2025年中考数学复习：因动点产生的面积问题巩固练习

因动点产生的面积问题巩固练习

【巩固练习1]

如图①在AABC中,AB=BC,BD，AC于点D（AD>BD）动点M从A点出发，沿折线AB-BC方向运动，运动到点

C停止.设点M的运动路程为x,AAMD的面积为y,y与x的函数图象如图②，则AC的长为（）

图①图②

A.3B.6

C.8D.9

【巩固练习2]

如图矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8点M、N分别在矩形的边AD、BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠，使

点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处，连接PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论:①四边形CMPN是

菱形;②点P与点A重合时,MN=5;③△PQM的面积S的取值范围是4WSW5.其中所有正确结论的序号是（）

C.①③D.②③

【巩固练习3】

如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,AD=6cm点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿A-B—C-D运

动，当点P与点D重合时停止运动.设运动的时间为t（单位：s）,AAPD的面积为S（单位:cm）则S随t变化的函数图

象大致为（）

【巩固练习4]

如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC//X轴，直线y=2x+l沿x轴正方向平移，在平移

过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a,直线在x轴上平移的距离为b,a、b间的函数关系图象如图②所

示，那么矩形ABCD的面积为（）

图②

A.V5B.2V5

C.8D.10

【巩固练习5]☆

如图.在AABC中,/BAC=3（T,/ACB=451AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动，连接

CP,点A关于直线CP的对称点为A；连接ACAP.在运动过程中，点A，到直线AB距离的最大值是一点P到

达点B时，线段A'P扫过的面积为

A

B

P

C^----------------------^4

【巩固练习6]

如图①在AABC中,/ACB=90°,AC=BC,点D是AB边上一点(含端点A、B),过点B作BE垂直于射线CD,垂

足为E,点F在射线CD上，且EF=BE,连接AF、BF.

图①图②

(1)求证:△ABF-ACBE;

(2)如图②，连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN.求/PMN的度数及黑

PM

的值；

(3)在⑵的条件下，若BC=夜，直接写出APMN面积的最大值.

【巩固练习7]

已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

⑴如图①，连接BG、CF,求黑的值；

D(J

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、N,连接MN,试探究:MN与

BE的关系，并说明理由；

(3)连接BE、BF,分别取BE、BF的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.

FF

图①图②

备用图E

1.由图2知，AB+BC=2V13,

：AB=BC,

•••AB=V13,

VAB=BC,BDXAC,

；.AC=2AD,ZADB=90°,

在RtAABD中,AD2+BD2=AB2=130,

设点M到AC的距离为h,

SADM=34。'h,

动点M从A点出发，沿折线ABTBC方向运动，

当点M运动到点B时,AADM的面积最大,即h=BD油图2知，AADM的面积最大为3,

1

/.-AD-BD=3,

2

AADBD=6②，

①+2x②得，AD2+BD2+2AD•=13+2X6=25,

(AD+BD)?=25,

・・・AD+BD=5(负值舍去)，

ABD=5-AD@,

将③代入②得,AD(5-AD)=6,

・・・AD=3或AD=2,

VAD>BD,

・・・AD=3,

・・・AC=2AD=6,

故选:B.

2」・,PM〃CN,

JZPMN=ZMNC,

NMNC=NPNM,

・•・ZPMN=ZPNM,

APM=PN,

VNC=NP,

APM=CN,

・.・MP〃CN,

・・・四边形CNPM是平行四边形，

VCN=NP,

・・・四边形CNPM是菱形，

故①正确；

如图1,当点P与A重合时,设BN=x，则AN=NC=8-x,

在RtAABN中,AB2+BN2=AN2G

即42+%2=(8-x)2,

解得x=3,

；.CN=8-3=5,

VAB=4,BC=8,图1

AC=7AB2+BC2=4V5,

ACQ=|XC=2V5,

QN=y/CN2-CQ2=V5,

MN=2QN=2V5,

故②不正确；

由题知,当MN过点D时.CN最短,如图2,四边形CMPN的面积最小，

止匕时S=1S菱形CMPN=^x4x4=4,

44

当P点与A点重合时，CN最长，如图1,四边形CMPN的面积最大,

止匕时S=^x5x4=5,

4

4<S<5正确，

故选C.

3.当点P在线段AB上运动时，AP=2tcm,S=]x6x2t=6九爪2,是正比例函数，排除B选项；当点P在线

段BC上运动时,S=jx6x8=24cn?2；当点p在线段CD上运动时，DP=8+6+8-2t=22-2t)S=}x

力。xDP/x6x(22—2t)=(66-6t)cm,是一次函数的图象,排除A,C选项，D选项符合题意；故选:D.

4.如图所示，过点B、D分别作y=2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F.

由图象和题意可得.4E=4-3=1,CF=8-7=1,

BE=DF=V5,BF=DE=7-4=3,

则AB=y/BE2-AE2=V5-1=2,

BC=BF+CF=3+1=4,

，矩形ABCD的面积为AB-BC=2x4=8.

故答案为：8.

5.如图1中，过点B作B”14c于H.

在Rt△AB”中,BH=AB-sin300=1,

AH=WBH=V3,

在Rt△BCH中，4BCH=45°,

CH=BH1,

•••AC=CAr=1+V3,

当CA'1AB时,点.4到直线AB的距离最大，设CA，交AB的延长线于K.

在RtA4CK中，CK=AC•sin30°=2,

A'K=CA'-CK=1+V3-2=2.

)

如图2中，点P到达点B时，线段AP扫过的面积=S^..A-2SABC=%弋可_2xix(l+V3

屈形ACA5oUZ'

xl=(1+2)TT-1-V3

故答案为：2,(1+2)兀—1—V3.

6.⑴证明:如图1中,

•••CA=CB,angleACB=90°,EF=EB/BEF=90°,

/-CBA=乙EBF=45°,AB=近BC,BF=yjl.BE,

Z.CBE=ZABF,第=镶=6，

⑵如图2中,延长PM交AF于T.

图1

•••BE1CF,

・•.Z.CEB=90。，

△ABF△CBE,

•••乙CEB=AAFB=90=V2,

ECBC

:,AF=^EC)

•・•乙EFB=45。，

・•・AAFC=45。，

vAP=PC=ME,

・•・PTCFtM=^EC,

•AM=ME=NF

・•.MN//AFfMN=^AFf

・•・四边形MNFT是平行四边形，MN=y[2PM,

・•・乙TMN=/.AFC=45°

・•・乙PMN=135。，

PM-

—=2;

MN

(3)AC=BC,angleACB=90°,=8,

AC=BC=4vx

•••MN=五PM,乙PMN=135°,PM=^EC,

当EC的值最大时，PM的值最大，

当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为4或，此时PM=2近,

7.⑴如图①,连接AF,AC,

图①

,/四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，

：.4c=例B,4F=ZCAB=ZGAF=45,

^BAD=90°,

CALC4CACAF

・••Z.CAF=/-BAG—=—

ABAG

△CAF△BAG,

生=V2;

BG

⑵BE=2MN,MN1BE,

理由如下：如图②，连接ME,过点C作（C”||EF,交直线ME于H,连接BH,设CF与AD交点为P,CF与AG

交点为R,

D

图②

VCH\\EF,

VCH/7EF,

JZFCH=ZCFE,

・・,点M是CF的中点，

ACM=MF,

又TN