2025年中考数学复习：线段和差最值的存在性问题 专项练习

线段和差最值的存在性问题

1.在平面直角坐标系中，将二次函数y=aY(a)O)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图

1所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k，O)

的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,AABD的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点P为x轴上任意一点.在(2)的结论下，求PE+|PA的最小值.

7B

2.如图1,在AABC中,AB=AC=3,/BAC=10(F,D是BC边的中点.

小明对图1进行了如下操作：在线段AD上任取一点P,连接PB,将线段PB绕点P逆时针方向旋转80°,

点B的对应点是点E,连接BE，得到ABPE.小明发现：随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变

化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E落在直线AD上时，如图2所示.①NBEP=;

②连接CE.直线CE与直线AB的位置关系是_______；

⑵请在图3中画出ABPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系，并

说明理由；

(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

AA

3.如图1,抛物线y=ax2+bx+c过点A(—1,0)、点C(0,3),且OB=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

⑵点D、E是直线x=l上的两个动点，且DE=1点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；

⑶点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标.

图1

4.如图，抛物线y=必+以+。交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵如图1,连接AC,点P在抛物线上,且满足NPAB=2NACO.求点P的坐标；

⑶如图2,点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛

物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

5如图1,在平面直角坐标系中，抛物线.y=a/+版+2与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴

交于点C,抛物线经过点D(-2,-3)和点E(3,2),点P是第一象限内抛物线上一点.

(1)求直线DE和抛物线的表达式；

⑵在y轴上取点F(O,1),连接PF、PB,当四边形OBPF的面积等于7时，求点P的坐标；

⑶在⑵的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M、N(点M在点N上方)，目MN=

图

6.如图1.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点OQCOD关于直线CD的对称图形为ACED.

(1)求证:四边形OCED是菱形；

⑵连结AE,若.AB=6cm,BC=V5cm.

①求sin/EAD的值；

②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)连结OP.一动点Q从点O出发以lcm/s的速度沿线段OP匀

速运动到点P,再以L5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到

点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需要的时间.

7.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-|久+4的图像与x轴和y轴分别相交于点A、B,动点P从

点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动.点A关于点P的对

称点为Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.

⑴当”用寸，点Q的坐标为；

⑵在运动过程中，设正方形PQMN与AAOB的重叠部分面积为S,求S关于t的函数表达式；

(3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.

8.在平面直角坐标系中.四边形AOBC是矩形点0(0,0),点A(5,0),点B(0,3)以点A为中心，顺时针旋转矩形

AOBC得至帙巨形ADEF,点O、B、C的对应点分别为D、E、F.

⑴如图1,当点D落在BC边上时，求点D的坐标；

⑵如图2,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.

①求证△ADB0AAOB;

②求点H的坐标；

⑶记K为矩形AOBC的对角线的交点，S为AKDE的面积求S的取值范围(直接写出结果即可).

图1图2

9.如图1,在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=-x2+4x上,,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线

的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).

(1)求线段AB的长;

(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H,点F为y轴上一点，当

△PBE的面积最大时，求PH++，。的最小值；

(3)在(2)中，PH+HF+广。取得最小值时，将ACFH绕点C顺时针旋转60。后得到ACFH,过点F作CF的垂

线与直线AB交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D、Q、R、S

为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由.

图1备用图

10.线段和差最值的存在性问题

如图1,抛物线y=ax2+6久经过AOAB的三个顶点,其中点A(l,圾，点B(3,-V3),O为坐标原点.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

⑵若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点，且n<m,求t的取值范围；

⑶若C为线段AB上的一个动点，当点A、点B到直线OC的距离之和最大时，求/BOC的大小及点C的

坐标.

1满分解答

(1)设抛物线的顶点式为y=a{x-I)?-2,代入点A(-1,0)得0=4a-2.

所以a=/所以y=|(x-I)2-2=|%2-%-|=|(x+l)(x-3)

由A(-l,0)xB(3,0),得AB=4再由SAABD=5得yD=j.

解方程/久—1)2—2=*得x=4,或x=-2.所以D(4，|).

由A(-l,0)、D(4,|)得直线AD的解析式为y=|x+|.

⑵过点E作y轴的平行线交直线AD于点F.

设网久，|比2一%_|)/3F).

所以FE=GX+|)-(|X2-X-|)=一|/+|久+2=-|(^-j)2+p

所以SADE=^AFE+^DFE=—x^)=-FF.

SACE_AC72+交.

再由3得SACE=^ADE=^FE=

SADEADbN416

所以当久=2时，AACE的面积取得最大值II.此时网|，弋)

⑶第一步，构造、转化|P4

过点A作直线Z:y=^(%+1),过点P向直线1作垂线，垂足为G,那么PG=|P4第二步，探究最小值.

作EH_L1于H,那么在RtAEGH中,EH<EG.

而在AEGP中,EG<PE+PG.

所以当点G与点H重合时，PE+PG取得最小值，最小值是EH.

第三步，计算最小值.

过点E作y轴的平行线交直线1于点M,那么VM=久%+1)=3©+1)=?

在RtAEMH中，ME=£-(—•=*所以EH^^ME=3.

所以PE+|P4的最小值为3.

考点伸展

第⑵题也可以这样思考小巴AC看作AACE的底边，那么AC边上的高就是点E到直线AD的距离(设为EN).

直线AD是确定的，直角三角形EFN的形状是确定，所以当FE取得最大值时,EN也最大.

两种解法的本质，都是当FE取得最大值时，AACE的面积最大.

2.满分解答

⑴①如图4,当点E落在直线AD上时,NBEP=50。.

②CE〃AB.

⑵如图5,在等腰三角形ABC中,NBAD=NCAD=50o,NABC=NACB=40。.

在等腰三角形PBE中,PB=PE,/BPE=80。,所以/PBE=NPEB=50°.

由PB=PC,PB=PE得PC=PE.

在等腰三角形PCE中，设NCPE=2a,那么.Z.PCE=乙PEC=90°-a.

如图6,在等腰三角形PBC中，顶角.乙BPC=80°+2a,所以ZCPD=40°+a.

延长CE交直线AD于点F.

在APCF中,NPFC=180°-ZPCE-ZCPD=180o-(90°-a)-(40o+a)=50°.

所以NPFC=/BAD=50°.所以CE〃AB.

⑶如图7,当点P在线段AD上运动的过程中，CE与AB保持平行，四边形ABFE是梯形.理论上,AE的最

小值是梯形ABFC的高,AELAB.

事实上,NBPE=80。为定值/BAEW/BPE.

当P与A重合时,/BAE=80。,此刻AE取得最小值.

此时四边形ABFE是等腰梯形,AE=BF=3（如图8所示）.

所以AE的最小值是3.

考点伸展

当点E在直线AD左侧时，依然有CE〃AB证明过程与点E在AD右侧一致，如图9、图10所示.

图10

用构造旋转相似的方法证明CE//AB.

构造方法一：如图11,将线段AB绕点A逆时针旋转80。得到线段AF,连接BF.

由AABFsAPBE,可彳导AABPs/XFBE（如图12）.于是NBAP=/BFE=50。.

在等腰三角形ABF在,NABF=50。.所以NABF=NBFE.所以EF//AB.

在等腰三角形ACF中，顶角.ZCXF=100°-80°=20。,所以/AFC=80。.

所以NAFC=NBAF.所以CF//AB.

因为经过一点F有且只有一条直线与已知直线AB平行，所以CF与EF在同一条直线上.所以CE〃AB.

构造方法二：如图13,将线段DB绕着点D逆时针旋转80。得到线段DF,连接BF.

由△PBEs/^DBF,可得APBDs^EBF（如图14）.所以NBDP=/BFE=90。.

又因为4ABF=40°+50°=90。,所以NABF=NBFE=90。.所以EF〃AB.

在等腰三角形DFC中，顶角/FDC=100。,所以NDCF=40。.

所以NDCF=NABD.所以CF〃AB.于是得到CE//AB.

构造方法三可以一步到位：如图15，构造等腰三角形MBC,使4BMC=80。.

由△MBCsAPBE,可得AMBPs/^CBE(如图16).所以.乙BMP=乙BCE=40°.

所以NABC=/BCE.所以CE//AB.

图15

AE的最小值:

当点P与点A重合时，设点E的位置为Eo,那么.AE0=XB=3.

在等腰三角形AE°C中，顶角NC4E。=20。,所以^AE0C=80°.

当点P向下运动时.点E在CE。的延长线上.所以NAEF>/AE°E.

于是在AAEE。中，可知,NAEoE=100o,/AEE。<80°.

根据大角对大边，可知.AE>AE0.

所以AE的最小值就是AE0=3,当且仅当点P与点A重合时.

3.满分解答

⑴由C(0,3),OB=OC得B(3,0).

由A(-l,0)sB(3,0),设抛物线的交点式为y=a(x+l)(x-3).

代入点C(0,3),得3=-3a解得a=-l.

所以抛物线的解析式为y=-(%+1)(%-3)=-%2+2%+3.对称轴是直线x=l.

(2)如图2,在四边形ACDE中,AC=V10.DE=1,DE在抛物线的对称轴上.

将点C(0,3)向下平移1个单位得F(0,2),那么四边形CDEF是平行四边形,CD=FE.

所以AC+CD+DE+EA^V10+FE+1+EA.

所以当FE+EA取得最小值时，四边形ACDE的周长也最小.

如图3,连接EB,那么EB=EA.所以FE+EA=FE+EB.

如图4,当点E落在线段FB上时,FE+EB最小，最小值为旧.

所以四边形ACDE的周长的最小值为V10+1+V13.

(3)如图5,设CP与x轴交于点G.作PH±x轴于H.设+2x+3).

作AMXCP于M作BNXCP于N.所以衿=等=公

“BPBND(J

①当篝=MI时，4G=|4B=|x4=|.此时G60)

所以黑=黑=3+)=6.由PH=6GH彳导-(-X2+2%+3)=6-

解得x=8,或x=0(舍去).所以P(8,-45)(如图6所示).

②当衿=躇=|时，4G=)8="4=|.此时G(|，0).

3cBpJDCTDOOZ\Z/

所以瞿=尊=3+|=2.由PH=2GH得一(一/+2久+3)=2(久一|).解得%=4,或X=0(舍去).所以

(an(JUZ\Z/

P(4,-5)(如图5所示).

考点伸展

第⑶题求得了点G的坐标以后再求点P的坐标，一般的方法是先求直线CG的解析式，然后联立直线CG和

抛物线的解析式组成方程组，解方程组得到点P的坐标.方程组一定有两个解，其中一个解就是点C的坐标.

4.满分解答

⑴由抛物线y=好+6尤+c与y轴交于点C(0,-3｝得c=-3.

将A(l,0)代入y=x2+bx—3”得l+b-3=0.解得b=2.

所以抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3.

⑵第一步，构造NPAB.

如图3,作AC的垂直平分线，交x轴于点G,那么GA=GC,Z1=Z2.

在RtAAEG与RtAAOC中,NEAG=/OAG,所以/1=/ACO.

所以/CGO=N1+N2=2NACO.已知NPAB=2NACO,所以NPAB=NCGO.

第二步，求/PAB.

设G(a,0),已知A(l,0),C(0,-3).

根据GA2=Ge?列方程，得(a-1尸=a2+32.解得a=-4.所以G(-4,0).

在RtACOG中，tanzCGO=—=三.所以tanzPXB=

0G44

第三步，求点P的坐标.

如图4,作PH±x轴于H.设P(x,x2+2x-3).

分两种情况讨论ZPAB=2ZAC0.

①点P在X轴上方.

.yr-i-I\I,nAr~tX2+2%—33

在RtAPHA中，PH=x2+2x—3o,AHTT=1—%，所以tan/PAB=——=

因为x¥l,整理，得—(久+3).解得"-素所以p(一果喘

①点P在X轴下方.

在RtAPH'A在PH'=-(x242x—3),AH=1—久，所以tan/PAB=合二子

因为存1,整理，得x+3..解得x=-3.所以「(-上粉

O.

r

/

G力

\j/yA

图3图4

(3)作PQJ_x轴于P.设Q(m,n),其中n=m2+2m—3=(m+3)(m—1).

由y=x2+2x-3彳导抛物线的对称轴为直线x=-l.又因为A(1,O),所以B(-3,0).

如图5,因为PQ//DN,所以色=言所以笠=焉

解得DN=总=-2(m-1).

如图6,因为PQ〃DM,所以詈=笫所以笠=言

解得DM=—=2(m+3).

1-m

所以DM+DN=2(m+3)-2(m-l)=8,是定值.

图5图6

考点伸展

第⑵题中构造NPAB还可以这样考虑：

如图7,作AC的垂直平分线，交y轴于点F,那么.凡4=FC,z3=N4所以^AFO=43+44=2乙4C。.

已知上PAB=2乙4C。,所以Z.PAB=乙4F0.

设F(b,O),已知A(1,O),C(0,-3).

2

根据FA=FC?歹J方程，得12+川=3+3)2

解得6=―李所以F(O--0.

在Rt△4。/中,tanzXFO=—=

所以tanZ-PAB=

4

5.满分解答

(1)由D(-2,-3)、E(3,2),得直线DE的表达式为y=x-1.

将D(-2,-3)、E(3,2)两点分别代入、=&+"+2得

解得a=-"号.所以抛物线的表达式为y=-|%2+|%+2.

⑵由y=一之久2+|乂+2=一|(尤+1)0-4＞得A(-l,0),B(4,0).

如图2,连接OP.设P(x,y).其中y=-|x2+|x+2.

月斤UAS,x=SpoF+SpoB=—FO.x4—BO'y

四边形OBPF322J

=-%+2y=-x+2(--X2+?%+2)

2,2\22)

=—x2--x—4=7.

2

整理，得2/_7%+6=0解得.x=2或x=|.所以P(2,3),或(|噜).

⑶点N的坐标为®-号).

考点伸展

第⑶题分三步完成.

第一步，分析MN=隐含的条件.

如图3,由P(2,3)、F(0,l),可知PF=2vx直线PF:y=x+l与直线DE平行.

所以PF与MN平行且相等.所以四边形PMNF是平行四边形.所以PM=FN.

第二步，确定三条线段的和最小时点N的位置.

由于PM=FN,MN=2/为定值,所以.PM+MN+NA=FN+NA+2V2

所以当FN+NA最小时,PM+MN+NA也取得最小值.

如图4,点F(O,1)关于直线.DE:y=x-1的对称点为F(2,-l),所以FN=F'N.

如图5,当点N落在线段AF上时，FN+NA=F'N+N4取得最小值第三步，求点N的坐标.

由4(-1，0)、。(2,一得直线

联立y=一争口y=x-1,解得%=|,y=-］所以N停-0.

6.满分解答

⑴因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB=OC=OD.

因为ACOD与ACED关于直线CD对称，所以OC=EC,OD=ED.

所以EC=OC=OD=ED.所以四边形OCED是菱形.

⑵①如图2,连结EO并延长交AB于H,交CD于G,那么EH垂直平分AB,EG=GO=OH.

在RtAAEH中,AH=3,EH=3OH=|BC=苧；由勾股定理，得4E=

所以sin^AEH=竺=3+2=2,所以sin^EAD=

AE233

②如图3,过点A作直线UAH.作PM±1于M作QN〃1交PM于N.

在RtAPQN中，合=|=卷也就是说，点Q到达点A时，点N到达点M.

因此点Q走完全程的时间，相当于以Icm/s的速度沿折线OP-PM运动.

如图4,因为OP+PM的最小值为0M,而OML时,0M最小，所以OP+PM的最小值等于AH=3(如图5所示).

这样，点Q走完全程所需要的最短时间为3秒.

如图5,在RtAAPM中，MA=0H=手，设AP=3m,PM=2m,由勾股定理得((3巾¥(2m)2=(/).解得m=

通以AP=I，

考点伸展

象第(3)题这样的问题，同一个动点在不同路径上的运动速度不同，先转化为速度相同的运动，然后就可以应用

两点之间线段最短，垂线段最短等解决问题了一

7满分解答

⑴当t=用寸点Q的坐标为(4,0).

⑵已知AP=PQ=3t,正方形PQMN的面积为9tz.

在RtABOA中,OA=6,OB=4,所以tan乙4=

①如图2,重叠部分的形状为五边形PDEMQ,0<t<l.

2

在R3APD中,AP=3t,所以DP=AP-tan/A=2t,所以SAPD=3t.

2

在RtADNE中,DN=t，所以EN=：DN="所以SDNE=；t.

所以S=S正一50痔=9严一92=?已

44

②如图3,重叠部分的形状为五边形PDEFO,1<t<|

由于OP=6-3t,所以S矩形POFN=3t(6-3t)=18t-9t2.

所以S=S—SDNE=(181—9t2)—212=—+18t.

DN44

2

③如图4,重叠部分的形状为四边形POBD,|<t<2.此时S=SA0B-SAPD=12-3t.

(3)在运动过程中OT+PT的最小值为3V2

考点伸展

第(3)题的思路是这样的：如图5,由于OT+PT=OT+NT,所以当点T落在线段ON上时，OT+NT取得最小值.

而ON的最小值，是点O到直线y=-x+6的距离，这是因为PA=PN,所以点N的运动轨迹是等腰直角三角形

AOC的斜边AC.此时点Q和点O重合(如图6所示).

如图6,ON=产。4=3V2.

8.满分解答

⑴如图3,作DM_Lx轴于M.

当点D落在BC边上时，在R3DMA中,AD=5,DM=3,所以AM=4.所以OM=5-4=1.此时D(l,3).

图4

⑵①如图4,当点D落在线段BE上时,NADB=/AOB=90。.

由AB=AB,AD=AO,得RtAADB^RtAAOB(H.L.).

②如图4,由AADB取Z^AOB彳导/1=/2.

由BC〃OA,得/2=/3.

所以N1=N3.所以HA=HB.设HA=HB=m.

在RtAHCA中，由勾股定理，得小=(5-m)2+3?.解得m=三所以He，3).

30+3V34

(3)3。一产<S<

41

考点伸展

第⑶题的思路是这样的：如图5,过点K向直线DE作垂线，垂足为G.

在AKDE中，DE=3为定值，所以AKDE的面积的最大值、最小值取决于KG的最大值、最小值.

而KG总是小于或等于KD的，所以KG的最大值、最小值又取决于KD的最大值、最小值.

在AKDA中，K4=与,4。=5为定值.

如图6,当点K落在AD上时，KD取得最小值.此时KG的最小值为5-弊.

如图7,当点K落在DA的延长线上时，KD取得最大值.此时KG的最大值为5+孚

动定交替.

如图8,研究定点K到动直线DE的距离，可以转换为动点K到定直线0B的距离KG.动点K的轨迹是以

A为圆心、以AB的一半长为半径的圆.

在AKOA中,0A、KA为定值，所以KG的最小值为OA-KA,KG的最大值为OA+KA.

9.满分解答

(1)由y=-%2+4%=-(%-2¥+4得抛物线的对称轴为x=2,顶点为D(2,4).

点A(l,3)关于直线x=2的对应点为B(3,3),所以AB=2.

(2)第一段，求APBE的面积最大时点P的坐标.

如图2,由B(3,3)、E(1,D得直线BE的解析式为y=x.

过点P作x轴的垂线与BE交于点G

设P(x,-x2+4x),G(x,x)用口么.PG=-x2+3x.

所以SpBE=SpBG+SpEG=^PG,(久B—久E)=—/+3%.

当％=|时，APBE的面积最大.此时P(|耳),P”=?一3=*

第二段，求PH+HF+，。的最小值，就是求HF+广。的最小值.

如图3,绕原点。将y轴逆时针旋转30。与直线AC交于点M作FKXOM于K,那么FK=

如图4,当