2025年中考数学几何模型归纳训练：全等与相似模型之对角互补模型解读与提分训练

专题22全等与相似模型之对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

建导航］

例题讲模型］

..........................................................................................................................................1

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）..................................................................................................1

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）................................................................................................4

模型3.对角互补模型（全等型：a—180°-a）.............................................................................................7

模型4.对角互补模型（相似模型）...........................................................10

习题练模型

.........................................................................................................................................15

例题讲模型］

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）

模型解读

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型（90。一90。型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线,

构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

模型证明

1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知/AO8=/OCE=90。，0c平分NAOB.

结论：①CD=CE,②0D+0E=60C,③S”CE=SCOE+SC8=LOC2.

C/ZJCc△CCAfc△CCzZy2

证明：过点。作。知_1。。，CNL0B,:./CMD=/CNE=90。,0CWZA0B,:.CM=CN,

又：/AOB=/Z)CE=90°,；./MCN=90°,：.ZMCD=ZNCE,：.4MCD经ANCE；；.CD=CE,

根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，；./CON=45。，OM=ON,

又OD+OE^OM-DM+ON+NE,：.0D+0E=0M+0N=20N=亚OC,

•^MCD=/\NCE,•.SAMCFSANCE，••S=S+S—Scn+S—S——OC~

LnfLnfyr^FtL△1zn/VNC£rzn△rNF△CnzN/VCLz△Cr/MWLnz△(_/n/¥NCC/WM2

2

结论：①CD=CE,②0E—0D=60C,®SCOF-Scon=-OC.

△CCzriACCZU2

证明：过点C作。W_L。。，CN±OB,；./CMD=/CNE=9。。,；0C平分NAOB,:.CM=CN,

又,:ZAOB^NDCE=90。,：.NMCN=90°,：.NMCD=ZNCE,

：.AMCD^ANCE；CD=CE,MD=NE,根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，

NCON=45°,0M=0N,又'：OE—OD=ON+NE-(.DM-OM),：.0E-0D=0N+0M=20N=6OC,

,：AMCD^ANCE,：.SAMCD=SANCE,S-S=S+S-(S-SMO)^SCON+SCMO=~℃"-

△CxOt/lEi△C-CO/ZxDACJNV/SEAC-COZ/VN\△CziMWZDzACMUJACOTVAC-TWCZ

模型运用

例1.（23-24九年级上.河南洛阳•期中）综合与实践

已知，在RtAABC中，AC^BC,NC=90。，。为AB边的中点，NEDF=90。,/EDF绕点、D旋转,它的两

边分别交AC,CB（或它们的延长线）于点E,F.

（1）【问题发现】如图1,当NEOF绕点。旋转到DELAC于点E时（如图1）,

①证明：AADE义ABDF；②猜想：SQEF+SACEF=S^ABC.

（2）【类比探究】如图2,当/瓦/绕点。旋转到。E与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断

SADEF+SACEF与SAABC的关系，并给予证明.

（3）【拓展延伸】如图3,当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，

请给予证明；若不成立，SJ）EF,SACEF,S4ABe又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）

例2.(2024.陕西・一模)问题提出⑴如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，

一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,线段PB和线段PE相等吗？请证明；

问题探究(2)如图2,移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B,另一条直

角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B,另一条直角

边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

：Y!l区2第2

例3.（2024•河南•一模）已知NAC®=90。,点C是一的角平分线0P上的任意一点，现有一个直角ZMCW

绕点C旋转，两直角边CM,CN分别与直线Q4,08相交于点。，点E.

（1）如图1,若CDLtM,猜想线段OD,OE,OC之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2,若点。在射线上，且CO与。4不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说

明理由；如不成立，请写出线段OD,OE,0c之间的数量关系，并加以证明.

（3）如图3,若点O在射线Q4的反向延长线上，且OD=2,0E=8,请直接写出线段CE的长度.

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）

模型解读

对角互补模型（60°—120。型），处理方法主要有两种:①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转

的构造，构造手拉手全等。

模型证明

1）“等边三角形对120。模型”（1）

条件：如图，已知NAOB=2/OCE=120。，0C平分/AO8.

2

结论：①CD=CE,®OD+OE=OC,®Srnn+SCOF=^-OC.

△CUDACCZC4

证明：过点C作CNLOB,：.ZCMD=ZCNE=90°,：0C平分NAOB,：.CM=CN,

又•.,/AOB=2NOCE=120°,/.ZAOB+ZDCE=180°,/.ZCDO+ZC£O=180°,

ZCDO+ZCDM^180°,ZMDC^ZCEO,:MMCD名ANCE；:.CD=CE,MD=NE,

•.•"平分乙4。8,/.ZCON=ZCOM=60°,：.ON=OM=-OC,NC=MC=—OCo

22

又OE+OD=ON+NE+OM-DM,：.OE+OD^ON+OM^OC,

'''4MCD必NCE,：.SAMCD=SANCE，；•Srnn+SrnF=SrMn-SrMn+SrNF+SrnN=SrnN+SrMO=@OC1。

ACCzrJ△CtzCACAICZt^ML)△C<Vc△CC/iV△CCz/V△CzWCz4

2)“等边三角形对120。模型”(2)

条件：如图，已知NAOB=2/Z)CE=120。，0c平分NAOB,NOCE的一边与2。的延长线交于点。，.

结论：①2

CD=CE,®OD-OE=OC,@S△CrUnDn-S△Cr.Cn/Fzl=—4OC.

证明：过点C作CALL。。，CNLOB,：.ZCMD=ZCNE=90°,：OC平分/AOB,：.CM=CN,

又；/AOB=2NDCE=12Q°,：.ZAOB+ZDCE=180°,ZAOB+ZMCN=180°,：.ZDCE=ZMCN=60°

：.ZDCE-ZMCE=ZMCN-ZMCE,：,ZMCD=ZNCE,：.4MCD咨LNCE；：.CD=CE,MD=NE,

VOC^ZAOB,：.ZCON=ZCOM=60°,：.ON=OM=-OC,NC=MC=B(JC。

22

又,/OD-OE=OM+DM-(NE-ON),OD-OE=ON+OM=OC,

・AMCDANCE，皿。+

•.AMCD^ANCE,：.S=S：.S^C0D-SACOE=SSACMD-(S^CNE-S=S叩+S£MO=^OC^

3)“120。等腰三角形对60。模型”

条件："BC是等腰三角形，且NB4C=120。，ZBPC=6Q°,公平分NBPC。结论：PB+PC=6PA；

证明：将△朋C绕点A顺时针旋转120。至△QAB,即AR4c会△Q48,

AZACP=ZABQ,NCAP=/BAQ,AP=AQ,PC=QB；

VZBAC=120°,ZBPC=60°,：.ZACP+ZABP=18Q°,：.ZABQ+ZABP^1SO°,故尸、B、Q共线。

又；NBPC=6Q°,总平分/8PC,ZAPQ=60°,"：AP=AQ,：.ZAQP=60°,

根据勾股定理易证：PQ=43PA,又；PQ=PB+QB=PB+PC,:.PB+PC=6PA。

模型运用

例1.（2024重庆八年级期末）如图，已知NAO8=120。，在NAO8的平分线0M上有一点C,将一个60。角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线。4。8相交于点。、E.

（1）当NOCE绕点C旋转到CZ）与。1垂直时（如图1）,请猜想。£+。。与OC的数量关系，并说明理由;

（2）当NDCE绕点C旋转到C。与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由;

（3）当/。CE绕点C旋转到CD与。4的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明;

若不成立，线段。。、与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

例2.（2024广东中考一模）如图，已知NAOF=60。，在,A03的角平分线上有一点C,将一个120。角

的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线0408相交于点DE.

（1）如图1,当/DCE绕点C旋转到CO与。4垂直时，请猜想OD+OE与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当/DCE绕点C旋转到C。与Q4不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3,当/DCE绕点C旋转到点D位于Q4的反向延长线上时，求线段8,。石与0C之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

B

U

恒3

rei田2

例3.（23-24九年级上•重庆江津•期中）在AABC中，4B=AC,/A=60。，点。是线段BC的中点，NEDF=12Q。,

与线段A8相交于点E,06与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1,若。尸，AC,垂足为尸，AB=4,求BE的长；

（2）如图2,将（1）中的/E/m绕点。顺时针旋转一定的角度，。尸仍与线段AC相交于点R求证：BE+CF=

-AB.（3）如图3,若/应不的两边分别交AB、AC的延长线于E、尸两点，（2）中的结论还成立吗？如果

2

成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、5之间的数量关系.

模型3.对角互补模型（全等型：«—180°-«）

模型解读

对角互补模型（a—180。位型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的

构造，构造手拉手全等。

模型证明

1）“a对180。地模型”

条件：四边形ABC。中，AP=BP,ZA+ZB=180°o结论：0P平分/4。及

证明：过点P作PE_LOA,PFLOB,：.ZAEP=ZBFP=90°,

"：ZA+ZB=180°,ZOAP+ZPAE=1SQ°,：.ZEAP=ZBo

'：AP^BP,：,A/ME^APBF,：.PE=PF,，。尸平分/AOB。

注意：如下图：①AP=BP,②/A+/8=180。，③。「平分/AOB,以上三个条件可知二推一。

条件：AP=BP,ZAOB=ZAPB,结论：。尸平分NAOB的外角。

证明：过点P作尸E_LOA,PFLOB,：.ZAEP=Z.BFP=90°,'：ZAOB=ZAPB,：.ZA=ZBo

'：AP^BP,:.△PAE妾XPBF,：.PE=PF,：.OP^ZAOBo

模型运用

例1.（2024•福建厦门•九年级校考期中）如图，ZAOB=0（a是常量）.点p在ZAOB的平分线上，且0P=2,

以点尸为顶点的NA/PN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，ZMPN的两边分别与。3,OA相交于

N两点，若NMPN始终与NA0B互补，则以下四个结论：®PM=PN；②OM+CW的值不变；③四边形

尸MON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

例2.（2023春・江苏•八年级专题练习）感知：如图①，AD平分N54C,ZB+ZC=180°,IB90?.判断

03与DC的大小关系并证明.

图①图②图③

探究：如图②，AO平分/B4C,ZABD+ZAC7）=180°,ZABD<9Q°,与。C的大小关系变吗？请说

明理由.应用：如图③，四边形ABZX?中，4=45。，ZC=135°,DB=DC=m,则AB与AC差是多少

（用含机的代数式表示）

例3.（23-24八年级上•吉林长春•阶段练习）如图（1）~（3）,已知ZAO3的平分线上有一点P,NCPD

的两边与射线。4、。2交于点C、D,连接交。尸于点G,设4403=研0。<0<180。），ACPD=p.

（1）如图(1),当a=〃=90。时，试猜想尸C与PDNPDC与的数量关系（不用说明理由）;

（2）如图(2),当。=60。，6=120。时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由.

（3）如图(3),当&+刀=180。时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若

不成立,请说明理由.

模型4.对角互补模型（相似模型）

模型解读

四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线,

从而证明两个三角形相似.

模型证明

1）对角互补相似1

条件：如图，在MAABC中，NC=/E。尸=90。，点。是AB的中点,

结论：如图，过点。作ODLAC,OH±BC,垂足分别为D,H,则：①&ODE〜40HF；②——=—

OFAC

证明：,：OD±AC,OHLBC,垂足分别为Q,H,：.ZEDO=ZFHO=90°,

VZC=90°,，四边形OHCD为矩形，.-.ZDOH=90°,DO=CH：.ZDOF+ZHOF^9Q°,

VZEOF=90°,：.ZDOF+ZDOE=90°,：.ZHOF=ZDOE,：.XODE〜AOHF,—

OFOH

：NC=NO/ro=90。，点。是AB的中点，为BC中点，:.BH=CH,:.BH=DO,—

OHOH

.OEOPBHBC

'：ZC=ZOHD=9Q°,ZB=ZB,MOHBFACB,—

OHAC"OF~OH~OH~~AC

2）对角互补相似2

条件：如图，已知NAO8=/OCE=90。，/BOC=a.

结论1：如图1,过点C作CfUOA,CGLOB,垂足分别为F,G；贝I]①AECG〜AOCB®CE=CD-tana.

证明：法1：-：CF±OA,CG±OB,垂足分别为RG；；./EGC=NDFC=9。。,

VZAOB^90°,.•.四边形。GCP为矩形，：.ZGCF^90°,CF=OG,：.ZFCD+ZDCG^90°,

「FC'C1

VZDCE=90°,：.ZGCE+ZDCG=90°,：./GCE=/FCD,：・ECG〜工DCF,：.——二——，

CDCF

'：CF=OG,：________,•在RfACOG中，tana=——，:.CE=CD-tana

CDOGOG

条件：如图，已知NAOB=NZ)CE=90。，ZBOC=a.

结论2：如图2,过点C作CF_LOC,交OB于F；贝ij：①&CFE〜4cOD；②CE=CD-tana.

证明：法1：'：CF±OC,：.ZOCF=90°,：.ZOCE+ZECF=90°,

'：/DCE=90。,：.ZOCE+ZDCO=90°,：.ZECF=ZDCO,

VZAOB=90°,ZOCF=90°,：.ZCOE+ZDOC^90°,：.ZCOE+ZCFO^90°,

CFCFCF

：.ZDOC=ZCFO,:.CFE〜XCOD,：.—=—,:在RdOCF中，tana=—,：.CE=CD-tana.

CDCOOC

3)对角互补相似3

条件：已知如图，四边形A8CD中，ZB+ZD=180°o

结论：如图，过点。作QE_LBA,DFYBC,垂足分别为E、F；贝(J：①ADAE〜ADCF；②A、8、C、。四

点共圆。

证明：：/8+/。=180。，ZA+ZC=180°,；.A、B、C、。四点共圆。

'：DE±BA,DF±BC,：.ZAED=ZCFD=90°,

VZBA£)+ZC=180°,ZBAD+ZDAE=iS0°,：.ZC=ZDAE,：.ADAE-ADCF；

模型运用

例1.（2024•江苏淮安•一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究.

An।

在Rt/VIBC中，ZC=90°,AC=BC,。是A5边上一点，且一=—（〃为正整数），E、尸分别是边AC和

BDn

边3C上的点，连接。区DF,且N£Z用=90。.

【初步感知】（1）如图1,当〃=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=』B,请写出证明过程.

2

【深入探究】（2）①如图2,当〃=2,试探究线段AE,BF,之间的数量关系，请写出结论并证明;

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,A3之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必

证明）.

【拓展运用】（3）如图3,点。为靠近8的四等分点，连接E尸，设防的中点为M,若AB=4垃,求点E

从点A运动到点C的过程中，请直接写出点〃运动的路径长.

例2.（23-24九年级上.山西临汾•期中）综合与探究

问题解决：如图1,Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,过点C作C。，AB于点。，小明把一个三角板的

直角顶点放置在点。处，两条直角边分别交线段AC于点E,交线段于点F,在三角板绕着点。旋转

的过程中，若点E是AC的中点，则点F也是2C的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半）

“阳光”小组的解答是：若点E是AC的中点，则点下也是3c的中点.

理由如下：CD_LAB于点D,ZADC=90°.

:点E是AC的中点，:.ED=CE=EA.

•.•NA=30。，.-.ZACD=60°..•.△CDE是等边三角形.:.ZCDE=60°,

ZCDF=ZDCF=90°-60°=30°.:.FC=FD.

又•.•/3=/即3=90°-30°=60°,FB=FD.

:.FC=BF.即若点E是AC的中点，则点F也是2c的中点.

反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“4=30。"，其他条件不变（如图2）,若点E是

AC的中点，则点尸也是的中点.请你根据条件证明这个结论；

拓广探索（2）去掉条件"44=30。"，其他条件不变旋转过程中,若DE,AC（如图3）,那么等式*H

成立吗？请说明理由；（3）去掉条件"ZA=30。"，其他条件不变.若点E是AC上任意一点（如图4）,（2）

中的结论还成立吗？请说明理由.

例3.（2023・河南信阳・统考二模）如图，在放AABC中，ZACB=90°,——=一，COLA8于点。，点E是

ACn

直线AC上一动点，连接。E,过点。作交直线8c于点F.

（1）探究发现：如图1,若“=〃，点E在线段AC上，则D有F=;

DF

np

（2）数学思考：①如图2,若点E在线段AC上，则冬=（用含力，"的代数式表示）；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；

（3）拓展应用：若47=若，BC=2小,DF=4日请直接写出CE的长.

E

图1图2图3备用图

。为A3边上的一点'且2=〃’区F分

例4.（23-24九年级上.四川成都.期中）如图1,等边VABC中,

别为AC、3c上的两个动点，始终保持/£E＞尸=120。.

图1图2图3

(1)若〃=1,求证：①DE=DF,®AE+BF=^AB-

⑵①如图2,若九=2,试探究gBF、AB之间的数量关系，请写出证明过程;

②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有〃的代数式直接写出,

不用证明）；（3）如图3,M为ER边上的中点，AB=4,连接。加，当点E、尸分别在线段AC、3C上运动

时，当”=3时，直接写出线段ZW扫过的图形的面积.

习题练模型］

1.（2024・江苏•校考一模）如图，已知四边形ABC。的对角互补，且NBAC=NZMC,Afi=15,4）=12.过

AF

顶点C作CE人AB于E,则大的值为（）

A.A/73B.9C.6D.7.2

2.（2024•安徽六安•三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片

ABC（ZC=90°）内剪取一个直角△OEF（/Er）R=90。），点、D,E,F分别在AB,AC,BC边上.请

完成如下探究：（1）当。为A3的中点时，若N4=60。，ZDEF=

（2）当AC=3,3C=4、£>E=2AF时，AD的长为

3.（2023•山西临汾•统考二模）在菱形ABCD中，ABC=60°,AC=6,对角线AC,BD交于点、O,E,F

分别是AB,AD边上的点，且NECR=60。，BE=2,CF与BD交于点G,则行的值为.

4.（23-24八年级上•山东临沂•阶段练习）如图，VABC为等边三角形，边长为4,点。为BC的中点,

ZEOF=120°,其两边分别交AB和C4的延长线于区F,贝AF=

c

o

5.（23-24九年级上•湖北孝感•阶段练习）（情景呈现）画NAO3=90。，并画208的平分线OC.

（D把三角尺的直角顶点落在0C的任意一点尸上，使三角尺的两条直角边分别与的两边。4,OB

垂直，垂足为E,F（如图1）.则PE=PR；若把三角尺绕点P旋转（如图2）,则PEPA（选

填：或“=”）

（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点尸作直线GHLOC,分别交。4,08于点G,H,如图3.

①图中全等三角形有对.（不添加辅助线）②猜想GE,FH,所之间的关系为.

（拓展延伸）（3）如图4,画ZAOB=60°,并画ZAOB的平分线OC,在OC上任取一点P，作NEPF=120°,

平的两边分别与。A,08相交于E,歹两点，尸E与尸尸相等吗？请说明理由.

工」

O^\B

图1图2图3图4

6.（2023・辽宁沈阳•模拟预测）已知CD是VABC中NC的角平分线，点E,下分别在边AC,2c上，AD=m,

BD=n,YADE马YBDF的面积之和为S.

A

\；A

CFBcFBC卜6

图1图2图3

⑴当NACB=90。，DE±AC,DF±3c时，如图1,若NB=45。，m=3近,贝卜，=，S=

（2）如图2,当NACB=/即尸=90。时，①求证：DE=DF；②直接写出S与"z的数量关系；

（3汝口图3,当NACB=60。，Z£DF=120°,m=6,〃=4时，请直接写出S的大小.

7.（23-24九年级上.北京朝阳•期中）如图，ZAOB=90°,OC平分-403,点尸为0c上一个动点，过点

尸作射线PE交Q4于点E.以点尸为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转90。，交OB于点尸.

（1）根据题意补全图1;（2）如图1,若点E在OA上，用等式表示线段OE、OP和。尸之间的数量关系，并证

明；（3）如图2,若点E在的反向延长线上，直接写出线段。£、0P和。尸之间的数量关系.

8.（2024•吉林长春•一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容.

我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图所示，OC是/AO3的平分线，尸

是OC上任一点，作PEYOB,垂足分别为点。和点E.将—AO3沿OC对折，我们发现尸。与

PE完全重合.由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.

己知：如图所示，OC是-403的平分线,点尸是0c上的任意一点，PD±OA,PELOB,垂足分别为

点。和点E.

求证：PD=PE.

分析：图中有两个直角三角形尸口。和PEO,只要证明这两个三角形全等，便可证得PD=PE.

（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.

【定理应用】（2）如图②，已知OC是—AO8的平分线，点尸是OC上的任意一点，点D、E分别在边Q4、OB

上，连结PZXPE,ZAOB+ZDPE=1^°.若NAQ3=60。，OD+OE=5^,则0P的长为.

（3）如图③，在平行四边形中，ZABC=60°,8E平分NABC交于点E,连结CE,将CE绕点

E旋转，当点C的对应点/落在边A3上时，若BF+BC=12B则四边形3CEF的面积为.

9.（2024・北京•一模）在AABC中，AB=AC,ZA=60°,点。是BC边的中点，作射线。E,与边交于点E,

射线。E绕点。顺时针旋转120。，与直线AC交于点尸.（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验

提出猜想：在点E运动的过程中，始终有。£=。孔小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了

证明该猜想的几种想法：

想法1：由点。是边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段的对称点尸，由/B4C与/即尸互补，可得/AED

与互补，由等角对等边，可证。E=DF；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得是/B4c的角平分线，由角平分线定理，构造点。到ASAC的

高，利用全等三角形，可证。下....

请你参考上面的想法，帮助小华证明。尸（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE,CF,之间的数量关系.

10.（2023•陕西西安・模拟预测）问题提出（1）如图①，在AABC中，ZACB=90°,ZC4B=60°,AE平分

ZCAB,AC=4也,则点E到AB的距离为.

问题探究（2）如图②，VABC中，ZC=90°,ZA=60°,BC=2g,点。为斜边A3上一点，且NEZ>=90。，

/£2"的两边交AC于点E,交BC于点、F,若DE=DF,求四边形。ECF的面积.

问题解决（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，VABC为赏花园的大致轮廓，并

将赏花园分成△的、和四边形AEZ加三部分，其中在四边形AED尸区域内种植36/平方米的月季,

在ABED和△■DPC两区域种植薰衣草，根据设计要求：/BAC=120。，点£）、E、歹分别在边BC、AB.

AC上，且DE=DF,ZEDF=60°,为了节约种植成本，三角形赏花园ABC的面积是否存在最小值，若存

在，请求出VA^C面积的最小值；若不存在，请说明由.

图①图②图③

11.（23-24九年级上•广东惠州•期中）在VABC中，AC=BC=2,ZC=90°.将一块三角板的直角顶点放

在斜边AB的中点尸处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点。、E.

\

CEBCEBCNEB

图①图②图③

（1）如图①，当PDLAC时，则DC+CE的值是________.

（2）如图②，当尸。与AC不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理

由；（3）如图③，在NOPE内作NMW=45。，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N,连接MN.那

么ACMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

12.（2023・广东深圳•一模）（1）【探究发现】如图1,正方形ABC。的对角线相交于点O,在正方形A'B'C'。

绕点。旋转的过程中，边AO与边BC交于点边C'O与边CD交于点M证明：AOMC沿QND；

（2）【类比迁移】如图2,矩形ABCD的对角线相交于点0,且AB=6,AD=12,在矩形ABC'。，绕点

。旋转的过程中，边A'O与边2c交于点边C'O与边CD交于点M若DN=\,求CM的长；

（3）【拓展应用】如图3,四边形ABCD和四边形AB'C'O都是平行四边形，且？A物C7ADC,AB=3,

8c=36，△BCD是直角三角形，在YA'B'C'O绕点。旋转的过程中，边A'O与边3c交于点边CO与

边CO交于点N.当口ABCD与YA'3'C'O重叠部分的面积是口ABC。的面积的;时，请直接写出QV的长.

图1图2图3

13.（2023・四川成都・统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

An1

在Rt^A5C中，ZC=90°,AC=BC,。是AB边上一点，且——=-（〃为正整数），E是AC边上的动点,

BDn

过点D作DE的垂线交直线2C于点F.

图1图2图3

【初步感知】⑴如图1,当〃=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF泻AB,请写出证明过程.

【深入探究】（2）①如图2,当”=2,且点尸在线段3c上时，试探究线段AE,BF,之间的数量关系,

请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,AB之间数量关系的一般结论（直

接写出结论，不必证明）

【拓展运用】⑶如图3,连接政，设斯的中点为M.若AB=2也，求点E从点A运动到点C的过程中，

点M运动的路径长（用含n的代数式表示）.

14.（2023•辽宁沈阳•模拟预测）【问题探究】（1）如图1,BD、AC相交于点尸，连接BC、AD,且N1=N2,

若P8=6,PC=3,PD=4,则R4的长为;（2）如图2,ZMON=120。,点尸是平分线上的

一个定点，点A、B分别在射线OM、ON上,且NAP3=6O°,求证：四边形Q4PB的面积是定值；

【拓展运用】（3）如图3,某创业青年小李租用一块形如四边形ABCD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中

AD//BC,ZB=90°,AB=120米，AD=60米，3C=110米，点E为入口，点E在AB上，且=

小李计划过点E修一条垂直于CD的笔直小路跖，将田地分为两部分，四边形AEED区域为蜂巢区，四边

形3CFE区域为蜂源植物生长区，在点尸处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿AF修一条笔直的小路AF,

直接写出小路AF的长（小路的宽度忽略不计，结果保留根号）

15.（2024・四川成都.二模）如图,在矩形ABCD中,AD=nAB（〃为正整数），点E是BC边上一动点，P

为中点，连接PE,将射线PE绕点尸按逆时针方向旋转90。，与矩形的边交于点F.

【尝试初探】（1）在点E的运动过程中,P尸之间的数量关系，请

写出结论并证明;

【深入探究】（2）若附=2,在点E的运动过程中，当点尸在3c边上时，求M的最小值;

BC

【拓展运用】（3）若AB=2,设£方的中点为求点E从点区运动到点。的过程中，点M运动的路程（用

含〃的代数式表示）.

专题22全等与相似模型之对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

建导航］

例题讲模型

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模型L对角互补模型（全等型：90°-90°）..........................................................................................................23

模型2.对角互补模型（全等型：60°-120°）.......................................................................................................29

模型3.对角互补模型（全等型：a—180°-a）....................................................................................................35

模型4.对角互补模型（相似模型）...........................................................40

习题练模型

.......................................................................................................................................................53

例题讲模型］

模型1.对角互补模型（全等型：90°-90°）

模型解读

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

对角互补模型（90。一90。型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线,

构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

模型证明

1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知/AO8=/OCE=90。，0c平分NAOB.

结论：①CD=CE,②0D+0E=60C,③S”CE=SCOE+SC8=LOC2.

C/ZJCc△CCAfc△CCzZy2

证明：过点。作。知_1。。，CNL0B,:./CMD=/CNE=90。,0CWZA0B,:.CM=CN,

又：/AOB=/Z)CE=90°,；./MCN=90°,：.ZMCD=ZNCE,：.4MCD经ANCE；；.CD=CE,

根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，；./CON=45。，OM=ON,

又OD+OE^OM-DM+ON+NE,：.0D+0E=0M+0N=20N=亚OC,

•^MCD=/\NCE,•.SAMCFSANCE，••S=S+S—Scn+S—S——OC~

LnfLnfyr^FtL△1