2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型解读与提分训练（解析版）

专题10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型

特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并

且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在

处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三

角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论

情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

目录导航

例题讲模型

---------------1.....................................................................2

模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型.......................2

模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型.................................5

模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型..............13

模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型...............................15

习题练模型

26

例题讲模型］

模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型

模型解读

1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角

与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和

腰的原理相同。

2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上

高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。

模型运用

例1.（24-25九年级上•山东•期末）若等腰V/BC内接于O。，AB=AC,N30C=100。，则V48c底角的

度数为（）

A.65°B.25°C.65°或25°D.65°或35°

【答案】C

【分析】画出相应图形，分VN8C为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可.本题考查的是三角形外

接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为:

同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补.

【详解】解:（1）圆心。在V4BC外部，

在优弧8C上任选一点D,连接8。，CD.

CB=CB,Z5DC=1z50C=50°,..=1800-ZSDC=130°；

•••AB=AC,ZABC=(180°-ABAC)-2=25°；

(2)圆心。在V/5C内部.'：CB=CB，：.ZBAC=^ZBOC=50°,

••・48=/C,.•./43。=（180。-/3"）+2=65。.综上所述，VNBC底角的度数为65°或25°,故选：C.

例2.（2023•四川广元•八年级校联考期中）己知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,那么这个等

腰三角形的顶角等于（）

A.40°B.140°或40°C.15。或75°D.140°

【答案】B

【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】如图1,三角形是锐角三角时，50。，.•.顶角//=90。-50。=40。；

如图2,三角形是钝角时，VZACD50°,AHAZBAC50°+90°=140°,

综上所述，顶角等于40。或140。.故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更

形象直观.

例3.（2023春・山东枣庄•八年级校考期中）已知x,y满足|4-司+而？=0,则以i,.的值为两边长的等

腰三角形的周长是（）

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对

【答案】B

【分析】利用非负数的性质，求出x,y的值，利用分类讨论的思想思考问题即可.

【详解】解：•14一x|+77^=0,Xv|4-x|>o,77^20,:.x=4,y=8,

当等腰三角形的边长为4,4,8时，不符合三角形的三边关系;

当等腰三角形的三边为8,8,4时，周长为20,故选：B.

【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型.

例4.（2024八年级上•湖北•专题练习）等腰三角形三边长分别为。，2a-3,3a-5,则等腰三角形的周长

为（）

A.10B.7或10C.7或4D.10或7或4

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义,

分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解.

【详解】解：①当。为底边长时，腰长为2a-3,3a-5,

;三角形为等腰三角形，A2a-3=3a-5,解得a=2,：,a=2,3a—5=1,Vl+1=2,...构不成三角形；

②当2a-3为底边长时，腰长为。，3。-5,•.•三角形为等腰三角形，，a=3a-5,解得。=:，

2

A3a-5=~,2。-3=2,符合三角形三边关系，，等腰三角形的周长为之+之+2=7；

222

③当3°-5为底边长时，腰长为。，2a-3,•.•三角形为等腰三角形，：.a=2a-3,解得。=3,

.♦.2a-3=3,3a-5=4,符合三角形三边关系，，等腰三角形的周长为3+3+4=10.

综上，等腰三角形的周长为7或10,故选：B.

例5.（24-25八年级上•浙江嘉兴•阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为6cm和

15cm两部分，那么这个等腰三角形的底边长是.

【答案】lcm/1厘米

【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、

三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键.如图（见解析），分①

AB+AD=6cm,SC+CD=15cm；②/3+/O=15cm,2C+CD=6cm两种情况，再分别根据等腰三角形

的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检

验即可得.

【详解】解：如图，V4BC是等腰三角形，8。是腰/C上的中线，

BC

设3C=尤，AD=y,则CD=y,AB=AC=2y,由题意，分以下两种情况：

f2y+v=61尤=13

①当N3+/D=6cm,8C+CD=15cm时，则！"',解得《，

[尤+y=15[y=2

此时等腰三角形的三边长分别为4cm,4cm,13cm,不满足三角形的三边关系定理，舍去;

…[2y+y=15fx-1

②当/8+/O=15cm,BC+CD=6cm时，则〈”,解得〈，

Lx+y=6〔了=5

此时等腰三角形的三边长分别为10cm,10cm,1cm,满足三角形的三边关系定理，

因此，这个等腰三角形的底边长为1cm.故答案为：1cm.

模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型

模型解读

1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。

2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。

模型证明

等腰三角形的两种分类讨论方法

方法1.“两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。

如图：已知Z,。两点是定点，在坐标轴上找一点P构成等腰△O4P。

①以已知线段。4为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点尸（有2个）；

②以已知线段04为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以。为圆心的有4个,

以Z为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。

方法2.“三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。

若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两

圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。

模型运用

例1.（2024•山东・统考二模）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为（1,6）,若〃为x轴上

一点，且使得AMON为等腰三角形，则满足条件的点“有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】分别以。、4为圆心，以ON长为半径作圆，与x轴交点即为所求点再作线段。N的垂直平分

线，与坐标轴的交点也是所求的点作出图形，利用数形结合求解即可.

【详解】解：如图，

满足条件的点”的个数为2.故选A.

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没

有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

例2.（2023•福建南平•八年级校考期中）已知A/BC中，如果过顶点8的一条直线把这个三角形分割成两个

三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为小/台。的关于点3的二分割线.如

图1,Rt^ABC^,显然直线AD是△48C的关于点3的二分割线.在图2的A48C中，ZABC^110°,若直

线BD是MBC的关于点B的二分割线，则ZCDB的度数是.

图1图2

【答案】40。或90。或140°

【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解.

【详解】解：①如图，当/DBC=9Q。,3=3。时，直线8。是的关于点8的二分割线,

VZABC=11Q°,ZDBC=90°,：.ZABD=20°,

'：AD=BD,：.ZA=ZABD=20°,：.ZCDB=ZA+ZABD=40°；

②如图，当N2£>C=90。，40=2。时，直线8。是zUBC的关于点2的二分割线，或当NADC=90。，CD=BD

时，直线是A4BC的关于点2的二分割线，；

③如图，当乙42。=90。，时，直线是A/BC的关于点3的二分割线，

VZABC=11Q°,ZABD=9Q°,：.ZDBC=20°,,:CD=BD,:.NC=NDBC=20。,：.ZBDC=14Q°.

综上所述：当N8OC的度数是40。或90。或140。时，直线3。是A/BC的关于点3的二分割线.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键.

例3.(2023•江苏泰州•统考中考真题)如图，“BC中，AB=AC,ZA=30°,射线CP从射线◎开始绕

点C逆时针旋转。角(0°<a<75°),与射线AB相交于点D,将A/CD沿射线CP翻折至△4CD处，射线CA'

与射线4?相交于点E.若是等腰三角形，则/a的度数为.

【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知乙4=44'=30。，ZACP=ZACP'=a,再画出图形，利用三角形

的外角性质列式计算即可求解.

【详解】解：由折叠的性质知4=//'=30。，ZACP=ZACP'=a,

当时，ZDEA'=ZA'=30°,

c

由三角形的外角性质得/£>"'=//+乙4CD+/4CD,即30。=30。+2",此情况不存在;

当=时，N/'=30°,^DEA'=ZEDA'=1(180°-30°)=75°,

当E4=时，NEDA'=ZA'=30°,Z.ZDE4=180。-30。-30°=120°,

由三角形的外角性质得120。=30。+2a,解得a=45。；

当A'D=A'E时，—'DE=ZA'ED=15°,ZADC=4'DC=g(180°-15，=82.5°,

a=ZACD=180。-30。-82.5。=67.5°；

综上，/a的度数为22.5。或45。或67.5。.故答案为：22.5。或45。或67.5。.

【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题关键.

例4.(2023春•四川达州•八年级校考期中)在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(1,2),点P是

y轴正半轴上的一点，且A/OP为等腰三角形，则点P的坐标为.

【答案】(0,75),(0,4),^0,

【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D,求出OA即可；②以A为圆心，以

OA为半径画弧交y轴于P,求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C,则AC=OC,根据勾股定

理求出OC即可.

【详解】有三种情况:

①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D,则OA=OD=VF万=有；，D(0,加);

②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P,OP=2xyA=4,AP(0,4)；

③作0A的垂直平分线交y轴于C,则AC=OC,由勾股定理得：OC=AC=十0一oc『，

・•.OC，Q。，*故答案为：（。,属（。,4）加高.

【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知

识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键.

例5.（2024•江苏泰州•八年级校联考阶段练习）如图1,A48c中，CO_L48于。，且：ND:CO=2:3:4,

（1）试说明A43c是等腰三角形；（2）已知S.BC=40cm"如图2,动点M从点8出发以每秒1cm的速度沿线

段A4向点/运动，同时动点N从点/出发以相同速度沿线段NC向点C运动，当其中一点到达终点时整个

运动都停止.设点M运动的时间为秒），①若ADMN的边与3C平行，求t的值；②若点£是边/C的中

点，问在点”运动的过程中，AMDE能否成为等腰三角形？若能，求出才的值；若不能，请说明理由.

49

【答案】（1）见解析⑵①5或6；②9或10或

6

【分析】（1）设BO=2X,/Z）=3X,CD=4X,则/8=5X,由勾股定理求出ZC,即可得出结论；

（2）由AA8C的面积求出瓦X40、CD、AC；①当8c时，AM=AN；当DN〃3c时，AD=AN■,

得出方程，解方程即可；

②由直角三角形的性质得出DE=5,,根据题意得出当点M在。4上，即4<fW10时，AMDE为等腰三角形,

有3种可能：DE=DM；ED=EM；MD=ME=t-4；分别得出方程，解方程即可.

【详解】(1)证明：设AD=2x,4Z>=3x,CD=4x,则45=5x,

在RtA4co中，AC=^AD2+CD2=5X^­-AB=AC,JA45c是等腰三角形;

(2)解：设6Z)=2x,4D=3x,CZ)=4x,则45=5x,

12

SMBC=-x5xx4x=40cm,而x>0.,x=2cm

则BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=AB=10cm,

由题意可知当点M到达点/时点N刚好到达点C,此时f=10.

①当时，AM=AN,即107=乙/=5；

当DN〃8C时，AD=AN,得：t=6-,

.•.若AZMW的边与8C平行，/值为5或6.

图2

②：点£是边ZC的中点，CDLAB,：.DE=-AC=5cm,

2

当点M在8。上，即04<4时，AMDE为钝角三角形，但。MHDE；

当r=4时，点〃运动到点r),不构成三角形

当点M在。/上，即4<区10时，AMDE为等腰三角形，有3种可能.

如果。E=ZU/,贝卜一4=5,：.t=9-,

如果=则点/运动到点/,...yIO；

如果MD=ME=(f-4)cm,过点£作EP_L43于凡如图3所示：

图3

止匕时=,CZ)=4cm,"/ED=EA,.DF=AF=—AD=3cm

22

BM=Zcm,BF=4+3=7cm,/.FM={t—7)cm,

VEF=4cm,则在RtAEEM中,（Z-4）2-（Z-7）2=42,：.t=—.

6

49

综上所述，符合要求的f值为9或10或;.

6

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难

度，需要进行分类讨论才能得出结果.

例6.（2024・四川成都・八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点。为坐标原点，经过Z（-2,6）的直

线交x轴正半轴于点2,交y轴于点C,OB=OC,直线/。交x轴负半轴于点。，若的面积为27

（1）求直线48的表达式和点。的坐标；（2）横坐标为力的点尸在线段A5上（不与点4B重合），过点尸作x

轴的平行线交于点E,设PE的长为了（了/0）,求y与加之间的函数关系式并直接写出相应的加取值范

围；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点R使！尸跖为等腰直角三角形？若存在求出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

3

【答案］（1）,=一％+4,D（-5,0）（2）j/=-m+3,（-2<m<4）

⑶存在，点厂的坐标为（I，0）或T，o］或卜河

【分析】（1）据直线48交X轴正半轴于点5,交y轴于点C,OB=OC,设直线45解析式为了=-》+”,

把A的坐标代入求得〃的值，从而求得3的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出8D的值，求出。口的

值，从而求出。点的坐标；(2)直接根据待定系数法求出/。的解析式，先根据8、/的坐标求出直线

的解析式，将P点的横坐标代入直线的解析式，求出尸的纵坐标，将尸的纵坐标代入直线/。的解析式

就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；(3)要使！巴亦为等腰直角三角形，分三种

情况分别以点尸、E、尸为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出(2)中加的值，就可以求出厂点的坐标.

【详解】(1)解：，设直线43的解析式为了=-x+〃，

,直线经过/(-2,6),;.2+〃=6,，〃=4,

二直线48的解析式为y=r+4,.•.2(4,0),，O8=4,

,.•△48。的面积为27,N(-2,6),.；x30x6=27,

8。=9,QD=5,，5,0),.,.直线Z2的解析式为y=-x+4,5,0)

(2)解：设直线4D的解析式为y=办+6,

/、/、(~2a+b=6[a=2

・・・/-2,6,D-5,0A解得心・,•直线4。的解析式为歹=2x+10；

[—5Q+6=0[6=10

丁点P在上，且横坐标为.,)(?«,-加+4),•.•P£〃x轴，二£的纵坐标为一用+4,

代入y=2x+10得，一/+4=2》+10,解得x=^^,+

.〔PE的长了=机——%6=半+3；即>=|"加+3,(-2<m<4)；

(3)解：在x轴上存在点R使！为等腰直角三角形，

3

①当/尸尸£=90°时，如图①，有PF=PE,PF=-m+4,PE=-m+3,

2

二一加+4=|机+3,解得加=|,止匕时尸

②当/尸£尸=90。时，如图②，有EP=EF,EF的长等于点E的纵坐标，

32

/.EF=-m+4,：.-m+4=—m+3,解得：m=—,

25

.♦•点E的横坐标为苫=节£=-当，.••尸

③当/年五=90。时，如图③，有FP=FE,:.NFPE=NFEP.

•••ZFPE+ZEFP+ZFEP=180°,Z.FPE=ZFEP=45°.作用_1_尸£,点尺为垂足，

ZPFR=180°—/FPE-/PRF=45°，,NPFR=NRPF,FR=PR.同理尸火=£7?，,FR=-PE.

2

:点R与点£的纵坐标相同，，尸R=-加+4,，一加+4=；（1■加+3）,解得：m=y,

PR-FR--m+4=——+4=—,，点歹的横坐标为胆一身=一号，Ff——,0^1.

7777717）

综上，在x轴上存在点尸使！PE尸为等腰直角三角形，点尸的坐标为（|,0）或或1-:0

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式

的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键.

模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型

模型解读

若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。

模型运用

例1.（2024•浙江嘉兴•三模）已知直角三角形两边长为3,4,则该直角三角形斜边上的中线长为（）

A.2或2.5B.5或近C.2.5或近D.2.5或上

2

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键.分

类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.

【详解】解：当3和4为直角边时，则斜边=律弄=5,中线=g=2.5,

当斜边为4时，中线=二=2,.•.斜边的长为2或2.5,故选：A.

2

例2.（2023春•河南郑州•八年级校考期中）如图，/D是“3C的角平分线，CE是“3C的高，ABAC=60°,

NACB=78。，点、F为边4B上一点、,当V尸为直角三角形时，则尸的度数为.

A

【答案】60。或18。

【分析】分情况讨论：①当/小0=90。时，②当/AD尸=90。时，根据角平分线和三角形高线的定义分别

求解即可.

二ABAD=30°,RtA/。户中，ZADF=60°；

如图，当NBDF=90°时，同理可得ABAD=ADAC=30。，

,/ZACB=78°,；.ZADB=ZDAC+ZACB=30°+78°=108°,

ZADF=ZADB-NBDF=108°-90°=18°,

综上所述：NNAF的度数为60。或18。.故答案为：60。或18。.

【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想

是解题的关键.

例3.（2023•辽宁葫芦岛•二模）如图，在中，ZC=90°,//=30。，BC=2,点。是/C的中点,

点E是斜边上一动点，沿。E所在直线把V4DE翻折到的位置，4D交48于点尸，若△84尸为

直角三角形，则NE的长为.

【答案】1或g

【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分NBF4'=90°,

尸=90。两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答案；

【详解】解：如图，当/瓦加'=90。时.

在RtZ\/8C中，ZA=30°,BC=2,：.AB=IBC=4,4c=2退,

•：AD=CD,:.AD=CD=C,ZAFD=90°,/.AADF=60°,：,ZEDA=ZEDF=30°,

ADV3

：.ZA=ZEDA=30°f：.EA=ED,〃反4=120。，；.AE==1,

如图，当/胡N=90。时，作交/9的延长线于设=

•:BD=BD,CD=DA,：.R^BDC^Rt^BDA\HL),；.BC=BA'=2,

ii/T

:NDA'E=3。°,：.ZEA'H=60°,在RtA£H4中，A'H=-A'E=-x,EH=4^A/H=—x,BE=4-x,

222

在口143£7/中，；£〃2+即产=2炉，二(［外2+(2+3刈2=(4-刈2,解得xn1,

综上所述，满足条件的4E的值为1或，故答案为：1或■!.

模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型

模型解读

直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论,

如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。

模型证明

“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。

问题：已知点/,2和直线/,在/上求点P,使△为3为直角三角形.

分三种情况，如图：

①以/为直角顶点，即/A4P=90。：过点/作的垂线，与已知直线/的交点Pi即为所求；

②以8为直角顶点，即/疝?尸=90。：过点8作的垂线“与已知直线/的交点B即为所求；

③以P为直角顶点，即//尸2=90。：以N2的中点。为圆心，。区的长为半径画圆，与已知直线/的交点

Pi,尸4即为所求.

代数法计算：分别表示出点力,B,尸的坐标，再分别表示出/瓦/尸和2尸的长，由①2尸=/夕2+/尸2；②

AP2=AB2+Bp2.③//=/尸+3/分别列方程求解.若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况

不存在。

几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角

形。特殊地，若有30。，45。或60。角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解.

模型运用

例1.（2023九年级•广东•专题练习）如图，己知“（2,6）、8（8,-2）,C为坐标轴上一点，且A/BC是直角三

角形，则满足条件的。点有（）个.

“A

•B

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】过点A作AB的垂线，交X轴于点G，交F轴于点C,；过点B作48的垂线，交X轴于点。3，交V轴

于点c“；根据直径所对的圆周角为直角，以力B为直径作圆，根据A和B的坐标求出48的长度，即为圆的直

径，可得出半径的长，进而判断得出圆与歹轴相切，可得出圆与y轴有1个交点，与X轴交于2点.所以满

足条件的点共有7个.

【详解】解：分三种情况考虑：

①当A为直角顶点时，过A作交x轴于点G，交y轴于点。2，此时满足题意的点为£,G；

②当B为直角顶点时，过3作8c8,交X轴于点G，交V轴于点此时满足题意的点为G，。4；

③当C为直角顶点时，以4B为直径作圆，由2(2,6)、5(8,-2),可得此圆与〉轴相切，

则此圆与y轴有1个交点，与X轴有2个交点，分别为G，C6,c7.

综上，所有满足题意的。有7个.故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想.注

意：若VN8C是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点.

例2.(2023・江苏•九年级假期作业)如图，在平面直角坐标系中，已知44,0),矶0,3),以43为一边在。08

外部作等腰直角则点C的坐标为.

【答案】(7,4)或(3,7)或3

【分析】分三种情形讨论求解即可.当48=NC,/8ZC=90。时，作轴于E,由多△CEZ(AAS),

推出/£=08=3,CE=OA=l,可得C点坐标，同法可得，当4B=BC,ZABC=90°,。'(3,4),当N8是

等腰直角三角形的斜边时，C"是3C的中点，C"(2,2).

【详解】解：如图，当48=/C,/8/C=90。时，作CELx轴于E,

ABAC=NAOB=ZAEC=90°,ZABO+ZBAO=90°,ZOAB+ZCAE=90°,ZABO=ZCAE,

,?AB=AC,：.AAOBmACEA(AAS),：.AE=OB=3,CE=OA=4,：.C(7,4),

同法可得，当AB=BC,//8C=90。，C(3,7),

当是等腰直角三角形的斜边时，C"是BC的中点，

综上所述，满足条件的点C的坐标为(7,4)或(3,7)或(g,1J.故答案为：(7,4)或(3,7)或段］.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题.

例3.(22-23八年级下•安徽阜阳・期末)如图所示，在V4BC中，AB=BC=8,OA=OB,乙40c=60。，点M

是射线CO上的一个动点.(1)当A/OM为直角三角形时，的长为.

(2)若点M在边的下方，当为直角三角形时，的长为.

【答案】2拒4拒或4yli

【分析】本题主要考查了勾股定理，含30。直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用.

(1)画出图形，在A/OM中得到＜W=g(9/=2,再用勾股定理计算即可；

(2)分两种情况讨论：①当44四=90。时，②NABM=90。时，分别画出图形，然后根据含30。直角三角

形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可.

【详解】(1),/AB=BC=8,CM=OB：.OA=OB=-AB=4,

2

(2)如图1所示，当=时，OA=OB=OM=4,NAOC=NBOM=60。

丛BOM为等边三角形，，氏W==4AM=^AB--BM2=473；

如图2所示，当4氏饮=90。时，NAOC=NBOM=60°,

：.ZOMB=30。,:.OM=2OB=8,BM=43OB=4G,

XvAM2AB2+BM2-:.AM=4此故答案为：4拒或4出.

例4.(23-24九年级上•江西景德镇•期末)如图，等边VN2C的边长为4cm,点。是/C的中点，若动点尸

以2cm/s的速度从点/出发沿4方向运动，设运动时间为f秒，连接尸0,当△/尸0是直角三角形

时，则t的值为秒.

【答案】0.5或2或3.5

【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质.此题属于动点问题，难度适中，注意

掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用.由等边V/8C的边长为4cm,点。是/C的中点，可求得4。的

长，然后根据乙4=60。，得出另外的一个锐角为30。，根据直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：连接B。，如图所示：•••等边V/BC的边长为4cm,点。是/C的中点，

AQ=^AC=2cm,ZA=60°,BQVAC,：.AAQB=90°,

当NN尸0=90°时，N/Q尸=90。-N4=30。，AP=^AQ=\cm-

...当P从时，f=l+2=0.5,当P从3f4时，z=（4+4-l）-2=3.5；

当乙40P=90。时，点尸运动到点8,1=4+2=2.

综上分析可知，f的值为0.5或2或3.5.故答案为：0.5或2或3.5.

例5.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点/的坐标为（0,2）,"BO为等

边三角形，P是x轴上的一个动点（不与。点重合），将线段AP绕/点按逆时针旋转60。，尸点的对应点为

点。，连接。。，BQ.

⑴点3的坐标为二（2）①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：ZABQ=90°；

②当点尸在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；

（3）在点尸运动的过程中，若AOB。是直角三角形，章援写出点尸的坐标.

【答案】（1）（石，D（2）①见解析；②补全图②见解析，成立（3）（-逑，0）或（50）

3

【分析】⑴过点3作3CU轴，由等边三角形的性质可知08=0/=2,408=60。，从而可求出

NBOC=30。，再由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出BC=1,OC=6从而得出8（行，

1）；（2）①由旋转的性质可知4P=/0,4尸/。=60。，根据等边三角形的性质可知ZOAB=60°,

从而可求出NO”=60°,进而可求出乙=即易证AE4O泌04B（SAS）,得出

/ZOP=N/B0=9O。；②由题意画图即可，由①同理可证△尸/。三AQ/3（SAS）,即得出乙4。尸=乙430=90。；

(3)先求出/。8。/90。，再分类讨论：①当/。。3=90。时，此时点尸在x轴负半轴和②当NO”=90。时,

此时点尸在x轴负半轴，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理和全等三角形的性质即可求出答案.

【详解】(1)解：如图，过点2作轴，

点A的坐标为（0,2）,4ABO为等边三角形，：.OB=OA=2,ZAOB=60°,：,ZBOC=30°,

ABC=^OB=1,；.OC=」OB「BC2=6一F=51）；故答案为：（百，1）；

（2）①由旋转的性质可知/尸》。，4/0=60。.

：A/BO为等边三角形，：.AO=AB,ZOAB=60°,：.ZPAQ=ZOAB=6fP,

：.ZPAO=ZQAB,APNO三AQA8（SAS）,:.ZAOP=NABQ.•：ZAOP=90°,：.ZABQ=90°；

②补全图②如图，①中的结论仍然成立.

由①同理可证AP4O三AQ/3(SAS),：.ZAOP=ZABQ=90°；

(3)当点尸在x轴负半轴运动时，：/AB。=60。，ZABQ=90°,：.ZOBQ=30°.

当点P在x轴正半轴运动时，"ZABO=60°,ZABQ=9Q°,：.ZOBQ^50°.

综上可知/OBQ/90。，故可分类讨论：①当/0。3=90。时，如图，此时点尸在x轴负半轴,

,/ZOBQ=30°,ZQOB=90°,：.OQ=^BQ.

VOQ1+OB-=BQ2,/.(|BQ)2+22=BQ2,解得：台。=包或3。=一述(舍).

，33

:APAO=AQAB,:.PO=QB=喙,二尸(一竽，0)；

②当/。。8=90。时，如图，此时点尸在x轴负半轴，

VZOQB=90°,NOBQ=3Q°,：.OQ=^OB=1,：.BQ=^OQ=6

•:APAO三AQAB,:.PO=QB=6.'.P（^3,0）.

综上可知当AOB。是直角三角形时，点尸坐标为（-生8,0）或（月，0）.

3

【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的

直角三角形的性质以及勾股定理等知识.利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键.

例6.（2023秋•辽宁锦州•八年级统考期末）【模型构建】

如图，将含有.45。的二角板的直角顶点放在直线/上，过两个锐角顶点分别向直线/作垂线，这样就得到了

两个全等的直角三角形.由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型

在数学解题中被广泛使用.

【模型应用】⑴如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-4与X轴，y轴分别交于/,8两点，①则

ZOAB=；②C,。是正比例函数了=代图像上的两个动点，连接4D,BC,若BCLCD,BC=3,

则/D的最小值是；（2）如图2,一次函数y=-2x+2的图像与夕轴，x轴分别交于4,8两点.将直

线绕点/逆时针旋转45。得到直线I,求直线/对应的函数表达式；

【模型拓展】（3）如图3,点/在x轴负半轴上，OA=8,过点/作轴交直线＞=-2工-3于点2,P

是直线y=-2x-3上的动点，。是y轴上的动点，若△/尸。是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角

形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

1519

【答案】⑴①45。；②币（2）v=--x+2（3）（-1,-1）或（-3,3）或（-11,19）或（§,一了）

【分析】（1）①先根据函数解析式确定4（4,0）,5（0,-4）,进而得到O/=OB=4,然后根据等腰直角三角

形的性质即可解答；②根据点到直线的距离垂线段最短，可得当时，/£）有最小值，然后判定

△30C会AOAD（AAS）可得OD=3C=3,最后根据勾股定理求解即可；（2）先证AZOB可得

CD=OB=\,BD=AO=2,进而得到C(3,l),最后根据待定系数法即可解答；(3)分N4PQ=90。，点、P

在x轴上方或下方和ZAQP=90。点P在％轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和

二元一次方程组解答即可

【详解】(1)解:①：y=x-4与x轴，夕轴交于/,B两点，I4(4,0),5(0,-4),：.OA=OB=4,

又；N4OB=90°,.♦."OB为等腰直角三角形，二2048=45。；故答案为45。；

②是定点，，如图：当CD时，4D有最小值；

AD±CD,BC±CD,：.ABCO=NODA=90°,

•:NBOC+ZAOD=90°ZBOC+ZOBC=90c,；.ZAOD=NOBC,

在B0C和AOAD中，NBCO=NODA=90°,ZOBC=ZAOD,OB=OA

22222

ABOC也ACMO(AAS),O。=J8C=3在Rt△。/D中，由勾股定理得：AD=OA-OD=4-3=T,

.•.4D=V7,ND的最小值为近.故答案为J7.

(2)解：如图，过点3作48交直线/于点C,过点C作。轴.N/3C=90。.

VABAC=45°,；.ZBCA=90°-ABAC=45°.:./BAC=NBCA.：.AB=BC.

,/ZABC=ZAOB=ZBDC=90°,/.ZOAB+ZABO=90°,ZCBD+ZABO=90c.：.AOAB=ZCBD.

'：AB=BC,ZAOB=ZBDC=9CP,/.AAOB乌ABDC.：.AO=BD,OB=CD.

当x=0时，y=-2x+2=2,AAO=BD=2.当y=0时，0=-2x+2,x=l,：.OB=CD=1.：.C(3,l).

设直线l对应的函数表达式为片丘+&,将C(3,l)和N(0,2)代入,

b=2,k=--1

得弘+1解得3':・y=——x+2.

b=2.°3

(3)解：①当//20=90。，/尸=尸。,尸在工轴的上方，

如图1：过尸作ACV_Ly轴，交.AB于M,交y轴于N,VZl+Z3=90°,Zl+Z2=90°,，2=/3,

又〈NAMP=/PMQ=9Q。,AP=PQ,：.^AMP^PNQ(AAS