2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型解读与提分训练

专题02三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风

筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于己有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航］

例题讲模型

........................................................................................................................................................1

模型L飞镖模型（燕尾）模型.................................................................1

模型2.风筝（鹰爪）模型....................................................................5

模型3.角内（外）翻模型....................................................................7

例题讲模型］

模型1.飞镖模型（燕尾）模型

模型解读

飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞

镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。

模型证明

基本模型：条件：如图1,凹四边形ABCD；结论：®ZBCD=ZA+ZB+ZD@AB+AD>BC+CD.

证明：连接AC并延长至点尸；在AABC中，/BCP=/BAC+/B；在△AC。中，ZDCP=ZCAD+ZD；

XzBAD=ZBAC+ZDAC,ZBCD=ZBCP+ZDCP；：.ZBAD+ZB+ZD=ZBCDo

延长BC交A。于点P；在AAB。中，AB+AQ>BC+CQ；在AO)。中，CQ+QD>CD。

即：AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,HAB+AD>BC+CDo

拓展模型1：条件：如图2,8。平分/ABC,。。平分/ADC；结论：ZO=1(ZA+ZC)O

2

证明：泮。平分NABC,。。平分/AOC；AZABO=-ZABC；ZADO^-ZADC；

22

根据飞镖模型：ZBOD=ZABO+ZADO+ZA=1-ZABC+LZADC+ZA；ZBCD=ZABC+ZADC+ZA；

22

/.2ZB0D=ZABC+ZADC+2ZA=ZBCD+ZA；即N0=L(NA+NC)。

2

拓展模型2：条件：如图3,AO平分CO平分/BCD；结论：ZO=1(ZD-ZB)o

2

证明：根据飞镖模型：NDCB=/D+/B+NDAB，:.NDCB-/DAB=ND+/B,

平分NZMB,CO平分NBCD,:.NDCO=gNDCB,ZDAO=^ZDAB,

：.ZDCO-ZDAO=^(NDCB-/DAB)=1(ZD+ZB),

VZDEA=ZOEC,：.ZD+ZDAO=ZO+ZDCO,：.ZD-ZO=ZDCO-ZDAO,

：.ZD-ZO=^CZD+ZB)，即/。=；(ZD-ZB)

模型运用

例1.（2023•福建南平•八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”.

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边

形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角

"凹’’逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.

（即如图1,NADB=/A+/B+NC）理由如下：

方法一：如图2,连结AB,则在AABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,

即/l+/2+N3+N4+NC=180°,

又：在△48。中，Zl+Z2+ZADB=180°,

ZADB=Z3+Z4+ZC,即

方法二：如图3,连结。并延长至F

VZ1和/3分别是AACO和的一个外角，.........

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论.

任务：（1）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是;

（2）探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分.

例2.（2023・湖北•八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,/C=30。,ND=35。,NE=72。，那么NF的度数是（）.

D

A.72°B.70°C.65°D.60°

例3.（2023・福建三明•八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号一箭号.我们不妨把这样

图形叫做“箭头四角形

图1图2图3

探究：（1）观察“箭头四角形"，试探究。与NA、/、NC之间的关系，并说明理由；

应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2,把一块三角尺屹放置在AABC上，使三角尺的两条直角边XY.XZ恰好经过点8、C,若NA=60。,

则NABX+NACX=；②如图。3,NABE、—ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF相交于

点、F,若Zfl4c=60。，ZBEC=130°,求bC的度数；

拓展：（3）如图4,BO,,CQ分别是NAB。、ZACO的2020等分线（7=1,2,3,…,2018,2019）,它们的交点

从上到下依次为。1、a、°3.........O2oi9.已知/BOC=m°,ZBAC=n°,则NBQ000c=_度.

例4.（2023・广东•八年级期中）如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC,为三角形内任意一点，连结AP,

并延长交BC于点。.求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.

BDC

模型2.风筝（鹰爪）模型

模型解读

A

模型证明

1）鹰爪模型：结论：ZA+ZO=Z1+Z2；

证明：是三角形A8。的外角，：.Zl=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZCAO+ZCOA；

：.Zl+Z2,=ZBA0+ZB0A+ZCA0+ZC0A=ZBA0+ZCA0+ZB0A+ZC0A=ZBAC+ZB0C=ZA+Z0o

2）鹰爪模型（变形）：结论：ZA+ZO=Z2-Zlo

证明：是三角形A3。的外角，：.Z1=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZDA0+ZD0A；

：.Z2-Z1=ZDAO+ZDOA-CZBAO+ZBOA^>=（ZDAO-ZBAO）+CZDOA-ZBOA）

=ZBAD+ZBOD=ZA+ZOo

模型运用

例1.（2023•四川绵阳•八年级校考阶段练习）如图，四边形48。中，Nl、N2、/3分别为NA、NB、ZC

的外角•判断下列大小关系何者正确？（）

A.Z1+Z3=ZABC+ZDB.Z1+Z3<ZABC+ZDC.N1+N2+N3=360。D.Zl+Z2+Z3>360°

例2.（2023•江苏连云港•七年级校考阶段练习）【问题情境】已知NA,在-A的两边上分别取点以C,在

NA的内部取一点。，连接03、OC.设NOA4=N1,1OCA?2,探索NBOC与—A、Nl、N2之间

的数量关系.

图1图2图3

【初步感知】如图1,当点。在AABC的边3c上时，ZBOC=180°,此时NA+/1+N2=18O。，则N3OC与

NA、Nl、N2之间的数量关系是/BOC=NA+N1+N2.

【问题再探】（1）如图2,当点。在AABC的内部时，请写出N3OC与—A、Nl、N2之间的数量关系并

说明理由；（2）如图3,当点。在AMC的外部时，/3OC与—A、Nl、N2之间的数量关系是；

【拓展延伸】（1）如图4,N1、/2的外角平分线相交于点P.

①若ZA=50。，ZBOC=100°,则NP=°；②若？BOC4?A且N尸=30°,则ZA=°；

③直接写出N30C与NA、2尸之间的数量关系；

（2）如图5,N1的平分线与N2的外角平分线相交于点。，则/。=（用N3OC、/A表示）.

例3.（23-24七年级下•山东聊城•期末）如图，在AABC中，NA=80。，点。、E是AABC边AC、AB上的

点;，点尸是平面内一动点.令NPDC=N1,NPEB=N2,NDPE=Na.

（1）若点尸在线段8C上，如图1所示，Zcr=50°,求N1+N2的值；

⑵若点尸在边5c上运动，如图2所示，则/a、Nl、N2之间的关系；

（3）若点尸运动到边CB的延长线上，如图3所示，则/a、Nl、N2之间有何关系？猜想并说明理由;

⑷若点尸运动到44BC外，如图4所示，则请表示Na、Nl、N2之间的关系，并说明理由.

模型3.角内（外）翻模型

模型解读

图3图4

模型证明

条件：如图3,将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，

结论：2/C=Nl+N2；

证明：是三角形CC'E的外角，：./l=/ECC*/ECC；同理，Z2=ZFCC,+ZFC,C；

Zl+Z2=ZECC'+ZECC+ZFCC+ZFC'C=ZECC+ZFCC+ZECC+ZFC'C=ZECF+NFCE=2ZC。

条件：如图4,将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，

结论：2NC=/2-/l。

证明：是三角形。。£的外角，：./l=/ECC*/ECC同理，Z2=ZFCC,+ZFC,C；

Z2-Z1=ZFCC'+ZFC'C-QECC&/ECC）=（FCC,-ZECC,）+QFCC-NEC'C）

=AEC'F+4FCE=2ZC。

模型运用

例L（23-24八年级上•广西南宁•期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张VABC的纸片，点。，E分

别在边力B,AC上，将VABC沿着0E折叠压平，A与A重合，若Nl+N2=130。，则ZA=.

例2.（23-24八年级下.山东德州•开学考试）如图，把VABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的

外面时，此时测得4=112。，ZA=40°,则/2的度数为（）

A.32°B.33°C.34°D.36°

例3.（2023春•江苏宿迁•七年级校考期中）（1）如图1,将"LBC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形3CDE

内点A的位置.则/A、NA'DC、NA'£B之间的数量关系为：；

（2）如图2,若将（1）中“点A落在四边形BCDE内点A的位置”变为“点A落在四边形3CDE外点A的位

置”，则此时NAZA'DC、NAM之间的数量关系为：；

（3）如图3,将四边形纸片ABCD（ZC=90°,AB^CD不平行）沿EF折叠成图3的形状,若川EC=115°,

ZA'FB=45°,求/ABC的度数；

（4）在图3中作出/DEC、/A'EB的平分线EG、FH,试判断射线EG、FH的位置关系，当点E在。C边上

向点C移动时（不与点C重合），ZD'EC.NA'EB的大小随之改变（其它条件不变），上述EG,尸〃的位置

关系改变吗？为什么？

图2图3

习题练模型

1.（2024.山东七年级期中）如图，把A48C纸片沿QE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则NA与21+

Z2之间有始终不变的关系是（）

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2C.3A=Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

2.（2023・河南•八年级假期作业）如图，在AABC中，ZA=20°,,ABC与/ACS的角平分线交于2,ZABD,

与ZACDt的角平分线交于点A,依此类推，ZABD,与ZACD,的角平分线交于点D5,则NBD5c的度数是（）

3.（2023•广东广州•八年级统考期中）如图，Zl,Z2,Z3,N4满足的关系式是（）

A.Z1+Z2=Z3+Z4B.Z1+Z2=Z4-Z3C.Z1+Z4=Z2+Z3D.Z1+Z4=Z2-Z3

4.（2023春•河南洛阳•七年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30。的角后得到一个六边形

BCDEMN,则N1+N2的度数为（）

A.100°B.105°C.200°D.210°

5.（2024.江苏.模拟预测）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点4的位置,

点8落在四边形CDMN内点？的位置，若？。90?,Z2-Z1=36°,则NC等于（）

A.36°B.54°C.60°D.72°

6.（2023•福建三明•八年级统考期末）如图AABC中，将边BC沿虚线翻折，若/1+/2=110。，则NA的度

7.（2023春•山东潍坊•七年级统考期末）在AABC中，ZB=40°,ZC=75°,将26、/C按照如图所示折

叠，若NAD3'=35°,则4+N2+N3=°

8.（2023•河北保定•统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCZX点C在直线8。的上方），且NA=70。,

ZBCD=120°,若使NABC、NAOC平分线的夹角NE的度数为100°,可保持NA不变，将NBCD（填

‘增大"或‘减小”）

A

9.(2023春・江苏•七年级专题练习)如图，8E是—ABD的平分线，CF是NACD的平分线，BE与CF交于

G,若N3DC=140。，ZBGC=UO°,贝lJZA=

10.(2023・重庆•八年级统考期末)已知，如图，P,。为三角形ABC内两点，B,P,Q,C构成凸四边形.

求证：AB+AC>BP+PQ+QC.

11.(2023春•福建福州•七年级校考期末)如图①，凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”，

(1)如图①，在规形ABCD中，若NA=80。，ZBDC=130°,ZACD=30°,则°；

(2)如图②，将AABC沿DE,EF翻折，使其顶点A,8均落在点。处，若NCDO+NCFO=72°,则ZC=°

(3)如图③，在规形ABCD中，ZBAC.ZBQC的角平分线AE、DE交于点、E,且4>NC,试探究

/C,2E之间的数量关系，并说明理由.

图①图②图③

12.（2023•北京•一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形一燕尾四边形的性质.

定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边

形（如图1）.

（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）

定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.

特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.

小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.

下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性

质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2,在燕尾四边形ABC。中，AB=AD=6,BC=DC=4,

ZBCD=120°,求燕尾四边形ABC。的面积(直接写出结果).

13.(2023春•福建福州•七年级校考期末)如图①，凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”,

图①图②图③

(1)如图①，在规形ABCD中，若NA=80。，ZBDC=130°,ZACD=3O。，则NABD=

(2)如图②,将MBC沿DE,EF翻折，使其顶点A,B均落在点。处，若ZCDO+ZCFO=72°,则ZC=

(3)如图③，在规形ABCD中，/BAC、ZBOC的角平分线AE、DE交于点、E,且NB>NC,试探究

ZC,-E之间的数量关系，并说明理由.

14.(2023•河北•八年级专题练习)如图①所示是一个飞镖图案，连接A8,BC,我们把四边形ABCD叫做“飞

镖模型”.

(1)求证：NADC=ND4B+ZOCB+NABC；(2)如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点

D,若NEER=120。，求上4+々+"+«+/石+/尸的度数.

c

E.A

图①图②

15.（2023春・江苏连云港•七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180。”.在三

（1）如图1,当点C落在边8C上时，若/ADC'=58。，则/C=,可以发现/ADC'与—C的数量关系

是；（2）如图2,当点C落在AABC内部时，且/BEC'=42。，ZADC'=20°,求—C的度数；（3）如图

3,当点C落在AABC外部时，若设/3EC的度数为无，/ADC的度数为》请求出NC与x,y之间的数量

关系.

16.（2024.江苏扬州•七年级校考期末）如图①，把AABC纸片沿OE折叠，使点A落在四边形3CE。内部点

4的位置，通过计算我们知道：244=/1+/2.请你继续探索：

⑴如果把AABC纸片沿OE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A的位置，如图②，此时,A与/1、Z2

之间存在什么样的关系？（2）如果把四边形A8C£＞沿时折叠，使点A、。落在四边形BCPE的内部4、D的

位置，如图③，你能求出NA、〃、N1与N2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）

17.（2024•江苏•七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180。且小于360。的角称为优角，如果

两个角相加等于360。，那么称这两个角互为组角，简称互组.

（1）若Nl、N2互为组角，且4=135。，则N2=°；

【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于180。的四边形俗称为镖形.

（2）如图①，在镖形ABCD中，优角/BCD与钝角/BCD互为组角，试探索内角NA、/B、/D与钝角

NBCD之间的数量关系，并说明理由；

【拓展延伸】（3）如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=；（用含a的代数式表示）

（4）如图③，已知四边形ABC。中，延长AZK交于点。，延长A3、DC交于P,ZAPD,—AQ8的

平分线交于点M，NA+/QCP=180。；①写出图中一对互组的角（两个平角除外）；

②直接运用（2）中的结论，试说明：PM±QM.

⑸如图④，BO：、C。,分别为/AB。，NACO的2019等分线（:1,2,3,…,2017,2018）.它们的交点从上

到下依次为Q，。2，03,!?2018.已知/BOC=〃?。，NBAC=n。,则/台。。®。=°.（用含加、

”的代数式表示）

A

18.(2023•云南保山•八年级校考期中)已知：点。是AABC所在平面内一点，连接A。、CD.

(1)如图1,若/A=28。，ZB=72°,ZC=11°,求/AOC；(2)如图2,若存在一点P,使得PB平分/

ABC,同时产。平分NAOC,探究/A,/P,NC的关系并证明；(3)如图3,在(2)的条件下，将点。

移至/ABC的外部，其它条件不变，探究/A,ZP,/C的关系并证明.

19.(2023春・江苏泰州•七年级校联考期中)已知，在“1BC中，Zfi4c=/4BC,点。在上，过点。的一

条直线与直线AC、BC分别交于点E、F.(1)如图1,NR4c=70。，贝|NCFE+/EEC=°.

(2)如图2,猜想Z5AC、NFEC、/CPE之间的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,直接写出,BAC、NFEC、/CFE之间的数量关系.

20.（23-24八年级下•贵州铜仁•期中）（1）如图1,已知VA3C为直角三角形,=90°,若沿图中虚线剪

去NC,贝I]Nl+N2=

（2）如图2,已知VABC中，ZA=45°,剪去2后成四边形，则Nl+N2=—

（3）如图3,当NA=cr时，将2A折成如图3形状，试求N1+N2的度数（用含的式子表不）.

专题02三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风

筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于己有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航］

例题讲模型

.........................................................................................................................................18

模型L飞镖模型（燕尾）模型................................................................18

模型2.风筝（鹰爪）模型....................................................................24

模型3.角内（外）翻模型....................................................................28

例题讲模型］

模型1.飞镖模型（燕尾）模型

模型解读

飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞

镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。

模型证明

基本模型：条件：如图1,凹四边形ABCD；结论：®ZBCD=ZA+ZB+ZD@AB+AD>BC+CD.

证明：连接AC并延长至点尸；在AABC中，/BCP=/BAC+/B；在△AC。中，ZDCP=ZCAD+ZD；

XzBAD=ZBAC+ZDAC,ZBCD=ZBCP+ZDCP；：.ZBAD+ZB+ZD=ZBCDo

延长BC交A。于点P；在AAB。中，AB+AQ>BC+CQ；在AO)。中，CQ+QD>CD。

即：AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,HAB+AD>BC+CDo

拓展模型1：条件：如图2,8。平分/ABC,。。平分/ADC；结论：ZO=1(ZA+ZC)O

2

证明：泮。平分NABC,。。平分/AOC；AZABO=-ZABC；ZADO^-ZADC；

22

根据飞镖模型：ZBOD=ZABO+ZADO+ZA=1-ZABC+LZADC+ZA；ZBCD=ZABC+ZADC+ZA；

22

/.2ZB0D=ZABC+ZADC+2ZA=ZBCD+ZA；即N0=L(NA+NC)。

2

拓展模型2：条件：如图3,AO平分CO平分/BCD；结论：ZO=1(ZD-ZB)o

2

证明：根据飞镖模型：NDCB=/D+/B+NDAB，:.NDCB-/DAB=ND+/B,

平分NZMB,CO平分NBCD,:.NDCO=gNDCB,ZDAO=^ZDAB,

：.ZDCO-ZDAO=^(NDCB-/DAB)=1(ZD+ZB),

VZDEA=ZOEC,：.ZD+ZDAO=ZO+ZDCO,：.ZD-ZO=ZDCO-ZDAO,

：.ZD-ZO=^CZD+ZB)，即/。=；(ZD-ZB)

模型运用

例1.（2023•福建南平•八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”.

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边

形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角

"凹’’逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.

（即如图1,NADB=/A+/B+NC）理由如下：

方法一：如图2,连结AB,则在AABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,

即/l+/2+N3+N4+NC=180°,

又：在△48。中，Zl+Z2+ZADB=180°,

ZADB=Z3+Z4+ZC,即

方法二：如图3,连结。并延长至F

VZ1和/3分别是AACO和的一个外角，.........

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论.

任务：（1）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是;

（2）探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分.

【答案】（1）三角形的内角和定理（2）见解析

【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结C。并延长至凡由三角形外角的性质即可证明.

【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理，

故答案为：三角形的内角和定理；

（2）连结CD并延长至尸，和/3分别是“C。和△BCO的一个外角，

Zl=Z2+ZA,Z3=Z4+ZB,.-.Z1+Z3=Z2+ZA+Z4+ZB,ZADB=ZA+ZACB+ZB.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的

关键.

例2.（2023・湖北•八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,ZC=30°,ZD=35°,ZE=72°,那么/尸的度数是（）.

A

【答案】B

【分析】延长BE交CF的延长线于0,连接AO,根据三角形内角和定理求出/BOC,再利用邻补角的性质

求出/QEO,再根据四边形的内角和求出/DHO,根据邻补角的性质即可求出的度数.

【详解】延长BE交CF的延长线于。，连接A。，如图，

,/ZOAB+ZB+ZAOB=180°,/.ZAOB=180°-ZB-ZOAB,

同理得440。=180°-/。4。-",：ZAOB+ZAOC+ZBOC=360°,

o

/.ZBOC=360O-ZAOB-ZAOC=360°-(180-ZJB-ZOAB)-(180°-ZOAC-ZC)

=NB+NC+ABAC=107°,

•/ABED=72°,ZDEO=180°-ABED=108°,

ZDFO=360°-ZD-ZDEO-Z.EOF=360o-35°-108o-107°=110°,

“P。=180°—/0尸0=180°—110°=70°,故选：B.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是

会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的

两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180。("-2).

例3.(2023・福建三明•八年级统考期末)如图1所示的图形，像我们常见的符号一箭号.我们不妨把这样

图形叫做“箭头四角形

AA

AA

探究：（1）观察“箭头四角形"，试探究N3DC与NA、NB、NC之间的关系，并说明理由;

应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题:

①如图2,把一块三角尺屹放置在AABC上，使三角尺的两条直角边XF、XZ恰好经过点8、C,若NA=60。,

则NABX+NACX=；②如图。3,NABE、/ACE的2等分线（即角平分线）BF、C尸相交于

点尸，若Zfi4c=60。，ZBEC=130°,求/3PC的度数；

拓展：（3）如图4,BOt,C。,分别是ZABO、ZACO的2020等分线（7=1,2,3,…,2018,2019）,它们的交点

从上到下依次为。1、。2、U、…、O2oi9.已知々OC=〃7°,ZBAC=n°,则NBOMOC一度.

【答案】（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC,理由见详解；（2）①30；②95。；（3）——~-

【分析】⑴连接AD并延长至点E,利用三角形外角的性质得出NBDE=ZBAD+ZB,ZCDE=ZCAD+ZC,

左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论有NBXC=NA+NABX+NACX,再把已知的

角度代入即可求出答案；②先根据/班。=/胡。+//腔+44小求出//睡+44小，然后结合角平分线

的定义再利用NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+-（/ABE+ZACE）即可求解；

2

（3）先根据N3OC=N3AC+NABO+NACO求出Z4BO+NACO,再求出NAB。。。。+/ACO］。。。的度数，最

后利用ZBO1000C=ZBAC+ZABO1000+ZACO1000求解即可.

【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E,丫NBDE=NBAD+NB,NCDE=NCAD+NC,

又,/NBDC=ZBDE+ZCDE,ABAC=ABAD+ACAD,：.ZBDC=ABAC+ZB+ZC

（2）①由（1）可知NBXC=NA+/ABX+NACX

VZA=60°,ZBXC=90°ZABX+ZACX=NBXC-ZA=90°-60°=30°

②由（1）可知/BECu/fiAC+ZABE+ZACE1

ZBAC=600,ZBEC=130°AABE+ZACE=ZBEC-ZBAC=130°-60°=70°

•.•3/平分/ABE,CF平分NACEABF=-ABE,ACF=-ACE

22

NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+1(NABE+ZACE)=95°

(3)由(1)可知4OC=NBAC+ZABO+ZACO

"?ZBOC=m°,ABAC=“°/.ZABO+ZACO=ZBOC-ABAC=m°-n°

,?BO,,CO,分别是ZAB。、NACO的2020等分线d=1,2,3,…,2018,2019)

.,.„,.m°-n°50m°-50n°

,,NABDQooo+NACOiooo=2020X1°°°=

50m°+51〃°

•••^BOlW0C=ABAC+ZABOim+ZACOI000=———

【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题

的关键.

例4.(2023・广东•八年级期中)如图，在三角形A8C中，AB>AC>BC,为三角形内任意一点，连结A尸,

并延长交BC于点D求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.

【详解】(1)VAB>AC,：.ZABD<ZACD,VZADB>ZACD,：.ZADB>ZABD,：.AB>AD

'：AC>BC,：.AB+AC>AD+BC

(2)过点尸作EF〃3C,交AB、AC于E、F,则N/4EF=NABC,ZAFE^ZACB

由(1)知AE+AF>AP+EF

VBE+EP>BP,CF+FP>CP：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AC>AP+BP+CP(几何证明中后一问常常要用到前一问的结论)

模型2.风筝（鹰爪）模型

模型解读

A

模型证明

1）鹰爪模型：结论：ZA+ZO=Z1+Z2；

证明：是三角形A8。的外角，：.Zl=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZCAO+ZCOA；

：.Zl+Z2,=ZBA0+ZB0A+ZCA0+ZC0A=ZBA0+ZCA0+ZB0A+ZC0A=ZBAC+ZB0C=ZA+Z0o

2）鹰爪模型（变形）：结论：ZA+ZO=Z2-Zlo

证明：是三角形A3。的外角，：.Z1=ZBAO+ZBOA；同理，Z2=ZDA0+ZD0A；

：.Z2-Z1=ZDAO+ZDOA-CZBAO+ZBOA^>=（ZDAO-ZBAO）+CZDOA-ZBOA）

=ZBAD+ZBOD=ZA+ZOo

模型运用

例1.（2023•四川绵阳•八年级校考阶段练习）如图，四边形48。中，Nl、N2、/3分别为NA、NB、ZC

的外角•判断下列大小关系何者正确？（）

A.Z1+Z3=ZABC+ZDB.Z1+Z3<ZABC+ZDC.N1+N2+N3=360。D.Zl+Z2+Z3>360°

【答案】A

【分析】根据多边形的外角和是360。及三角形的外角定理求解判断即可.

【详解】解：如图，连结2D延长AD到4

•/Z1=ZABD+ZADB,Z3=ZDBC+ZBDC,

Z1+Z^ZABD+ZADB+ZDBC+ZBDC=ZABC+ZADC,

故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意;

,多边形的外角和是360°,Z1+Z2+Z3+ZEDC=360°Zl+Z2+Z3<360°

故选项C不正确，不符合题意；选项。不正确，不符合题意.故选：A.

【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是360。是解题的基础.

例2.（2023•江苏连云港•七年级校考阶段练习）【问题情境】已知1A,在，A的两边上分别取点2、C,在

NA的内部取一点。，连接。3、OC.设NOA4=NL?OCA?2,探索NBOC与NA、Nl、N2之间

图1图2图3

【初步感知】如图1,当点。在AABC的边8C上时，ZBOC=180°,此时NA+Nl+/2=180。，则N30C与

NA、Nl、N2之间的数量关系是N3OC=/A+N1+N2.

【问题再探】（1）如图2,当点。在&4BC的内部时，请写出N3OC与/A、Nl、N2之间的数量关系并

说明理由；（2）如图3,当点。在AABC的外部时，/BOC与NA、/I、N2之间的数量关系是；

【拓展延伸】（1）如图4,Nl、N2的外角平分线相交于点P.

①若NA=50°,ZBC>C=100°,则NP=°；②若？BOC4?A且NP=30。，贝U/A=°；

③直接写出N3OC与NA、IP之间的数量关系；

（2）如图5,N1的平分线与N2的外角平分线相交于点。，则/。=（用N3OC、-A表示）.

图4图5

【答案】［问题再探］(1)结论：ZBOC=ZBAC+Z1+Z2.证明见解析；(2)NBOC+NBAC+N1+N2=360。；

［拓展延伸］(1)①25；②20；@ZBOC=ZA+2ZP；(2)|(180°+ZA-ZBOC)

【分析】［问题再探］(1)如图2中，结论：ZBOC=ZBAC+Z.1+Z2.连接49,延长A。到厂.利用三角

形的外角的性质解决问题即可.(2)利用四边形内角和定理解决问题即可.

［拓展延伸］(1)①求出Nl+/2=210。，再利用结论，构建关系式即可解决问题.

②根据Zl+Z2=360°-5ZA=360°-2(4ZA-30°),可得结论.

③根据Nl+N2=360。-ZA-NBOC=360°-2(/BOC-NP),可得结论.

(2)结论：ZBOC+ZQ-ZA=180°.ZABQ=ZOBQ=x,ZACQ=y.构建方程组求解即可.

【详解】解：［问题再探］(1)如图2中，结论：ZBOC=ABAC+Zl+Z2.

理由：连接AO,延长A。到产.

■.■ZBOF=ZBAF+Zl,ZFOC=ZFAC+Z2,

Z.BOC=NBOF+ZFOC=NBAF+Z1+ZFAC+Z2=ABAC+Z1+Z2.

(2)如图3中，结论：ZBOC+ABAC+Zl+Z2=360°.

理由：连接AO.•/Zl+ZBAO+ZBOA=180°,Z2+ZCAO+ZAOC=180°,

Z1+ZBAO+ZBOA+Z2+ZCAO+ZAOC=360°,ZBOC+ABAC+Z.1+Z2=360°.

［拓展延伸］①如图4中，VZA=50°,ZBOC=100°,Zl+Z2=360°-50°-100°=210°,

•••4、N2的外角平分线相交于点尸，.•./尸20+/尸。。=：(360。-210。)=75。，

ZP=ZBOC-ZPBO-ZPCO=100°-75°=25°,故答案为：25.

@-.-ZBOC=4ZA,ZP=30°,Zl+Z2=360°-5ZA=360°-2(4ZA-30°),.-.ZA=2O0,故答案为：20.

(§)•.•Zl+Z2=360°-NA-ZBOC=360°-2(ZBOC-ZP),ZBOC=ZA+2ZP.

(2)如图5中，结论：2ZQ=1SO°+ZA-ZBOC.理由：ZABQ=ZOBQ=x,ZACQ=y.

ZA+x=ZQ+y@

则有②一①可得，2ZQ=180°+ZA-ZBOC,

NQ+x+ZBOC+N2+y=360。②

即/。=；(180。+/4-/20。)，故答案为：1(180°+ZA-ZBOC).

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问

题，属于中考压轴题.

例3.(23-24七年级下•山东聊城・期末)如图，在AABC中，ZA=80°,点。、E是“LBC边AC、AB上的

点，点尸是平面内一动点.令/PDC=AZPEB=N2,ZDPE=Za.

(1)若点尸在线段BC上，如图1所示，Zcr=50°,求N1+N2的值；

(2)若点尸在边8