2025年中考数学复习：三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型解读与提分训练（原卷版+解析）

专题08三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型

弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，

相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久

远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学

思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，

它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航

例题讲模型

.......................................2

模型1.弦图模型......................................................................2

模型2.勾股树模型....................................................................7

习题练模型一

................................................................................................................................................................11

例题讲模型］

模型1.弦图模型

模型解读

“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等

直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围

城正方形的边长时就叫外弦图模型。

数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵

活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时

能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。

模型证明

(1)内弦图模型：

条件：如图1,在正方形A8CD中，于点E,BE_LCG于点RCG_L。”于点G,DHLAE于点、H,

结论：4ABE名ABCF色ACDG名ADAH；

证明：VZABC=ZBFC=ZAEB=90°,：.ZABE+ZFBC=ZFBC+ZFCB=90°.：.ZABE=ZFCB.

又；AB=BC,：.4ABE"ABCF,同理可得AABE之△BCV丝△COG丝△ZMH.

(2)外弦图模型:

条件：如图2,在正方形ABC。中，E,F,G,H分别是正方形A8CO各边上的点，EFGH是正方形,

结论：4AHE会ABEF当ACFG当ADGtl；

证明：VZB=ZEFG=ZC=90°,ZBEF+ZEFB=ZEFB+ZGFC=90°,:./BEF=/GFC.

又,：EF=FG,:ZBF^AFCG.同理可得会△GQ”也△HAE.

(3)内外组合型弦图模型：

条件：如图3、4,四边形ABC。、EFGH、PQMN,均为正方形；结论：2S正方彩EFGH=S正方彩ABC£>+S正方形PQMN.

证明：由(1)(2)中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用SA表示他们的面积。

S正方形ABC0=S正方形PQWN+8sA;S正方形EFGH=S正方形PQWN+4sA;

•*.S正方彩ABCO+S正方彩PQMN=S正方形PQWN+8SA+S正方形PQMN=2S正方形P°MN+8sA=2S正方彩EFGH

上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式(知二求二)结合考查。

(4)半弦图模型

条件：如图5,EA_LAB于点A,GB_LA2于点2,EF1FG,EF=FG,结论：AAFE94BGF；EA+GB=AB。

证明：,.,EA_LAB于点A,GB_LA8于点B,EF1FG,；.NA=/B=NEFG=90。

：.ZAFE+NAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：./AFE=ZBFG.

又；EF=FG,:AAFE义ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABo

条件：如图6,EA_LAB于点A,GB_LAB于点8,EFLFG,EF=FG,结论：4AFE与ABGF；EA-GB=AB。

证明：同图5证明可得：4AFE会ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=ABo

条件：如图7,在R/AABE和RaBC。中，AB=BC,AE±BD,结论：AABE^ABCD；AB-CD=EC。

证明：:△ABE和△BCD是AELBD,：.ZABE=ZC^ZAFB=90°o

：.ZA+NABF=ZABF+/DBC=90°.：.ZA^ZDBC.

又,：AB=BC,：.&ABE沿ABCD,：.BE=CD,：.AB-CD=BC-BE=ECa

上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼

就要想到用弦图的相关知识解决问题。

模型运用

例1.(23-24八年级下.北京门头沟.期末)我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称

该图为“赵爽弦图”.如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.如

果该大正方形面积为49,小正方形面积为4,用x,V表示直角三角形的两直角边(x>y),

下列四个推断：①尤2+/=49；②尤-y=2；③2孙+4=49；④x+y=7.

其中所有正确推断的序号是（）.

A.①②C.①③④D.①②③④

例2.（2024・四川眉山・中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽

的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这

四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

C.40D.44

例3.（2023•山东枣庄•二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了

证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图图②由弦图变化得到，它是由八

个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MAXT的面积分别为

S„S2,S3.若正方形EFGH的边长为2,则S|+S2+S3=

图①图②

例4.（2024・陕西西安・模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”

经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为27,

则AD的长为.

例5.（23-24八年级下•福建龙岩•阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四

个全等的直角二角形围成的，若AC=6,BC=5,将四个直角二角形中边长为6的直角边分别向外延长一

倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

C:，J'

A.74D.80

例6.（2023・河北•八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，

它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5,小正方形的边

长为1.（1）如图1,若用a,b表示直角三角形的两条直角边（a<6）,则.

（2）如图2,若拼成的大正方形为正方形ABCD中间的小正方形为正方形E/汨，连接AC,交BG于点

P,交。E于点S4AFP-S&CGP=______•

例7.（2024•山东济南•二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”.将

两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10

的正方形"CD,则空白部分面积为

A

图2

例8.(23-24八年级上•浙江温州•期中)如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,AE是8c边上的中

线，过点C作垂足为凡过点8作8c的垂线交CF的延长线于点O.

⑴求证：AE=CD.(2)若巫)=1,求AE.

例9.(23-24八年级下•广东揭阳•期末)综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图1

所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形ABC。，四边形和四边形〃KL都是正方形.某班开展综合与实践

活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展.

图1图2

(1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示，请你猜想线段AE,BG,A3之间的数量关系:

(2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示，请你猜想线段出,JK,KG之间的数量关系:

⑶小明将图3中的KG延长至点使得KM=KR，连接与K尸相交于点N,请你在图3中画出图形.若

FN=3NK,求线段即与JK之间的数量关系.

模型2.勾股树模型

模型解读

勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如

下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。

模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图

形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。

条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边

为元素所作图形的面积为Sl，S2,以斜边为元素所作的图形的面积为加。结论：S1+S2=S3

证明：设图中两直角边为。、b,斜边为C；且“b、C三边所对应的等边三角形面积分别为Sl、$2、S3。

由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：显a；

2

.♦.Sl」“走同理：S、；邑

2242434

由题意可得：4+62=。2；.•.51+52=必/+且/=且（/+/）=3^2=53

444174

由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。

E

B第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

条件：如图，正方形A3CD的边长为。，其面积标记为以8为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角

三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为其，…按照此规律继续下去，结论：。

证明：•••正方形A5CD的边长为a,ACDE为等腰直角二角形，

222

DE+CE=CD,DE=CE,：.S2+S2=St.观察，发现规律：

22222

St=a>5,=—=—a>S3=—S,=—a»S4=—S3=—a>…，S=a-f

22'2324238“⑵

条件：如图，“勾股树”是以边长为根的正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角

边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一一棵树而得名.假设

下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，

结论:第"代勾股树中正方形的个数为：币=2向-1;第n代勾股树中所有正方形的面积为：Sn=5+1）•加2。

证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有1+2=3=22-1（个），

第二代勾股树中正方形有1+2+2?=7=23-1（个），

第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15=24-1（个），

由此推出第n代勾股树中正方形有1+2+2?+23+…+2"=2向-1（个）。

设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为。和b，斜边长为c,根据勾股定理可得：a2+b2=c2=m2,

：.第一代勾股树中所有正方形的面积为=a2+b2+c2=c2+c2=2m2;

同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为=2/+2〃+°2=302=3〃/；

第三代勾股树中所有正方形的面积为=4/=W；

第〃代勾股树中所有正方形的面积为=5+1）C?=（力+1）.加。

模型运用

例1.（23-24八年级下.河北承德・期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c,以直角三

角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形.那么，这四个图形

中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作H、s人邑.

(4)

结论I：5、S］、凡满足工+$2=$3只有(4)；

结论H：.•.国+昆＞邑的有（1）（2）（3）.

对于结论I和II,判断正确的是（）.

A.1对n不对B.I不对II对c.［和n都对D.I和II都不对

例2.（23-24八年级下•河南开封•期中）如图，在四边形ABCD中，ZDAB=NBCD=90°，分别以四边形ABCD

的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a,b,c,d.若6+c=12,则a+d=

例3.（23-24九年级上.辽宁盘锦•开学考试）如图，正方形A3CD的边长为2,其面积标记为S「以为斜

边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为$2....按照

此规律继续下去，则S刈的值为.

例4.（23-24八年级下•山东日照•期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三

角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而

得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果

第一个正方形面积为1,则第2024代勾股树中所有正方形的面积为.

第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

例5.（2023春・重庆•八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”:

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在

图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正

方形的个数是（）

A.12B.32C.64D.128

例6.（2023春・广西南宁•八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明

古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家

欧几里得证明这个定理使用的图形.以RtAABC（/ABC=90。）的三边。,仇。为边分别向外作三个正方形：正方

形ACE。、正方形M仍、正方形BCMW,再作垂足为G,交A3于尸，连接3。，CF.则结论:

CD^DAB—Z.CAF,②ADAB丝ACAF,③$正方形ACEO=2SVAZ>B，④S矩形AFGP=2SVACF.正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

习题练模型

1.（2023秋・湖北•九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是

我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》,它是由四个全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面积是16,

直角三角形的直角边长分别为mb,且片+/=曲+10,那么图中小正方形的面积是（）

2.（2024・广西・中考真题）如图，边长为5的正方形ABC。，E,F,G,X分别为各边中点，连接AG,BH,

CE,DF,交点分别为N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为（）

Gc

D.10

3.（2024•江西吉安.二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正

方形，若E是"的中点，AD=5,连接3F并延长交C£＞于点则DM的长为（）

EF

D.叵

2

4.（2024・广东汕头•一模）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带.数

学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形A3C的三条边为边长向外作正方形正方形

ABED,正方形BCGP,连接3/,CD,过点C作C7，DE于点J,交于点K.设正方形AS?的面积

为H，正方形3CG尸的面积为S2,长方形AK/D的面积为邑，长方形K/EB的面积为见，下列结论：①

2SiA8=Sl；②51=§3；③S[+$4=$2+&；④，S[+邑=邪3+S*.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2024•浙江•中考真题）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形尸,△C£>G,Z\ZM8）和

中间一个小正方形EFG”组成，连接DE.若AE=4,8E=3,则止=（）

6.（2024•云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”:

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在

图（2）的基础上增加了8个正方形，……,照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正

方形的个数是（）

A.12B.32C.64D.128

7.（2024・福建・中考真题）如图，正方形A3CD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,

AD的中点，则四边形石取汨的面积为

8.（2024•北京•中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF1DE于点尸，CGLDE于点G.若

9.（23-24九年级上.山西晋中.期末）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形

恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰RJABE和等腰

RtABCF,③和④分别是RbCDG和RtMMH,⑤是正方形EFG”，直角顶点E,F,G,H分别在边由L

S

CG,DH,AE上.若——=一,AH=3cm,则庞;的长是_________cm.

GH4

10.（23-24九年级上•湖南长沙•期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合

在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，

引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证.在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其

为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了

数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网

友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是（填

写数字序号即可）.

①。（懂得都懂）②yyos（永远的神）③ZW）（觉醒年代）④。G7少（强国有我）

13.（2024・浙江・二模）如图，AB1.即于点8,CDLBD于点、D,尸是8。上一点，且AP=PC,APIPC.

(1)求证：AABP^APDC；(2)若AB=1,CD=2,求AC的长.

14.（23-24八年级下•浙江杭州•期末）综合与实践

问题情境:第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图1,

在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形

（ADAE,2BF,ABCG,△&）"）和中间一个小正方形£FG〃拼成的大正方形ABC。，且NABQNBAF.

特殊化探究：连接设3/=a,AF=b.

“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：（1）若AB=5,FG=1,求△树的面积.

“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：（2）若6=2°,求证:ZBAE=ZBHE.

深入探究：老师进一步提出问题：（3）如图2,连接BE,延长E4到点/,使4=作矩形跳7J.设矩形

的面积为工，正方形A3。的面积为$2,若旗平分NAB尸，求证：SyS?.请你解答这三个问题.

15.（23-24八年级下•湖北武汉•期中）问题发现：梓航在学完勾股定理后，翻阅资料，发现《几何原本》中

有一种很好的勾股定理的证法：如图1,作CGJLF”于点G,交于点尸，通过证明S正方形MEC=S长方形AFGP，

S正方形=S长方形5HGP的方法来证明勾股定理.

爱思考的梓航发现一个结论，如图2,若以Rt^ABC的直角边AC,为边向外任意作口ADEC,口BCNM,

斜边上的口ABHV,延长OE,肱V交于点。，直线QC被口ABHF所截线段为尸G,当CQ=PG时，此

时^aADEC+SBCNM=SABHF成立.请你帮他完成证明.

FGHFGHJFGTHFGH

图1图2图3图4

问题证明：（1）先将问题特殊化，如图3,当四边形ADEC,四边形3OVM,四边形岫小均为矩形，且

CQ=PG时，求证：Sjg^DEC+S矩BCNM=,（按梓航的分析，完成填空）

分析：过A作K/〃交直线D。，HF于K,J,过B作RT〃PQ交Q”,HF于R,T■,

=

可证^VeADEC^aAKQC=^aAPGJ；F0理可证S矩BCNM=^aBCQR=^aBTGP；

=

另外易得△AFJ/________________可得S^tDEC+S矩BCNAf=^oABJT^^eABHF成".

（2）再探究一般情形，如图2,当四边形ADEC,四边形3cMW,四边形ABHF均为平行四边形，且。。=PG

时，求证：SBQEC+S口BCNM=SDABHF-

问题探索：（3）将图2特殊化，如图4,若NO=NQVM=N"=60。，AD=〃z,CN=〃，AF=t，且NQPB=75。，

请你直接写出t的值_______________（用含加，〃的式子表示）.

16.（24-25八年级上•湖北荆州•阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1,由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形

全等模型图（如图2、图3）,即“一线三直角”模型和“K字”模型.

【问题发现】（1）如图2,已知，VABC中，CA^CB,ZACB=90°,一直线过顶点C,过A,B分别作其

垂线，垂足分别为E,F.求证：EF=AE+BF：

【问题提出】（2）如图3,改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若3尸=4AE,EF=3,求V3B的面

积；（3）如图4,四边形ABC。中，ZABC=ZCAB=ZADC=45°,AACD的面积为20,且C。的长为8,

求△3CD的面积.

17.（2020・山西・模拟预测）综合与实践：正方形内“奇妙点”及性质探究

定义：如图1,在正方形中，以2c为直径作半圆。，以。为圆心，DA为半径作AC，与半圆。交

于点P.我们称点尸为正方形ABCD的一个“奇妙点”.过奇妙点的多条线段与正方形"CD无论是位置关系

还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.

（图1）（图2）

性质探究：如图2,连接。尸并延长交于点E,则DE为半圆。的切线.

证明：连接OP,OD.由作图可知，DP=DC,OP=OC,

X-：OD=OD.:.AOPD%OCD.（SSS）:.NOPD=NOCD=90°,DE是半圆。的切线.

问题解决：⑴如图3,在图2的基础上，连接OE请判断/BQE和/CDO的数量关系，并说明理由;

（图4）（图5）

（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE,BE,CD之间的数量关系;

（3）如图4,已知点尸为正方形的一个“奇妙点”，点。为BC的中点，连接DP并延长交A3于点E,

连接CP并延长交A3于点/，请写出班和A3的数量关系，并说明理由；

（4）如图5,已知点E,F,G,H为正方形ABCO的四个“奇妙点”.连接AGBH,CE,，恰好得到一

个特殊的“赵爽弦图”.请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系.

18.（2024・上海・中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形

（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为心

（1）直接写出：①两个直角三角形的直角边（结果用丸表示）；

②小平行四边形的底、高和面积（结果用。表示）；

（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边.

19.（2024・广东•中考模拟预测）请阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在边长为。（。>2）的正方形ABC。各边上分别截取AE=*=CG=DH=1,当

/4B。=/83知=/0/心/。石尸=45。时，求正方形MNPQ的面积.

小明发现，分别延长QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQP,&SMG,

△TNH,AWPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）.

请回答:（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠）,则这个新正方形的边长为

（2）求正方形MNP。的面积；（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3,在等边AABC各边上分别截

^LAD=BE=CF,再分别过点£>,E,尸作BC,AC,AB的垂线，得到等边ARP。.若求的

3

长.

20.（2022•宁夏・中考真题）综合与实践

知识再现：如图1,HAABC中，ZACB=90°,分别以BC、C4、4B为边向外作的正方形的面积为加、邑、

S3.当S]=36,S3=100时，S2=

图1图2图3

(1)如图2,分别以BC、CA.为边向外作的等腰直角三角形的面积为H、邑、S3,则跖、邑、S3之

间的数量关系是.(2)如图3,分别以BC、C4、AB为边向外作的等边三角形的面积为$八S5、S$,

试猜想$4、$5、$6之间的数量关系，并说明理由.

实践应用(1)如图4,将图3中的ABCD绕点8逆时针旋转一定角度至ABG”，AACE绕点A顺时针旋转一

定角度至AAMV,GH、M/V相父于点P.求证：=S四边形PMFG;

(2)如图5,分别以图3中心AABC的边BC、C4、aB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、

CA.AB为直径的半圆柱的体积分别为匕、％、匕.若45=4,柱体的高九=8,直接写出乂+匕的值.

图4图5

专题08三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型

弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，

相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久

远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学

思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，

它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于己有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

目录导航

例题讲模型

模型1.弦图模型......................................................................2

模型2.勾股树模型....................................................................7

习题练模型一

......................................................................................................................................................11

20

例题讲模型

模型1.弦图模型

模型解读

“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等

直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围

城正方形的边长时就叫外弦图模型。

数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵

活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时

能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。

模型证明

(1)内弦图模型：

条件：如图1,在正方形ABCZ)中，AELLBP于点E,B/UCG于点RCG_LOH于点G,DH_LAE于点H,

结论：4ABE出LBCF会LCDG出△DAH；

证明：VZABC=ZBFC=ZAEB^9Q°,：.ZABE+ZFBC^ZFBC+ZFCB=90°.:./ABE=NFCB.

又：.XABE会/\BCF,同理可得AABE名ZVeC尸名△CDGg/sZMH.

(2)外弦图模型：

条件：如图2,在正方形ABC。中，E,F,G,H分别是正方形ABC。各边上的点，EEGH是正方形,

结论：AAHE2ABEF咨ACFG安功仃口；

证明：VZB=ZEFG=ZC=90°,：.ZBEF+ZEFB=ZEFB+ZGFC=90°,:./BEF=/GFC.

又,；EF=FG,:4EBF94FCG.同理可得△助/之△/CG丝四△/ME.

21

(3)内外组合型弦图模型：

条件：如图3、4,四边形ABC。、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2s正方形EFGH=S正方形ABC»+S正方形P°MN.

证明：由(1)(2)中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用SA表示他们的面积。

S正方彩ABC0=S正方舟8sA;S正方形EFGH=S正方形PQMN+4sA;

S正方形ABCO+S正方形PQVCV=S正方形P°MN+8SA+S正方形P°MN=2S正方形P°MN+8sA=2S正方形EFGH

上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式(知二求二)结合考查。

(4)半弦图模型

条件：如图5,EA_LA3于点A,GB_LAB于点8,EFLFG,EF=FG,结论：4AFE沿LBGF；EA+GB=AB.

证明：；EA_L4B于点A,GB_LA8于点B,EF1FG,；.NA=/B=NEFG=90。

：.ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZBFG=90°.：.NAFE=ZBFG.

又；EF=FG,.♦.△AFE沿ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA+GB=BF+AF=ABo

条件：如图6,EA_L48于点A,G2_L4B于点8,EF±FG,EF=FG,结论：4AFE会ABGF；EA-GB=AB.

证明：同图5证明可得：4AFE沿ABGF,：.AE=BF,AF=BG,：.EA-GB=BF-AF=AB.

条件：如图7,在放AABE和RaBC。中，AB=BC,AELBD,结论：AABE2ABCD；AB-CD=EC.

证明：:△ABE和△BCD是Rf△,AELBD,：.ZABE=ZC=ZAFB=90°o

：.ZA+ZABF=ZABF+ZDBC=90°.：.ZA=NDBC。

又；AB=BC,:.XABE会/\BCD,：.BE=CD,:.AB-CD=BC-BE=EC。

上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼

就要想到用弦图的相关知识解决问题。

模型运用

例1.(23-24八年级下•北京门头沟•期末)我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称

该图为“赵爽弦图”.如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.如

22

果该大正方形面积为49,小正方形面积为4,用无，y表示直角三角形的两直角边（X>y）,

下列四个推断：@x2+y2=49；@x-y=2.③2冲+4=49；④无+y=7.

其中所有正确推断的序号是（）.

A.①②B.①②③C,①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键.

由题意可得大正方形的边长为7,小正方形的边长为2,再结合图形和勾股定理可得/+9=49、x-y=2

可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④.

【详解】解：：大正方形面积为49,小正方形面积为4,

二大正方形的边长为7,小正方形的边长为2,；.x2+y2=49,x-y=2,即①、②正确；

25

/.（x-y）9=x2+-2xy=49-2xy=4,贝!j：xy=—,2冷+4=49,即③正确；

；.（尤+=x?+y2+2个=49+2孙=49+45=94,/.x+y=A/94,即④错误；

综上，正确的有①②③.故选B.

例2.（2024・四川眉山・中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽

的“弦图”，是由四个全等的直角二角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这

四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为。，b,斜边为c,根据图1,结合已知条件得

23

至=°2=24,(a—=〃2+/一2m=4,进而求出必的值，再进一步求解即可.

<1、正方形的面积是4,/.(<2—Z?)2=a2+b2—lab=4,/.ab=10,

・••图2中最大的正方形的面积=。2+4*工仍=24+2*10=44；故选：D.

2

例3.(2023•山东枣庄•二模)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了

证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图图②由弦图变化得到，它是由八

个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABC。，正方形EFGH,正方形MAXT的面积分别为

St,S2,S3.若正方形EFGH的边长为2,贝i]S[+S2+S3=.

图①图②

【答案】12

【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b

22

且则Si=(a+Z?y,S2=a+b,S3=(a-b^,再由正方形EFGH的边长为2得到/+廿=4,据此

可得答案.

【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为服b且，>>，

222

由题意可知：Si=(a+b)2,S2=a+b,S3=(6Z-Z?),

222222

Si+S2+S3,=(a+Z?y+々2+)2=a+2ab+b+a-^-b+a-2ab+b=3(/+加)，

24

•正方形瓦6"的边长为2,，52=1+斤=22=4,.•.岳+$2+53=3（/+k）=12故答案为：12.

例4.（2024・陕西西安.模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”

经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFG”均为正方形，点”是DE的中点，阴影部分的面积为27,

则的长为.

:s

【答案】3#）

【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理.由四边形ABC3与四边形EFGH均为正方形，点H是QE

的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、C”的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每

一个都为正方形EFGH面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形EFGH面积的3倍,即可得正方形EFGH

面积为9,继而得D"=EH=AE=3,由勾股定理可求得AD的长.

【详解】解：由四边形ABCD与四边形EFG”均为正方形，点H是。E的中点，可知E、F、G分别为AF、

BG、C”的中点，且AE=EH=DH=HG=CG=FG=BF=EF=BE,

=S八DHG=&CGF=Z^BFE=]S正方形f尸GH，•二阴影=3XS正方形后打汨二27,

•.S正方形EFGH=9,：.EH=DH=3,:.DE=2EH=6,

又ZAED=90。，ADZDE?+AE?=&2+32=3下.故答案为：3君.

例5.（23-24八年级下.福建龙岩.阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四

个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一

倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

A.74B.76C.78D.80

25

【答案】B

【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长.

【详解】如图，根据题意，AD=AC=6,CD=6x2=12,BC=5,

,：ZBCD=90°,：.BC2+CD2=BD2,即52+12?=BD1,

BD=13,：.AD+5D=6+13=19,...这个风车的外围周长是19义4=76,故选B.

【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.

例6.（2023・河北•八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，

它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5,小正方形的边

长为1.（1）如图1,若用a,b表示直角三角形的两条直角边则必=.

（2）如图2,若拼成的大正方形为正方形ABC。，中间的小