~BC~~FC~~BFQ

②两””+“8”模型条件：如图2,DE//AF//BC；

结论：XDAFSADBC,ACAFS^CED,=J_=J_+J_。

AFBCDE

证明：・・7/〃BC,；・/DAF=NB,/DFA=/DCB,：.^DAF^/\DBC,，江="。

DCBC

♦：DE〃AF,；・NCAF=/E,NCFA=NCDE,：.^CAF^ACED,:•殳=

CDDE

两式相加得到：变+竺=9+更，即1=9+9，故_£=，+」_。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“力，，+“8”模型3条件：如图3,DE//GF//BC；结论：AF=AG,_L+-L=_L=_L=/_

BCDEAFAGGF

证明:同②中的证法，易证：_+x=x,x+x=x

BCDEAFBCDEAG

BPAF=AG,故1।1=1=2。

AFAGBCDE空GF

模型运用

例1.（2022•山东东营・中考真题）如图，点。为A4BC边A8上任一点，DE〃BC交AC于点、E,连接BE、CD

相交于点尸，则下列等式中不成文的是（）

FFAF

空=些B匹=变C型=型D.—=—^|J2.（2023•安徽•三模）如图，已知

DBECBCFC-BCECBFAC

ABIBC.DC工BC,/C与8。相交于点O,作（W，BC于点M,点E是8。的中点，EF，BC于点、G,

交/C于点尸，若48=4,CD=6,则（W-E/值为（）

7122

A.-B.—cD.

55-15

例3.（2024・湖北•模拟预测）（1）【问题背景】如图1,AB//EF//CD,4。与相交于点E,点尸在上.求

111

---1--------

ABCDEF

图3

请你按照小雅的思路完成原题的证明过程.

（2）【类比探究】如图2,AEVAB,BD1AB,GH1AB,DE与8c相交于点G,点〃在48上，=求

1____12

丽.工―访

（3）【拓展运用】如图3,在/C四边形/8CD中，AB//CD,连接，BD交于点M,过点又作E尸〃

交/。于点£,交BC于点、F,连接EC,FD交于点N,过点、N作GH〃AB,交/。于点G,交BC于点、H,

若4B=3,CD=5,直接写出GH的长.

例4.（2024•江苏泰州•三模）综合与实践

在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系.请耐心阅读以下材料：

【光学模型】如图1,通过凸透镜光心O的光线40,其传播方向不变，经过焦点厂的光线/E经凸透镜乙折

射后平行于主光轴沿EH射出，与光线49交于点0,过点©作主光轴的垂线段垂足为"，

即可得出物体所成的像/的.

MB

【模型验证】设焦点尸到光心的距离R9称为焦距，记为/；物体N3到光心的距离8。称为物距，记为，，；

像4®到光心的距离08’称为像距，记为v.

已知/3=4，A'B'=h，当/<“<2/时，求证：-+-=^.

证明：VA'B'LAdN,ABLMN,：.AABO=ZA'B'O=90°,

又ZAOB=ZA'OB',：.AAOBS△HOB',

ABOBh,u,

=即广=—,同理可得A/3尸SA£C凡

ABOB«2v

.•.丝=”，即*旦，

OEOFh2v

111111

uv-vf=uf,：.———=-,即一+—=7

fuvUVf

请结合上述材料，解决以下问题：

（1）请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含V、/的代数式表示）；（2）若该凸透镜工的焦距为20cm,物体

距凸透镜工的距离为30cm,物高为10cm,则物体所成的像N®的高度为cm；

（3）如图2,由物理学知识知“经过点A且平行于主光轴儿W的光线/C经凸透镜工折射后经过点H”，小明在

做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线。'始终经过主光轴MN上一定点.若该凸透镜工的焦距为

20cm,物高为10cm,试说明这一物理现象.

习题练模型

1.（2024•浙江温州•三模）如图，在Y48co中，/G平分分别交2。，BC,DC延长线于点尸，G,

E,记△/£>尸与ACEG的面积分别为E，邑，若A8:4D=2:3,则去的值是（）

AD

S

2.（2024・安徽合肥•三模）如图，已知四边形力BCD是平行四边形，点E是4。的中点，连接/C相交

于点尸,过少作4。的平行线交于点G,若尸G=2,则的值是（）

3.（2024・四川成都•中考真题）如图，在Y/BCD中，按以下步骤作图：①以点5为圆心，以适当长为半径

作弧，分别交A4,3c于点N；②分别以N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在

内交于点。；③作射线5。，交AD于点E,交延长线于点厂.若8=3,DE=2,下列结论错误的是

()

BE5

A.AABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.——二—

EF3

4.（2024九年级下•广东•专题练习）如图，在中，80=120,高4。=60,正方形EFGH一边在5C

上，点、E,尸分别在/C上，AD交EF于点、N,则4N的长为（）

A.15B.20C.25D.30

5.（2024・云南楚雄•模拟预测）如图，在中，E线段力。上一点，且Z£:C£=1:2,过点C作CD〃AB,

交班的延长线于点D若的面积为10,则△EC。的面积为（）

A.10B.15C.20D.25

6.（2024•浙江•模拟预测）如图，矩形中，£是3。上的点，连接。E交对角线/C于点八若/。4。=30。,

A.gB.V2C.2D.1.5

7.（2024・河南・中考真题）如图，在口45。。中，对角线ZC,相交于点O,点石为OC的中点，EF//AB

交BC于点F.若45=4,则所的长为（）

4

C.1D.2

3

8.（2024・山东威海・中考真题）如图，在Y/BCD中，对角线/C,AD交于点。，点E在BC上，点厂在。

上，连接ZE,AF,EF,EF交AC于点、G.下列结论错误的是（)

什CEAD〃

A.若——=——，则nil斯〃2。B.若/EJ.BC,AFLCD,AE=AF,则EF//BD

CFAB

C.若EF〃BD,CE=CF,则/£4C=ZE4cD.AB=AD,AE=AF,则E/〃

9.（2024・陕西西安・一模）如图，在“3C中，D,“是边42的三等分点，N,E是边/C的三等分点.连

接并延长与C8的延长线相交于点P.若。£=4,则线段CP的长为（）

10.（2024•江苏南京•一模）如图，AB,分别垂直8D,垂足分别为8,D,连接4D,BC交于点£,

作EF工BD,垂足为尸.设/3=a,CD=b,EF=c,若）-巴=1,则下歹!］等式：@a+c=b；®b+c=2a；

ab

③/=b-c,其中一定成立的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

11.（2024・陕西•中考真题）如图，正方形CE/G的顶点G在正方形48co的边上，4F与DC交于点H,

8

D.

3

12.（2024•江苏苏州•中考真题）如图，AABC,44cB=90。，CB=5,C/=10,点。，E分别在/C,48边

上，AE=45AD,连接。E,将V/OE沿DE翻折，得到V尸。E,连接C£,CF.若△CEF的面积是ABEC

面积的2倍，则

B

13.（2024•云南・中考真题）如图与。交于点。,且“C〃瓦）.若职则徐=---------

14.（2024・四川宜宾・中考真题）如图，在平行四边形/BCD中，48=2,4D=4,E、尸分别是边CZXAD

上的动点，且CE=DF.当/E+C尸的值最小时，则C£=.

15.（23-24九年级上•河南驻马店•期中）如图，AB〃GH〃DC,点、H在BC上,/C与8。交于点G,若

16.（2023•吉林长春•统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法,

我们常用这种方法证明线段的中点问题.例如：如图，D是“LBC边4B上一点,E是ZC的中点，过点C作

CF//AB,交DE的延长线于点尸，则易证E是线段。尸的中点.

【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题.

（1）如图1,在正方形/BCD中，点E在Z8上，点尸在8c的延长线上，且满足/E=C尸，连接E尸交4C

于点G.求证：①G是E尸的中点；②CG与5E之间的数量关系是：

【拓展延伸】（2）如图2,在矩形中，4B=23C,点E在上，点尸在3C的延长线上，且满足

4E=2CF,连接E尸交/C于点G.探究3E和CG之间的数量关系是：:

17.（2024•辽宁大连•二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图1,在中，点。是48的中点，点E是/C的一个三等分点，S.AC=3CE,连接CD,BE交于点、

F,求证：CF=FD.

①如图2,小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取班的中点G,连接。G,再通过“全等三角

形的性质”解决问题；②如图3,小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点C作CG〃/3,交.BE

的延长线于点G,再通过“全等三角形的性质”解决问题.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.

【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我

们熟悉的角度去理解.为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4,

在“BC中，点。是43的中点，点E,G是/C的三等分点，BG,8E与CD分别交于点4,F,求HD:HF

的值.

【学以致用】（3）如图5,在AABC中，AC=BC,在射线上取点。，使30=248,连接CD,在CD上

取点E,射线班，。相交于点尸，当E8=E。时，求尸的值.

18.（2023•湖北随州•模拟预测）［初步尝试］（1）如图①，在三角形纸片48c中，ZACB=90°,将V48c折

叠，使点3与点。重合，折痕为则与端的数量关系为；

［思考说理］（2）如图②，在三角形纸片N8C中，AC=BC=6,48=10,将V4BC折叠，使点3与点C重

合，折痕为求瞿的值；