2025年中考数学分类复习：几何综合压轴题（29题）（解析版）

专题28几何综合压轴题（29题）（解析版）

一、单选题

1.（2024.四川巴中.中考真题）如图，在VABC中，D是AC的中点，CE1AB,8。与CE交于点。，且

BE=CD.下列说法错误的是（）

A.3。的垂直平分线一定与48相交于点E

B.NBDC=3ZABD

C.当E为AB中点时，VA2C是等边三角形

D.当E为AB中点时，=Z

【答案】D

【分析】连接DE，根据CE1AB,点。是AC的中点得OE=AD=C£）=gAC,则座=2）石，进而得点。

在线段8。的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断；设NAaD=c,根据跳；=/）£得ZEDB=Z4Br>=”,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,再根据0£=&£）得NA=NA£D=2a,贝I]NBZ）C=NA+N/®）=3a,由止匕可对选

项B进行判断；当E为A8中点时，则CE是线段A8的垂直平分线，由此得AC=3C,然后

根据=CD=^-AC,BE=CD得AB=AC,由此可对选项C进行判断；连接AO并延长交于

22

F,根据VABC是等边三角形得/O8C=NOAC=30。，则。4=03,进而得08=2。尸，AF=3OF,由此

113

^S&OBC=-BCOF,SMBC=-BCAF=-BCOF,由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案.

【详解】解：连接DE,如图1所示:

A

CELAB,点。是AC的中点,

DE为RtAAEC斜边上的中线,

,\DE=AD=CD=-AC,

2

BE=CD,

/.BE=DE,

二点。在线段的垂直平分线上，

即线段8。的垂直平分线一定与相交于点E,故选项A正确，不符合题意;

设入的＞=1,

BE=DE，

NEDB=XABD=a,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,

DE=AD,

Z.A.=ZAED=2cr,

ZBDC=ZA+ZABD=3a,

即=故选B正确，不符合题意；

当E为AB中点时，则2石==42,

2

CELAB,

：.CE是线段AB的垂直平分线，

AC=BC,

BE=-ABCD=-AC,BE=CD,

2f2

AB=AC,

AC=BC=AB,

ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意;

连接A0,并延长交于尸，如图2所示：

2

A

当E为AB中点时，

,点。为AC的中点，

，根据三角形三条中线交于一点得：点/为BC的中点，

,当E为A5中点时，VABC是等边三角形，

.-.ZABC=ZBAC=60°,AFIBC,AF平分NOAC,8。平分/ABC,

ZOBC=ZOAC=30°,

OA=OB,

在RtZ\O5/中，OB=2OF,

,.OA=OB=2OF,

:.AF=OA+OF=3OF,

113

：SXOBC=—2BCOF7,2SMBC=_B2CAF=_7BCOF,

Si

.•・卢=鼻，故选项D不正确，符合题意.

^AABCD

故选：D.

【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，

等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形

的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键.

2.（2024.山东济南.中考真题）如图，在正方形ABC。中，分别以点A和8为圆心，以大于（AB的长为半

径作弧，两弧相交于点E和作直线砂，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线所于点G（点

G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交3C于点K.若BK=2,则正方形ABC。的边长为（）

Q3+A/5

D.6+1

,2

【答案】D

【分析】连接AG,设EF交AB于点H,正方形边长为2光，由作图知，AG=AD=2xf跖垂直平分A8,

得到==ZAHG=90°,由勾股定理得到G"=gx,证明A。GHBC,推出Z)G=GK,推出

GH=x+\,得到6%=%+1,即得2%=6+1.

【详解】连接AG,设取交于点凡正方形边长为2%,

由作图知，AG=AD=2x,EF垂直平分A5,

AAH=BH=-AB=x,ZAHG=90。，

2

-，-GH=y/AG2-AH2=A/3X^

・.•ABAD=90°,

JAD//GH,

\9AD//BC,

：.ADGHBC,

・.D,G=AH=i1,

GKHB

：.DG=GK,

*BK=2,

.GH=^（AD+BK）=x+l,

・6x=x+1,

6+1

•x=-------

2

•2x—5/3+1.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合.熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾

股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键.

3.（2024.安徽・中考真题）如图，在Rt^ABC中，AC=BC=2,点。在的延长线上，S.CD=AB,则

的长是（）

A.^/TO-A/2B.V6-V2C.2A/2-2D.2>/2-V6

【答案】B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作。ELCB的延长

线于点E,则/3ED=90。，由NACB=90。，AC=BC=2,可得AB=2&，NA=NABC=45。，进而得

到8=20,ZDBE=45°,即得为等腰直角三角形，得到=设DE=BE=x,由勾股定理

得（2+才+苫2=（2⑹1求出x即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作DE，CB的延长线于点E,则/丽=90。，

VZACS=90°,AC=BC=2,

***AB=yl22+22=2^2，ZA=ZABC=45°,

CD=272,ZDBE=45°,

・•・V5DE为等腰直角三角形，

•*.DE=BE，

设DE=BE=x,贝!|CE=2+x,

在RtACDE中，CE~+DE1=CD2,

（2+4+/=（20『，

解得w=V^-i,马=-石-1（舍去）,

DE=BE=6T，

4.（2024.湖北武汉.中考真题）如图，四边形ABC。内接于。，ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

AB+AD^2,贝U。的半径是（）

「A/3

D.

2当

【答案】A

【分析】延长A3至点E,使5石=4）,连接50,连接。。并延长交。于点R连接AF,即可证得

ADZEBC（SAS）f进而可求得AC=cos45O-AE=0，再利用圆周角定理得到NAFC=60。，结合三角

函数即可求解.

【详解】解：延长至点E,使5£=AZ）,连接50,连接。。并延长交，；。于点F连接AF,

C

•・•四边形A5CD内接于：O,

：.ZADC+ZABC=ZABC+ZCBE=180°

・・・ZADC=ZCBE

6

•：ZBAC=ZCAD=45°

；・NCBD=NCDB=45。,ZDAB=90°

；・BD是。的直径，

・•.ZDCB=90°

・・・△OCH是等腰直角三角形，

:.DC=BC

*.*BE=AD

・・・一ADC空EBC(SAS)

:・ZACD=/ECB,AC=CE,

:.AB+BE=AE=2

又•・,NDCB=90。

：.ZACE=90°

・・・/XACE是等腰直角三角形

AC=cos45°-AE=V2

ZABC=60°

：.ZAFC=60°

丁ZFAC=9Q0

.・・OF=OC=-CF=—

23

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等

知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

5.（2024.山东济南.中考真题）如图1,VABC是等边三角形，点。在边上，BD=2,动点尸以每秒1

个单位长度的速度从点8出发，沿折线3C-C4匀速运动，到达点A后停止，连接。P.设点P的运动时间

为《s）,Dp］为y.当动点尸沿匀速运动到点C时，V与/的函数图象如图2所示.有以下四个结论:

①AB=3；

②当/=5时，y=l；

③当4W”6时，l<y<3；

④动点尸沿BC-C4匀速运动时，两个时刻4，?2a<幻分别对应％和X，若4+/2=6,则%）必.其中

正确结论的序号是（）

A.①②③B,①②C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】由图知当动点尸沿2C匀速运动到点C时，。尸2=7,作DELBC于点、E,利用解直角三角形和

勾股定理，即可得到2C,即可判断①，当f=5时，证明△ADP是等边三角形，即可判断②，当4W6时，

且£>P_LAC时，。尸最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出％和为进行比较，即可判断

【详解】解：由图知当动点P沿BC匀速运动到点C时，。尸=7,

作OEL3C于点E,

DE=BD-sin60。=6,BE=BD-cos600=1,

EP=-JDP2-DE2=2<

:.AB=BC=BE+EP=3,

故①正确；

当才=5时，PC=5-3=2,AP=1=AD,

8

A

ZA=60°,

△4DP是等边三角形,

:.DP=AP=AD^],

y=DP2=\,

故②正确;

当4W/W6时，且。尸_LAC时，。尸最小,

AD=1,ZA=60°,

...DP=ADsin600=—

2f

33

•••叱最小为“即y能取到“

故③错误;

动点P沿BC-C4匀速运动时,

%+/2=6,4<，

<3,t2>39t2=6-,

当OW.Wl时，5<Z2<6,

53

当£>P_LAC时，CP=-,DP=-,

24

2

31i+—；

%=1+一一%

4211161116

1351

y-%=44----=—>0,

121616

•*-y>%；

同理，当1<%<3时，3<r2<5,

—可=4+4,

92=13

H-------t,-tyH---------

161,16

,1351

X-%=4-----=——>0,

21616

M>%;

故④正确;

综上所述，正确的有①②④,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂

函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键.

二、填空题

6.（2024・河北・中考真题）如图，VABC的面积为2,AD为边上的中线，点A,G，C2,C3是线段CC《

的五等分点，点A,R,2是线段的四等分点，点A是线段8月的中点.

（1）的面积为

（2）△与QA的面积为

【答案】17

【分析】（1）根据三角形中线的性质得以”"=SMCD=gsc=1，证明.AGR之,ACD（SAS）,根据全

10

等三角形的性质可得结论；

(2)证明.A4〃WABD(SAS),得S△阳4=$△.=1,推出G、2、耳三点共线，得

G

S△期=S4ABp+SAACQ、=2,继而得出4c4=4SAAB[CI=8,SAAgID3=3s△AB©[=3,证明Z\C3AAs/iCAf),

4

得S/XGAA=9SACAD=9,推出S^AC"!)，=12,最后代入SA4C4A=与+S^AB121s△m如即可.

【详解】解：(1)连接用2、BA、BQ、Bg、C3D3,

：VABC的面积为2,AD为BC边上的中线，

.,^AABD=^AACD=/^AABC=]?21,

•.•点A,G，c2,G是线段CC4的五等分点，

AC=ACX=qc2=c2G=GC4=1cc4,

♦・•点A,R,。2是线段DQ的四等分点，

AD=AD1=Dp。=D1D3=；DD3,

•••点A是线段8月的中点，

AB=AB[=；网，

在△AC]R和ACD中，

'AC,=AC

<NC]叫=ZCAD,

AZ)1=AD

：.ACQi-D(SAS),

**•SAACR=S/\ACD=1,Z.CXDXA=ACDA,

・・.△AG2的面积为1,

故答案为：1；

(2)在A42和△AB。中，

AB}=AB

<NB]AR=/BAD,

ADl=AD

AB】D［安ABD(SAS),

**•S4ABR=S^ABD~1，NBRA=ABDA,

ZBDA+ZOM=1800,

.・・ZBXDXA+ZCXDXA=180°,

・・・G、D］、用三点共线，

+

**•S^ABIG==1+1=2,

=

**•^AAB,C44s△阴G=4?28,

DD=△ABR

,**AR=X2D2D3,S=1,

**•=3s△A5Q=3x1=3,

在△473。3和；,ACD中，

ATAn

・・・丝1=3=吗，ZCAR=ZC4D,

ACAD33

Z\C3A03s△CAO,

...sc3g=32=9,

S,CAD\ACJ

**•S^c3Az)3=9s△CAO=9x1=9,

x

,,S4AC4D3=W^^C3AD3=-9=12,

=

*'•^AB{C4D3S-C4D3+—SAAB^4=12+3—8=7

・・・△用0'A的面积为7,

故答案为：7.

12

H

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面积.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

7.（2024・河南•中考真题）如图，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋

转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为,最小值为.

【答案】2忘+1/1+2忘2A/2-1/-1+2A/2

【分析】根据题意得出点。在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以A8为直径的圆上，根据

AE=AB-cosZBAE,得出当cos/BAE最大时，AE最大，cos/BAE最小时，AE最小，根据当AE与OC

相切于点。，且点。在VABC内部时，-54E最小，AE最大，当AE与；C相切于点Q,且点。在VABC

外部时，/BAE最大,AE最小，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：：ZACB=90。，C4=CB=3,

ABAC=ZABC=-x90°=45°,

2

•..线段CO绕点C在平面内旋转，CD=1,

...点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，

*/BE±AE,

：.ZAEB=90°,

...点E在以AB为直径的圆上，

在RtAABE中，AE^ABcosZBAE,

：48为定值，

...当cos/BAE最大时，AE最大，cos/BAE最小时，AE最小，

.•.当4区与〈C相切于点。，且点。在VABC内部时，NBAE最小,AE最大，连接CO,CE,如图所示：

:O!

\\ii

\、//

、\/

、、、//

、z

、、、、_____-J

则cc

・•・ZADC=ZCDE=90°,

AD=7AC2-CD2=732-l2=20，

AC=AC'

NCED=ZABC=45°,

•••NCDE=90。,

为等腰直角三角形，

?.DE=CD=1,

•*-AE=AD+DE=2A/2+1，

即AE的最大值为20+1;

当一M与二C相切于点。，且点。在VABC外部时，4AS最大，AE最小，连接CO,CE,如图所示:

:\O1

\\，1

\\/

\、//

X、/Z

、、Z,

、_____

则CC

・・・/CDE=90。,

•*-AD=^AC2-CD-=732-12=2也，

:四边形ABCE为圆内接四边形，

・・・/CEA=180。一ZABC=135°,

14

NCED=180°-ZCEA=45°,

,?NCDE=90。,

CDE为等腰直角三角形，

DE=CD=1,

AE=AD-DE=2&-b

即AE的最小值为20-1;

故答案为：20+1;2>/2-l.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，

解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出AE取最大值和最小值

时，点。的位置.

8.（2024•浙江•中考真题）如图，在菱形A3。中，对角线AC,8。相交于点O,点线段与AE

BD3

关于过点。的直线/对称，点8的对应点8'在线段OC上，A旧交CD于点、E,则B'CE与四边形。8'瓦>的

面积比为________

A'

、A

B'

【答案】1：3/；

【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上

知识点.

设AC=10a,BD=6a,首先根据菱形的性质得到。4=OC=；AC=5。，08=38。=3。，连接AD,

OE,直线/交BC于点R交AD于点G,得到点A"D,。三点共线，AD=AO—OD=2a,

SB，2a2

B'C=OC—OB'=2a,三3=市7=/=£，然后证明出.A'EDaCEB'（AAS）,得到HE=CE,然后证

明出ODEW,OB'E（SSS）,得到S“E=S0B,E,进而求解即可.

ACS

【详解】：四边形ABCD是菱形，能

BD3

・,•设AC=10a,BD=6a

OA=OC=—AC=5a,OB=OD=—BD=3a

22

如图所示，连接A'。，OE,直线/交BC于点E交A。于点G,

;线段AB与AE关于过点。的直线/对称，点B的对应点2'在线段OC上,

ZBOF=ZCOF=-ZBOB'=45°,AO=A'O=5a,OB'=OB=3a

2

Z.ZAOG=NDOG=45°

.•.点A，，D,。三点共线

AD^AO-OD^2a,B'C=OC—OB'=2a

.SCEB'_B'C_2a=2

''S.~OB'~3a~3

UnFLDR

：.A!D=B'C

,/CD//AB

：.ZCDO=ZABO

由对称可得，ZA'B'O=ZABO

：.ZAB'O=ZCDO

：.ZA'DE=NCB'E

又：ZAED=NCEB'

：.AED^,CEB'(AAS)

：.NE=CE

"：A'B'=AB=CD

DE=B'E

又；OD=OB',OE=OB'

：.ODE^：.OB'E(SSS)

s0DE=sOB'E

16

qq??i

.2CEB'_°CEB'___

S四边形OB'EDSOEB'+SQDE3+363

故答案为：g.

3

9.（2024.江苏宿迁.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y光上，且点A的横坐标为4,

直角三角板的直角顶点。落在工轴上，一条直角边经过点A,另一条直角边与直线04交于点5,当点C

在x轴上移动时，线段的最小值为.

【答案】V

【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出Q4,当点C在x轴上移动时，作与49关

于AC对称，且AQ交x轴于点。，由对称性质可知，AB'=AB,ZBAC'^ZDAC,当M_Lx轴于点。时，

AB=AB'=AD+5'£＞最短,记此时点C所在位置为C',作C'E，于点E,有DC=EC,设DC=EC'=m,

Ar\3

则OC'=OD-Z）C'=4—%,利用锐角三角函数sinNAO。=--=——=—建立等式求出加，证明

OCOA5

.CDB，sADC,再利用相似三角形性质求出83,最后根据48=m，="＞+3'。求解，即可解题.

【详解】解：点A在直线y=上，且点A的横坐标为4,

4

，点A的坐标为（4,3）,

04=5,

当点C在x轴上移动时，作与A9关于AC对称，且A9交无轴于点D,

由对称性质可知，AB'=AB,

当轴于点。时，/R=AB，=AD+3Z＞最短，记此时点C所在位置为C，,

由对称性质可知，NBAC=ADAC,

作于点E,有DC=EC,

设DC'=EC'=m,贝!JOC'=QD—OC'=4—机，

.…八ECAD3

OCOA5

m3

4-m5

3

解得根

2

3

经检验m是方程的解，

2

ZAC'D+NDC'B'=90°,ADAC+ZAC'。=90°,

:.ZDC'B'=ZDAC,

/C'DB'=ZADC=90。,

CDB"ADC,

B'DDC

一记一而‘

3

.弛=2

丁一号

2

3

解得夕〃=

4

315

AB=AB'=3+-=—

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂

线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况.

10.(2024・湖北・中考真题)如图，由三个全等的三角形(一ABE,8CF,「.C4D)与中间的小等边三角形OEb

拼成一个大等边三角形ABC.连接BD并延长交AC于点G,若AE=ED=2,贝U：

(1)NFD3的度数是；

(2)OG的长是_____.

BDC

18

【答案】30°立，

5

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知

识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)利用三角形相似及=可得9=小，再利用三角形的外角性质结合可求得NDM=3O。；

(2)作交3G的延长线于点H,利用直角三角形的性质求得C〃=l,=证明一⑷％d.CHG,

利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【详解】W：AABE也△5CFN/\C4Z)(已矢口)，

:.AD=BE=CF,AE=BF=DC,

AE=ED=2,

.\AD=BE=4,

一OEF为等边三角形，

:.EF=DF=DE=2,ZEFD=ZEDF=^)°,

：.BF=DF=DC=2,

ZFDB=ZFBD=-ZEFD=30°,ZADB=ZEDF+ZFDB=90°,

2

如图，过点。作CH，5G的延长线于点H,

.\CH=CZ)xsin30o=2x-=l,

2

D//=C£)xcos30°=2x—=,

2

ZADG=/CHG,ZAGD=ZCGH,

/.ADG^CHG,

,DGAD4-

-HG-CH-T，

44r~

:.DG=-DH=-43.

故答案为：30°,迪.

5

11.（2024・四川广元・中考真题）如图，在VABC中，AB=5,tan/C=2,则AC+好BC的最大值为

5

【答案】5x/2

【分析】过点8作MLAC,垂足为。，如图所示，利用三角函数定义得到AC+且BC=AC+£>C,延

5

长。C到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示，从而确定AC+正BC=AC+DC=AC+CE=AE,

5

NE=45。,再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在。上运动，AE是，：。的弦，求AC+好BC的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：过点8作垂足为。，如图所示:

tanZC=2,

.,.在Rt"CD中，设。C=x,则8D=2x,由勾股定理可得BCuG'尤,

DCx近日口百

—=-7^=—,BP—BC=DC,

BCV5x55

AC+~BC=AC+DC,

5

延长0c到使EC=CD=x,连接班，如图所示:

AC+~BC=AC+DC=AC+CE=AE,

5

BDLDE,DE=2x=BD,

.•uBDE是等腰直角三角形，则N£=45。，

在.AB石中，AB=5,NE=45。，由辅助圆-定弦定角模型，作人/睡的外接圆，如图所示:

20

，由圆周角定理可知，点£在＜。上运动，AE是。的弦，求AC+或BC的

5

最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦A石过圆心。，即A石是直径时，弦最大，如图所

示:

ZABE=90°,

ZE=45°,

“E是等腰直角三角形，

AB=5,

:.BE=AB=5,则由勾股定理可得AE=4AB。+BE?=50，即AC+乎BC的最大值为5近，

故答案为：5A/2.

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、

圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问

题的关键.

12.（2024・吉林长春・中考真题）如图，A3是半圆的直径，AC是一条弦，。是AC的中点，DE1AB于

点、E,交AC于点F，D8交AC于点G,连结入£）.给出下面四个结论：

@ZABD=ZDAC；

®AF=FG；

③当。G=2,GB=3时，FG=—；

2

④当20=2"），AB=6时，尸G的面积是

上述结论中，正确结论的序号有.

【答案】①②③

【分析】如图：连接DC,由圆周角定理可判定①；先说明NBDE=ZAGD、ZADE=ND4c可得DF=FG、

AF=FD,即AF=bG可判定②；先证明ADS可得丝，即八/"“=空，代入数据可得

AD=^10,然后运用勾股定理可得AG=JIZ，再结合AT=/G即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O,

连接ORCO,。。，易得NA8=NDOC=60。，从而证明KO。8。是等边三角形，即ADCO是菱形,

然后得到〃4C=NQ4C=30。，再解直角三角形可得DG=2VL根据三角形面积公式可得S皿=6g,

最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④.

【详解】解：如图：连接OC,

A

•・•。是AC的中点,

AD=DC，

：.ZABD=ZDAC,即①正确；

A3是直径，

：.ZADB=9Q°f

：.ZDAC+ZAGD=90°,

*：DEJ.AB

：.?BDE?ABD90?,

ZABD=ZDAC,

:・/BDE=ZAGD,

：.DF=FG,

■:?BDE?ABD90?,ZBDE+ZADE=9U。,

ZADE=ZABD,

zz

ZABD=ZDAC,

：.ZADE=ZDAC,

:.AF=FD,

・•・即②正确;

在△ADG和△及%,

[ZADG=ZBDA=90°

IZDAG=/DBA

：.ADG^BDA,

.ADGDADGD

>>=,即nn--------=

BDADDG+BGAD

-一。_2

即ADO

*2+3-AD=VT,

AG=^AD1+DG1=714,

•:AF=FG,

**•FG=—AG=2工,即③正确；

22

如图：假设半圆的圆心为O,连接02CO,8,

•*BD=2AD，AB=6f。是AC的中点，

\AD=DC=-AB,

3

*.ZAOD=ZDOC=60°,

：OA=OD=OC,

・・AOD,一8。是等边三角形，

*.OA=AD=CD=OC=OD=61即ADCO是菱形，

\ZDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

：ZADB=90°f

•.tanZ£>AC=tan30°=—,即且=空，解得：DG=2®

AD36

\SADG=；AD-DG=；X6X26=66,

：AF=FG

2Aoe=3百，即④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定

与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

13.（2024・山东济南・中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,AD=2,E为边AD的中点，点尸

在边CD上，连接E尸，将』）EF沿E尸翻折，点。的对应点为。夕，连接30.若3。=2,贝.

【答案】V3—\[2/—A/2+\/3

【分析】如图：连接8E,延长FE交班的延长线于H,根据折叠的性质及矩形的性质，证明

RtHAE^RtEDE（ASA）,进而得到△班D为直角三角形，设皿F=a,则

ZAEH=/DEF=a,ZDED'=2a,证明_跳形为等腰三角形，求出AH,进而完成解答.

【详解】解：如图：连接BE,延长FE交54的延长线于H,

:矩形A2CD中AB=0,A£>=2,E为边4）的中点，,

AAE=DE=l,ZBAE=ZD=90°,

,将OEF沿E尸翻折，点。的对应点为以,

24

:.ED=ED=1,NED'F=ND=90°,ZDEF=ZD'EF,

RtHAE^RXFDE（ASA）,

/.DF=AH,

,"BE=VAB2+AE1=>/2+l=>J3,

BD=2,

：.i2+（>^y=22,即。序+台炉二台以，

•••△BED为直角三角形，

设ZDEF=a,贝|JZAE"=N£>跖=a,ZDED'=2a,

：.ZAEB=90°-2a,ZAHE=90°-a,

：.ZHEB=ZAHE=90°-a,

他为等腰三角形，

/.BH=BE=也,

AH=BH-AB=6-yfi,

:.DF=AH=6-应.

故答案为：A/3-y/2.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、

折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键.

三、解答题

14.（2024・辽宁・中考真题）如图，在VABC中，NABC=90。，ZACB=a（00<a<45°）.将线段C4绕点C

顺时针旋转90。得到线段CO,过点。作DEL3C,垂足为E.

图1图2图3

(1)如图1,求证：AABC当LCED；

(2)如图2,NACD的平分线与A8的延长线相交于点尸，连接。尸，D尸的延长线与CB的延长线相交于点尸,

猜想PC与尸。的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,在(2)的条件下，将沿AF折叠，在必变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接ER.

①求证：点厂是PD的中点；

②若CD=20,求△CEF的面积.

【答案】(1)见详解

Q)PC=PD

(3)30

【分析】(1)利用“AAS”即可证明；

(2)可知NA=90°—c,证明ACF^DCF,则NCDB=NA=90°—a,可得/3CD=90。—e,贝U

NBCD=NCDF,故尸C=PD；

(3)①翻折得FP=FE,根据等角的余角相等得到ZFED=NEDE,故FE=FD,则即点尸是

尸。中点；

②过点P作出〃。5交CD于点M,连接EM,设CE=?n,DE=CB=n,贝U3E=CB—CE=〃一加，由翻

折得PB=BE=w—m,故PE=2w-2m,因1b匕PC=2〃一机=尸。，在RtAPDE中，由勾股定理得：

(2"-根『=(2〃-2加7+",解得："=3加或"=机(舍，此时a=45°),在RSCDE中，由勾股定理得:

m2+(3m)2-202,解得：m2=40,则5.以==6。，由9BC,得到舁=黑=1,

S/\CEM=S/\CEF，

因此SACEM=-SACED=30,故S&CEF=30.

【详解】(1)证明：如图,

由题意得，CACD,ZACD=90°,

：.Zl+Z2=90°

zo

•：DE上BC,

：.ZDEC=90°,

・・・N1+NQ=9O。，

Z2=ZD,

/ABC=90。，

：.ZB=ZDEC,

：.ABC^.,CED(AAS)；

(2)猜想：PC=PD

证明：VZABC=90°,ZACB=a

：.ZA=90°-a,

•・・。/平分448,

ZACF=Z.DCF,

,:CA=CD,CF=CF,

：.ACFWDCF,

：.ZCDF=ZA=90°-a,

9

：ZACD=90°,ZACB=af

：.ZBCD=90°-a,

；./BCD=/CDF,

：.PC=PD；

(3)解：①由题意得">=庄，

・•・ZP=ZFEP,

丁ZDEC=90°,

・•・/PED=90。,

・•・/P+/FDE=90°,NFEP+NFED=90°,

:.NFED=NFDE,

・•・FE=FD,

：・FP=FD,即点尸是PD中点；

②过点/作RW〃CP交于点M,连接

•:AABC^ACED,

DE=CB,

设CE=m,DE=CB=n,

BE=CB—CE=n—m,

由翻折得==-机，

PE=2n-2m,

・•・PC=PE+CE=2n—m=PD,

在Rt△尸£史中，由勾股定理得：（2〃一mJ=（2n-2m）2+n2,

整理得，3m2—4mn+n2=0,

解得：〃=3加或〃=加（舍，此时a=45。）,

在中，由勾股定理得：m2+（3m）2=202,

解得：m2=40

113o

SArnF-=—CE-DE=—mx3m=—m=60,

△CDE222

FMBC,

.DFDM

1

,•"^7-CM~，D&CEM-°/\CEF，

.•.点M为CO中点，

,,SACEM=5S^CKD=3°，

••S&CKF=30.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平

行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键.

15.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，己知VABC内接于亡0,A3是一。的直径，NA4c的平分线交

于点£）,过点。作DE工AC,交AC的延长线于点E,连接3DCD.

28

⑴求证：DE是I。的切线；

⑵若CE=1,sinZBAD=1,求：。的直径.

【答案】（1）证明见解析；

⑵9.

【分析】（1）连接如，由角平分线可得44£>=NE4£>,又由。4=0D可得/QLD=/OD4,即得

ZODA=ZEAD,由得NE4D+Z4T>E=90。，进而可得N84+NADE=90。，即得OD人。E,即

可求证；

（2）A3是，：。的直径可得/ZMS+/ABC+/D3c=90。，又由（1）知NE4D+NADC+/CDE=90。，

由ZBAD=/FAD,4DBC=ZADC,进而可得Z.DBC=Z.CDE,再根据NDBC=ZCAD,ZDCB=ZBAD,

ZCAD=ZBAD,可得/CDE=NDBC=NDCB=/BAD,得到3D=CD,sinZCDE=sinZBAD=1,解

RtACDE得至I]CD=BD=3,再解Rt^ABD即可求解；

本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定

理是解题的关键.

【详解】（1）证明：连接OD,

,/平分一朋C,

ZBAD=Z.EAD,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

r.ZODA=ZEAD,

DELAE,

：.NE=90°,

NEAD+ZADE=90°,

ZODA+ZADE=90°,

即NODE=90。,

C.OD1DE,

•「OD是O半径，

；・DE是。的切线;

（2）解：:AB是。的直径，

：.ZADB=90°f

：.ZDAB+ZABD=90°,

即/DAB+ZABC+NDBC=90°,

NEAD+ZADE=90°,

JZEAD+ZADC+ZCDE=90°,

:./DAB+ZABC+NDBC=/EAD+ZADC