2025年新高考数学专项复习：二次函数定（动）轴与定（动）区间六大题型（原卷版）

专题3-3二次函数定(动)轴与定(动)区间六大题型汇总

。常考题型目录

题型1定轴定区间问题...............................................................2

题型2定轴动区间问题...............................................................4

题型3动轴定区间...................................................................5

题型4动轴动区间问题...............................................................6

题型5求参数问题...................................................................7

题型6含有绝对值的二次函数最值问题................................................8

Q知识梳理

知识点一.二次函数的三种形式

1、一般式:f(x)=ax2+bx+c(a/0)

2、顶点式：若二次函数的顶点为(h,k)厕其解析式为f(x)=a(x-h)2+k(a，0)

3、两根式：若相应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为XiM,则其解析式为

f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a/0)

知识点二.二次函数最值问题

求二次函数/(%)=ax2+bx+c［a>0)在区间［%上的最值分为以下三种情况；

h

(1)对称轴在区间的左侧：若%=-二〈根，则/(X)在区间［九向上是增函数，最大值

2a

为/⑻,最小值为了(根)；

2

(2)对称轴在区间内：若根S-丁b少，则/(%)的最小值为/(-=b=\Act:e-Z?，最大

2a\2a)4〃

b

值为/(m)、f(n)中的较大者(或区间端点m,n中与直线x=—-的距离较大的那一个端

2。

点所对应的函数值)；即最小值为小白=4知*,最大值为

I2a)4a

/(x)1mx=max{/(7«),/(n)}.

b

(3)对称轴在区间的右侧：若x=----->n,则/(X)在区间［加,向上是减函数，最大值为

2a

于(m),最小值为了(").

但题型分类

题型1定轴定区间问题

【方法总结】

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定

二次函数在定区间上的最值"。

【例题II2023春・广东清远•高一阳山县南阳中学校考阶段练习周数/(%)=-/+2%-3

在区间［0,+8)上()

A.有最大值-2B.有最大值-3

C.有最小值-2D.有最小值-3

【变式1-1］1.(2022秋•江西赣州•高一兴国中学校考阶段练习)已知二次函数

y=-4/+8x-3.

(1)写出这个函数图像的对称轴方程和顶点坐标；

(2)该函数的图像可以由函数y=-4/的图像经过怎样的平移得到？

(3)求函数在xW［-2,2］上的最大值和最小值

【变式1-1］2.(2021秋・海南三亚•高一校考期中)已知函数/⑺=/—1,Ke［2,6］,

(1)求函数单调性；

(2)求函数最大值和最小值.

【变式1-1］3.(2022春・陕西咸阳•高二校考期末)已知二次函数y=-4x2+8%-3.

(1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；

(2)画出它的图像，并说明其图像在y=-4/的图像经过怎样的平移得来；

(3)求函数在％e［-2,2］上的最大值和最小值；

(4)分析函数的单调性，

【变式1-1］4.(2022•全国•高一专题练习)已知函数"x)=ax2-2ax+b(a>0)的定义

域为R,且在区间［0,3］上有最大值5,最小值1.

Q)求实数a,b的值；

(2)若函数式久)=/(x)-mx+2m-2,求gQ)>0的解集.

【变式1-1J5.(2023春・安徽蚌埠•高二统考期末)已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>

0,b£R)在区间［2,4］上的最小值为1,最大值为9.

(1)求a,6的值；

(2)设g(x)=号,求或久)的值域.

【变式1-U6.(2023•全国•高一专题练习)已知函数f(%)=ax2-4ax+b(a>0)在［0,3］上

的最大值为3,最小值为-1.

(1)求/(为的解析式;

(2)若mxe(1,+8),使得/(%)<mx,求实数m的取值范围.

题型2定轴动区间问题

【方法总结】

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情

况是"定函数在动区间上的最值"。

【例题2］(2022秋・山西阳泉•高三统考期末)已知函数/(%)=-,2+%在区间&切上的

最小值为3a,最大值为3b,贝！+b=()

A.-4B.iC.2D.总

【变式(2022秋•上海宝山•高一上海交大附中校考阶段练习)已知二次函数y=/-

2x+4,xe［0,前的最小值是3,最大值是4,则实数m的取值范围是

【变式2-1］2.(2022秋•上海青浦•高一上海市朱家角中学校考阶段练习)已知函数/(%)=

x2+2x+3,xe［m,0］的最大值为3,最小值为2,则实数机的取值范围是.

【变式2-1］3.(2023秋•高一课时练习)已知函数f(x)为二次函数，不等式f(x)〉。的解

集是(1,5),且/O)在区间［-1,4］上的最小值为-12.

(1)求f(x)的解析式；

(2)设函数/(%)在+上的最大值为g(t),求g(t)的表达式.

【变式2-1J4.(2021秋•浙江金华•高一校考期中)已知“乃是定义域为R的奇函数，当x>0

时,/(x)=-%2+2x.

(1)求函娄妤O)的解析式；

⑵求函数/(%)在区间［。,3］上的最大值和最小值；

(3)若函数"%)在［-1,a-2］上单调递增，求实数a的取值范围.

【变式2-1］5.(2021秋广东梅州•高一大埔县虎山中学校考阶段练习)若二次函娄好⑺=

ax2+bx+c满足/'(2)=/(-I)=-1,且函数的最大值为8.

(1)求函数/(%)的解析式

(2)当xe［2,zn］时，函娄好(x)的最小值为-8,求实数小的值.

题型3动轴定区间

【方法总结】

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固

定的，我们称这种情况是"动二次函数在定区间上的最值"。

【例题3】(2022•全国•高三专题练习)若函数"X)=/—2bx+3a在区间［0,1］上的最大值

是M,最小值m,则M-m()

A.与a无关，且与b有关B.与a有关，目与b无关

C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关

【变式3-1］1.(多选)(2022秋广东广州•高一广州六中校考阶段练习)已知函娄好0)=

%2-2ax+a在区间(-8,1)上有最小值，则函数g(x)=e在区间口+8)上一定()

A.是奇函数B.是增函数C.有最小值D.有最大值

【变式3-112.(多选)(2022秋•浙江•高一校联考期中)已知二次函数/Xx)=x2+bx+c

(6,ceR)网分别是函数在区间［-1,1］上的最大值和最小值，则M-N的可能取值是()

A-2B-1C-4D-2

【变式3-1］3.(2022秋•宁夏石嘴山・高一石嘴山市第三中学校考期中)已知函数/(x)=

x2—2ax+3(aeR).

(1)若函数/(%)在(-8,2］上是减函数，求a的取值范围；

(2)当xe［-1,1］时，设函娄好(无)的最小值为g(a),最大值为h(a),求函数g(a)与h(a)的表达

式.

【变式3-1］4.(2021春・陕西榆林•高二陕西省神木中学校考阶段练习)已知函数f(%)=

x2—(2m+l)x+m2+m,mGR.

(1)若m=1,求/(x)在区间［-1,3］上的最大值与最小值；

(2)若/(%)在区间［-2,1］上是单调函数，求m的取值范围.

【变式3-1］5.(2022秋・重庆・高一校联考期中)已知f(切=x2-4ax+2.

(1)若函数g(x)=f(x)-2x在(-8,3)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)Vx6R,用M(X)表示/'(%),g(x)中的最小者,记为MQr)=min{/(x),g(x)}.若x6［0,2］,

记/'(%)的最小值%(a),M(a)=min{a2,/i(a)},求M(a)的最大值.

题型4动轴动区间问题

【方法总结】

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是

"动二次函数在动区间上的最值"。

【例题4】(2021秋・江苏淮安•高一校联考期中)已知函数/。)=/-2ax(a>0)

(1)当a=2时，解关于x的不等式-3</(%)<5

(2)函数y=/(x)在［t,t+2］的最大值为0,最小值是-4,求实数a和珀勺值.

【变式4-1］1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=%2-2ax(a>0).

(1)当a=3时，解关于X的不等式—5<f(x)<7；

⑵函数y=/(切在［t,t+2］上的最大值为0,最小值是-4,求实数a和t的值.

【变式4-1］2.(2020•浙江•高一期末)若函数/0)=/+依+爪在［a,b］上的值域为

［n,n+1］,则a-b()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值但无最小值

C.无最大值但有最小值D.既无最大值，也无最小值

【变式4-1]3.(2023春・湖北十堰•高一校联考阶段练习)函数f(乃=ax2-2020%+

2021(a>0),在区间[t-1,1+1]«6田上函数/(久)的最大值为M,最小值为N.当t取任

意实数时，M-N的最小值为2,则a=

【变式4-1]4.(2022秋福建福州•高一校考期中)已知函数“切=/—4mx+3m2(m>

0)的图象与久轴交于4B两点，与y轴交于C点,且△力8c的面积为3.

(1)求机的值；

(2)若/(%)在[a,a+l]上的最大值与最小值之差为g(a),求g(a)的最小值.

题型5求参数问题

【方法总结】

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

【例题5](2023秋•江苏镇江•高一统考阶段练习)已知函数f0)=-/+2mx+l-m2,

其中znGR.

(1)若不等式fO)w爪2+2爪—2对于一切实数%均成立，求实数小的取值范围；

(2)当x6[1,3]时,若函数f(x)的最大值为-8,求实数a的值.

【变式5-1]1.(2023秋•江西•高一江西师大附中校考阶段练习)已知二次函数的图像经

过点(0,-5)和(6,-5),且函数在xeR上的最大值为4.

⑴求函数的解析式；

(2)当t<x<t+2时，函数的最大值为m,最小值为n,且m-n=2,求珀勺值.

【变式5-1]2.(2023秋•江苏镇江•高一校考阶段练习)已知函娄好0)=2d+mx+几的

对称轴方程为％=2,y=/(比)的值域为[-5,+8).

(1)求函数八%)的解析式；

(2)若函数/(x)在［a,a+2］上的最小值为-4,求实数a的值.

【变式5-1］3.(2022•全国•高一期中)已知函数回(回)=龈2+(3+回)回+3,其中k为常数

(1)若团(2)=3,求函数回(团)的表达式；

⑵在(1)的条件下，设函数师)=0(0)-00,若师)在区间［-2,2］上是单调函数，求实数

m的取值范围；

(3)是否存在k使得函数回(回)在［-1,4］上的最大值是4?若存在，求出k的值；若不存在，请

说明理由.

【变式5-1］4.(2023秋•河南南阳•高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习)已知函数

/(x)—x2—2ax—2.

⑴当a=2,xG［-2,3］时,求函数f(比)的值域；

(2)若函数/(%)在［1,3］上的最小值为2,求实数a的值.

【变式5-1］5.(2023秋•河北邢台・高一邢台一中校考阶段练习)已知函数/。)=mx2-

(m+l)x+2,zneR.

(1)设m,解不等式/'(x)<mx；

(2)设m>0,若当x£［2,+8；)时f(%)的最小值为:,求m的值.

题型6含有绝对值的二次函数最值问题

【方法总结】

含有绝对值的函数注意分类讨论，或者利用翻折变换

【例题6］(2022秋・湖北武汉・高一华中师大一附中期中)函数/(%)=x\x-a|在区间(0,1)上

既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是()

A.［-2V2-2,0)B.(0,2V2-2)

C.怪1)D.［2V2-2,1)

【变式6-1］1.(2022秋・陕西安康•高一统考期中)设函数f(乃=I/—2axi在区间［0,1］上

的最大值为g(a),则当g(a)取得最小值时，a=.

【变式6-1］2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/⑺=x2-2%|x-a|(|a|<