2025年中考数学复习：动点在二次函数中的综合（三）提升训练 （含解析）

动点在二次函数中的综合(3)

1.阅读下面材料，并回答问题：

定义：平面内与一个定点厂和一条定直线/a不经过点尸)距离相等的所有点组成的图形叫抛物线.点

F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线.

点P(尤，y)为抛物线上任意一点，小聪同学在应用定义求这条抛物线的解析式时作出了如下不完整的

解答，请你将余下部分补充出来.

解：设点尸(x,y)为抛物线上任意一点，作PM，/于点则PM=.

作PNLy轴于点N,则在△P/W中，有PN=|x|,NF=|y-l|,所以尸尸=.

,:PF=PM

将方程两边同时平方，解得抛物线的解析式为.

(2)如图2,在(1)的条件下，点A(1,3)是坐标平面内一点，则AEAP的周长最小值为.

(3)在(1)(2)的条件下，如图3,点3(4,4)是坐标平面内另一点，过尸作垂足为X,

连接尸尸和切，问在抛物线上是否存在点尸，使得以P,F,X为顶点的三角形与AAB。相似？若存在,

求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

2.在平面直角坐标系中，二次函数＞=以2+/»+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴

交于点C.

(1)求这个二次函数的关系解析式；

(2)点尸是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P,使AACP的面积最大？若存在，求出点尸

的坐标；若不存在，说明理由；

(3)在平面直角坐标系中，是否存在点。，使ABC。是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写

出点。的坐标；若不存在，说明理由；

3.如图，抛物线＞=0%2+6尤+3过点A(1,0),B(3,0),与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点尸，使以A,B,E,k为顶点的四边

形为平行四边形？若存在，请求出所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点尸为线段OC上的动点，连接8尸，过点C作CN垂直于直线BP,垂足为N,当点尸从点。

运动到点C时，求点N运动路径的长.

4.如图，已知抛物线y=-尤2+b.t+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N.其

顶点为。.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点3,E为直线AC上的任意一点，过点E作所〃交抛物

线于点凡以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明

理由；

(3)若尸是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求AAPC的面积的最大值.

5.如图，抛物线y=ax2+bx+|■与直线AB交于点A(-1,0),B(4,,).点。是抛物线A,8两点间

部分上的一个动点(不与点A,8重合),直线CO与y轴平行，交直线48于点C,连接A。，BD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点。的横坐标为根，的面积为S,求S关于相的函数关系式，并求出当S取最大值时的点

C的坐标；

(3)当点。为抛物线的顶点时，若点尸是抛物线上的动点，点0是直线AB上的动点，判断有几个位

置能使以点P,Q,C,。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点。的坐标.

17

6.已知抛物线y=—x2-mx+2ni-彳的顶点为点C.

(1)求证：不论根为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)若抛物线的对称轴为直线尤=3,求相的值和C点坐标；

(3)如图，直线>=尤-1与(2)中的抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D直线x=上交

直线AB于点交抛物线于点N.求当上为何值时，以C,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.

7.如图，在直角坐标系中，直线y=^x+l与x轴、y轴的交点分别为A、B,以尤=-1为对称轴的抛物线

y=-J^+bx+c与x轴分别交于点A、C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为人设抛物线的对称轴/与无轴交于一点连

接PD,交于E,求出当以A、。、E为顶点的三角形与AAOB相似时点尸的坐标；

(3)点又是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点M使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

8.如图，二次函数y=ox2+bx+c(a^O)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴负半轴交于2,与正半轴

交于点C(8,0),且/8AC=90。.

(1)求该二次函数解析式；

(2)若N是线段BC上一动点，作NE〃AC,交AB于点E,连结AN,当AANE面积最大时，求点N的

坐标；

(3)若点尸为无轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC,设所得APAC的面积为S.问：是否存

在一个s的值，使得相应的点P有且只有2个？若有，求出这个S的值，并求此时点P的横坐标；若不

存在，请说明理由.

9.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O,A点坐标为（-4,0）,8点坐标为（1,0）,以的中

点P为圆心，AB为直径作。尸与y轴的负半轴交于点C.

（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；

（2）设加为（1）中抛物线的顶点，试说明直线与。尸的位置关系，并证明你的结论；

（3）在第二象限中是否存在的一点。，使得以A,。，。为顶点的三角形与AOBC相似？若存在，请求

出所有满足的。点坐标；若不存在，请说明理由.

10.平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0,3）、（-1,0）,将此

平行四边形绕点0顺时针旋转90°,得到平行四边形A5OC.

（1）若抛物线过点C,A,求此抛物线的解析式；

（2）求平行四边形A8OC和平行四边形A8OC重叠部分AOC。的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AM4'的面积最大？最大面积是多少？

并求出此时M的坐标.

1.解：(1)设点P(尤，y)为抛物线上任意一点，作于点M,则PM=y+l.

作PNLy轴于点N,则在△PAV中，有PN=|x|,NF=\y-1|,所以更=｛乂2+(丫-1)2.

•：PF=PM,

A7x2+(y-l)2=^+1)

将方程两边同时平方，解得抛物线的解析式为y=4.r2.

-4

故答案为：y+Ldx2+(y-l)2,y+LVx2+(y-l)2,y^x2：

(2)VF(0,1),点A(1,3),

AP=7I2+(3-I)2=V5，

如图2,过A作AB,直线/于8,交抛物线于P,

则此时，PA+PB=PA+PF最小，且AE4尸的周长最小值为=4+巡，

故答案为：4+^/5；

(3)存在，

VA(1,3),点8(4,4),

'AB=N(4-1)2+(4-3)2=VI5,AO=yll2+32=V10,ob=V42+42=4V2

：.AB=OA,

'：PF=PH,假设存在这样的点尸，使得以尸，F,X为顶点的三角形与仆人台。相似，

则尸"与A2,M与。2是对应边，

.PH_FH

"AB"OB'

设点PCm,'/岛，则〃为(m,-1),

12口,-------

・TTm+1J2

..4_____=Vm+4,

V10=W2

解得m=±\,

2.解：(1)•・•抛物线y=〃x2+fov+2过点A(-3,0),B(1,0),

(0=9a-3b+2

10=a+b+2

二次函数的关系解析式为尸-■!，-皋—+2；

oO

(2)存在.

..•如图1所示，设点尸坐标为(m,n),则九=—m2--m+2.

33

连接尸O,作尸M_Lx轴于M,PALLy轴于N.

2c4

贝!]PM=-----m2-----m+2,PN=-m,AO=3.

33

24

:当x=0时,尸-----x0-----x0+2=2,

33

OC=2,

S^PAC=S^PAO+S^PCO-S^ACO

=—AO-PM+—CO-PN--AO-CO

222

=—x3x(-zu2-—m+2)+—x2x(-m)--x3x2

23322

-m2-3m

9：a=-l<0

函数S^PAC=-m2-3m有最大值

当机=-?=-•1时，SMAC有最大值.

.\n=--m2--m+2=--x（--）2--x（--）+2=—

3332322f

・,•存在点尸（一半］），使△尸的面积最大.

（3）如图2所示，以为边在两侧作正方形5。0。2、正方形5。04。3,则点0，。2,。3,。4为符合

题意要求的点.过Qi点作QD_Ly轴于点过点。2作。2后，工轴于点片，

VZ1+Z2=9O°,N2+N3=90。,N3+N4=90。,

AZ1=Z3,Z2=Z4,

在△QCD与△C50中，

21=4

<Q|C=BC,

Z2=Z4

:.丛Q\CD空丛CBO,

；.QD=OC=2,CD=OB=1,

.•.or>=oc+co=3,

：.Q\（2,3）；

同理可得04（-2,1）；

同理可证△CBOg/\BQE，

BE=OC=2,Q2E=OB=1,

：.OE=OB+BE=1+2=3,

（3,1）,

同理，。3（-1，-1），

存在点。，使ABC。是以BC为腰的等腰直角三角形.。点坐标为：。1（2,3）,0（3,1）,Q（-

1,-1）,。4（-2,1）.

(0=a+b+3

3.解：(1)将A(1,0)(3,0)代入y=ax2+°x+3得:

l0=9a+3b+3,

解得:a=l

b=-4'

.".y=x2-4x+3.

(2)①设尸(x,x2-4.r+3),若E,尸在AB的同侧，则E尸=AB=2,

•..点E在抛物线的对称轴上,

\x-2|=2,

/.x=0或％=4,

AFi(0,3),F2(4,3).

②若E,尸在A3异侧，则尸与抛物线的顶点重合，即&(2,-1),

，存在点为(0,3),F2(4,3),&(2,-1),使以A,B,E,b为顶点的四边形为平行四边形.

(3)连接3C,

9：ZBNC=90°,

・•・点N的路径是以3c的中点〃为圆心，BC长的一半为半径的左,

连接OM,

OB=OC=3,

C.OMLBC,

：.ZOMC=90°,

BC=VOB2-K)C2=3A/2，

2

4.解：(1)由抛物线y=-j^+bx+c过点A(-l,0)及C(2,3)得,

-l-b+c=0

~4+2b+c=3

b=2

解得

c=3

故抛物线为y=-X2+2X+3；

又设直线为丫=履+〃过点A(-1,0)及C(2,3),

-k+n=0

得

2ktn=3

k=l

解得

n=l,

故直线AC为>=尤+1；

(2)•.,y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

：.D(1,4)，

当x—1时，y=x+l=2,

：.B(1,2),

,点£在直线AC上，设E(x,x+1).

①如图2,当点E在线段AC上时，点E在点E上方，则/(无，x+3),

在抛物线上,

x+3--X2+2X+3,

解得，x=0或x=l（舍去），

：.E(0,1)；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点尸在点E下方，则/（x,x-1），

在抛物线上,

'.x-1=-x^+2x+3,

解加曰得X=——7或TX=——1+717,

22

：.E（上位，及应）或（对立,空），

2222

或（且，乏迎）或（亘，也互

综上，满足条件的点E的坐标为（0,1）

（3）方法一：如图3,过点P作PQJ_x轴交AC于点。，交尤轴于点X；过点C作CGLx轴于点G,

设。(羽x+1),则尸(x,-X2+2X+3)

：.PQ=(-X2+2X+3)-(x+1)

=-X2+X+2

又,**SAAPC=S^APQ+SACPQ

-PQ-AG

=­(-X2+X+2)X3

2

a(1、2J7

228

...面积的最大值为等;

O

方法二：过点尸作尸。，1轴交AC于点。，交x轴于点H；过点。作CG，x轴于点G,如图3,

设。(%,x+1),则尸(x,-X2+2%+3)

又.：S>APC=S〉APH+S直角梯形PHGC-S^AGC

—"(x+1)(_x^+2x+3)+--•(_x^+2x+3+3)(2-x)——x3x3

222

--X2+-X+3

22

3(工、

2+27

228

/.△APC的面积的最大值为等.

8

9RR

5.解：(1)•・•抛物线产ax+bx号与直线A5交于点A(-1,0),B(4,-1-).

’5

0=a-b+-^-

55

y=16a+4b+^-

解得，「一至，

b=2

抛物线的解析式是尸-尹+2呜

(2)如图1,过点8作8口LQE于点尸.

•・,点A(-1,0),B(4,5)，

易求直线AB的解析式为：丁=1"'+"^",

又\•点D的横坐标为m,

111cK

・,•点。的坐标是(m，—m+y)，点。的纵坐标是(-]加2+2m+5)

1Q

.\AE=m+l,BF=4-m,CD=m2+—m+2,

22

1i1QRQ1nc

；・S=­CD*(AE+BF)=-x(m2+—m+2)x(m+1+4-m)=(m-----)2+-------(-1<m<4).

22224216

当根=]■时，s取最大值喑，止匕时c(提，4)；

21624

(3)假设存在这样的点尸、。使以点尸，Q,C,。为顶点的四边形为平行四边形.

•・•点。是抛物线的顶点,

qR

：.D(2,4),C(2,4).

22

①如图2,当PQ〃OC,PQ=£＞C时.

1R11

设P(尤，-—X2+2X+—),则Q(x,—x+—),

3/+2%+乌-亲-[=3,

2222

解得，尤=1或x=2(舍去)，

・・・Q(1,1)；

②如图3,当CO〃尸Q,且C0=P。时.

设尸(x,--^x^+2x+^),则Q(x9,

2

・,・—1xH1—1xr-o2x5_-&3f

2222

解得，x=5或％=-2,

：.Q(5,3)、。(-2,--1)；

③如图4,当尸C〃Z＞。，且PC=£＞。时.

过点P作PE_LC£＞于点£,过点。作于点f则尸£=Q尸，DE=FC.

1R1C

设P(x,--x^+2x+—),贝!JE(2,--x^+2x+—),

5151

Q(4-x,-----x)，F(2,------x)，

2222

:.由DE=CF得,y-(-/+2X+£)=-1-)尤-.，

乙乙乙乙乙乙

解得，x=l或x=2(舍去)，

：.Q(3,2)

(3,2).

17

6.解：(1)△=(-m)2-4x-x(2m--)=(m-2)2+3,

•・•不论相为何实数，总有(nz-2)2>0,

/.△=(m-2)2+3>0,

无论m为何实数，关于尤的一元二次方程-mx+2m-/二。总有两个不相等的实数根,

17

，无论m为何实数，抛物线y=-x2-nvc+2m-彳与x轴总有两个不同的交点；

(2),・,抛物线的对称轴为直线x=3,

-m

-1=3,即m=3,

2X2

此时，抛物线的解析式为尸尹-3呜=a(x-3)2-2,

...顶点C坐标为(3,-2).

(3)-JCD//MN,C,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，

...四边形CDMN是平行四边形(直线在抛物线的上方)或四边形CDNM是平行四边形(直线在抛物线

,：C(3,-2),

：.CD=4.

1R

：.MN=\k-1-(^2-3Ky)|=CZ)=4.

①当四边形CQMN是平行四边形，

1月

MN=k-1-(—A-2-3^+—)=4,

22

整理得左2-8什15=0,

解得所=3(不合题意，舍去)，々2=5；

②当四边形CDVM是平行四边形，

1C

NM=—1^-3k+--(左-1)=4,

22

整理得N-sk-1=0,

解得左3=4+百同履=4-^/17>•

综上所述，k=5,或k=4+行，或左=4-行时，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

7.解：⑴：直线尸斗+1与x轴交点为A,

O

.,.点A的坐标为（-3,0）,

•••抛物线的对称轴为x=-1,

.,.点C的坐标为（1,0）,

抛物线y=-x2+Z?x+c与无轴分别交于点A、C,

••.抛物线为y=-（尤+3）（x-1）=-x2-2x+3；

（2）:抛物线y=-/一2X+3的对称轴为x=-1,

.•.点。的坐标为（-1,0）,

①当乙4。£=90。时，△AOES&4O"止匕时点「在对称轴上，即点尸为抛物线的顶点，坐标为（-1,4）；

②当NAE£）=90。时，NXEDSAOB.

过点P作PGLAC于点G,贝必AE£）S2\PGD

「曰GD=DE=0B

正丽—市一瓦一百，

:.PG=3GD.

即：-fi-2/+3=3（-1-O,

解得R=-2,攵=3（不合题意，舍去）.

当/=-2时，-22+2x2+3=3,

所以此时点P的坐标为（-2,3）.

综上所述，点P的坐标是（-1,4）或（-2,3）；

（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，Ni（2,-5）,N2（-4,-5）,

以线段A3为对角线时，M（-2,3）.

综上所述，点N的坐标分别是：M（2,-5）,M（-4,-5）,岫（-2,3）.

8.解：（1）VZBAC=90°,ZAOC=90°,

由射影定理可得出：。屋=040C,

由题意知：04=4,OC=8,

，42=。48,

：.OB=2,

：.B(-2,0),

将A、B、C三点坐标代入即得：

‘c=4

(4a-2b+c=0>

64a+8b+c=0

'一1

”瓦

解得：，3，

b=I

c=4

抛物线解析式为：y=-斗2+*+4；

42

(2)设N(小0),则5N=〃+2,5c=10,

9：NE//AC,

:.△BNEs^BAC,

,△BEN—(BN)2,

ABACBC

,*,S^BAC=~"X10X4=20,

・SABEN/n+2

)2,

2010

_1

oc^BEN—-(n+2)2,

5

S^BAN~-^X(〃+2)x4=2n+4,

:,SAANE=(2〃+4)-(n+2)(n-3)?+5,

55

・・・a=——1,

5

...当〃=3时，最大值SA.E=5,

此时N的坐标为：(3,0)；

(3)设直线AC对应的函数解析式为：y=kx+b,

b=4

则

8k+b=0'

kH.

解得：

b=4

直线AC对应的函数解析式为：y=--1.r+4,

如图，过尸作尸HJ_OC,垂足为H,交直线AC于点Q；

1o

设P(m，-----m2+—m+4),贝！J。(m,--m+4).

422

①当0＜加＜8时,

ioi

PQ=(m2+—m+4)-(m+4)--m2+2m,

4224

(m-4)2+16,

.\0<S<16；

②当-2qnV0时，

1131

PQ—(--m+4)-(--m2+-m+4)=—m2-2m,

22

S=S^CPQ-5AAP2=-^-X8X(-^-m-2m)=(m-4)-16,

.\0<S<20；

・••当0VSV16时，0V“＜8中有机两个值，-2SnV0中机有一个值，此时有三个;

当16VSV20时，-20加＜0中m只有一个值;

当8=16时，m=4或m=4-4这两个.

VA(-4,0),B(1,0)

：.AB=5,

.•尸是AB的中点，且是。尸的圆心

：.PC=PA=2.5,0P=4-2.5=1.5.

AOC=PC2-OP2=2

：.C(0,-2).

设经过4、B、C三点的抛物线为y=a(x-1)(x+4),

A-2=a(0-1)(0+4)

•.•a_---1.

2

抛物线为尸£(X-1)(x+4).

(2)直线MC与。P相切.

将y=*+泵-2配方,得y=[(x+弓)2-善，

，顶点M为(-,-争).

2o

'-2=b

设直线“。为〉=入+"则有1253，

彘~=彳k+b

解得14.

b=-2

直线MC为y=?x-2.

"4

设MC与尤轴交于点N,

OO

在丁=丁％-2中，令y=0,得％=可.

43

.•・ON=1>^=-|+-|=-y,CN=7ON2-K)C2=J(-1-)2+22=-

0OUyoD

：.C^+P<^=PN2.

.•.NPCN=90度.

；.MC与。尸相切.

(3)AOBC与AAO。相似，OB：OC=AO：AQ,即1：2=4：AQ,解得AQ=8,贝U。点坐标为(-4,

8)；

△OBC与AA。。相似，OB：OC=AQ,AO,即1：2=