2025年中考数学复习：动点在直角三角中的分类讨论提升训练 （含解析）

动点在直角三角中的分类讨论

1、如图1,在RdABC中，ZACB=90°,42=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点（不与点C重合）,

联结AE交边BC于凡/BAE的平分线交BC于点G.

（1）当CE=3时，求SHCEF:SACAF的值；

（2）设CE=x,AE=»当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式；

（3）当AC=5时，联结EG,若AAEG为直角三角形，求8G的长.

图1

2、如图1,二次函数yuaCx2—3源）（其中心机是常数，且a>0,加>0）的图像与x轴分别交于A、

8（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0,—3）,点。在二次函数的图像上，CD//AB,联结AD过点A

作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分/D4E.

（1）用含m的式子表示a；

（2）求证，：些为定值；

AE

（3）,设该二次函数的图像的顶点为尺探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GR

4）、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含相

的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

图1

1a

3、如图1,抛物线丁二^/—]X—4与尤轴交于A、8两点（点8在点A的右侧），与y轴交于点C,连结

BC,以BC为一边，点。为对称中心作菱形BDEC,点尸是无轴上的一个动点，设点尸的坐标为。〃,0）,过

点尸作x轴的垂线/交抛物线于点Q.

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)当点P在线段OB上运动时，直线/分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时，四边形CQMD

是平行四边形，此时，请判断四边形的形状，并说明理由；

(3)当点P在线段£8上运动时，是否存在点。使AB。。为直角三角形，若存在，请直接写出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

4、如图1,抛物线丫=一3/_3》+3与x轴交于A、8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C.

84

(1)求点A、B的坐标；

(2)设.D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当AACD的面积等于AACB的面积时，求点D的坐标；

(3)若直线/过点E(4,0),M为直线/上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个

时，.求直线/的解析式.

图1

5、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数>=依^+了-1)的图象交于点4(1出和点B(—1,一左).

(1)当％=—2时，求反比例函数的解析式；

(2)要使反比例函数与二次函数都是y随尤增大而增大，求人应满足的条件以及x的取值范围；

(3)设二次函数的图象的顶点为。，当AAB。是以A2为斜边的直角三角形时，求上的值.

6、设直线小>=岛尤+加与b：>=痴+历，若垂足为X，则称直线/1与，2是点8的直角线.

(1)已知直线①y=_；x+2;②y=x+2；③y=2尤+2；④y=2尤+4和点C(0,2),则直线,

和..是点C的直角线(填序号即可);

(2)如图，在平面直角坐标系中，直角梯形。1BC的顶点4(3,0)、2(2,7)、C(0,7),P为线段OC

上一点，设过8、尸两点的直线为/i，过A、P两点的直线为方若/i与/2是点尸的直角线，求直线/1与/2

的解析式.

7、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-一厂f+亍工+机2一§机+2与工轴的交点分别为原点。和点

A,点8(2,〃)在这条抛物线上.

(1)求点B的坐标；

(2)点尸在线段OA上，从点。出发向点A运动，过点尸作无轴的垂线，与直线08交于点E,延长

PE到点。，使得ED=PE,以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点尸运动时，点C、D

也随之运动).

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求0P的长；

②若点尸从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点。从点A出

发向点。作匀速运动，速度为每秒2个单位(当点。到达点。时停止运动，点尸也停止运动).过。作x

轴的垂线，与直线交于点R延长QP到点使得FM=。/，以QW为斜边，在QM的左侧作等腰直

角三角形。(当点。运动时，点M、N也随之运动).若点尸运动到f秒时，两个等腰直角三角形分别

有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻f的值.

图1

8、如图1,已知A、B是线段MN上的两点，MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,

以8为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成AABC,设=

(1)求x的取值范围；

(2)若AABC为直角三角形，求尤的值；

(3)探究：AABC的最大面积？

图1

L思路点拨

1.第(1)题中的ACEF和ACAF是同高三角形，面积比等于底边的比.

2.第(2)题中的AABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形.

3.第(3)题中的直角三角形AEG分两种情况讨论.

满分解答

(1)如图2,由CE〃/18,.

AFBA13

图2

由于ACEP与ACAB是同高三角形,

所以S^CEF:S〉CAF=3：13.

(2)如图3,延长AG交射线CO于M.

由CM//AB,得^^=受=2.所以CM=2AB=26.

ABBG

由CM//AB,得NEMA=/BAM.

又因为AM平分/BAE,所以NA4M=/EAM.

所以/EM4=/E4M.所以y=EA=EM=26-x.

图3图4

(3)在ROA8C中，AB=\3,AC=5,所以BC=12.

①如图4,当/AGE=90。时，延长EG交于M那么AAGE峪ZXAGN.

所以G是硒的中点.

所以G是8C的中点，BG=6.

prFA

②如图5,当NA£1G=90。时，由△CAbs/\£G凡得，=——.

FEFG

pcFR

由CE//AB,得久=——.

FEFA

FR

所以——=——.又因为NAFG=N57弘，所以尸GS^B胆.

FGFA

所以NE4G=/艮所以NGA8=N8.所以GA=G3.

13

作GH_LAH,那么

2

六n〃n〃i+rrk,/nBH4日1312169

在RdGB/Z中，由cosN3=-----,得5G=—：一=---.

2.思路点拨

1.不算不知道，一算真奇妙.通过二次函数解析式的变形，写出点A、2、F的坐标后，点。的坐标

也可以写出来.点E的纵坐标为定值是算出来的.

2.在计算的过程中，第(1)题的结论。=口及其变形反复用到.

m

3.注意到点E、D、尸到x轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4),因此过点尸作AD的平行线

与x轴的交点，就是要求的点G.

满分解答

(1)将C(0「3)代入》二〃。2—2mx—3府)，得一3=—3的因止匕〃=4_.

m

(2)由y=a(x2—2mx—3m2)=a(x+rri)(x-3m)=a(x—m)2—4axm2=a(x—m)2—4,

得A(一九0)，B(3m,0),F(m,—4),对称轴为直线兀=m.

所以点D的坐标为(2m,一3).

设点E的坐标为(x,a(x+m)(x-3m)).

如图2,过点。、E分别作x轴的垂线，垂足分别为。、E.

由于所以里=也.因止匕"(尤+〃0(尤-3.)=二.

AE'AD'x+m3m

所以4加(%—3㈤=1.结合于是得到X=4m.

m

当x=4根时，y=a(x+m)(x—3ni)=5am2=5.所以点E的坐标为(4zn,5).

所以唯DD'_3

EE7-5

(3)如图3,由E(4w?,5)、D(2m,-3),F(m-4),

可知点E、。、下到无轴的距离分别为5、4、3.

那么过点尸作A。的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G.

1

证明如下：作用」％轴于尸，那么？G二F=£F土F=4

ADDD，3

因止匕丝=丝=".所以线段GRAD.AE的长围成一个直角三角形.

534

此时G尸=4加.所以GO=3S，点G的坐标为（一3九0）.

3.思路点拨

1.第（2）题先用含根的式子表示线段的长，再根据MQ=OC列方程.

2.第（2）题要判断四边形CQ2M的形状，最直接的方法就是根据求得的根的值画一个准确的示意图，

先得到结论.

3.第（3）题4台。。为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似

三角形.

满分解答

131

（1）由〉=[£一5%一4=7（%+2）（4—8）,得4—2,0）,8（8,0）,C（0,-4）.

（2）直线08的解析式为y=-gx+4.

ii3

由点尸的坐标为（见0）,可得M（m,一一m-4）,QQn-m2一一机一4）.

242

1131

所以MQ=（-—m+4）-（—7力2-—m-4）=m2+m+8.

当MQ=DC=S时，四边形CQMD是平行四边形.

解方程一!用2+m+8=8,得根=4,或，〃=0（舍去）.

4

此时点P是。8的中点，N是的中点，M4,—2）,2（4,-6）.

所以MN=NQ=4.所以2C与M。互相平分.

所以四边形CQBM是平行四边形.

图2图3

(3)存在两个符合题意的点。，分别是(-2,0),(6,-4).

4.思路点拨

1.根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点。有两个.

2.当直线/与以为直径的圆相交时，符合NAMB=90。的点M有2个；当直线/与圆相切时，符合

/AMB=90。的点M只有1个.

3.灵活应用相似比解题比较简便.

满分解答

333

(1)由？=——x2——x+3=——(x+4)(龙一2)，

848

得抛物线与无轴的交点坐标为4—4,0)、8(2,0).对称轴是直线x=-1.

(2)与AACB有公共的底边AC,当△AC。的面积等于AACB的面积时，点2、。到直线AC的距离

相等.

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D'.

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点融

由8D//4C,得ND3G=NC4O.所以变=空=3.

BGAO4

所以£>G=3BG=2，点。的坐标为(1,一？).

444

因为AC〃3。，AG=BG,所以HG=DG.

77?7

mD'H=DH,所以。G=3OG=K.所以O的坐标为(1,幺).

44

图2图3

(3)过点A、2分别作无轴的垂线，这两条垂线与直线/总是有交点的，即2个点

以AB为直径的0G如果与直线I相交,那么就有2个点M；如果圆与直线I相切，就只有1个点"了.

联结GM,那么GM±I.

在RfAEGM中，GM=3,GE=5,所以EM=4.

在R/AEMiA中，AE=8,tanZM,EA=^^=-，所以拓4=6.

1AE4

所以点Mi的坐标为（一4,6）,过M、E的直线/为y=_』x+3.

•4

根据对称性，直线/还可以是y=』x+3.

4

5.思路点拨

1.由点A（1出或点8（—1,一©的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是＞=（.题目中的女都是一致

X

的.

2.由点A（1出或点8（—1,一上）的坐标还可以知道，A、8关于原点。对称，以A2为直径的圆的圆心就

是。

3.根据直径所对的圆周角是直角，当。落在。。上是，AAB。是以A3为直径的直角三角形.

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A（l,k）,所以反比例函数的解析式是y=«

X

当人=—2时，反比例函数的解析式是）；=-..

x

（2）在反比例函数丁=（中，如果y随x增大而增大，那么太＜0.

X

当上＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随X增大而增大.

抛物线y=k{x1+x+1）=%（x+g）2的对称轴是直线x=—g.

所以当左＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而

2

增大.图1

（3）抛物线的顶点。的坐标是（-L,_9幻，4、8关于原点。中心对称,

24

当。。=。4=。8时，AAB。是以AB为直径的直角三角形.

由。02=。&2,得（_?2+（_;幻2=]2+/.

解得匕=2百（如图2）,t=--73（如图3）.

33

图2图3

6.答案

(1)直线①和③是点C的直角线.

(2)当/APB=90°时，ABCPsMOA.那么些=£2,即—2—=£2.解得。P=6或OP=1.

CPOA1-PO3

如图2,当0P=6时，h：y=—x+f),Z2：y——2x+6.

2

如图3,当0尸=1时，h：y=3x+l,h：y^--x+l.

3-

图2图3

7.思路点拨

1.这个题目最大的障碍，莫过于无图了.

2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有r的式子表示这些线段的长.

3.点C的坐标始终可以表示为(3f,2/),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.

4.当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于f的方程就可以求解了.

满分解答

_I5A77

(1)因为抛物线y=——力一%?+_“光+加2-3m+2经过原点，所以根2-3根+2=0.解得叫=2,

15一

加2=1(舍去).因此丁=一1％9+/%.所以点3的坐标为(2,4).

(2)①如图4,设OP的长为3那么PE=2t,EC=2f,点C的坐标为(3f,2f).当点C落在抛物线上时,

1599

2t=——x(3O2+-x3z.解得/=。尸=一.

429

②如图1,当两条斜边尸。与QM在同一条直线上时，点尸、。重合.此时3f=10.解得f=

如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上，APON是等腰直角三角形，PQ=PE.此时

10-3?=2?.解得『=2.

如图3,当两条直角边OC与。N在同一条直线上，APOC是等腰直角三角形，PQ=PD.此时

10-3r=4r.解得/=W.

8.思路点拨

1.根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于X的不等式组，可以求得X的取值

范围.

2.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性.

3.把AABC的面积S的问题，转化为S2的问题.A3边上的高C。要根据位置关系分类讨论，分C£＞在

三角形内部和外部两种情况.

满分解答

,>~1+%>3—x,

(1)在aABC中，AC=1,AB=x,BC=3-x,所以《解得lvxv2.

1+3—x>x.

(2)①若AC为斜边，则1=,+(3—靖,即％2_3X+4=0,此方程无实根.

②若A3为斜边，则，=(3—%)2+1,解得元=9,满足1〈光＜2.