2025年中考数学几何模型归纳训练：全等与相似模型之半角模型解读与提分训练（解析版）

专题21全等与相似模型之半角模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知

识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，

熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。

目录导航］

例题讲模型

........................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）...............................................................13

习题练模型］

.......................................................................................................................................................25

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

例题讲模型|］

模型1.半角模型（全等模型）

模型解读

半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋

转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。

模型证明

1）正方形半角模型

条件：四边形ABC。是正方形，Z£CF=45°；结论：①△8CE丝△DCG；②ACEF出ACGF；®EF=BE+

DF-,④AAEP的周长=2A&⑤CE、CF分别平分乙8£/和/£口）。

证明：将ACBE绕点C逆时针旋转90。至ACDG,即ACBE四△CDG,

/.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

•.•A8CD是正方形，AZB=ZCDF=ZBCD=90°,BA=DA；：.ZCDG+ZCDF=l80°,故F、D、G共线。

VZECF=45°,：.ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

•：CF=CF,：.ACEF^/\CGF,:.EF=GF,'：GF=DG+DF,:.GF=BE+DF,:.EF=BE+DF,

：.\AEFK-^=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,过点C作CHIEF,贝!|/CHE=90°,

■:XCEF妾XCGF,（全等三角形对应边上的高相等），再利用乩证得：XCBEW4CHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可证：ZHFC=ZDFC,即CE、CF分别平分/8所和NEF。。

2）等腰直角三角形半角模型

条件：AABC是等腰直角三角形（/8AC=90。，AB=AC）,ZDA£=45O；

结论：①△BA。gZkCAG；②ADAE咨AGAE；③NECG==90°；®DE2=BD2+EC2；

证明：将AABD绕点A逆时针旋转90。至A4CG,即ABADgZkCAG,

AZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

VZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC^45°,：.ZCAG+ZEAC^ZGAE^5°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

'：AE=AE,：.ADAE^/\GAE,:.ED=EG,：AABC是等腰直角三角形，ZACB=45°,：.ZECG=9Q°,

：.GE2=GC2+EC2,：.DE2=BD2+EC2；

3）等边三角形半角模型（120。-60。型）

条件：AABC是等边三角形，A8OC是等腰三角形，MBD=CD,ZBDC=120°,NEDF=60。；

结论：①4BDE沿ACDG；②AEDFmAGDF；③EF=BE+CF；④A4EP的周长=242；

⑤DE、DF分别平分和ZEFCo

证明：将ADBE绕点。顺时针旋转120。至ADCG,即△BDE2ZXCDG,

AZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=nO°,ZEDF=60°,：.ZBDE+ZCDF=60°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

,:DF=DF,：.4EDF"AGDF,：.EF=GF,,:GF=CG+CF,：.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF的周长=EF+AE+AF=JBE+CF+4E+AF=4B+AC=2AB,

过点D作DM±GF,则/£＞处'=N£)MF=90°,

V^EDF^AGDF,(全等三角形对应边上的高相等)，再利用HL证得：XDHF”ADMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可证：ZBFD=ZFED,BPDE,£)/分别平分和NEFC。

4)等边三角形半角模型(60。-30。型)

条件：AABC是等边三角形，Z£A£)=30°；

结论：①ZXBDA咨ACFA；②△DAE04FAE；③/ECF=120°；@DE2=(^BD+EC)2+^H-BD

证明：将AABD绕点A逆时针旋转60。至AACP,即AR4。丝△◎厂,

/.ZBAD=ZCAF,/B=/FCA=60°,AD=AF,BD=CF；

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC=30°,：.ZCAF+ZEAC^ZFAE^3Q°,：.ZDAE=ZFAE^3QO,

'：AE^AE,：.ADAE^/\FAE,；.ED=EF,是等边三角形，AZACB=60°,NEC尸=120°,

-1公11A/3A/3

过点F作FH/BC,：.ZFCH=60°,NCFH=30°,；.CH=-CF=—BD,FH=-CF=-BD,

2222

与BD)2；

,在直角三角形中：FE2=FH2+EH2,：.DE2=(-BD+EC)2+(

2

5）任意角度的半角模型（2a-e型）

条件：ZBAC=2a,AB=AC,ZDAE=a；

结论：①△BA。g△CAR②△EA。丝△EAF；③/ECF=180°-2a。

证明：将AABD绕点A逆时针a。至△ACR即△54。0△CAP,

/.ZBAD=ZCAF,ZB=ZBCA=ZFCA=90°-a,AD^AF,BD=CF；：.ZECF=ZBCA+ZFCA^1800-2a»

VZBAC=2a,ZDAE=a,：.ZBAD+ZEAC=a,：.ZCAF+ZEAC^ZFAE^a,：.ZDAE=ZFAE^a,

'：AE=AE,：.ADAE沿△FAE。

模型运用

例1.（2023・广东广州•二模）在正方形中，点E、尸分别在边3C、CD且ZE4F=45。，连接族.

（1）如图1,若BE=2,DF=3,求E/的长度；（2）如图2,连接8。，3。与AF、AE分别相交于点M、N,

若正方形ABCD的边长为6,BE=2,求。尸的长；（3）判断线段3N、MN、三者之间的数量关系并证明

图1图2

【答案】⑴5⑵3⑶3解+。"=皿2

【分析】（1）延长8E,使BG=D尸=3,证明A£）尸丝一ABG和oAEF空AEG（S4S）,求得

EF=GE=BE+GB=5.（2）设止=x,则WC=6—x,在咫/XECF中，根据勾股定理可得,

42+(6-X)2=(X+2)\解得：x=3.(3)BN、MN、DM三者之间的数量关系：HB2+BN2=HN2,证明

.AHB/和，H4N-M4N(S45),根据勾股定理即可证明.

【详解】(1)解：延长EB,使3G=O尸，如图所示:

AB=AD,ZABE=ZADF=ZBAD=Z.BCD=90°,

AD=AB

在和，ABG中，（NADF=NABG=90°,；.qADF'ABG,：.AF=AG,ZDAF=ZBAG,

DF=BG

•：ZE4F=45°,ZDAF+ZBAE^45°,：.ZBAG+ZBAE=45°,；.NEAF=NGAE,

AF=AG

在△AEP和，AGE中，＜/£AP=/GAE,；.AEF^AEG(SAS),；.EF=GE=BE+GB=5.

AE=AE

(2)解：设。尸=x,贝iJbC=6-x,由(1)可知，EF=GE=x+2,

在加Z\EC尸中，根据勾股定理可得，42+(6-X)2=(X+2)2,解得：x=3,：.DF=3.

(3)BN、MN、DM三者之间的数量关系：BN2+DM2=MN2.

'AH=AM

证明：截取=在—A/iB和4AMD中，2HAB=/MAD,：.AHB^AMD(SAS),

AB=AD

：.BH=DM,ZABH=ZADB=45。,XVZABD=45°,:.NHBN=90。,

'AH=AM

在AHAN和AMAN中，＜ZHAN=AMAN,：.HANGMAN(SAS),

、AN=AN

:.HN=NM,：.HB2+BN2=HN2.BN2+DM2=MN2.

【点睛】此题考查了三角形全等、勾股定理，解题的关键是构造辅助线，熟悉三角形全等的证明.

例2.(23-24八年级下.四川达州•阶段练习)倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出

题海，提高学习能力和创新能力的有效途径.

（1）【问题背景】已知：如图1,点E、尸分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZE4F=45。，连接EF,则

EF、BE、。厂之间存在怎样的数量关系呢？

（分析：我们把△陋7绕点A顺时针旋转90。至ABG,点G、B、C在一条直线上.）

于是易证得：ADF=^\_=.AEF,所以EF=_.

直接应用：正方形ABCD的边长为6,CF=4,则族的值为

（2）【变式练习】已知：如图2,在Rt^ABC中，AB^AC,。、E是斜边BC上两点，且ND4E=45。，请

写出BD、DE、CE之间的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，当1D4E绕着点A逆时针一定角度后，点。落在线段2C上，点E落

在线段8c的延长线上，如图3,此时（2）的结论是否仍然成立，并证明你的结论.

【答案】⑴qABG,AEGDF+BE,5Q）BD?+CE?=DE?,见解析（3）成立，见解析

【分析】（1）根据分析过程及图形分析即可；（2）BD2+CE2=DE2,把NCE顺时针旋转到3尸的位置

此时AC与重合，连接DF,证_4砥=_4%，得EF=FG,/C=ZABF=45。,再证V3D户是直角三角

形，然后由勾股定理即可解决问题；（3）根据第（2）问的辅助线画出图形即可证明.

【详解】（1）:四边形是正方形，AB=AA/3=/B4Z）=90。，

把绕点A顺时针旋转90。至，ABG,则A3与重合，?.AADF=AABG

：.NGAB=NDAF,AF=AG,DF=GB,ZD=ZABG=90P；.点G、B、C在一条直线上

VZE4F=45°,AZBAE+ZDAF=45°,：,ZBAG+ZBAE=45°,：.ZEAFZGAE,

'：AE=AE,：.AFE三AGE（SAS）,/.EF=GF,

VEG=BG+BE,：.EF=BE+DF；:正方形ABC。的边长为6,CF=4,

；.DF=2,:.EF=BE+DF=2+BE,EC=BC-BE=6-BE,

在RtZXEFC中，EC2+CF2=EF2,：.（6-BE）2+42=（2+BE）2,解得3E=3,

EF=2+BE=5故答案为：ABG,AEG,DF+BE,5；

（2）BD2+CE2=DE2,理由如下：把""顺时针旋转到zXAB尸的位置此时AC与AB重合，连接£＞「，

ZDAE=45°,ZDAF=90°-45°=45°,/.ZFAD=ZDAE=45°,

ADF^,ADE（SAS）,：.DF=DE,VABAC=90°,AB=AC,：.ZABC=ZC=45°,

：.ZC=ZABF=45°,：.ZDBF=ZABF+ZABC=90°,：.NBDF是直角三角形，

BD2+BF2=DF2，BD2+EC2=DE2.

（3）3。2+叱2=。炉依然成立，理由如下：

把“砥顺时针旋转到△ABF的位置此时AC与AB重合，连接DF,

贝.ABF=AACE,：.ZFAB=NCAE.BF=CE,ZABF=ZACE,；.ZFAE=ABAC=90°,

,/ZDAE=45°,AZZMF=90°-45°=45°,AZFAD=ZDAE=45°,

：.ADFADE（SAS）,；.DF=DE,:NBAC=90°,AB=AC,：.ZABC=ZACB=45°,

ZACE=ZABF=135°,；.ZDBF=ZABF-ZABC=90°,

VBZm是直角三角形，，应J?+3尸2=£）尸2,502+EC?=£＞灯.

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三

角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性比较强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于

中考常考题型.

例3.（23-24九年级上•浙江台州•期中）如图，在VABC中，AB=AC,/A4C=120。，点。、E都在边

上，ZBAD=15°,ZDAE=60°.若DE=3,则A2的长为.

A

【答案】3+6

【分析】如图（见解析），先根据等腰三角形的定义可得ZB=30°,再根据角的和差可得ZADF=ZDAF=45。,

ZBAE=ZAEB=15°,从而可得A尸=OP,A8=BE,^AF=DF=x,然后利用直角三角形的性质、勾股定

理可得8尸=6乂3。=2尤-3,最后根据线段的和差建立方程，解方程即可得.

【详解】如图，过点A作Ab，3c于点F,

在VABC中，AB^AC,ZBAC=nQ°,ZB=ZC=1(180°-ZBAC)=30°,/.ZBAF=90°-ZB=60°,

ZBAD=15°,：.ZADF=ZB+ZBAD=45°,ZDAF=ZBAF-ZBAD=45°,：,ZADF=ZDAF,:,AF=DF,

/DAE=60°,NBAE=ABAD+/DAE=75°,NAEB=180°-NBAE-ZB=75°,

:.ZBAE=ZAEB,:.AB=BE,设AF=Db=x,

在RtASF中，AB=2AF=2x,BF7AB2-AF?=瓜,:BE=2x,

DE=3,/.BD=BE—DE=2x—3,

又・BD+DF=BF,.•.2尤一3+》=瓜，解得x=贝UAS=2x=3+岔，故答案为：3+石.

2

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，

构造等腰直角三角形是解题关键.

例4.（23-24九年级上•江西南昌・期中）（1）如图①，在直角VABC中，ABAC=90°,AB=AC,点D为BC

边上一动点（与点8不重合），连接AD,将△ABD绕点A逆时针旋转90。，得到"CE,那么CE,B£＞之间

的位置关系为,数量关系为；（2）如图②，在VABC中，NA4c=90。，AB^AC,

D,E（点D,E不与点8,C重合）为8C上两动点，且ND4E=45。.求证：BD2+CE2=DE2.（3）如图

③，在VA3C中，ZCAB=120°,AB=AC,ND4E=60。，BC=3+6,D,E（点D,E不与点B,C重

合）为BC上两动点，若以EC为边长的三角形是以8。为斜边的直角三角形时，求防的长.

【答案】（1）CE±BD；CE=BD；（2）见解析；（3）BE=2+VL

【分析】（1）根据/A4D=/CAE,AD=AE,运用SAS证明ABD=ACE,根据全等三角形性质得出对应

边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；

（2）把△ACE绕点A顺时针旋转90。，得到MG,连接DG,由SAS得到ADG=ADE,可得DE=DG,

即可把EF、BE、FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；

（3）把4M。绕点A顺时针旋转120。，得到△AFB,可得AF=AE,ZABF=ZACB,EC=BF,NEAF=120。，

由SAS可证△ADE=△"犷，可得DF=DE,由以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，分两种情况

讨论，由直角三角形的性质可求解.

【详解】解：(1)CE与BD位置关系是CE_LBD,数量关系是CE=BD

绕点A逆时针旋转90°,得到LACE：.ZBAC=ZDAE=90°

ZBAD=90°-ZDAC,ZCAE=90°-ZDACZBAD=ZCAE

BA=CA,AD=AEAABD三AACEZACE=NB=45°且CE=BD

ZACB=ZB=45°ZECB=45°+45°=90°,IPCEXBD故答案为：CE±BD；CE=BD；

(2)如图②，把aACE绕点A顺时针旋转90。，得到.ASG,连接DG,

图②图③

贝hACE三」A8G；.AG=AE,BG=CE,ZABG=ZACF=45°

,?ZBAC=90°,ZGAE=90°ZGAD=ZDAE=45°

"AG=AE

在△ADG和,ADE中，］NGAD=ZDAE：._ADG=_ADE：.ED=GD

AD=AD

,：ZGBD=90°BD2+BG2=DG2即BD2+EC2=DE2

(3)如图③，把△镒(7绕点A顺时针旋转120。，得到△AFB,

/.NAEC^VAFB：,AF=AE,ZABF=ZACB,EC=BF,^EAF=120°

ZCAB=120°,AB=ACZABC=ZACB=ZABF=30°/.ZFBD=60°

V^EAF=120°,ZEAD=60°ZDAE=ZDAF=60°,且AF=AE,AD=AD.\^ADE^ADF.\DF=DE

•.•以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形

.•.以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形；.V应不是直角三角形

若ZBDF=90。，且ZFBD=6(r，BF=2BD=EC,DF=6BD=DE

•：BC=BD+DE+EC=BD+2BD+A/3BD=(3+^)BZ)=3+^/.BD=1

/.DE=5/3/.BE=BD+DE=1+道

若ZBFD=90°,S.ZFBD=60°BD=2BF=2EC,DE=6BF=DE

BC=BD+DE+EC=2BF+BF+5/3BF=（3+5/3）BF=3+A/3

BF=1.,.BD=2,DE=A/3ABE=2+73

【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾

股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

例5.（2024•江西•九年级期中）（1）【特例探究】如图1,在四边形A5CD中，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,

ZBAD=100°,Z£4F=50°,猜想并写出线段班，DF,所之间的数量关系，证明你的猜想；

（2）【迁移推广】如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=180°,/=尸.请写

出线段BE,DF,E户之间的数量关系，并证明；

（3）【拓展应用】如图3,在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（。处）北偏东20。的A处.舰艇乙在指挥

中心南偏西50。的8处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海

里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60。的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、

乙两舰艇分别到达C,。处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75。.请直接写出此时两舰艇之间的

距离.

【答案】（1）EF=BE+DF,理由见解析；（2）EF=BE+DF,理由见解析；（3）85海里

【分析】（1）延长CD至点G,使DG=BE,连接AG,可证得AABE丝△AZJG,可得至！JAE=AG,ZBAE=Z

DAG,再由N54D=100。，ZEAF=50°,可证得尸，从而得到£/三尸G,即可求解；（2）延长

CD至点、H,使DH=BE,连接可证得△ABEg/XAQH,可得到AE=AH,ZBAE=ZDAH,再由

/BAD=2NEAF,可证得从而得到即可求解；（3）连接C£）,延长AC、BD

交于点/，根据题意可得NAOB=2/C。。，ZOAM+ZOBM=70°+110°-180°,再由（2）【迁移推广】得：

CD=AC+BD,即可求解.

【详解】解：⑴EF=BE+DF,理由如下：如图，延长C£＞至点G,使以"^,连接AG,

,/ZABC=ZADC=90°,/.ZADG=ZABC=9Q°,

"：AB=AD,：.AABE^AADG,：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

'：ZBAD=100°,ZE4F=50°,/.ZBAE+ZDAF=50°,：.ZFAG=ZEAF=50°,

"：AF=AF,:AAEF<4AGF,：.EF=FG,'：FG=DG+DF,：.EF=DG+DF=BE+DF-,

（2）EF=BE+DF,理由如下：如图，延长C£>至点“，使DH=BE,连接AH,

VZABC+ZADC=180°,ZADC+ZADH=l8Q°,：.ZADH=ZABC,

\'AB=AD,：.AABE^AADH,：.AE=AH,ZBAE=ZDAH,

'：NBAD=2NEAF：.ZEAF=ZBAE+ZDAF=ZDAF+ADAH,：.ZEAF=ZHAF,

'：AF=AF,：.AAEF^AAHF,：.EF=FH,'：FH=DH+DF,：.EF=DH+DF=BE+DF；

（3）如图，连接CD延长AC、BD交于点M,

根据题意得：ZAOB=20o+90°+40°=150°,ZOBD=60°+50o=110°,ZCOD=75°,ZOAM=90o-20°=70°,OA=OB,

：.ZAOB=2ZCOD,ZOAM+ZOBM=70°+110°=l80°,

'：OA=OB,...由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD,

,/AC=80x0.5=40,80=90x0.5=45,；.CD=40+45=85海里.即止匕时两舰艇之间的距离85海里.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形

的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意

类比思想的应用.

例6.（2022・湖北十堰・中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,点、E,

F分别在3C,CO上，若2瓦LD=2/E4尸，贝!=

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路AQ,A3上分别有景点N,且O0=lOOm,

2N=50（石-l）m,若在M,N之间修一条直路，则路线〃fN的长比路线MfAfN的长少

m（结果取整数，参考数据：外。1.7）.

图②

图①

【答案】370

【分析】延长AB,。。交于点E,根据已知条件求得NE=90。,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求

得EC,EB,AE,AD,从而求得AN+AM的长，根据材料可得MN=DM+BN,即可求解.

【详解】解：如图，延长AB,。。交于点E,连接CM,CN,

E

D

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,/.ZA=30°,ZE=90°,

DC=DM=100:.^DCM是等边三角形，ZDCM=60°.:.ZBCM=90°,

在RtBCE中,BC=100,AECB=180°-ZBCD=30°,

EB=；BC=50,EC=y/3EB=50^,DE=DC+EC=100+50A/3,

□△ADE中，AD=2DE=200+10073,AE=若。£=100岔+150,

AM=AD-DM=200+100A/3-100=100+100>/3,

AN=AB-BN=(AE-EB)-BN=(100^+150-50)-50(百-1)=50g+150,

AM+AN=100+100A/3+50A/3+150=250+150A/3,R3CMB中，BM=^BC2+CM2=10072

EN=EB+BN=50+50(&一l)=50^=ECECV是等腰直角三角形

ZNCM=ZBCM-NNCB=ZBCM-(/NCE-NBCE)=75°=g/DCB

由阅读材料可得MN=DM+BN=100+50^-1)^50+1),

，路线MfN的长比路线MfAfN的长少250+150石-50（君+1）=200+100白237。m.答案：370.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键.

模型2.半角模型（相似模型）

模型解读

半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍半角;

半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的

条件集中，隐蔽的关系显现）。

常见的考法包括：90。与45。（正方形、直角三角形）；120。与60。（等边三角形）等。

模型证明

1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）

条件：已知，如图，在正方形ABCD中，/EAF的两边分别交BC、C。边于M、N两点,且NEAP=45。

结论：如图1,AMDAsLMANsAABN；

证明：是正方形，ZADM=45°,VZEAF=45°,ZADM=ZEAF,

'：ZAMD=ZNMA,：.AMDA^^MAN,同理：4MANs^ABN,：.^MDA^AMAN^^ABN；

结论：如图2,ABMEsMAMNs△DFN.

证明：..工台。是正方形，:.NNDF=45°,VZEAF=45°,ZNDF=ZEAF,

*.•ZDNF=ZANM,：.^AMN^^DFN,同理：ABMEsAAMN,：.ABMESAAMNsADFN；

且”

结论：如图3,连接AC,贝！!△AMBS/VIFC,AANDs&AEC.

AMANAB

AC

证明：•.,A8CO是正方形，ZBAC=ZABC=ZACF=45°,应，Z.ZBAM+ZMAC=45°,

AB

VZEAF=45°,：.ZFAC+ZMAC=45°,：.ZBAM=ZFAC,：.^AMB^AAFC,

AEACnrAFAEACnr

同理:^.AND^A/\AEC==J2；n即n---===，2。

fANABAMANAB

AFFFl

结论：如图4,△AMNszXAFE且——二——=——=0.

AMANMN

9

证明：：ABCD是正方形，C.AB/7CD,：.ZDFA=ZBAN；VZAFE=ZAFDfZBAN=ZAMDf：.ZAFE=

/AMN：

一AFAEACr-AFAEEFr-

又/MAN=NFAE,：.AAMN^/\AFE,由图3证明知：——=——=—=近，：.——=——=——=叵。

AMANABAMANMN

2）半角模型（含120-60。半角模型）

条件：如图5,已知N2AC=120。，ZADE=ZDAE=60°；

结论：①AABDsACAES4CBA；®—=―=—；③AD-AE=BD-CE(DE?=BD-CE)。

BDAEAB

证明：ZADE=ZDAE=60°,：.ZADE=60°,：.ZADB=120°,VZBAC=120°,/.ZADB=ZBAC,

VZABD=ZCBA,：.^ABD^^CBA；.•.四=也，即：/=生，

ACABBDAB

同理：xCAEs^CBA,,即：丝=如，即：xABDsxCAEs4CBA；—=—=—,

ACABAEABBDAEAB

/.ADAE=BDCE,'：AD=AE=DE,：.DE2=BDCE

模型运用

例1.(23-24九年级上广东深圳•期中)如图，在正方形48C£＞中，E、尸分别是8C、CD上的点，且/£4尸=45。，

AE.AF分别交于M、N,连按EN、EF,有以下结论：®^ABM^/\NEM；②△AEN是等腰直角三角

形；③当AE=A尸时，—=2-V2；@BE+DF=EF；⑤若点尸是DC的中点，贝|CE=：C8.

EC3

【答案】C

【分析】①如图，证明AAMNS^BME和AAMBSANME,

②利用相似三角形的性质可得/NAE=NAEN=45。，贝必AEN是等腰直角三角形可作判断；

③先证明CE=CF,假设正方形边长为1,设CE=x,则BE=l-x,表示AC的长为AO+OC可作判断；

④如图3,将AADF绕点A顺时针旋转90。得到AABH,证明△AEFgZkAEH(SAS),贝l]

EF=EH=BE+BH=BE+DF,可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a,贝UDF=CF=a,AF=V^a,想办法

求出BE,EC即可判断.

【详解】如图，,/四边形ABCD是正方形，；.ZEBM=ZADM=ZFDN=ZABD=45°.

VZMAN=ZEBM=45°,NAMN=/BME,AAAMN^ABME,

,AM_=MN_^，妪=些，：/AMB=/EMN,AAAMB^ANME,故①正确，

BMENMNEN

：.ZAEN=ZABD=45°,AZNAE=ZAEN=45°,；.AAEN是等腰直角三角形，故②正确，

AB=AD

在AABE和AADF中，NABE=NA£)E=90°,.,.RtAABE^RtAADF(HL),.\BE=DF.

AE=AF

VBC=CD,；.CE=CF,假设正方形边长为1,设CE=x,贝ljBE=1-x,如图2,连接AC,交EF于H,

VAE=AF,CE=CF,AC是EF的垂直平分线，；.AC_LEF,OE=OF,

RtACEF中，OC=，EF=^x,在AEAF中，ZEAO=ZFAO=22.5°=ZBAE=22.5°,/.OE=BE.

22

VAE=AE,.\RtAABE^RtAAOE(HL),.*.AO=AB=1,AC=血=AO+OC,

：.1+显x=6,：.x=2一夜,...殷」-(2-故③不正确，

2EC2-也2

③如图3,.•.将AADF绕点A顺时针旋转90。得到AABH,则AF=AH,ZDAF=ZBAH.

VZEAF=45°=ZDAF+ZBAE=ZHAE.VZABE=ZABH=90°,；.H、B、E三点共线，

AE=AE

在AAEF和AAEH中，ZFAE=ZHAE,，AAEF丝△AEH(SAS),；.EF=EH=BE+BH=BE+DF,故④正确,

AF=AH

如图4中，设正方形的边长为2a,贝。DF=CF=a,AE=#a,

图4

VDF/7AB,—=—=/.AN=NE=-AF=a,；.AE=&AN=^^a,

ANAB2333

：.BE=VAE2-AB2=a)2~(2a)2=|a，•,•EC=ga=：BC,故⑤正确.故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添

加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题.

例2.（23-24九年级上•河北唐山•阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如

图1所示，点A为公共顶点，点。在的延长线上，NBAC=ZAED=9。。,AB=AE=2若将SBC

固定不动，把VADE绕点A逆时针旋转a（0°<a<90。），此时线段AD,射线AE分别与射线BC交于点

N.

⑴当VADE旋转到如图2所示的位置时，①求证：AABNs^MAN；

②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2,若BM=1，求3N的长；

（2）在旋转过程中，若劭f=d,请直接写出CN的长（用含d的式子表示）.

88—4d4d—8

【答案】（1）①见详解；②AABNs^ACM,△ABCs△丛D；③或

34-<z4-a

【分析】（1）①本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据两角相等的两个三角

形相似证明；②本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据等腰直角三角形的性

质得到NABC=NACB=ND=NZME=45。，可证明△ABP；③本题考查三角形相似的判定，旋转

的性质与等腰三角形的性质，根据勾股定理求出BC,证明根据相似三角形的性质计算即

可；（2）本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，分点N在线段8C上、点N在线

段8c的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质计算，得到答案.

【详解】（1）①证明：,/ZABN=AMAN=45°,ZANB=NMNA,.NABNfMAN;

②,ABNs工MCA,AABCsAEAD,,:LABNs4MAN,：.ZAMC=ZANB,

:.ABC、E4D都是等腰直角三角形，/.ZBAC=ZAED=90°,ZABC=ZACB=ZEAD=ZEDA=45°,

:.aABNs&MCA,AABCsAEAD；

③在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=AC=2①,则5。=回'+3=小：.CM=BC=BM=3,

QZAMC=ZB+ZBAM=45°+ZBAM,ZBAN=ZMAN+ZBAM=45°+ZBAM,:.ZAMC=ZBAN,

BNABBN20“ea8

NB=NC,.NABN^NMCA,:，八二7，即Hn解得：BN=丁,

ACCM2近33

（2）如图2,当点N在线段3c上时,

BN=+

88-4(/

:.CN=BC-BN=4-

4-d4-d

8,4d-8

如图3,当点N在线段3c的延长线上时，CN=BN-BC=------4=-------

4-d4-d

8-4d4d—8

综上所述：CN的长为或

4-d4-d

【点睛】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，掌握

相似三角形的判定定理是解题的关键.

例3.（2024・辽宁・模拟预测）（1）如图，等腰Rt^ABC中，AB^AC,/R4c=90。，D、E在线段BC上,

且/ZME=45。，BC=12,BD=3,求DE的长.

（2）如图，在11ABe中，AB=AC,如果NBAC=120。，。在直线8C上，E在上,。在E的右侧,

ZDAE=6O°,若3c=12,CD=2,求。E的长.(3)如图，在ABC中，^ZBAC=2a,D、E是线段BC

上的两点，ZEAD=a,^AC=kAB,AD=&AE,探究BE与C£>的数量关系.

iA38

【答案】(1)DE=5；(2)DE=—或—；(3)CD=kBE

【分析】（1）过点C作CF_L3C,且使得CF=8D,连接针，EF,证明△ACF/△血£>,得到AF=AD,

/3=-4,证明AAEF当A£D,得到DE=£F,设DE=EF=x,则CE=9—x,在Rt,EFC中，根据勾股

定理求解即可；（2）分两种情况：①当点。在点C的左侧时，作/W=NC,BF=CD=2,连接所，作

FGLBC交BC于点、G,②当点。在点C的右侧时，作尸=150。，BF=CD=2,连接班作bGLBC

交3C的延长线于点G,根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可；（3）作NZMN=ABAC=2a,

RNAR1

且令AD=kAN,连接BN,7VE,证明BAN^CW,得到NC=ZABN,——=——=—,推出妨N=CD,

CDACk

证明NAE^EAD,得到NA£N=NADE,证明3N=B£,即可求解.

【详解】（1）如图，过点。作CF_L5C,且使得CF=3。，连接AT,EF,

AB=AC,ABAC=9Q0,N1=4=45。，CF1BC,/.Z2=45°=ZB,

CF=BD

在△ACF和△ABD中，｛/2=/8,.ACF^ABD(SAS)f

AC=AB

AF=AD,/3=/4,/.ZFAD=ZBAC=90°fZ6=45°,/.ZFAE=Z6=45°,

AF=AD

在方和△AED中，＜NFAE=N6,AEF^AED(SAS),DE=EF,

AE=AE

^DE=EF=xf则CE=5C—5D—£＞石=12—3—x=9—九,

在Rt.EFC中，CF'CE'EF?,32+(9-x)2=x2,解得：尤=5,ADE=5；

(2)①当点。在点C的左侧时，作N/W=NC,BF=CD=2,连接EF,作b交3C于点G,

AB=AC,NB4c=120。，Z1=ZC=30°=Z2,

BF=CD

在△ABb和AACD中，＜Z2=ZC,「.AB尸&ACD(SAS),

AB=AC

/.AF=AD,N3=/4,/.ZFAD=ZBAC=120°,Z6=60°,/.ZFAE=Z6=60°,

AF=AD

在△AEF和△AED中，＜/FAE=N6,AEF^AED(SAS)f^EF=ED,