2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型解读与提分训练（原卷版）

专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1:a”、“45。辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸,

常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，

有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常

用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！

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例题讲模型

----------------------1...........................................................................................................................................2

模型1.等直内接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分线模型...............................................................5

习题练模型

h-二二一■■■..............................................................................................................................................................................................8

例题讲模型］

模型1.等直内接等直模型

等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为

原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。

模型证明

条件：已知如图，等腰直角三角形NBC,/A4c=90。，尸为底边3C的中点，且/£尸尸=90。。

结论：①PE=PF；②尸即为等腰直角三角形（由①②推得）；®AE=FBCE=AF-,®AE+AF=42AP；

⑤邑.=；©CE2+BF-=EF2。

（注意题干中的条件：ZEPF=90°,可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）

证明：：等腰直角三角形/8C，ZBAC=90°,点尸是8C的中点尸===

:.NAPE+NAPF=NCPE+NAPE=90°ZAPF=NCPE同理可得：NPAF=NC=45°,

：.AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,'：AB=AC,：.AE=FB-,

又丹'是直角，厂是等腰直角三角形，同理：易证A48尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,AE+AF=41AP。

'：（）++=

\APF=ACPE'ASA/,•,«SAEPF=SAEPSAPF=SAEPASLrCrPEScAP£C.A^D（-*,•SAPPW=—SARr°

•：AE=FB,CE=AF,NA4c=90°；CE2+BF2=AF2+AE2=EF2

模型运用

例1.（2024•广东广州•中考真题）如图，在“Be中，N/=90。，AB=AC=6,。为边3C的中点，点E,

下分别在边/B,NC上，AE=CF,则四边形/£。尸的面积为（）

A.18B.9亚C.9D.672

例2.（2024・天津•模拟预测）如图，已知中，AB=AC=6,NBAC=90。,直角/EPF的顶点尸是BC

中点，两边PE、尸尸分别交48、4c于点,E、F,当NEP尸在。8C内绕顶点尸旋转时（点£不与N、5重

合），给出下列四个结论：①AEPF是等腰三角形;②M为跳'中点时，+尸M=£尸；③斯=;④ABEP

和APC尸的面积之和等于9,上述结论中始终正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

例3.（23-24九年级上•四川内江•期末）如图，边长为1的正方形48。的对角线/C,3。相交于点。，Z

MPN为直角,使点尸与点。重合，直角边PM,PN分别与。2重合，然后逆时针旋转NMPN,旋转

角为。（0°<0<90°）,PM,PN分别交4B,BC于E,尸两点，连接£尸交03于点G,则下列结论：①EF

=V2OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF=近OA；④在旋转过程中，当A3所与ACO尸的面积

3-

之和最大时，/£="⑤。G,BD…CF。.其中结论正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

例4.（23-24八年级上•山西吕梁・期末）综合与探究

问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板48c中，NB4c=90。,

AB=AC,。为8c的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点。上，得到将NMCW绕点。

旋转，射线。DN分别与边NB,4c交于E,尸两点，如图1所示.

（1）操作发现：如图2,当E,尸分别是N8,/C的中点时，试猜想线段与。尸的数量关系是,

位置关系是.

（2）类比探究：如图3,当E,尸不是48,ZC的中点，但满足=时，判断/>£尸形状，并说明理由.

（3）拓展应用：①如图4,将NMDN绕点。继续旋转，射线。M,DN分别与48,。的延长线交于E,F

两点，满足BE=4F,4）斯是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；

②若在NMCW绕点。旋转的过程中，射线DM,0V分别与直线48,CA交于E,尸两点，满足BE=4F,

若AB=a,BE=b,贝!JNE=（用含。，b的式子表示）.

模型2.等直+高分线模型

模型解读

等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。

模型证明

A

条件：如图，AA8C中，ZABC=45°,CC8于。，BE平分/ABC,且于£,与CD相交于点

F,"是8C边的中点，连接与BE相交于点G.

结论：①BF=AC；②CE=：BF；③AOG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤友=也.

2FC2

证明：•••CDLAB,BEVAC,ZBDC=ZADC=ZAEB=90°,

：.ZA+ZABE=90°,ZABE+ZDFB=90°,ZA=ZDFB,

■：ZABC=45°,NBDC=90。,ZDCB=90°-45°-45°-ZDBC,BD=DC,

ABDF=ZCDA

在A62尸和AC"中<4=ZDq，ASZ>F^AC£M(AAS),:.BF=AC.

BD=CD

•;BE平分/ABC,ZABC=45°,N4BE=NEBC=22.5。

VBEVAC,:.NA=NBC4=67.5°,BA=BC,■：BELAC,：.AE=EC=-AC=-BF,

22

ZBDC=90°,BH=HC,:.NBHG=90°,:.NBDF=NBHG=90°,

•••ZABE=ZCBE=22.5°,NBGH=NBFD=67.5°,NDGF=ZDFG=67.5°,

DG=DF,，ADG尸是等腰三角形.vNBDF^ACDA,DF=AD,:.BC=AB=BD+AD=BD+DF,

•.•BE平分N/8C,.,.点F到/B的距离等于点尸到3C的距离，，学叱=黑，

・・.DFBD1V2

S2DF_DFBD+2_DF.DF_BD・・•三角形BDC是等腰直角三角形,>•----=-----=----------

5宝一FCBD+2—FC''FC~BCFCBCV22

模型运用

例1.（23-24九年级下•浙江金华•阶段练习）如图，在V48c中，ZA8C=45。，CDL4B于D,BE平货/ABC,

且8£，/。于£,与CD相交于点RX是3c边的中点，连接。H与BE相交于点G,以下结论中：

①V/3C是等腰三角形；②BF=AC；③BH:BD:BC=1:亚：2;@GE2+CE2=BG2.

正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

例2.（23-24八年级上•山东临沂・期中）如图，等腰Rt44BC中，4B=AC,NBAC=90。,AD_LBC于点、D,

//3C的平分线分别交/C、4D于E、/两点，M为斯的中点，的延长线交8c于点N,连接。M,

下列结论：®DF=DN；②△NFE为等腰三角形；③/N4c=22.5。；@AE=NC,其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3.(23-24八年级•浙江杭州•阶段练习汨知:如图，AABC中，/4BC=45。,CD_L4B于D,BE平分NABC,

且BEJ./C于£,与CD相交于点R〃是3C边的中点，连结。〃与BE相交于点G.(1)说明：BF=AC■,

(2)说明：CE=^BF-(3)试探索CE,GE,3G之间的数量关系，并证明你的结论.

例4.(23-24八年级上•广东东莞•期末)如图，等腰直角V/BC中，ZCAB=90°,AC=AB,点、E为BC工

一点，BDLAE于点M,交NC于点。，AHLCB于点H,交BD于点G,连接。E,MH.

(1)若8石=民4,求证：&D垂直平分4E；(2)若点£在线段C段上运动.

①请判断CE与ZG的数量关系，并说明理由；②求证：MH平分NEMB.

EHB

习题练模型

1.（23-24山东威海九年级上期中）己知V/BC中，4C=BC=4,ZACB^90°,。是N8边的中点，点E、

/分别在/C、8c边上运动，且保持/E=CF.连接DE、DF、E厂得到下列结论：①AD跖是等腰直角

三角形；②ACEF面积的最大值是2；③Ek的最小值是2.其中正确的结论是（）

C.①③D.①②③

2.（2024・广东汕头•二模）如图，四边形/2CO为正方形,NCAB的平分线交BC于点E,将A/BE绕点B

顺时针旋转90。得到VCBF,延长AE交C尸于点G,连接BG,DG与/C相交于点H.有下列结论:①8E=2万;

4FI—

②/ACF=NF；③BG_LOG；④——=V2,其中正确的结论有（）个

DH

C.3D.4

3.（2024•山东泰安・模拟预测）如图，等腰直角V/5C中，ABAC=90°,ADJ.BC于点、D,/45C的平分

线分别交/GAD于点、E,F,M为EF中点、,延长线交5。于点N,连接。M,下列结论：①DF=DN；

②FM+AM=®DM;③DM平令/BMN：@S^ABM=S^DBM；⑤MNBF=BDCN,其中正确结论的个数

A.2B.3C.4D.5

4.（2023•广东深圳•模拟预测）如图，A/BC中，ZABC=45°,C£>_L4B于点。，BE平分/4BC,且2E_L

AC于点、E,与CD交于F,〃是8C边的中点，连接DH与3E交于点G,则下列结论：①BF=AC；②//

=/DGE；®CE<BG-,④S“ADC=S1smeEGH；⑤DG・AE=DC,EF中,正确结论的个数是（）

5.（2024•湖南长沙•一模）如图，在。BC中，NA4c=90。，AB=AC.点E是/C边上的中点，连接8E,

将绕A点逆时针旋转90。，得至IJA/CD,延长BE交DC于点G,连接ZG,过点A作/尸，/G,交BG

于点尸.现有如下四个结论：①//GD=45。；②EG:GC:尸E=l:2:3；@FE-EG=GC；®S^DC=2SAAEF

6.（2024•江苏淮安•三模）如图，V4BC中，ZABC=45°,CD_L/3于D,BE平分/ABC,且BE_L/C于

1SBD

E,与8相交于点尸.下列结论：①BF=4C；②CE=彳BF；③BD+DF=BC；④*A*=五=，其中

2、XBCF

正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.（2024・辽宁朝阳•模拟预测）如图，在正方形/3CA中，对角线/C,2。相交于点。，点£在3c边上，

且CE=2BE,连接/E交AD于点G,过点2作8尸，/£于点尸，连接。尸并延长，交于点过点O

作。尸,"交OC于占1m现给出下列结论：①②=噜；③*=竽;

④0G=3G；其中正确的结论有（）

8.（2024•黑龙江•二模）如图，等腰直角三角形48c中，NA4c=90。，ADJ.BC于D,N/8C的平分线

分别交NC、4D于E、尸两点，”为跖的中点，延长交8C于点N,连接W,NE.下列结论：①

AE=AF-,②AB2=BM.BE;③△/历是等边三角形；④BF=AN；⑤四边形NENF是菱形，正确结论的

序号是（）

A.②④⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②④⑤

9.（23-24九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，已知V/BC中，AB=AC=S,NBAC=90。,直角乙"户的

顶点尸是BC中点，两边PE、尸尸分别交48、AC于点E、F,当NEPF在VN8C内绕顶点尸旋转时（点£

不与N、8重合），给出以下四个结论：①4E=CF；②AEP尸是等腰直角三角形；③/边形皿＞尸=；

@BE+CF=EF；⑤△8EP与△尸尸C的面积和无法确定.上述结论中始终正确的有（）

A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.②③④

10.（23-24九年级上•广东河源・期中）如图，在正方形/3C。中，48=4,AC,AD相交于点O,E,尸分

别为边3C,CD上的动点（点E,歹不与线段8C,CD的端点重合）且3£=CF,连接OE,OF,EF.在点£,

厂运动的过程中，有下列四个结论：①AOE/始终是等腰直角三角形；②尸面积的最小值是2；③至少

存在一个△ECF,使得的周长是4+2g；④四边形OECF的面积始终是4.其中结论正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

11.（2024・重庆•中考模拟预测）如图，在等腰直角“CB=90。，。是斜边A8的中点，点。、E分别在直角

边/C、上，且NDOE=90。，DE交OC于点、P.则下列结论:

（1）图形中全等的三角形只有两对;（2）V48c的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;（3）8+。£=收0/;

（4）AD2+BE~^2OPOC.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.（23-24九年级上•辽宁丹东•期中）如图，在正方形N8C。中，对角线4C,8。相交于点。，点E在8c边

上，且CE=2BE,连接NE交AD于点G,过点3作瓦F/E于点尸，连接。尸并延长，交8c于点过

9GF1

点。作ONLOF交。C于点N,S=~,以下四个结论：®—=-；②正方形N3CO的面积为9；

mMONC4AQ3

③OG=BG；®OF=—,其中正确的结论有（）

5

C.3个D.4个

13.（2024•黑龙江•校考一模）如图，在面积为4的正方形/3C。中，。是对角线/C,AD的交点，过点。作

射线。机ON分别交8C,8于点E,尸，且/EOF=90°,跖交于点G.下列结论：◎FOC才EOB；

@VOGE:\FGC；③四边形CEO尸的面积为1；④。尸2+族2=2OG-OC.其中结论正确的序号有（）

B.①②

D.①②③④

14.（23-24八年级上•广东茂名•期中）如图所示，在等腰直角AA8C中，点。为/C的中点，DEIDF,DE

交AB于E,DF交BC于F,若/召=26,EF=4,则尸C的长是.

15.（2024广东九年级模拟（二模））一副三角板按如图1放置，图2为简图，。为48中点，E、下分别是

一个三角板与另一个三角板直角边NC、5c的交点，已知NE=2,CE=5,连接。£,M为上一点，且满

定NCME=2/ADE,EM=

图2

16.（23-24九年级上•陕西榆林•期末）如图，在正方形中，AB=2,对角线/C、AD交于点。，点£、

b分别为边BC、CA上的动点（不与端点重合），且BE=CF,连接OE、OF、EF,则线段E尸的最小值

为.

17.（2024•山东德州•二模）如图，在等腰直角V/8C中，ZACB=90°,P是线段8c上一