2025年新高考数学专项复习：阿波罗尼斯圆与蒙日圆 七大题型（解析版）

阿波罗尼斯圆与蒙曰圆七大题型汇总

题型1芮氏■!与轨迹

题型2阿氏圄与1律曲线

题型3k氏圄求非对卷型最值

题型4阿氏圄与向量

题型5k氏1与立体几何

题型6捕圄中的亲日圄

题型7双曲线与粕物线中的蒙日圄

02

题型1阿氏圄与轨迹

中卜划重点

阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足祟=九当4>0且时，P点的轨迹是个圆，称

riD

之为阿波罗尼斯圆.（4=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线

回工（2021下•陕西宝鸡•高三统考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发

现:“平面内到两个定点的距离之比为定值；1（4W1）的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的

名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系力。V中，4（—2,0）,6（4,0）,点P满足需

-1.则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）

A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀

【答案】。

【分析】设P（x,y）,则由=-y结合距离公式化简可得3+4）2+才=16,从而可知点P的轨迹是以（

\PB\2

-4,0）为圆心，4为半径的圆，进而可求出面积

_1_J(/+2)2+才

【详解】设点P3,u）,则

\PB\~2"

化简整理得力2+d+8%=0,即（比+4）2+才=16,

所以点P的轨迹是以（一4,0）为圆心，4为半径的圆，

所以所求图形的面积为16兀，

故选：。

娈式他1纸

I题目1（2023上•浙江金华•高三阶段练习）已知圆。的直径AB=6,点M■满足LMA|=2|MB|.记点〃■的轨

•••

迹为W,设W与。交于P,Q两点，则|PQ|=.

【答案】■

【分析】首先建立坐标系，分别求圆。和圆W的方程，两圆相减后求直线PQ的方程，再根据弦长公式求解

弦长.

【详解】以线段AB的中点为原点，以AB所在直线为立轴，线段4B的中垂线为沙轴建立平面直角坐标系，

则圆。的方程为x2+y2=9,

力（-3,0）,8（3,0）,设Af（a：,y）,

由题意可知，J（c+3y+娟=2V（a：-3）2+y2,

整理为（①一5）2+才=16,,

则圆W的方程为(/—5)2+d=16；

两圆相减得直线PQ的方程为田=2，

5

圆心(0,0)到直线力=■的距离d=1,

O3

所以线段|PQ|=2J9-偿了24

T

故答案为：与

5

题目可(江苏省海高三模拟考试数学试题)在平面直角坐标xOy中，已知点4(1,0),6(4,0)，若直线x-y

+机=0上存在点P使得\PA\=-y|PB|，则实数小的取值范围是.

【答案】［―

【分析】根据\PA\=y|PB|得出点P的轨迹方程，又点P在直线2；—9+WZ=0上，则点P的轨迹与直线必

须有公共点，进而解决问题.

【详解】解:设。(居5

则|B4|=1)2+(沙-0)2,\PB\=V(s-4)2+(y-0)2,

因为\PA\^^\PB\,

所以有1)2+(。-0)2=-yV(:E—4)2+(y—O)2,

同时平方，化简得/+才=4,

故点P的轨迹为圆心在(0,0),半径2为的圆，

又点P在直线力一g+m=0上，

故圆/2+才=4与直线力—g+m,=o必须有公共点，

所以J加W2,解得一

V1+T

【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的轨

迹，并能求出点的轨迹方程.

题目§(2021•湖南衡阳•校联考一模)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到

两定点距离之比为常数府代＞0,用力1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点4、8间

的距离为4,动点P满足目=V3，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为；PA-PB最大值是

【答案】127r24+16V3

【分析】以经过A,B的直线为名轴，线段AB的垂直平分线为？/轴，建立直角坐标系，求出阿氏圆方程，可得

半径，从而得面积.由P(x,y),利用向量数量积的坐标表示求出用•屈，结合P在圆上可得最大值.

【详解】以经过力，B的直线为立轴，线段AB的垂直平分线为沙轴，建立直角坐标系，如图，

则4(—2,0),8(2,0),设P(⑨g),=V3,=用,

\PB\J(力-2丫+才

得：力2+4—&c+4=0=>(%一4)2+4=12,点P的轨迹为圆(如图),

其面积为12兀.

刀♦4=/—4+/=|OP『—4,如图当P位于点。时，|OP|2最大，QP『最大值为(4+2V3)2=28+

16V3，故两♦屈最大值是24+16V3.

故答案为：12兀；24+16V3.

题目⑷(2019上•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)己知AB是平面上两个定点,平面上

钻一+,上「、-口\CA\\DA\

的动点。,。满足——>=.——>.=m，若对于任意的m>3,不等式|也|W司恒成立，则实数用的最小

\DB\

值为_

【答信

【分析】建立坐标系，得点的轨迹方程，分离参量求范围即可求解

【详解】不妨设区⑹=1,以人为原点，AB所在直线为名轴建立直角坐标系，则A(0,0),B(l,0),

设。=mn(x--+才=

(a:,y),V(^-l)2+y21病(rn72-l),2

故动点C,D的轨迹为圆，由|团|<N笈同恒成立，则k>|GD|max=2T=—>4

mrn---4

-1m

故答案为慧

【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题

：题1回(2023上.山东.高三沂源县第一中学校联考开学考试)我们都知道:平面内到两定点距离之比等于定

值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点4(-1,0)和

5(2,1).且该平面内的点P满足\PA\=V2\PB\，若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m,n>0)对称,

则2+5的最小值是()

mn

A.10B.20C.30D.40

【答案】B•••

【分析】点P的轨迹为圆，直线mx+ny—2=0过圆心，得5m+2n=2,利用基本不等式求—+立的最小

mn

值.

【详解】设点P的坐标为（①辿），因为|a4|=2|PB|,贝打24|2=2|?刊2,

即3+以+）=2]（土—2y+（u—1）2],

所以点P的轨迹方程为3-5）2+（y-2）2=20,

因为P点的轨迹关于直线mx-\-ny-2=对称，

所以圆心（5,2）在此直线上，即5m+2n=2,

所以2+苴=《_（5m+2"）（2+立）=[（20+迫+组巧近=20,

当且仅当生1=即6=*，九=《时，等号成立，

mn52

所以2+旦的最小值是20.

mn

故选:B.

题目回（多选）（2023上•贵州贵阳•高三清华中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里

得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定

值火4>0,且421）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系①中，A（—2,0）,

B（4,0）,点P满足*=].设点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是（）

A.。的方程为（2+4）2+才=16

B.点AB都在曲线。内部

C.当A,B,P三点不共线时，则/APO=/BP。

D.若。（2,2）,则\PB\+2\PD\的最小值为电后

【答案】ACD

【分析】对于A,通过直接法求出点P的轨迹方程即可判断;

对于利用点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系;

对于C,由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可;

对于。，将\PB\+2\PD\转化为2\PA\+2\PD\进行判断即可.

【详解】设P（。,/（P不与重合）,

22

由4(—2,0),5(4,0)，有|B4|=jQ+2)2+婿,\PB\=V(®-4)+y,

\PA\

制，即化简得（…）―,

\PB\

所以点P的轨迹曲线。是以。（一4,0）为圆心，半径r=4的圆，如图所示,

对于A选项，由曲线。的方程为（2+4）2+/=16,选项A正确;

对于B选项，由BC=8,点B在曲线。外，选项B错误；•M

对于。选项，由|。4|=2,|。目=4,有球=9=总，

\UJD\/I卜”I

则当4,B,P三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO是4APB内角AAPB的角平分线,

所以AAPO=/BP。,选项。正确；

对于。选项，由焉=得|P8|=2|24],

I/为/

则|PB|+2|PL>|=2|B4|+2\PD\=2(\PA\+\PD\)>2\AD\=2xV(-2-2)2+(0-2)2=475,

当且仅当P在线段AD上时，等号成立，

则\PB\+2\PD\的最小值为4/5,选项。正确.

故选：ACD.

题型2阿氏町与m维曲线

阿波罗尼斯圆的证明

【定理1】设P(c，9),4(—a,0)，B(a,0).若篇=4(4>0且4A1),则点P的轨迹方程是

"得"+「=(=)：其轨迹是以(含明。)为圆心泮径为「T阁的圆・

222

证明：由Q4=止3及两点间距离公式，可得(c+a)+才=7[(2—a)+y],

化简可得(1—矛)/+(1—/l2)y2+2(1+/l2)aa;+(1—4，滔=0①,

⑴当4=1时，得t=0,此时动点的轨迹是线段的垂直平分线;

2a(1+*加

⑵当421时,方程①两边都除以1—才得/+才++a2=0,化为标准形式即为:

1-A2

6WH+娟=(碧)；点？的轨迹方程是以(碧明。)为圆心泮径为T碧颐・

血]2(2021上•北京•高三北京市八一中学校考期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世

界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：

平面内与两定点距离的比为常数用(k>0且%R1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆,现有椭

圆+A=l(a>b>0),人、B为椭圆r长轴的端点,C、D为椭圆r短轴的端点，动点河满足

=2,△MAB的面积的最大值为8,的面积的最小值为1,则椭圆r的离心率为.

【答案】

2•••

【分析】设点M(x,y),根据=4=2可得出点M的轨迹方程,根据已知条件可得出关于a、b的方程组，解

|7WB|

出Q、b的值，求出。的值，进而可得出椭圆「的离心率的值.

【详解】设点M(x,y)，设点A(—a,0)>B(a,O),

由।nmi=2可得\MA\=2\MB\,即y/(j;+a)2+?/2=2J(n—。了+#,

整理可得/+才一华工+/=0,即(工―学)2+才=#_a2,

所以，点V的轨迹是以点(等,0)为圆心，以号a为半径的圆，

点到x轴的距离的最大值为?a,则4MAB的面积的最大值为X2ax3a=当-=8,

解得a=V6;

点”到沙轴距离的最小值为当一等=告，则ZWCD的面积的最小值为Jx2bx^=l,

OOO/J

可得6=乎.

c=Va2—62=3?，因此，椭圆「的离心率为e=£"=

故答案为：鸟.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

⑴定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值;

(2)齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

变邺训‘级

题目Q(2021•安徽黄山・统考一模)在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足国=九当

4>0且4W1时，P点的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为

阿波罗尼斯圆.现有双曲线宅―S=l(a>0,6>0),可耳分别为双曲线的左、右焦点，力，B为双曲线虚

ab一

轴的上、下端点，动点P满足吗=2,△PAB面积的最大值为4.点河，N在双曲线上，且关于原点O对

称，Q是双曲线上一点，直线和QN的斜率满足%犷3可=3,则双曲线方程是；过月的

直线与双曲线右支交于两点(其中。点在第一象限),设点朋;N分别为△CEE、△。用E的内心，则

|7WN|的范围是.

•M

【答案】i一£=1[2,胃)

【分析】设40，»,B(0,—b),PQ,力根据黑^=2,求得/+储—半结合△R4B的最大面积得

到d=3,再根据初凶♦%N=3,得出/一(=1,设边CE，CE，E区上的切点分别为R,S,T,根据内心的性

质，得至IAW_Lc轴，设直线CD的倾斜角为。，在AMHN中，得到\MN\=-^―，进而求得\MN\的取值范

sine*

围.

【详解】设A(O,b),B(O,—b),PQ,。)，

由题意知=2,可得|PB|=2|B4|,即y/x2+(y+bY=2/而F,

整理得/+(y—学?=(当)：可得圆心为(0,等)，半径发=当，

所以△JR4B的最大面积为/x2b义当=4,解得*=3,即考■+(■=：!,

设。(电g),M(g,m),则N(-Xi,—yj,

则口2+3=1，可得%=「

，同理V=

223(—一力2)3(Q2-斓

m,17_y—yi7_y+y?.,)71_y一及_心~滔_

贝」kQM——，LQN———T，贝」kQM・“QN——~22~22—,

X-Xi*/+gX-xlX-Xi

整理得(?=1,所以双曲线的方程为/一冬=L

O

如图所示，设边。后,C&RE上的切点分别为R,S,T,

则跖T横坐标相等，则|CR|=|CS|,|却M=|ET|,|ES|=|即,

由|。同一月|=2,即\CR\+|画—(|CS|+%)=2,即|凡用一|S£|=2,

即㈤T|—网T|=2,即点的横坐标为g,则T(g,0),

于是g+c—(c—g)=2,可得g=1,

同样内心N的横坐标也为1,则的V_Lz轴，

设直线CD的倾斜角为仇则/O£N=-y,^MF2O=90°—1,

sin4COSy

———+

cos-|-sin-1-,

sin24-+cos2g9

=(c—a)•—今~/n；,

sin,eos'sm。

由双曲线的方程，可得a=1,b=V3，则c=Va-2+fe2=2,

2

可得\MN\^

sin。'

又由直线CD为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为小■=通,倾斜角为60°,

a

可得60°<。W90°,即卓<sin。W1,

可得\MN\的取值范围是[2,3咨).

故答案为：/—行=1；曾，

JL

H

【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：

（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、

几何性质来解决；

（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或

值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意

自变量的取值范围.

题目口（2021上.吉林通化.高三梅河口市第五中学校考期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-

190年），与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家;他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成

果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他发现“平面内到两个定点的距离

之比为定值44W1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿

氏圆.比如在平面直角坐标系中，4（0,1）、B（0,4）,则点P满足4=。所得P点轨迹就是阿氏圆；已知点

。（—2,4）,Q为抛物线靖=8,上的动点,点Q在直线。=—2上的射影为H,为曲线（c+2）2+才=4上

的动点，则^\MC\+\QH\+的最小值为.贝+\QH\+的最小值为.

【答案】V17;4V5-2V2

（分析］（1）先利用阿氏圆的定义将91Moi转化为初点到另一个定点。的距离，然后结合抛物线的定义容

易求得+\QH\+\QM\的最小值；

（2）由⑴知\MC\+\QH\+\QM\=\MC\+\QF\+\QM\>\MC\+\MF\,又当过点”的圆的切线与直线

FC平行且离直线FC近时，+\MF\取得最小值即可求解.

【详解】解:设P（x,y），由题意累=J,即夕+①T）：=4,整理得/+d=4.

PB27®+（y-4）2

因为圆3+2）2+/=4可以看作把圆/+/=4向左平移两个单位得到的，那么4点平移后变为

。（一2,1）,所以根据阿氏圆的定义，M满足|7WD|=；|MC1，

结合抛物线定义\QH\^\QF\,

^\MC\+\QH\+\QM=\MD\+\QM\+\QF\）|FD|（当且仅当D,M,Q,F四点共线，且Q,M在D,F

之间时取等号），此时\FD\=V（-2-2）2+（l-0）2=V17,

故+\QH\+\QM\的最小值为V17.

8

\MC\+\QH\+|QM=|^|+\QF\+\QM\>\MC\+（当且仅当M,Q,F三点共线时等号成立），

根据光学的最短光程原理，我们从。点发出一束光，想让光再经过F点，光所用的时间一定是最短的，由于

介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。

而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角，并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得

到，当过点河的切线与/CMF的角平分线垂直，即当过点加的圆的切线与直线FC平行且离直线FC近

时，+\MF\取得最小值，此时切线方程为y=-x+22一2,联立（/+2）2+/=4可得，此时

M（V2-2,V2）,

所以\MC\+\MF\>2V（V2-4）2+（V2-0）2=4〃5-2鱼.

故答案为：47;4V5-2V2.

【点睛】关键点点睛：⑴问解题的关键是根据阿氏圆的定义，得州满足\MD\^y\MC\;

（2）问解题的关键是当过点M的圆的切线与直线FC平行且离直线FC近时，|MC|+\MF\取得最小值.

题目0（2022下.浙江.高三校联考开学考试）公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了

椭圆和圆的一个基本性质：如图,过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于4B）作长轴（或直径）力B的一条垂

线段,垂足为Q，则J注万为常数及若此图形为圆，则用=;若k=],则此图形的离心率为

\AQ\-\BQ\

【分析】若图形为圆，根据相似三角形可解；当图形为椭圆时，建立坐标系，将问题坐标化，然后计算可得.

【详解】若为圆，则AABP为直角三角形,

因为PQLAB,所以△APQ〜APEQ,于是有/里=，所以EQ?

\AQ\\PQ\\AQ\-\BQ\

当为图形为椭圆时，如图建立平面直角坐标，设椭圆方程为fH——=1,点P(m,n),

ab

则|_AQ|=m+Q,|BQ|二a—?72,|PQ|二n，所以|AQ||BQ|=a2—m2

又4+4=1,得/=/—即|PQ|2=&2-

abaa

题目⑷（2022.湖北.荆门市龙泉中学校联考二模）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375

年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥

曲线的光学性质:如图甲，从椭圆的■个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一

个焦点，其中法线I'表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线,如图乙，椭圆。的中心在坐标原点,焦

点为兄（―60）,£亿,0）（。＞0）,由勾发出的光经椭圆两次反射后回到~经过的路程为8以利用椭圆的光学

性质解决以下问题：

（1）椭圆。的离心率为.

（2）点P是椭圆。上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为I倒在I上的射影H在圆/+才=8上,

则椭圆。的方程为.

10

【答案】-J-/0.55+整=1

286

【分析】(1)由题意得到关于a,c的等式，然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率；

(2)由题意利用几何关系求得a力的值即可求得椭圆方程.

【详解】设椭圆。的长轴长为2a(a>0),则由尸1发出的光经椭圆两次反射后回到F1,经过的路程为2a+

2a,=4a=8c,从而e=看；

如图示：

延长交于点F0.

在△PE或中,PHLF0F2,由反射角等于入射角，可得：4F2PH=4FoPH,则炉第=|P闻且H为其其中

点.

在ZW眄中OH=4㈤用|=y(|F^|+|P耳|)=y(|P^|+|F^|),

贝I|PE|+\PF^—4A/2=2a,a=2V2,c=A/2,62=a2—c2=8—2=6,

所以椭圆方程为岑+/=L

86

故答案为：<;(+《=L

2o0

题型3阿氏质求非对称型最值

中:量If占

当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆。与直线04

相交于河，N两点设点E为OA上一点，且满足昌=九由阿氏圆定理第=九"条=九则AN=ANE

PENEME

^OA-R^A(R-OE),AOE=(1+/1)72—。4①

同理人"=/1^=7?+04=/1(0£；+7?),；/0£；=(1—/1)_R+OA②

由①②消。4得：2AOE=2A,即恶=九即R=4OE,由①②消R得：OA=7OE,

Ok/

因此,满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点力的连线上，且条=4或骞•=才.

•M

网]3(2022•全国•高三专题练习)已知点P是圆(，—4)2+⑨―4)2=8上的动点，A(6,-l),。为坐标原点，则

PO+2PA的最小值为.

【答案】10

【分析】解法1:借助阿波罗尼斯圆的逆用，得到PO+224=2(7以+24),进而根据三点共线即可求出最

值；

解法2:将PO+2〃=y/x2+y2+2雇-6)2+(沙+1)2转化为=

2(V(®-3)2+(y-3)2+V(a：-6)2+(y+l)2)，进而结合进而根据三点共线即可求出最值.

【详解】解法1:阿波罗尼斯圆的逆用

假设A'(m,n)，使得PO=2PA',

则Jx2+y2—2y/(a;—m)2+(y-n)2,

从而可得3d—8mx+4m2+3y2—8ny+4n2=0,

从而可知圆心坐标为(挈,萼)，

\DO7

所以^^=4,^^=4,解得7?2=九=4,即4(3,3).

OO

所以PO+2PA=2(PA'+PA')>2A'A

=2V(6-3)2+(-l-3)2=10.

即PO+2a4的最小值为10.

解法2:代数转逆法

由(£—4)2+(y—4)2=8,得a;2+y2=8x+8y—24.

PO+2B4=JC+娟+2V(^-6)2+(y+l)2

=2(V(a；-3)2+(y-3)2+J(c-6f+(y+l)?)

•70—3)2+(。-3)2+，0—6)2+(2/+：1)2表示的是动点(①,切与(3,3)和(6,-1)之间的距离之和，当且仅

当三点共线时，和最小，

故PO+2a4>2V(6-3)2+(3+l)2=2x5=10.

变邺训‘级

遨目TJ(2022.全国.高三专题练习)已知圆。：(z-l)2+(沙一1)2=1,定点P是圆。上的动点，B(2,0),。是

坐标原点,则V2PO+PB的最小值为.

[M1V5

【分析】解法1:阿波罗尼斯圆的逆用，设0(nz,n)，使得PB=,利用两点间的距离公式化简可求得

，得直线BB，与圆C相交，则V2PO+PB=V2(PO+PB,)>,从而可求得其最小值,解

法2:代数转逆法，A/2PO+PB=V2+才+(rc—2)2+?/2=[i/a;2+y2+不(x—1")~+(y—,可

得当点。。出居3)共线，且「在OB，之间时取得最小值.

【详解】解：解法1:阿波罗尼斯圆的逆用

设，使得PB=V2PB',

12

则(/一2丫+#=2[(4一772丫+(g—71)2],

整理，得/—4(m—1)力+#一Any+2(m2+n2—2)=0,

即[劣—2(m—1)]2+(?/—2n)2=2m2+2n2—8m+8=2(m—2)2+2n2

所以2(772—1)=1,2九=1,从而8(母,.).

经验证，知直线，与圆。相交.

从而V2PO+FB=V2(FO+FBQ>V2OBf

所以J^PO+PB的最小值为，5.

解法2:代数转逆法

A/2PO+PB=-\/2J/+#+个(力—2)2+才

=+YJ，(劣之+才)—2/+2)]

=V2^x2-]-y2+J(%2+婿)一5(力2+必)-2/+2]

=A/2[J/?+4+J力旺仁—1_(2/+2g—1)—2/+2]

=V2^y/x2-\-y2+Jx2+y2-3x-y-\-^

=V2^y/x2+y2+J(力-等丁+3一\)[

>方，7?弓二~,71=西・

所以gPO+PB的最小值为V5.

故答案为：逐

【点睛】关键点点睛：此题考查点与圆的位置关系，考查阿波罗尼斯圆的逆用，解题的关键是根据阿波罗尼

斯圆，设B'(m,n),使得PB=,化简后将问题转化为2PO+PB=2(PO+PB')>2。0,考查

数学转化思想，属于较难题.

题目句(2021•全国•高三专题练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主

要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点

州与两定点A,B的距离之比为4(4>0"¥1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与

此相关的一个问题，已知圆O：x2+y2=l上的动点河和定点A(-y,0),3(1,1),则2\MA\+\MB\的最小

值为()

A.V6B.V7C.VioD.Vn

【答案】。

【分析】讨论点附在z轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在土轴上，构造点K(-2,0),可以根据三角形

的相似性得到卫驾=单皿=2,进而得到21K4|+=|上®|+|MK|,最后根据三点共线求出答案.

\MA\\OA\

【详解】①当点M在re轴上时，点M的坐标为(-1,0)或(1,0).

若点河的坐标为(-1,0),则21AMi+|MB|=2Xy+V(l+1)2+12=1+75;

若点M的坐标为(1,0),则2\MA\+\MB\=2x-1+V(l-1)2+12=4.

②当点“不在c轴上时，取点K(—2,0),如图，

13

连接OM,皿K,因为\OM\=1,|OA|=y,\OK\=2,

因为4MOK=24W,

所以AMOK〜△AOM,则半萼=乎”=2,

\MA\\OA\

所以|MK|=2|AM|,则21AMi+\MB\=\MB\+\MK\.

易知|皿

所以\MB\+\MK\的最小值为\BK\.

因为B(1,1),K(—2,0),

所以⑵AM|+|MB|)min

——-\/(—2—1)2+(0—I)2—V10.

又，*<1+同<4,所以21AMi+|MB|的最小值为，HL

故选：C

邂亘巨(2023下•广东东莞•高三东莞实验中学校考开学考试)对平面上两点A、B,满足品■=的

点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,命名为阿波罗尼斯圆，称点力，B是此

圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波

罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数4只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已

知A(l,0),B(4,0),D(0,3),若动点P满足=之，则2炉。+\PB\的最小值是

【答案］

【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定4•，利用三角形三边关系可知当A,P,。三点共线时，2|PD|

+2|B4|=2\AD\,即为所求最小值.

A2\PD\+|PB|=2|PD|+2|#4|>2|AD|(当且仅当AP,。三点按顺序共线时取等号)，

又\AD\=Vl2+32=Vl0,2\PD\+\PB\的最小值为;

故答案为：2函.

题目0(2021•江西赣州•统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚

历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：

己知动点“与两定点A,B的距离之比为>0,4丰1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.

已知在平面直角坐标系中，圆O：/+/=1、点入（_/,0）和点B（of河为圆。上的动点，则21AMi

-\MB\的最大值为（）

A.4B.马巳C.—D.卓

2222

【答案】B

【分析】令21AMi=则誓。=由阿氏圆的定义可知：0（—2,0）,由数形结合可知21K4HMB|=

\MC\-\MB\的最大值.

【详解】设河出沙），令21AMi=,则

由题知圆/+d=1是关于点4、。的阿波罗尼斯圆，且』=:，

者占\ad\MA\-.（c+J）2+._1

\MC\（re—m）2+（y—nf2

整理得：工2+才+丝户工+冬夕=病+/T,

ooJ

比较两方程可得：2/=0,冬=o,77r+.T=1,即m,=—2,n=0,点。（一2,0）,

OOO

当点Af位于图中M的位置时，2\MA\-\MB\=\MC\-\MB\的值最大，最大为阳。|=*尹.

故选：B.

【点睛】关键点点睛:本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两

线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.

、题目可（2022上•湖北恩施•高三恩施土家族苗族高中校联考期末）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里

得、阿基米德齐名他发现:“平面内到两个定点AB的距离之比为定值4（4片1）的点的轨迹是圆”.后来，人

们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，4-2,1）,

B（—2,4）,点P是满足4=J的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为

抛物线E：婿=42上的动点，。在沙轴上的射影为则］5冏+炉口|+|口司的最小值为.

【答案】（/+2）2+d=4;VW-1/-1+V10.

［分析】设点P坐标，根据题意写出关于加与沙的关系式化简即可；

由=|QH|=|QF|-1,代入。PB|+|PQ+|QH|中，即可取出最小值.

【详解】设点PQ,y）,

15

.以=13jQ+2)2+(y—1)2=1

"PB~2V(^+2)2+(y-4)22

=>(6+2)?+4=4.

抛物线的焦点为点F,由题意知尸(1,0),|QH|=|QR|—1,

22

•••\PA\=^\PB\,/.fypB\+\PQ\+\QH\)=(\PA\+\PQ\+\QF\-l)min=\AF\-1=V(-2-l)+l-

i=Vio-i.

故答案为：(*+2)2+才=4；师一1.

题型4阿氏B0与向量

幽&（2022.全国•高三专题练习）己知BC=6,AC=24B,点。满足超=+方，设

"x+y2（z+y）

/（2,y）=|力|,若/（2,«）＞/（环％）恒成立,则/（&,2）的最大值为.

【分析】将已知由5=’^泰+---丞？变形为^^（2毋）+」一（《不5）,设延长至点F,

x+y2（*+"）①+夕'）立+9’2）

使得\AF\=2\AB\，取AC的中点E,并通过+=1得出点。在EF上，再通过&AEF\

x-\-yx-\-y

△4BC与已知条件得出于（Xo，n。）—M0|min=|AG|,设|AB|=?n,再通过面积法与正、余弦定理得出\AG\

即可利用一元二次方程最值与根式性质得出答案.

【详解】延长4B至点F,使得|AF|二2|AB|,取的中点E,连接EF,

则助二上戏+二^砂

x+y2(工+夕)

=^^(2届)+二(；前)，

冠

x-\-yx-\-y

••力।y=、

・x-\-yx+y

・••点。在EF上，过点4作AG_LEF于点G,

由“边角边”公理可得：/\AEF^/\ABC,

:.EF=BC=6,

•：f{x,y)=|国5|,且/(c,y)>/(©),%)恒成立,

"(3,%)=|AD|min=|AG|,

设|4B|=m,根据面积法知：

\AE\\AF\^A

\EF\

_m-2m9sin