2025年新高考数学重难点专练：空间向量基底法十四大题型（原卷版）

重难点03空间向量基底法十四大题型汇总

题型解读

满分技巧/

技巧一.基底的判断思路

1.判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基

底.

2.判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱

对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.

技巧二.利用向量法证明向量共面的策略

1.若已知点P在平面ABC内，贝！］有灰+yACB&OP=xOA+yOB+zOc(x+y+z=l),然后利用指定

向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将

其中一个向量用另外两个向量来表示.

技巧三.用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合

相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a,

b,c,不能含有其他形式的向量.

技巧四.求线面角的两种思路

1.线面角转化为线线角.根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要

注意两直线夹角的取值范围.

2.向量法.

方法一：设直线PA的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线PA与平面a所成的角为0(0e[O,^]),

a与n的夹角为s,则sin0=lcos同=端

方法二：设直线PA的方向向量为a,直线PA在平面a内的投影的方向向量为b,

则直线PA与平面a所成的角9满足cose=|cos<a,b>|

技巧五.求二面角常用的方法：

1.几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：

①定义法；②垂面法,注意利用等腰三角形的性质；

2.空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意

题型提分练

题型1空间向量基底的辨析

【例题1]（2023春・河南开封•高二统考期末）若归了,遍构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间

基底的是（）

A.a+b,d—b,dS.a+b,a—b,bC.a+b,a—b,b+cD.a+b,a+b+c,c

【变式（2020秋河南信阳•高二统考期末圮知2=（2,-1,3）5=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）若优

不能构成空间的一个基底，则实数A的值为（）

A.0B.-C.9D.-

77

【变式1-1】2.（2022秋•全国•高二期末猎国b,a是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（）

A.bc,b,—b—cB.a,a+b,a—b

C,a-Vb,a—b,cD.a+b,a+b+c,c

【变式1-1]3.（2023秋•云南大理•高二统考期末）若向部,或是空间的一个基底，且向量｛a=前+石+

可，砺=蓝-2石+2瓦,反=赋+3&+茗｝不能构成空间的一个基底，则k=（）

A.-B.-C.-iD.-

3244

【变式1-1】4.（2022秋・河南省直辖县级单位•高二统考期末）若2I造成空间的一组基底，则下面也

能构成空间的一组基底的是（）

A.2五、3+8、d+b+cB.b-2cxh+cx3c

C.d、3—1、K+cD.6+csb—2b

【变式1-1]5.（2021秋•陕西渭南•高二统考期末）已知｛瓦总是空间的一组基底，则可以与向量/=a+b,

4=2-3构成基底的向量是（）

A.aB.bC.a+2bD.a+2c

【变式1-1]6.（2023秋•河北邯郸・高二统考期末）已知S41平面ABC,AB1AC,S4=AB=\,BC=小,

则空间的一个单位正交基底可以为（）

A.｛瓯济，码B.(AB,AC,AS]

题型2利用空间向量基底求参数

【例题2](2023春•甘肃临夏•高二统考期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱

垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-4BCD为阳马，PAL^ABCD,且EC=2PE,若尻=

xAB+yAC+zAP,贝!]久+y+z=()

A.1B.2

C.-D.-

33

【变式2-1]1.(2023春・江苏南通・高二统考期末)已知P是44BC所在平面外一点，M是BC的中点,

若前=xPA+yPB+z无，贝！|()

A.x+y+z=0B.%+y+z=l

C.x—y—z=1D.x—y—z=—1

【变式2-1]2.(2023秋•湖南永州•高二统考期末)如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,

BC,CD,DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点O都有瓦？+OB+OC+OD=kOM,

则k=()

A]B.|C,2D,4

【变式2-l】3.（2020秋・重庆北倍・高二西南大学附中校考期末应棱长为1的正方体A8C。-A/iGA中，

M,N,"分别在棱,BC,BA±L,且满足丽=|西,BN=|fiC,BH=^BA,。是平面&//N,平面ACM

与平面BiBDDi的一个公共点，设的=xBH+yBN+zBM，则x+y+3z=（）

A谭B.£C常D.g

【变式2-1]4.（2019春・湖北武汉•高二统考期末）已知S是AABC所在平面外一点，D是SC的中点,

若BD=xSA+ySB+zSC，则x+y+z=

题型3基底表示向量

【例题3]（2023秋•安徽滁州•高二校考期末）已知三棱锥。-4BC,点M,N分别为,OC的中点，目

a=2,而=3,方=乙用2,3,m表示而，则丽等于（）

A.|(fa+c—a)B.|(a+b—c)

C.j(a—ib+c)D.|(c—a—fo)

【变式3-1]1.（2021秋•安徽安庆•高二安徽省桐城中学校考期末）如图，在平行六面体力BCD-4/£劣

中，已知存=a,AD=b,AA^=c，则用向量占,b,河表示向量瓦芬为（）

4

A.a+b+cB.CL—b+c

C.a+b—cD.—a+b+c

【变式3-1]2.（2023春•安徽滁州•高二统考期末）在四面体Z-BCD中，£是4。的中点产是比的中点.设

AB=a,AC=b,AD=c,则加=（）

AI-*111tll->QI717^.1-»z*->1।1-»rx1.17^If

A.——a+-D+-cD.-a——b+-cC.a——b+-cD.-a+-b——c

22222222222

【变式3-1]3.（多选）（2023秋•江西吉安•高二统考期末）如图，空间四边形OABC中，M,N分别是

边OA,CB上的点，且2M=2M。,CN=2NB，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（）

A.AG=-OA+-~OB+-OCB.JG=-OA--OB+-OC

636636

C.CG=-OA--OB+-OCD.OG=-OA+-'OB+-OC

636636

【变式3-1]4.（2023春•安徽滁州•高二安徽省定远中学校考期末）如图，在四面体4BCD中,AE=AAB,

AH=AAD，赤=(1-A)CB,CG=(1-,AG(0,1).

（1）求证：E、F、G、H四点共面.

⑵若a=I，设M是EG和FH的交点，。是空间任意一点，用而、而、灰、而表示血.

题型4基底法与坐标问题

【例题4】(2022秋•广东珠海•高二珠海市第一中学校考期末)已知向量力在基底色范,百下的坐标为(1,2,3),

贝忖在基底恒+b,b+c,c+南下的坐标为()

A.(0,1,2)B.(0,2,1)

C.(2,1,0)D.(1,2,-1)

【变式4-1]1.(2022春•上海松江•高二统考期末)已知四面体O-ABC,G1是^ABC的重心，G是OG1

上一点，且OG=3GG1,若丽=xOA+yOB+zOC,贝!|(x,y,z)为()

AC)B.(m)

C-(??3)D'

【变式4-1]2.(2023秋•广东•高二统考期末)在三棱柱4BC-4/4中，M,N分别为&Q的中点，

若MN=xAB+yAC+zA4]则(x,y,z)=()

【变式4-1]3.(2023秋•河北石家庄•高二统考期末)设P-4BC是正三棱锥，G是44BC的重心，D是

PG上的一点，且而=DG,若而=xPA+yPB+zPC,贝联居y,z)为()

A.(|A，I)B.&],[)C.Q,l.l)D.&[，])

【变式4-1]4.(2022春・广东汕尾•高二统考期末)如图，平行六面体-4/道12中,E为。劣的中

点若BE=xAB+yAD+zAAr,贝!=()

C\

A、/T7!

AB

A'(T,1,3B.(I,-lg)C'D-(-1,-1(-j)

【变式4-1】5.（2022秋福建福州•高二校联考期末）如图，M为OA的中点以｛布，瓦，砺｝为基底，询=

xOA+yOC+zOD,则实数组等于（）

A.&T，。)B.C'0'T)

题型5空间三点共线问题

【例题5]（2022秋•安徽•高二安徽师范大学附属中学校考期末）在四面体OABC中，点M在。4上，且0M=

2MA,可为8。的中点，若而=|01+j0S+^0C,则使G与M、N共线的x的值为

A.1B.2C.-D.

33

【变式5-1]1.（2023春甘肃白银•高二校考期末）设向量瓦,瓦，可不共面，已知荏=汉+石+石，品=

林+4孩+可，无D三点共线，贝以=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式5-1]2.（多选）（2022•全国•高二期末）关于空间向量，以下说法不正确的是（）

A.向量五,b,若2・3=0,贝！]41b

B.若对空间中任意一点。，有标=^OA+^-OB+^-OC,^\P,A,B,C四点共面

c.设值b,己是空间中的一组基底，则伍-b,b+c,d+4也是空间的一组基底

D.若空间四个点P,a,B,c,丽=：而+：而，则a,B,c三点共线

44

【变式5-1J3.（2022秋•全国•高二期中）设友局是两个不共线的空间向量，若屈=2/-五，或=3/+

3石，丽=瓦+点，且力，C,D三点共线，则实数k的值为

ee

【变式5-1]4.（2022春•陕西榆林•高一校考期末）i-2是两个不共线的向量，若AB=2e1+ke2,CB=

瓦+3部，3=2瓦-石，若A,B,D三点共线，求k的值.

题型6空间向量共面问题

【例题6]（2023秋•浙江杭州•高二杭州高级中学校考期末）对于空间一点O和不共线三点A,B,C,且

有2加=-OA+OB+2OC，则（）

A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面

C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面

【变式6-1]1.（2023秋•广西河池•高二统考期末）已知4B,C三点不共线，对平面4BC外的任一点。，下

列条件中能确定点MA,B,C共面的是（）

A.OM=2OA+-OB-OC

3

B.W=3OA-2OB-2OC

C.OM=-OA+-OB+-OC

243

D.OM^-OA+-OB--OC

333

【变式6-1]2.（2023秋•江西宜春•高二江西省宜丰中学校考期末）对于空间任意一点。和不共线的三点

,有如下关系：而=[就+[赤+]左，则（）

ODZ

A.O,4B,C四点必'共面B.P,4B,C四点必共面

C.O,P,B,C四点必共面D.0,P,2,B,C五点必共面

【变式6-1]3.（2023秋•浙江台州•高二台州市书生中学校考期末）已知空间四面体。4BC中，对空间内任

一点M,满足旃=+*赤+4左下列条件中能确定点MA,B,C共面的是（）

46

A.人=—B.A=—C.A=—D.A=—

231212

【变式6-1]4.（2022春上海浦东新•高二上海市建平中学校考期末）已知A、B、C、D、E是空间中的五个

点，其中点A、B、C不共线，则"DEII平面ABC"是"存在实数x、y,使得砺=乂屈+y前的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式6-1]5.（多选）（2023秋广东广州•高二秀全中学校考期末）若,，3,同构成空间的一个基底，

则下列向量共面的是（）

/\.b+c,b,b—cB.a,a+b,a—b

C.a+b,a—btcD.a+b,a+b+c,c

题型7基底法求数量积

【例题7]（2022秋•浙江湖州•高二统考期末底棱长为1的正四面体4BCD中，点M满足宿=xAB+yAC+

（1-x-y）AD（x,yGR），点N满足加=疝1+（1—A）DC（AGR）,当4M和DN的长度都为最短时AM-AN

的值是（）

A.iB.-iC.-D.--

3333

【变式7-1]1.（2023春•四川德阳•高二统考期末）已知点P为棱长等于1的正方体4BCD-4遇£/内部

一动点，目|圄=1,则居•西的值达到最小时，阳与两夹角大小为.

【变式7-1]2.（2022秋•浙江金华•高二校联考期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等

于1,点E,F分别是BC,AD的中点，则版•赤的值为

【变式7-1】3.（2023秋福建三明•高二统考期末并图在四面体ABCD中,ABAC=60°,^BAD=4CAD=

45°,AD=V2,AB=AC=3.

（1）求证•丽的值；

（2）已知F是线段CD中点，点E满足丽=2AE,求线段EF的长.

【变式7-1]4.（2023春・河南许昌•高二校考期末）如图，点M、N分别是棱长为1的正四面体0A8C的边。2

和BC的中点，点P、Q是线段MN的三等分点.

Q）用向量灰、OB.反表示加和而；

⑵求|西、函；

⑶求而•OQ.

【变式7-1]5.（2022秋•江苏宿迁•高二沐阳如东中学校考期末）如图，已知正方体28CD-a/©/的棱

长为4,M,N,G分别是棱44i,BC,4劣的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若丽=xMG+

yMN（x.yeR），则点Q的轨迹围成图形的面积是；MG•丽的最大值为

题型8基底法求模长

【例题8]（2023春•江西吉安•高二校联考期末）已知斜三棱柱4BC-4/iQ所有棱长均为2,乙=

/点&F满足版=[京，前•阮，则同|=（）

A.V6B.V3C.2D.V2

【变式8-1]1.（2022秋河南•高二校联考期末）如图，在平行六面体力BCD-4通道也中，底面4BCD是

菱形，侧面是正方形，目Z&AB=120°,Z.DAB=60°,AB=2,若P是6。与的交点,贝UP=

（）.

【变式8-1]2.（2023春•江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末）如图，二面角4-EF-C的大小为

45。，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、。两点间的距离是（）

A.V2B.V3C.,3-&D.^3+&

【变式8-1]3.（2023秋湖南怀化•高二怀化市第三中学校考期末）如图已知矩形=1,BC=陋，

沿对角线4。将44BC折起，当二面角B-AC-。的余弦值为-[时，则B与D之间距离为（）

B

A.1B.V2C.V3D.邛

【变式8-114.（2020秋•山东青岛•高三统考期末）已知4ABe的顶点力e平面a,点B,C在平面a异侧，且4B=

=但若与所成的角分别为先厕线段长度的取值范围为

2.AC48,ACaDOBC

【变式8-1]5.（2020•浙江杭州•高一期末）如图，已知线段4B1平面a,BCca,CD1BC,DF1平面a,

且NDCF=30°,D与A在a的同侧，若AB=8。=。。=2,求人，口两点间的距离.

题型9投影向量问题

【例题9]（2023秋•浙江温州•高二校考期末）在正方体A8CD-4/165中，则向量西在向量力5上的

投影向量是（）

A.-DAB.DAC.-BCD.BC

22

【变式9-1]1.（2021秋・辽宁营口・高二统考期末）已知同=4,空间向量3为单位向量，〈匕丹=学，则

空间向量a在向量3方向上的投影的数量为（）

A.2B.-2C.--D.-

22

【变式9-1]2.（2022秋・北京朝阳•高二校考期中）四棱锥P—力BCD中,PD1底面4BCD,底面A8CD是

矩形，则而在向量砺上的投影向量为（）

A.DAB.~BCC.JDD.AP

【变式9-1]3.（2022秋•广西梧州•高二校考期中）已知t,为标准正交基底，元=£+2/+3底贝[|五在访

向上的投影数量为（）

A.1B.-1

C.V14D.-V14

【变式9-1]4.（多选）（2023秋•江苏•高三统考期末）长方体4BCD-也中,A&=3,底面4BCD

是边长为2的正方形，底面4B1GD1中心为M，则（）

A.Ci。//平面力BM

B.向量前在向量而上的投影向量为：前

C.四棱锥M-4BCD的内切球的半径为甯

D.直线4M与BC所成角的余弦值为答

【变式9-1]5.（多选）（2022春•安徽宿州•高一场山中学校联考期中）下列说法正确的是（）

A.终边相同的角的同一三角函数值一定相同

B.a6（0,力，则tana+--的最小值为2夜

\2/tana

C.已知⑷=2,同=1,值司=135。,则五在B上的投影数量为-世

D.非零向量五，B,5，若五-b=b-cl则）=c

【变式9-1】6（2022秋•山东泰安•高二新泰市第一中学校考期中施棱长为1的正方体ABCD-A^C^

中，向量屈在向量4月方向上的投影向量的模是

题型10基底法求线线角

【例题10]（2021秋•吉林长春•高二校考期末）如图，在平行六面体ABCD-中，底面是边长为

2的正方形，若乙生力D=N&4B=60°,且4&=3，则cos（中，屈）=（）.

A滥B.g

【变式10-1】1.（2023春•江西抚州•高一统考期末）把边长为2鱼的正方形4BCD沿对角线BD折起，使得

平面4BD与平面CBD所成二面角的大小为60°,则异面直线4。与所成角的余弦值为（）

A.[B.-iC,D

【变式10-112.（多选X2023秋・辽宁葫芦岛•高二兴城市高级中学校考期末）如图，在三棱柱4BC-4B1G

中,M,N分别是,BiC]上的点,S.BM=2alMRN=2B】N设前=aAC=b丽=c若NBAC=90°,

^BAA±=NCAA=60°，4B=AC==1,则下列说法中正确的是()

A.~MN=-a+-b+-cB.[MN\=—

333113

C.AB2lD.cos（福，跖）=：

【变式10-1】3.（多选）（2021秋•江苏连云港•高二江苏省板浦高级中学校考期末）如图，在平行六面体

ABCD-中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°,M为公的与名小的

交点,若荏=%而=b,AA^=c,则下列正确的是（）

^-BM=la-lb+cB,AC；=a+b+c

C.AG的长为代D.cos（AB,AC^）=y

【变式10-1】4.（多选）（2022秋•浙江宁波•高二校联考期末）若瓦？,OB，瓦是三个不共面的单位向量，

且两两夹角均为e，则（）

A.e的取值范围是（0,兀）

B.｛瓦?，屈，前｝能构成空间的一个基底

C."加=2市—布+反"是"P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件

D.（01+OB+OC）-FC=0

题型11基底法求线面角

【例题111（多选）（2023春•湖北荆门•高二统考期末）在正方体力BCD-A/QDi中,AQ=mAB+mAD+

nAA^（jn,nG（0,1]），则（）

A.4Q1BD

B.BA与平面Q4C所成角为45°

C.当点Q在平面A/】CiA内时，n=1

D.当n=[时，四棱锥Q—4BBM1的体积为定值

【变式11-1】1.（多选）（2023秋•湖北恩施•高二校联考期末）在棱长为1的正方体力BCD-&B1QD1中，

点P满足9=疝方+fiDA,AE[0,1],林6[0,1],则以下说法正确的是（）

A.当4=〃时，BP〃平面CB/i

B.当”=用寸，存在唯一的点P,使得DP与直线CBi的夹角为T

C.当4+〃=1时，CP长度的最小值为彳

D.当％+〃=1时，CP与平面BCG/所成的角不可能为与

【变式11-1]2.（多选）（2023秋•贵州六盘水•高二统考期末）已知正四面体4BCD的棱长为2,E、F分

别是4B和CD的中点，下列说法正确的是（）

A.直线BD与直线AC互相垂直

B.线段EF的长为当

C.直线4B与平面BCD所成角的正弦值为彳

D.正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为萼

【变式11-1】3.（多选）（2022春•江苏南通•高二统考期末）在平行六面体4BCD-4当的久中,AB=AD=

A4,乙41aB==4DAB=60。，点P在线段叫上，贝[|（）

A.AP1B]C

B.P到4/和CD的距离相等

C"P与AH所成角的余弦值最小为,

D.4P与平面4BCD所成角的正弦值最大为:

【变式11-1】4.（多选）（2022春•重庆巴南•高二重庆市实验中学校考期末）如图，在棱长为4的正四面

体ABC。中，E,F分别在棱DA,DC±_,S.EF//AC,若砺=sDA,EP=tEFfsE（0,1）,tG（0,1）,贝（]下

列命题正确的是（）

D

A.BPe[|V6,4）

B.s=[时，BP与面力BC所成的角为0,则sinRe俘，言]

C.若s+t=1,贝!]P的轨迹为不含端点的直线段

D.t=1时，平面4CD与平面BDP所的锐二面角为8，贝[]sin8e（|V2,1]

【变式11-1】5.（多选）（2023春•江苏•高二期末）如图，在平行六面体4BCD-4/道也中，以顶点A

为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是（）

A.BD1平面4CG

B.BA=6V3

C.直线4cl与平面ABC。所成的角的正弦值为：

D.直线BA与4C所成角的余弦值为经

题型12基底法求面面角

【例题12】（2023春・上海黄浦・高二格致中学校考期末）如图，把一个长方形的硬纸片4BCD沿长边所

在直线逆时针旋转45。得到第二个平面4BEF,再沿宽边力F所在直线逆时针旋转45。得到第三个平面4FGH,

则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（）

【变式12-1]1.（2023秋•山东聊城•高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，力B1BD,CD1BD,若

AB=3,BD=,CD=2,AC=V19，则平面ABD与平面CBD的夹角为（）

【变式12-1】2.（2022秋•山西运城・高二统考期末）在二面角的棱上有两个点从B,线段4C、BD分别在

这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱4B,若AB=1,AC=2,BD=3,CD=2/，则这个二面角的

大小为（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

【变式12-1]3.（2020秋•辽宁大连•高二统考期末）已知二面角a-I-。的两个半平面a与£的法向量分

别为a3,且<23>=gO,则二面角a-Z-。的大小为（）

AqB.C.倒冷D.色垮

【变式12-1]4.（多选）（2023秋广东广州•高二海珠外国语实验中学校考期末）已知三棱锥P-力BC的

底面4BC是正三角形，则下列各选项正确的是（）

A.BC与平面4CP所成角的最大值为g

B.BC与平面4BP所成角的最小值为g

C.若平面PBC1平面4BC,则二面角4-PB-C的最小值为g

D.若"AC、NP力B都不小于E,则二面角B-PA-C为锐二面角

题型13基底法证明点线面位置关系

【例题13]（多选）（2022•全国•高二期末）已知在平行六面体力BCD-4祖。也中，乙=乙41aB=

4BAD=60°,AA.=AB^AD,E为的中点.给出下列四个说法：①乙BCG为异面直线4D与CC1所成的

角；②三棱锥①-4BD是正三棱锥；③CE1平面BBiAD；④怎=~1AD-AB+痂.其中正确的说法有

()

A.①B.②C.③D.④

【变式13-1】1.（2021秋•北京丰台•高二统考期中）已知正方体4BCD-4/1的久的棱长为1，给出下列

四个命题：

①+A1D1+A1B1=宿；

②碇•(AD-AB)=0；

③点6到面4BD的距离为手；

④点P在正方体ABC。-的侧面BCC/i及其边界上运动，并保持AP1BD-贝UPB的取值范围是

脩1]

其中正确结论的序号是.

【变式13-1】2.（2022秋•甘肃武威•高二校联考期中）如图，四棱锥S-4BCD的底面是矩形,AB=a,AD=

2,SA=1,且SA1底面力BCD.

（1）求向量在在向量攻上的投影；

（2）若线段BC上存在异于B,C的一点P,使得PS1PD,求a的最大值.

【变式13-1】3..（2020秋•广东佛山•高二校考期中）如图，正方体ABCD-&B1C也的棱长为a、M、

N分别为A1B和AC上的点，=4N=，则MN与平面的位置关系是（）

A.相交但不平行B.平行C.相交且垂直D.不能确定

【变式13-1】4.（多选）（2022春・福建宁德•高二校联考期中）如图，在平行六面体4BCD-中，

乙DAB==NB44=60。，AB=AD=44］，点M,N分别是棱好名的中点，则下列说法中正

A.MN1ACr

B.向量丽，丽，西共面

C.C&_L平面C/O

D.若AB=1,则该平行六面体的高为?

【变式13-1】5.(2021春•江苏泰州•高二统考期中)如图：已知四棱柱4BCD-4/心久的底面ABCD是

菱形,ZCXCS=ZQCD=乙BCD=6Q°,且C1C=CD=1.

(1)试用加，函鬲表示京，并求|西|；

(2)求证：CCi1BD；

(3)试判断直线&C与平面QBD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由.

题型14基底法求距离问题

【例题14]（2022秋•山东东营•高二胜利一中校考期末）正四