2025年新高考数学专项复习：不等式章末九大重点题型（解析版）

专题2-3不等式章末重点题型九大题型汇总

。常考题型目录

题型1不等式的性质与应用........................................................1

题型2不等式求代数式的取值范围..................................................3

题型3不等式解集问题............................................................6

题型4含参一元二次不等式.......................................................10

题型5三个二次之间的关系.......................................................16

题型6不等式在实际问题中的应用.................................................21

题型1一元二次不等式的恒成立与有解问题........................................27

题型8基本不等式...............................................................29

题型9基本不等式的恒成立与有解问题............................................34

但题型分类

题型1不等式的性质与应用

【方法总结】

在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：

其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。

其二：采用赋值法麻殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；

不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a,该性质称为对称性；

(2)如果a>bfb>c,那么,该性质称为传递性；

(3)如果a，贝b+c>b+c,反之也成立，该性质称为可加性；

(4)如果a>b,c>0,贝！Jac>be；如果a>b,c<0,则be；

(5)如果a>b,c>d,贝!+c>b+d；

(6)如果a>b>0,c>d>0,则bd；

1n

(7)如果a>b>0fn>2,贝(Jef>b.

【例题1】(2023秋•广东清远•高一统考期末)"a>c>6>0"是心胃>a'的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】做差可判断充分性，取a>c〉b>。可判断必要性可得答案.

「、十乙缶七[CL—bac(a-b)—ct(c-b')匕(a—c)

LffWJ-c(c-b)-C(C-ZJ)，

当a>c>b>0时,a-c>0,c-b>0,所以二--=>0,

c-bcc(c-b)

可得二>2,所以充分性成立；

c—bc

但当a>0>c>b时，*S>0即=>地成立，

c-bcc(c-b)c-bc

所以必要性不成立.

因此"a>c>b>0"是个>-的充分不必要条件.

c—bc

故选：B.

【变式1-1]1.(2023秋・浙江•高一期末)"曰>⑹是"x2>严的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

22

【详解】y[x>y/y^>x>y>0^x>y,充分性成立；

若/>y2,比如久=-2,y=-1,此时代不存在,必要性不成立，

所以"«>万"是"/>/"的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1-1】2.(多选)(2023秋•重庆九龙坡•高一重庆市杨家坪中学校考期末)下列命题

为真命题的是（）

A.若a>b,c>d,贝!JQ+c>b+d

B.若a<b<0,c<0,贝/<不

2

C.若a>b,贝！Jac?>bc

D.若a>b,c>d,贝!Jac>bd

【答案】AB

【分析】利用不等式的基本性质可判断A;利用作差法比较出大小可判断B;举出反例可判

断CD.

【详解】对于A,由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；

对于B因为匕—a>0,c<0,ab>0,所以£一：<0,故B正确；

ababab

对于C,当c=0时，ac2=6c2故c错误；

对于D,当a=—1,b——2.c—2,d—1时，ac=bd,故D错误；

故选：AB.

【变式（2023春•山东聊城•高二统考期末越够说明"若a》加均为正数，则震<，

是真命题的一组数a,b可以为a=,b=.（写出一组即可）

【答案】12（只要满足0<a<6即可）

【分析】由命题是真命题，得1=牛警>0,进而可得0<a<b.

aa+maQa+m）

【详解】因为命题"若a,b,巾均为正数，则学<--是真命题，

a+ma

所以2-学=华警>0,因为a,b,巾均为正数，

aa+ma（a+m）

所以可得0<a<b,不妨取a=1,b=2.

故答案为：1；2.

题型2不等式求代数式的取值范围

【方法总结】

方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解

方法二.由待定系数法确定其系数，进行不等式范围的求解

【例题2](2023秋•山东济宁•高一曲阜一中校考期末)已知。<a—b<2,2<a+6<4,

则3a+b的范围是()

A.(4,8)B,(6,10)C.(4,10)D.(6,12)

【答案】C

【分析】首先用a-b和a+6表示3a+b,再根据条件的范围，求解3a+b的范围.

【详解】设3a+b=x(a—b)+y(a+b)=(x+y)a+(y—x)b,

得席二：，解得丈二,

所以3a+b=(a—b)+2(a+b),

因为0<.a—b<.2,2<a+b<4,所以4<2(a+b)<8,4<(a-b)+2(a+b)<10,

所有3a+6的范围是(4,10).

故选：C

【变式2-1]1.(2023春河北保定•高一校联考期末)已知-3<m+n<3,l<m-n<5,

则n-37n的取值范围是()

A.(—13,1)B.(—16,4)C.(—11,—1)D.(—7,—5)

【答案】A

【分析】设几-3m=x(m+n)+y(m-n),由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即

可得到结果.

【详解】设n-3m=x(m+n)+y(m-n)，则,所以二,因为一3<m+

n<3,

所以—3<—(m+n)<3.因为1<m—n<5,所以—10<—2(m—n)<—2,

故—13<n—3m<1.

故选：A

【变式2-1J2.(2023春・广东揭阳•高一统考期末)已知a,b&R，且—5<a<2,1<6<4,

则3a-b的取值范围是.

【答案】(-19,5)

【分析】利用不等式的基本性质求解.

【详解】解：因为a,bER,且一5<a<2,1<b<4,

所以-15<3a<6,—4<—b<—1,

以一19<3a—b<5,

所以3a-6的取值范围是(-19,5)

故答案为：(-19,5)

【变式2-1]3.(2023春・天津河西•高二统考期末)已知1<a<3,2<b<4,则/勺取

值范围是.

【答案】GI)

【分析】利用不等式的性质求解.

【详解】•.♦2<b<4,.[

又.「1<a<3,<^<|z

.•梆取值范围是©I).

故答案为：&|).

【变式2-1]4.(2023秋・北京•高一北京市十一学校校考期末)已知对于实数x,y，满足

|2x+3y|<10,|工—y|W5,则|x+2yl的最大值为

【答案】7

【分析】由题意可得-10<2%+3y<10,-5<%-y<5,且x+2y=|(2x+3y)-

,利用不等式的性质即可求解

【详解】由|2x+3y|<10,|x-y|<5可得-10<2x+3y<10,-5<x-y<5,

因为x+2y=|(2x+3y)-|(x-y),-6<|(2x+3y)<6,-1<-|(x-y)<1

所以一7<x+2y<7,故忱+2y|W7,则|x+2yl的最大值为7,

故答案为：7

【变式2-1]5.(2021秋・浙江•高一期末)已知—1<%+y<4,2<x-y<3,则x的范

围是,3x+2y的范围是.

【答案】(第)(一泻)

【分析】利用不等式的基本性质可求得久的取值范围，利用待定系数法可得3x+2y=

j(x+y)+|(x-y),利用不等式的基本性质可求得3%+2y的取值范围.

【详解】••・一1<x+y<4,2<x-y<3，两个不等式相加可得1<2x<7解得]<x<1,

设3%+2y=m(x+y)+n(x—y)=(m+n)x+(m—n)y,

所以，[爪,解得m=l,n=]

—n=222

因为一|<|(x+y)<10,1<|(x-y)<|,

由不等式的基本性质可得-1<3%+2y<

故答案为：(H)；(—泻)・

【点睛】易错点点睛：本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，一般而言，不

等式次数用得越多，所得代数式的取值范围越不准确，本题在求3x+2y的取值范围时，可

充分利用待定系数法得出3x+2y=l(x+y)+l(x-y),进而利用不等式的基本性质求解.

题型3不等式解集问题

【方法总结】

1.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

(1)去分母；

(2)去括号;

(3)移项；

(4)化成(或〃等)的形式(其中)；

(5)两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集.

2.解一元一次不等式组的一般步骤

(1)求出不等式组中各个不等式的解集；

(2)在数轴上表示各个不等式的解集；

(3)确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集.

3.解一元二次不等式的常见方法

⑺图象法：

①化不等式为标准形式：”+区+c>0佃或ax?++c<0佃>0；

②求方程ax2+bx+c-0佃>0)的根，并画出对应函数了=ax2+bx+c图象的简图；

③由图象得出不等式的解集.

⑵代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.

2.方法归纳：数形结合，分类讨论.

3.常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘-，化为正的.

【例题31(2021秋•江西南昌•高二南昌市实验中学校考期末)"|尤-1|<2"是'<3"

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】化简氏-II<2,根据真子集关系可得答案.

【详解】因为|x-1|<2=—2<x—l<2o—1<x<3,且(—1,3)是(—8,3)的真子集，

所以"1%-1|<2"是"x<3"的充分不必要条件.

故选：A

【变式3-1]1.(2022秋•云南曲靖•高一校考期末)"久+：>2"是"x>0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求解》+:>2再根据充分与必要条件的性质求解即可•

【详解】当x<0时，x+：<0不满足x+12；

当x>。时，x+1>2即/+1>2x,(%—I)2>0,解得x6(0,1)U(1,+oo).

综上：》+(>2等价于0<%<1或x>1,

故"x+?>2"是"x>0"的充分不必要条件.

故选：A

【变式3-1]2.(2023春•西藏日喀则•高二统考期末)设「：久212<0,q：£21,

则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先分别解出一元二次不等式与分式不等式，再根据集合的包含关系判断即可.

【详解】由％2—x—12<0,即(汽—4)(%+3)<0,解得—3<%<4z

由W21，贝肛-W=WW0，即{0，解得一3<x<4,

因为(-3,4)真包含于(-3,4],所以p是q的充分不必要条件.

故选：A

【变式3-1]3.(多选)(2023春•河南开封•高二校联考期末)有下列式子：①万<4；②。<

x<4；③一2<x<4；④一2<x<3.其中，可以是/一2x-8<0的一个充分条件的序号

为()

A.①B.②C.③D.④

【答案】BCD

【分析】解不等式/-2x-8<0,利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详角牟】"x2—2x—8<0,—2<x<4,

v{x\x<4}{x|-2<%<4}z{x|0<%<4}{x|-2<x<4}z{x|—2<x<

3}{x|-2<%<4}.

••・②③④是一一2x—8<0的充分条件.

故选：BCD.

【变式3-1]4.(2021秋•陕西渭南•高二统考期末)不等式(3久-1)(%+3)(x+1)<。的

解集是.

【答案】(一8,-3)U(-1()

【分析】根据穿针引线法即可求解.

【详解】令(3%-1)(%+3)(%+1)=0得%1=-3,第2=-1，%3=]如图穿针引线,

故答案为：(-8,-3)U(-1().

【变式3-1]5.(2022秋・新疆乌鲁木齐•高一校考期末)解不等式：

⑴争W2

(2)(2—%)(%+3)<2—%.

【答案】⑴口|一1WXW5}

(2){x|x<—2或x>2].

【分析】(1)根据题意，化简不等式为-6<2x-4<6,即可求得不等式的解集；

(2)化简不等式为产-4>0,进而求得不等式的解集.

【详解】(1)解：由|1-笞斗W2,可得|专|<2,即一2W2,

整理得—6<2x—4<6,解得—1<x<5,即不等式的解集为{幻—1WxW5}.

(2)解：由不等式(2-x)(x+3)<2-x,整理得/一4=(%-2)(%+2)>0,

解得x<—2或乂>2,所以不等式的解集为{x|x<—2或久>2}.

题型4含参一元二次不等式

【方法总结】

含参一元二次不等式的解法有以下几种:

1、当A=b2-4acz0时，二次三项式,ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c=0，总可

分解为a(x-xi)(x-x2)的形式。这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式

组。一元二次不等式的解集，就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。

2、用能方法解一元二次不等式。

3、通过一元二次函数图象进行求解，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所

需求的"<0"或">0”而推出答案。

4、数轴穿根:用根轴法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因

式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从X轴的右端上方

起，依次穿过这些零点。

5、这大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值集合，小于零的这相

反。这种方法叫做序轴标根法。

对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一

元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时

需要对判别式进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，

且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小

进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二

次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小

进行比较。

【例题4]（2023春•安徽亳州•高一涡阳县第二中学校联考期末）定义行列式J："=ad-

6c,若行列式,则实数a的取值范围为（）

A.1,|）B.（-00,-1）u

D.（-8,-1）u（1,+8）

【答案】A

【分析】根据行列式的定义得到关于a的一元二次不等式，解得即可.

【详解】因为甘口，即2a2-lx3<lxa-4x0,即2a2-a-3<0,

即（2a—3）（a+1）<0,解得—1<a<|,所以实数a的取值范围为（一1,|）.

故选：A

【变式4-1]1.（2023秋•辽宁朝阳•高一建平县实验中学校考期末）若土>1,则关于久的

不等式（t一%）（%一3>0的解集是（）

A.^x|i<x<tjB.{x[久<或x>t}C.{x\x<t或x>|jD.{x[t<x<|j

【答案】A

【分析】首先根据不等式的性质可得：<t,进而将不等式转化为(久-t)(%-0<0,求解

即可得出结果.

【详解】因为"？=智口，t>l,所以〜”。，所以t>(.

原不等式(t一x)(x-J>0可化为所以(％-t)(%-0<0,解得?<久<t.

所以，不等式(t一x)(X-3>0的解集为{%||<x<tj.

故选：A.

【变式4-1]2.(多选)(2022秋•江西上饶•高一统考期末)下列关于不等式/—(a+l)x+

a>0的解集讨论正确的是()

A.当a=1时，/一(a+l)x+a>。的解集为0

B.当a>1时,X2—(a+l)x+a>。的解集为(a,+oo)

C.当a<1时，/-(a+l)x+a>0的解集为<a或久>lj

D.无论a取何值时，/-(a+1沈+a>。的解集均不为空集

【答案】CD

【分析】由一元二次不等式的解法逐一判断可得选项.

【详解】解：对于A,当口=1时,原不等式为/—2x+l=(%—1)2>0,解得x片1,故A

不正确；

对于B,当a>l时，原不等式为/-(a+l)x+a-(x-l)(x-a)>0,解得x<1或久>a,故

B不正确；

对于C,当a<1时，原不等式为/-(a+l)x+a=(x—l)(x-a)>0,解得比>1或无<a,

故C正确；

对于D,由二次函数/O)=/_(a+l)x+a，开口向上，所以无论a取何值时，不等式均

有解，故D正确；

故选：CD.

【变式4-1J3.(2023春・北京朝阳•高一统考期末)已知a>0,则关于x的不等式/-4a比-

5a2<。的解集是.

【答案】(—a,5a)

【分析】关于x的不等式/—4ax-5a2<0等价于(x-5a)(x+a)<0,结合a的范围，比

较根的大小，即可得结果.

【详解】关于久的不等式/-4ax-5a2<0等价于(x-5a)(x+a)<0,

由a>0,彳导5a>—a,

所以不等式的解集为(-a,5a).

故答案为：(-a,5a)..

【变式4-1]4.(2023秋•辽宁本溪•高一校考期末)若关于x的不等式a比+b<。的解集为

(-2,+oo),则关于的不等式a/+b久-3a>。的解集为

【答案】(-3,1)

【分析】根据一元一次不等式的解集得到a<。且6=2a,从而得到/+2x-3<0,解出

答案即可.

【详解】由题意得：ax<-b,则x>--a,可知a<。且6=2a,

则+ft%—3a>0变形为a/+2ax—3a>0,

不等式两边同除以a得：/+2%-3V0,

解得：一3V第V1,

不等式的解集为(-3,1).

故答案为：(-3,1)

【变式4-1]5.(2020秋・天津西青•高一统考期末懈关于x的不等式：ax2-(a+l)x+1<

0.

【答案】答案见详解

【分析】对a进行分类讨论，结合二次不等式和一次不等式的解法，可得答案.

【详解】当a=。时,不等式的解集为拉丁>1｝；

当a40时，分解因式a(x-|)(x-1)<0,

当a<。时，原不等式整理得：/一等x+[>o,即(％_1)(X-1)>0,

不等式的解集为｛x|x>1或x<》；

当a>。时，原不等式整理得：%2-fx+5<°，即(久"》(久一1)<0，

当0<a<1时，1<(,不等式的解集为｛x[l<x<；

当a>1时，：<1,不等式的解集为｛x[^<%<1｝；

当a=1时，不等式的解集为0,

综上所述，当a<0时，不等式的解集为白阿>1或x<》；

当a=0时，不等式的解集为｛x|x>1];

当0<a<1时，不等式的解集为｛刘1<%<；

当a=1时，不等式的解集为0；

当a>1时，不等式的解集为｛x[^<%<1].

【变式4-1]6.(2023秋•湖南常德•高一汉寿县第一中学校考期末)关于%的不等式：ax2+

(3-CL)X—2d-6>0

(1)当a=1时，解关于%的不等式；

(2)当a6R时，解关于久的不等式.

【答案】(l)｛x|x<—4或久>2｝；

⑵答案见解析.

【分析】（1）当。=1时，根据一元二次不等式的解法即可求解（2汾a=0,a>0,a<-1,

a=-1,-1<a<。五种情况解一元二次不等式即可求解.

【详解】（1）当a=1时，原不等式化为/+2x-8>0,

方程/+2x—8=0的实数根为小=-4,刀2=2,

所以原不等式的解集为｛刈乂<-4或久>2）.

（2）ax2+（3—a）x—2a-6>0；

当a=0时，原不等式化为3支-6>0,所以原不等式的解集为｛%|%>2）；

当aW0时，

=

方程a/+（3—a）x—2a—6=0即（％—2）（ax+a+3）=0的根为%]=—1—|zx22；

且比2-%1=2-（-1--）=3+-=,

当a>0或a<一1时，血>%i；当一1<a<0时,x2<xr当a=-1时，血=；

所以当a>。时，原不等式的解集为卜1%<-1-：或x>2｝,

当a<—1时，原不等式的解集为一1—：<久<2｝,

当a=-1时，原不等式的解集0,

当一1<a<0时，原不等式的解集为核|2<%<-1-2,

综上所述：当a=。时，原不等式的解集为｛x|x>2]；

当a>0时，原不等式的解集为｛小<-1-5或x>2｝；

当a<一1时，原不等式的解集为｛%|-1一：<%<2｝；

当一1<a<0时，原不等式的解集为上|2<%<-1-3；

当a=-1时，原不等式的解集为0.

【变式4-1]7.（2022秋•河北唐山・高一统考期末）已知关于x的不等式：a/_（3。+i）x+

3<0.

(1)当a=-2时，解此不等式；

(2)当a>0时,解此不等式.

【答案】Q){x|%<一;或%>3}

(2)当a=1时，解集为0；当0Va<争寸，解集为{x［3<x<3;当a>(时，解集为团^<%<

3}

【分析】(1)利用一元二次不等式的解法解出即可；

(2)不等式可变形为(x-3)(x-i)<0,然后分a/0<a<：、a>:三种情况讨论即可.

【详解】(1)当a=-2时，不等式-2x2+5x+3<0

整理得(2x+l)(x-3)>0,解得x<《或x>3,

当a=-2时，原不等式解集为{x|x<弓或x>3}.

(2)当a>0时，不等式ax2-(3a+l)x+3<0

整理得：(x-3)(x-i)<0,

当a=1时，；=3,此时不等式无解;

当0<a<］时，工>3,解得3<X<L

3aa

当a吾时，；<3,解得黄x<3;

综上：当a=：时，解集为0;

当0<a《时，解集为{x|3<x<》；

当a>泄，解集为{x［；<x<3}.

题型5三个二次之间的关系

【例题5】(多选)(2023秋•辽宁葫芦岛•高一校考期末)已知函数y=a/+版-3,则下

列结论正确的是()

A.关于x的不等式a/+bx-3<。的解集可以是{x|x〉-3}

B.关于久的不等式ax?+fox-3<0的解集可以是｛比|x>2或久<1]

C.函数y=ax2+bx-3的图象与x轴有一交点时，必有b?+12a=0

D."关于x的方程a/+-3=。有一个正根和一个负根”的充要条件是"a>0"

【答案】ABD

【分析】根据不等式的解集求出参数的值，即可判断A、B,利用特殊值判断C,根据根的

分布、充要条件的定义可判断D.

【详解】对于A:若关于久的不等式a/+反一3<。的解集是｛幻乂>-3｝,

则a=。且一3b—3=0,得6=—1,

当a-0,b--1时，不等式a/+bx-3<0,即一x—3<0,解得x>-3,符合题意,

故A正确；

对于B：若关于x的不等式ax?+6%_3<0的解集是｛X|x>2或x<1｝,

a+6-3=0a=——

2

贝胸<。且1、2为方程a/+故_3=0的两根，所以4a+2b-3=0,解得｛9,故

,a<0（。=W

B正确；

对于C:当a=0/K0时函数y=ax2+bx-3的图象与x轴有一个交点此时炉+12a>0,

故C错误；

（a力0

对于D:若关于%的方程a/+6久-3=。有一个正根和一个负根，则|<.，解得a>0,

若a>。，贝必=炉+12a>0,故关于x的方程a/+bx-3=0有两个不等的实根修,叼,

且的%2=<0，即关于%的方程a/+b比一3=。有一个正根和一个负根.

因此"关于久的方程a/+故-3=。有一个正根和一个负根”的充要条件是"a>0",故

D正确.

故选:ABD.

【变式5-1]1.（多选）（2023春・浙江杭州•高一校考期末）已知关于x的不等式a/+版+

C>。的解集为｛%|-3<%<2｝,则（）

A.a<0

B.a+b+c>0

C.不等式b%+c>0的解集为｛%|%>6）

D.不等式c%2+b%+a<0的解集为｛%|-i<%<|]

【答案】ABD

【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得b=a,c=-6a,即可结

合选项逐一求解.

【详解】由于不等式a/+/j%+。>。的解集为｛%|_3<x<2｝,

所以％=-3和％=2是a/+b%+c=0的两个实数根，

f-3+2=--

、Ia

所以J-3x2=-，故人=a，c=-6a,

\a<0

a+b+c=a+a—6a=—4a>0,故AB正确，

对于C,不等式5%+c>0为a%—6a>0,故％—6<0=%<6,故C错误，

2

对于D,不等式c%2+5%+a<0可变形为—6a%2+ax+a<0«6%—%—1<0z

解得-1<x<|,故D正确，

故选：ABD

【变式5-1J2.（多选J2023春•新疆哈密・高二校考期末）已知关于x的不等式/+版+c2

。的解集为｛x|x<—2或x23｝,则（）

A.b=-1

B.c=—6

C.不等式c/一bx+1<。的解集是d）

D.不等式黑>。与/+bx+c>0的解集相同

【答案】AB

【分析】依题意-2和3为方程/+必+0=0的两根，利用韦达定理得到方程组，即可求出

6、c的值，再解一元二次不等式和分式不等式即可.

【详解】因为关于比的不等式/+bx+c>。的解集为{x|x<-2或久>3),

所以-2和3为方程/+bx+c=0的两根，所以{二J解得吸：1，故A正确，

B正确；

不等式c/—bx+1<。即—6/+%+1<0，所以6/—%—1>0，即(3%+1)(2%—1)>0z

解得久>海乂<，，所以不等式*5+1<0的解集为(一8,-£)uG，+8)，故C错误；

不等式>0等价于产-3£匚22°,解得x>3或x<-2,故不等式三|>0的解集为

(x\x>3或％<-2],所以D错误；

故选：AB

【变式5-1]3.(2023春・陕西渭南•高二统考期末)已知不等式|x-3|<4的解集为

{x\a<x<b},则不等式(尤-2)(x2-ax-b+1)<。的解集为.

【答案】(-oo,-3]U{2}

【分析】先根据已知不等式的解集求出a,匕，代入所求不等式可求出结果.

【详解】由|刀—3|<4，得—4<x-3<4,得—1<x<7,

所以a--1,b-7.

则不等式(尤-2)(/-ax-b+1)<。化为(x-2)2(x+3)<0.

所以x=2或久<-3.

所以所求不等式的解集为(-8,-3]U{2}.

故答案为：(-8,-3]U{2}

【变式5-1J4.(2023秋・江苏盐城•高一盐城市第一中学校联考期末)若关于x的不等式1<

kx2+x+k<3的解集中只有一个元素，则实数k的取值集合为

【答案】厂巴3+巧

【分析】分k=0、k>0、k<0三种情况讨论,当k>。时&=1-4k(k-3)=。即可求出

k的值，同理求出k<。时参数的值，即可得解.

【详解】当k=。时，原不等式即为1<x<3,原不等式的解集中有无数个元素，不合乎题

意；

当k>0时，不等式等价于宁:”“甘一干?，因为不等式组的解集中只有一个元素，

出％/+x+fc—1>0

则-2+尤+k-120恒成立且方程依2+X+k-3=0有两个相等的实数根，

'fc>0

gpMi=I2-4k(k-3)=0,解得k=土尸;

4=M-4k(k-1)<0

当k<0时，不等式等价于宁:「甘一行?，因为不等式组的解集中只有一个元素，

+x+fc-1>0

则k/+X+k-3s0恒成立且方程k%2+X+/C-1=0有两个相等的实数根，

'k<0

即(At=I2-4fc(fc-3)<0,解得k=等.

=l2-4k(k-1)=0

综上所述，实数k的取值集合为｛芽,手｝.

故答案为：｛等，号号•

【变式5-1]5.(2023秋•安徽淮北•高一淮北市实验高级中学校考期末)已知不等式/一

(a+2)x+d<。的解集为｛x[l<x<2｝.

(1)求实数a,b的值；

(2)解关于x的不等式：(久—c)(ax—b)>0(c为常数，目cK2).

【答案】(l)a=1,b=2；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据不等式的解集结合条件即得;

（2）由题可得。-c）（x-2）>0,再对c分类讨论得解.

【详解】（1）因为不等式久2-（a+2）%+bW。的解集为｛x|1<x<2｝,

所cr-以pI｛fl+1x2=2=a+b2

所以a=1,6=2；

(2)将a-1,b-2代入关于久的不等式：(久-c)(ax-b)>0,即为(久-c)(x-2)>0,

为常数，且c*2,

.,.当c>2时，解集为｛x|x>c或x<2｝；

当c<2时，解集为｛无|x>2或久<c）.

题型6不等式在实际问题中的应用

【方法总结】

解不等式应用题的步骤

【例题6]（2023秋•吉林•高一统考期末）用"口y分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积

（一般来讲，窗户面积比地板面积小）.显然，比值;越大，住宅的采光条件越好.当窗户面

积和地板面积同时增加/时，住宅的采光条件会得到改善（单位：）.现将这一事实表示

为不等式，以下正确的是()

(y>x>0/>0)B.(y>X>0J>0)

C.(%>y>0,Z>0)D.(%>y>0,/>0)

【答案】A

【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.

【详解】当x>0,y>0,Z>0时

最开始窗户面积和地板面积的比值为工，

y

窗户面积和地板面积同时增加/后的比值为与，

y+l

则四---y(%+，)—%(y+2)_

y+iyy(y+Oy(y+O'

所以当y〉无时，名〉工，此时住宅的采光条件会得到改善.

y+ly

故选：A.

【变式6-1]1.(2023秋・广东•高一统考期末)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于

地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.设

某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am?,bm2.

(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2,求这所公寓的窗户面积至少为多少

平方米；

(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2,判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明

理由.

【答案】(1)20;

(2)变好了，详细见解析.

【分析】(1)设公寓窗户面积与地板面积分别为am?,bm2,则[韩1°%，化简得a>20

ka+b=220

即得解；

(2)设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，律表示窗户和地板所增加的面积，

再比较霍和糊大小即得解.

【详解】(1)设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2,则1K-10%,

(a+b=220

所以b-7^7=1。。，所以。+b=220<a+10a,所以a>20.

10%

所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.

(2)设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积小表示窗户和地板所增加的面积(面

积单位都相同)，由题意得：0<a<b,n>0,

rjiHa+na_ab+bn-ab-an_n(d-a)

b+nbb(^b+n)b(b+n)'

因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0.

又因为a<b,所以n(b-a)>0.

因此上一2>o,即也>2.

b+nb'b+nb

所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.

【变式6-1]2.(2023春・贵州毕节•高一统考期末)某地区上年度水价为3.8元/吨，年用

水量为6吨，本年度计划将水价下降到3.55元/吨至3.75元/吨之间，而用户期望水价为3.4

元/吨.经测算,下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比(比例系数

为k).该地区的用水成本价为3.3元/吨.

(1)写出本年度水价下调后水务部门的收益y(单位：元)关于实际水价久(单位：元/吨)的

函数解析式；(收益=实际水量x(实际水价-成本价))

(2)设k=0.2m,当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%?

【答案】(l)y=+m)(尤一3.3)(3.55<%<3.75)

(2)3.6元/吨

【分析】(1)由题意分析得到实际水量为展+小进而求解即可；

(2)表示出本年度最低收益为0.5mX(1+20%)=0.6m,列出不等式仁篝+(x-

3.3)>0.6m进行求解即可.

【详解】(1)由题意知，新增水量为：

所以实际水量为：展+小

X-3.4

所以收益为y=(匕+m)(%-3.3)(3.55<%<3.75)

(2)上年收益为：mx(3.8—3.3)=0.5m

所以本年度最低收益：0.5mx(1+20%)=0.6m

由题意得：(+TH)(x-3.3)>0.6m,且nt>0

整理彳导/_7,ix+12.6>0解彳导x<3.5或%>3.6

又因为3.55<x<3.75,所以3.6<x<3.75

答：当水价最低定为3.6元/吨时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%.

【变式6-1]3.(2020秋•江苏苏州•高二校考期末)随着中国经济的腾飞,互联网的快速

发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小

型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修

费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.

(1)若该批小型货车购买n年后盈利，求n的范围；

(2)该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？

【答案】(1)(4,16)new*;(2)该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是

12.

【解析】(1)列出利润的表达式，盈利则利润大于零,由此求解出n的取值范围；

(2)列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值.

【详解】(1)由题意得:

n(n—1)

69n-192-12n----6>0

2

化简得：九2—20九+64<0

解得：4〈九<16,

答：该批小型货车购买n年后盈利，n的范围为(4,16),且rieN

(2)设批小型货车购买n年后的年平均利润为y

-3>+：n-i92

则y==-3(〃++60<-3x2V64+60=12

当且仅当n=8时取,

答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12.

【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是

能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.

【变式6-1]4.(2021春・贵州毕节•高一统考期末)某租赁公司，购买了一辆小型挖掘机

进行租赁.据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润y(单位：万元)与租赁年数双比GN*)的

关系为V=-%2+14%-36.

(1)该挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过9万元？

(2)该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？

【答案】(1)该挖掘机租赁到第6,7,8年时，租赁的利润超过9万元

(2)该挖掘机租赁到第6年时，租赁的年平均利润最大

【分析】(1)由题意得-/+14乂-36>9,解得5<x<9,结合x为整数可得结果；(2)

租赁的年平均利润为丫=*+¥"6=_U+个)+1,利用基本不等式可得结果.

XX\XJ

【详解】(1)由题意得一一+14%-36>9,整理得/-14x+45<0,解得5<x<9,

'.'xEN*,贝卜=6,7,8,

故该挖掘机租赁到第6,7,8年时，租赁的利润超过9万元.

(2)租赁的年平均利润为""+:36=—1+弓)+14,

因为％+~F=12,

所以当且仅当X=个时，即X=6时，G)=-12+14=2,

xvx/max

故该挖掘机租赁到第6年时，租赁的年平均利润最大

【变式6-1]5.（2021春・安徽•高二校联考期末）小张在创业之初，于