2025年中考数学几何模型归纳训练：双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型解读与提分训练（全国版）

专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型

线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出

发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部

分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

目录导航

例题讲模型■

............................................................................................................................2

模型1.线段的双中点模型..............................................................2

模型2.线段的多中点模型...............................................................4

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型.................................................6

习题练模型］

................................................................................................................................................................11

例题讲模型］

模型1.线段的双中点模型

模型解读

线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为

线段的双中点模型。

模型证明

条件：点〃、N分别为线段AB、的中点，结论：MN=-AC.

2

证明：①当点5在线段AC上，如图1,

4,■■--------6

MBN

图1

VM,N分别为A3、的中点，，加（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

MN=BM+BN,：.MN=-AB+-BC^-（AB+BC}^-AC;

222、72

②当点B在线段AC的延长线上，如图2,

A।1■1-R

CMN

图2

VM,N分别为A3、BC的中点，，加（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

222V72

③当点B在线段CA的延长线上

B।・■c

MAN

图3

N分别为A3、BC的中点，，加（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

・•・—,•••加/-加4比-丑9C;

模型运用

例1.（23-24七年级上.江苏扬州•期末）如图，点C在线段A3上，点V、N分别是AC、3c的中点.

।______:ill

AMCNB

（1）若AB=18cm,AM=5cm,求CN的长；（2）若〃V=6cm,求AB的长；

例2.（23-24七年级上•江西赣州•期末）如图，点C在线段A3上，点M,N分别是线段AC,3c的中点.

I1■■I

AMCNB

（1）^AC=10cm,CB=6cm,求线段MN的长；（2）若AC+CB=acm,求线段MN的长度.

例3.（23-24七年级•山东淄博・期末）已知点C是线段的中点，点。是线段AC的三等分点.若线段

A3=12cm,则线段8。的长为（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

例4.（23-24七年级上•安徽黄山•期末）如图，C,。是线段上两点（点。在点C右侧），E,F分别是线

段AD,8c的中点.下列结论：

@EF=^AB-②若=则AC=3D；③Afi-CD=2跖；®AC-BD=EC-DF.

IIlliI

AECDFB

其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

例5.（23-24七年级上.贵州遵义.期末）已知线段钻=24,点C为线段A5的中点，点。为线段4C上的三

等分点，则线段5。的长的最大值为（）

A[-------------

A.16B.18C.15D.20

例6.(23-24七年级上•辽宁阜新•期末)点A、8在数轴上所表示的数如图所示，尸是数轴上一点:

BOA

—।——।——।———।—1—।——।------1—i—।——>

-5-4-3-2-1012345

(1)将点8在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点尸，求出A、P两点间的距离

是多少个单位长度.

(2)若点B在数轴上移动了机个单位长度到点P,且A、P两点间的距离是4,求加的值.

(3)若点M为AP的中点，点N为尸8的中点，点尸在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变

化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段跖V的长度.

模型2.线段的多中点模型

模型解读

条件：如图，点M在线段A7V的延长线上，且线段脑V=2«,第1次操作：分别取线段411和AN的中点

N「，第2次操作：分别取线段A陷和AN,的中点A/?，M；第3次操作:分别取线段AM2和AN2的中点AG，

N,；…连续这样操作〃次，结论：MA=[1]"1'«.

IIlliIIII

AN3M3N2M[N\MiNM

模型证明

证明：M是a〃和AN的中点，跖AN、=；AN,

；.M风［AM-；AN=；MN=a,•：M2,3是A必和A2的中点，

X

AM2=-AMX,AN2=-AN1,：.M2N2=-AMl-^-AN1=-MtNt=-a,

222222

・・・弧，/是人心和AN?的中点，.・.AM34AM2，汹=三小2,

：.M3N3=^AM2-^-AN2=^M2N2=^a=(^-\-a,...发现规律：.a,

模型运用

例1.（23-24七年级上.贵州六盘水•期末）如图，数轴上的点。为原点，点A表示的数为-3,动点P从点。

出发，按以下规律跳动：第1次从点。跳动到。4的中点4处，第2次从点A跳动到4A的中点4处，第3

次从点4跳动到4A的中点人3处，…，第〃次从点Ai跳动到AiA的中点4处，按照这样的规律继续跳动

到点A，A，4，…，4）24处，那么点4（）24所表示的数为.

P

A4342/1O

例2.（23-24七年级上•河南濮阳•期末）已知：如图，点M在线段⑷V的延长线上，且线段MN=16,第一

次操作：分别取线段AM和AN的中点加一N、；第二次操作：分别取线段A陷和AM的中点加2，%；

第三次操作：分别取线段41%和AN?的中点M3，怅，连续这样操作4次，则加4/=.

।।।।।।।।।

AN3M双2M2N\M\NM

例3.（23-24七年级上.湖南张家界•期末）如图，点M在线段4V的延长线上，且线段MV=2,第一次操作：

分别取线段AM和4V的中点；第二次操作:分别取线段A陷和AM的中点〃2,怅；第三次操作：

分别取线段4%和AM的中点M3,N”…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之

=

和M、N1+M2N2H^2024-^2024.

|IIIIIIII

AN3M§N2M[N\MiNM

例4.（23-24七年级上•广东•期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件G"Gem"做了〃次取线段中

点实验：如图，设线段。1=1,第1次，取。1的中点4;第2次，取外《的中点打；第3次，取6舄的中

点鸟，第4次，取心巴的中点八；…

।IIR草।

。PlP3P5P。

（1）请完成下列表格数据.

次数电耳线段。，的长

OP=OP-PP=\-^

第1次X00}

OP=OPPP=l~+^

第2次6T2i+]2

OP=OP-PP=\-^+^-^

第3次3223

OP=OP+PP=1-；+/-：+J

第4次A334

第5次①___________②________

（2）小明对线段。《的表达式进行了如下化简：

因为°71一；+/一2+9所以204=2（1'+//+口=2-1+U+J,

171

两式相加，得3O《=2+M，所以OR=W+「^.

，JJX，

请你参考小明的化简方法，化简。4的表达式.

⑶类比猜想：么山=，0P=,随着取中点次数〃的不断增大，。匕的长最终接近的值是

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型

模型解读

双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分

线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自

己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。

模型证明

图1图2图3图4

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、OE分别平分NAOB、ZBOC；结论：NDOE」ZAOC。

2

证明：:。。、。七分另IJ平分NA03、/BOC,：.ZDOB=-ZAOB^ZBOE=-ZBOC

22

・111.1

・・ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC••/DOE=—ZAOC。

2222

2)双角平分线模型(两个角有公共部分)

条件：如图1,已知：OD、0E分别平分NA03、ZBOC；结论：ZDOE=-ZAOCo

2

证明：YOD、0E分另IJ平分NAOB、/BOC,：.ZDOB=-ZAOB^ZBOE=-ZBOC

22

.1111

••NBOE-NDOB=-NBOC——ZAOB=-ZAOC>•-NDOE=-ZAOC。

2222

3)拓展模型：双角平分线模型(三个角围成一个周角)

条件：如图3,已知NAO8+NBOC+NAOC=360。，。尸i平分NAOC、。巳平分/80C;

结论：NqO£=180--gzAOB。

证明：•..OP平分NAOC、022平分/8℃，；•N<OC=LZAOC，ZP2OC=-ZBOC<

'222

,?ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,ZBOC+ZAOC=360°-ZAOB,

=ZP}OC-ZP2OC=-ZAOC+-ZBOC=-(ZAOC+ZBOC)=180°--ZAOB»

4)角”等分线模型

条件：如图4,NAOB=a,。4p。片分别是和ZMOB的平分线，。4、OB2分别是和ZMOB,

的平分线，。4、OB.分别是ZAOM和NMOB?的平分线…，。4,。纥分别是ZA,t_pM和AMOBn_x的平分

线；结论：.

证明：QZAOB=a,。4、。片分别是和NMQB的平分线，

.-.Z^OM=-ZAOM,ZBlOM=-ZBOM,(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

04、。鸟分别是NAOM和/MOB1的平分线，ZA.OM=^ZB}OM,

ZA2OB2=-(ZAOM+Z^OM)=-Z^O5!=-x-AAOB=~,

OA3、。鸟分别是/&OM和ZMOB2的平分线，ZA3OM=^ZA.OM,ZB3OM=|ZB2OM,

ZA,OB3=-(ZA,OM+ZB2OM)=-ZA,OB2=-x-ZAiOBl=-x-x-ZAOB=-^-,

（y

由此规律得：Z4OB,=—o

模型运用

例1.（2023・河南周口・校联考一模）如图，点。为直线AB上一点，0E平分，3OC,0D平分/AOC,若

NBOE=28。,则N4OD的度数为（）

A.58°B.60°C.62°D.70°

例2.（2023春•辽宁辽阳•七年级统考期末）如图，射线0C平分/AOB,射线0D平分/3OC,则下列等

式中成立的有（）

®ZCOD=ZAOD-ZBOC；②/COD=ZAOD—ZBOD；③2/COD=2ZAOD-ZAOB；④

ZCOD=-ZAOB.

B.①③C.②③D.②④

例3.（2023春•黑龙江•七年级校考阶段练习）如图，射线0G是NA0C的角平分线，射线加是的

角半分线，射线ON是一BOC的角平分线，则下列结论成立的有（）个.

①ZMON=NCOG；®ZMOG^^(AAOG-ABOG)；③NGON=g(NCOG+/BOG)；(4)

AMON=1(ZAOC+/BOG)；

A.0个B.1个C.2个D.3个

例4.（2023・河南•七年级校联考期末）如图，AAOB=a,O\,。片分别是/AOM和的平分线,

。&、。&分别是/4OM和NMO瓦的平分线，。&。员分别是和/MO与的平分线，…，OA,„OBn

分别是24一。知和NMOAT的平分线，则ZA,,OBn的度数是.

例5.（2022秋・山西太原•七年级统考期末）图，ZAOC=ZBOD=90°,在NAOC的内部，0c在NB。。

的内部，。£是/AOB的一条三等分线.请从A,8两题中任选一题作答.

A.当/8OC=30。时，NE。。的度数为.

B.当N30C=a。时，NE。。的度数为（用含a的代数式表示）.

例6.（2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末）如图，点A,0,8在同一条直线上，OD,OE分别平分24OC

和/3OC.（1）求NDOE的度数；（2）如果NCO£>=60。.①求NAOE的度数；②若NAO尸=20。，直接写出

4FOD的度数.

例7.（2023秋•江苏无锡•七年级校考期末）解答题：⑴如图，若ZAO3=120°,ZAOC=40°,OD、OE分

别平分/AQB、ZAOC,求ZDOE的度数；

(2)若NAO5,NAOC是平面内两个角，NAOB=m°,ZAOC=n(/7<m<180°),0。、OE分别平分NAOB、

ZAOC,求/DOE的度数.（用含加、〃的代数式表示）

叭夕C

例8.（2023春•山东济南•七年级统考期末）解答下列问题

如图1,射线OC在NAO3的内部，图中共有3个角：ZAOB,Z4OC和NBOC,若其中有一个角的度数是

另一个角度数的两倍，则称射线0C是—A03的“巧分线”.⑴一个角的平分线.这个角的“巧分线”，（填“是”

或“不是”）.（2）如图2,若NMPN=60。，且射线PQ是ZMPN的“巧分线”，则/MPQ=（表示出所有

可能的结果探索新知）.（3）如图3,若ZMPN=a,且射线PQ是/MPN的“巧分线”，则ZMPQ=（用

含a的代数式表示出所有可能的结果）.

.题练模型I

1.（2023秋・福建泉州•七年级统考期末）在直线上任取一点A,截取A5=6cm,再截取AC=14cm,则A3

的中点。与AC的中点E之间的距离为（）

A.4cmB.8cmC.4cm或10cmD.3cm或8cm

2.（2023秋•江西上饶•七年级统考期末）如图，C、。是线段上两点，M、N分别是线段AZXBC的中点，

下列结论：①若贝|JA5=33£＞；②若AC=BD,则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④

2MN=AB-CN.

其中正确的结论是（）

IIIIII

AMCDNB

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

3.（2023秋・江苏徐州•七年级校考期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段MV=10,第一次操作：

分别取线段AM和AN的中点N］；第二次操作：分别取线段4必和AM的中点加小区；第三次操作：

分别取线段加巴和A9的中点/3,M；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之

和〃］乂+加2双2H----1-Af2023A^2023=()

AMMMM）N\M\NM

A-10+^FB-10+^TC-10-^TD-10-^T

4.（2023秋•河南驻马店•七年级统考期末）如图，已知NAO3=130。，以点。为顶点作直角NCOB,以点0

为端点作一条射线OO.通过折叠的方法，使。。与OC重合，点8落在点E处，OE所在的直线为折痕，

若NCOE=15°,则NAO8'=（）.

A.30°B.25°C.20°D.15°

5.（2023秋•山西大同•七年级统考期末）在—AOB的内部作射线OC,射线OC把—AO3分成两个角，分别

为NAOC和N30C,ZAOC=|ZAOBZBOC=|ZAOB,贝U称射线OC为NA03的三等分线.若

ZAOB=GO°,射线OC为NAO3的三等分线，则/AOC的度数为（）

A.20°B.40°C.20。或40°D.20°或30°

6.（2023春・山东青岛•七年级统考开学考试）如图，有两根木条，一根AB长为80cm,另一根CZ）长为130cm,

在它们的中点处各有一个小圆孔/、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，

放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是.

M_______________N_______________

AIIBCIID

图1图2

7.（23-24七年级上.四川成都.阶段练习）如图所示，已知A3=12,C是线段至上的一个点，M是C4的中

4AN

点，N为2c中点，且满足AC+BM=；A3,求「=

37AM

I।।।।

AMCNB

8.（2023秋・福建福州•七年级校考期末）已知线段和线段8在同一直线上，线段A3（A在左，B在右）

的长为。，长度小于AB的线段CO在左，C在右）在直线A3上移动，闻为AC的中点，N为应）的中点，

线段MN的长为b,则线段CO的长为—（用a,6的式子表示）.

9.（2023秋・湖北武汉•七年级统考期末）如图，点C,。在线段A3上,P,。分别是AD,BC的中点，若AB=3C。,

…PC

贝

uQD-

PCQD

j__i---------------i_i-----------------16

10.（2023秋・广东梅州•七年级校考阶段练习）已知NAO3=50。，由定点。引一条射线，使得ZBX=30。,

OM、ON分别是NAO3和/3OC的平分线，则NMQV=度.

11.（2024・山东•七年级专题练习）如图，在/A08的内部有3条射线OC、OD,OE,若NAOC=70。，Z

BOE=-ZBOC,ZBOD=-ZAOB,则/。OE=°,（用含”的代数式表示）

nn

A

'E

B

12.（2023秋・福建福州•七年级校考期末）已知有理数a,b满足：,-2可+（2-»2=0.如图，在数轴上,

点。是原点，点A所对应的数是。，线段5c在直线上运动（点8在点C的左侧），BC=b.

III11I1111,

O1A

下列结论：①。=4力=2；②当点B与点。重合时，AC=3；

③当点C与点A重合时，若点尸是线段3C延长线上的点，则尸。+尸4=2尸3；

④在线段8C运动过程中，若M为线段。8的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变.

所有结论正确的序号是.

13.（2023春・天津滨海新•七年级校考期中）如图，0为直线A3上一点，ZCOD=90°,OE平分/AOC,

OG平分N3OC,OF平分NBOD,下列结论：①NEOG=90。；②/DOE与/30尸互补；

©ZAOC-ZBOD=90°；④〃OG=g/AOC.请你把所有正确结论的序号填写在横线上_____.

14.（2023春•安徽合肥•七年级校考开学考试）平面内，ZAOB=120°,C为NAO3内部一点，射线平分

NAOC,射线QV平分/BOC,射线OD平分NMON,当/AOC-NCOD=30。时，/BOC的度数是.

15.（2023秋・河南新乡•七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：

如图1,点C在线段上，M,N分别是AC,3C的中点.若AB=6,AC=2,求"N的长.

IIIII

AMCNB

图1

।।।।।

AMCNB

图2

（1）根据题意，小明求得MN=.

（2）小明在求解（1）的过程中，发现"N的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始

深入探究.设筋=〃，C是线段上任意一点（不与点A,8重合），小明提出了如下三个问题，请你帮

助小明解答.①如图1,M,N分别是AC,3c的中点，则=.

②如图2,M,N分别是AC,8C的三等分点，即AM=；AC,BN=；BC,求MN的长.

③若M,N分别是AC,BC的等分点，即BN=-BC,则AW=.

nn

16.（2023秋・福建泉州•七年级校考期末）【概念与发现】

AC

n

当点C在线段上，=时，我们称“为点C在线段AB上的“点值”，记作d~AB

ACAC=：时，则有=

例如，点C是AB的中点时，即则d反之，当d

2~ABAB

AC

因此，我们可以这样理解：~ABn”与“AC=nAB”具有相同的含义.

ACAC2

（1）【理解与应用】如图，点C在线段AB上.若AC=3,AB=4,则d;若d

~AB~ABm

唬

ACB

（2）【拓展与延伸】已知线段AB=10cm,点尸以lcm/s的速度从点A出发，向点8运动.同时，点。以3cm/s

的速度从点8出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回.当P,。其中一点先到

达终点时，两点均停止运动.设运动时间为/（单位：s）.

APAQ

①小王同学发现，当点。从点B向点A方向运动时，d+m-d的值是个定值,求m的值;

~\BAB

AQAP3

②/为何值时，d-d

AB~AB5

17.（2023秋•河北邢台•七年级校联考期末）已知ZAOB=NCOD=90°,OE平分ZAOC,OF平分NBOD.

B(C)

E

图1

(1)如图1,当OB,（2）如图2,当0c在NABC内部时，若N3OC=20。，求

/EOF的度数；（3）当ZAOB和NCOD的位置如图3时，求/EOF的度数.

18.(2024•广东广州•七年级校考期末)如图①，已知线段AB=20cm,CD=2cm,线段。在线段AB上

运动，E,尸分别是AC,8£)的中点.

(1)若AC=8cm,则EF=cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知NCOD在

—AO3内部转动，OE,OF分别平分/AOC和若NAO3=140。，ZCOD=40°,贝!|NEOP=

.直接写出NEO尸，NAO3和NCOD的数量关系：

19.(2023秋・湖南永州•七年级统考期末)点。为直线上一点，在直线A3同侧任作射线OC,O£),使得

ZCOD=90°.(1)如图一，过点0作射线0E,使0E为ZAOD的角平分线，若NCOE=25。时，则NDOE=

°,ZAOC=°；(2)如图二，过点。作射线0E,当OE恰好为/AOC的角平分线时，另

作射线OF,使得OF平分NBOD.①若NAOC=50。，求ZEOP的度数(写出推理过程)；

②若NAOC=a(0°<a<90°),则ZEOF的度数是(直接填空).

(3)过点。作射线0E,当OC恰好为NAOE的角平分线时,另作射线OF,使得OF平分Z.COD,当NEOF=10°

时，则NAOC的度数是.(在稿纸上画图分析，直接填空)

图图二名用图

20.(2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校考阶段练习)已知：射线0。在—AO3内部，OE平分N4C©.

(1)如图1,求证：NAO3-=(2)如图2,作O尸平分NAOB,求证：NEOF=；NDOB；

(3)如图3,在(2)的条件下，当ZAOD=90。时，作射线的反向延长线OC,OH在OA的下方，且

ZAOH=ZAOE,反向延长射线OE得到射线OQ,射线OP在内部，0G是/EOP的平分线，若

ABOC-ZDOF=26°,5ZGOH+2ZPOQ-ZEOF=71°,求ZBOP的度数.

专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型

线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出

发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部

分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

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例题讲模型'

.......................................................................................................................................................18

模型1•线段的双中点模型..............................................................18

模型2.线段的多中点模型..............................................................23

模型3.双角平分线模型与角n等分线模型................................................26

习题练模型一

'36

例题讲模型］

模型1.线段的双中点模型

模型解读

线段双中点模型：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为

线段的双中点模型。

模型证明

条件：点〃、N分别为线段AB、的中点，结论：MN=-AC.

2

证明：①当点5在线段AC上，如图1,

MBN

图1

VM,N分别为A3、的中点，，加（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

MN=BM+BN,：.MN=-AB+-BC^-（AB+BC}^-AC;

222、72

②当点B在线段AC的延长线上，如图2,

A，1■，」

CMN

图2

VM,N分别为A3、BC的中点，，加（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

222V72

③当点B在线段CA的延长线上

图3

N分别为A3、BC的中点，，加（中点定义）；BN=-BC（中点定义）;

22

・•・—,•••加/-加4比-丑9C;

模型运用

例1.（23-24七年级上.江苏扬州•期末）如图，点C在线段A3上，点V、N分别是AC、3c的中点.

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AMCNB

（1）若AB=18cm,AM=5cm,求CN的长；（2）若〃V=6cm,求AB的长；

【答案】（l）CZV=4cnU2）AB=12cm

【分析】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义.

（1）因为点M、N分别是AC、8C的中点，所以A"=；AC,NC=；BC,已知AB=18cm,AM=5cm,

可得2c的长，NC=-BC,可得CN的长；（2）因为点M、N分别是AC、2c的中点，所以CM=[AC,

22

NC=^BC,已知腑=6cm,可得AB的长.

【详解】（1）解：点Af、N分别是AC、BC的中点，=NC；BC,

22

AM=5cm,/.AC=10cm,AB=18cm,BC=8cm,/.CN=4cm；

（2）解：.•点M、N分别是AC、BC的中点，.•.CMMLAC,NC=-BC,

22

MN=CM+CN=6cm,AB=AC+BC=2（CM+CN）=12cm.

例2.（23-24七年级上•江西赣州•期末）如图，点C在线段A3上，点M,N分别是线段AG3c的中点.

11111

AMCNB

（1）若AC=10cm,CB=6cm,求线段MN的长；（2）若AC+CB=acm,求线段MN的长度.

【答案】（l）8cm（2）》m

【分析】（1）根据线段中点的性质，可得MC、CN,再根据线段的和以及线段的差，可得答案；

（2）根据线段中点的性质，可得MC、CN,再根据线段的和以及线段的差，可得答案.

本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键.

【详解】（1）:点/，N分别是线段AC,3c的中点；.MC=《AC,CN=3BC

22

・・・AC=10cm,CB=6cm,MC=5cm,OV=3cm,MV=MC+C7V=5+3=8cm

（2）•.•点M,N分别是线段AC,BC的中点，MC=；AC,CN=；BC

*.*AC+CB=acm,a,.MN-MC+CN——ACH—CB=—cm.

222

例3.（23-24七年级.山东淄博.期末）已知点C是线段的中点，点。是线段AC的三等分点.若线段

A5=12cm,则线段6。的长为（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

【答案】c

【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解.

【详解】如图，：点C是线段4B的中点，...AC=8C=gA8=6cm,

II1I1

ADxD2CB

2

当AO=-AC=4cm时，CD=AC-AD=2cmBD=BC+CD=6+2=8cm；

3f

当AO=lAC=2cm时，CD=AC-AD=4cm,：.BD=BC+CD=6+4=Wcm.故选C.

3

例4.（23-24七年级上.安徽黄山・期末）如图，C,。是线段A5上两点（点。在点C右侧），E,F分别是线

段AD,8c的中点.下列结论：

@EF=^AB-②若AE=BF,则AC=3D；③AB-CD=2EF；®AC-BD=EC-DF.

iIIIIl

AECDFB

其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和

差关系.结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答.

【详解】解：尸分别是线段AD，BC的中点.，；.==

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EF=AB-AE-BF=AB-^（AD+BC）=AB-^（AB+CD）=^AB-^CD,故①不符合题意；

VAE=BF,：.^AD=^BC,即AD=3C,

AAD-CD=BC-CD,：.AC=BD,故②符合题意；

EF=；AB—；CD,：.AB-CD=2EF,故③符合题意；

@VAC=AE+CE=^AD+CE,BD=BF+DF=^BC+DF,

：.AC-BD=^AD+CE^-^BC+DF^=^（AD-BC）+（CE-DF）,

：.2（AC-BD）=（AD-BC）+2（CE-DF）,：.2（AC-BD）=（AC-BD）+2（CE-DF）

:.AC-BD=2（EC-DF）,故④不符合题意；故选：B.

例5.（23-24七年级上.贵州遵义・期末）已知线段AB=24,点C为线段A3的中点，点。为线段AC上的三

等分点，则线段3。的长的最大值为（）

A'----------------------'B

A.16B.18C.15D.20

【答案】D

【分析】本题考查线段和差.根据题意先求出AC=3C=12,再根据题干分情况讨论点。所在位置，继而

得到本题答案.

【详解】解：：线段AB=24,点C为线段A3的中点，.••AC=3C=12,

•..点。为线段AC上的三等分点，，①当点。靠近点A时：AD=1AC=4,此时砒>=24—4=20；

2

②当点。靠近点C时：AD=-AC^S,此时80=2