2025年中考数学复习：“圆”知识点讲解及相关题型练习

园（知识串讲+热考题型+真题训练）

.考点归纳

【考点1］圆的定义及性质

【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度

【考点3】垂径定理的实际应用

【考点4】同心圆

【考点5】圆周角与圆心角的运用

【考点6】圆内接四边形的综合运用

【考点7】点与圆的位置关系

【考点8】确定圆的条件

【考点9］根据三角形的外接圆的性质的运用

【考点10】直线与圆的位置关系的判定

【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算

【考点12］切线的性质与判定的综合运用

【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长

【考点14］三角形的内切圆与内心

【考点15】正多边形与圆求角度

【考点16］正多边形与直角坐标系综合

【考点17】弧长的计算

【考点18】计算扇形的面积

【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积

【考点20】圆锥的计算

识梳理

知识点1：圆的定义及性质

圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形

1

成的图形叫圆。这个固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径。

圆的表示方法：以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2：圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB）。“

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作“，读作圆

弧AB或弧AB„

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

知识点3：圆心角的概念

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，

所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组

c

量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

知识点4：圆周角的概念

圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=1圆心角）

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。l/x\\\

2

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

知识点5：圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在。。中，•.•四边Z5CD是内接四边形

AZC+Z^D=180°ZB+ZD=180°

NDAE=ZC

知识点6：垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RtA,用勾股，求长度;

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

3

知识点7：点与圆的位置关系

设。0的半径是r,点P到圆心。的距离为d,则有:

d<ro点P在。0内；

d=ru>点P在。0上；

d>ru>点P在。0外。

知识点8：过三点的圆

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。

知识点9：直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离=>d>r=无交点；

2、直线与圆相切nd=rn有一个交点；

3、直线与圆相交nd<r=>有两个交点；

知识点10：切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：•.,小加，。4且上加过半径。4外端

；.”乂是。。的切线

2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线

4

知识点11:切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,

这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：•••4、尸5是的两条切线

:.PA=PB；P0平分NBP4

知识点12：三角形的内切圆和内心

1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的

内心。

注意：内切圆及有关计算。

(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

(2)AABCZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径片"。

2

(3)SAABc=；r(a+b+c),其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。

(4)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC切。0于点B,AB为弦，NABC叫弦切角，NABC=ND。

知识点13：圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在。。中△Z8C是正三角形，有关计算在放A50Q中进行：OD:BD:OB=1:址＞:2；

(2)正四边形

5

同理，四边形的有关计算在以AQ4E中进行，OE-AE-OA=\A-.4i^

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在氏公。48中进行，AB:OB:OA=1:6.2.

知识点14：与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

知识点15：正多边形的对称性

1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形

的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

3、正多边形的画法

先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

知识点16：扇形的弧长和面积计算

扇形：（1）弧长公式：/="勾；（2）扇形面积公式：S=^-=-lR

1803602

n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径/：扇形弧长S：扇形面积

知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系

6

1、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

S表=5则+25底+

（2）圆柱的体积：V=7ir-h

2、圆锥侧面展开图

⑴S表=5侧+5底=+

1、

（2）圆锥的体积：V=-7ir2h

3

注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（2口「=贮«）

180

点精讲

【考点1］圆的定义及性质

【典例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）

三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等.其

中正确的命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质.

【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意；

（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；

（3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；

（4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意；

（5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意；

正确的命题有2个，

故选：B..

【变式1-1］如图，A,B,C,E四点在。。上，点4,0,B,点C,0,D,点B,D,E分

7

别共线，则图中弦的条数为（）

E

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键.根据弦的定义进行分析,

从而得到答案.

【详解】解：图中的弦有AC,AB,BE共三条，

故选：B.

【变式1-2】A、8是半径为6cm的。。上两个不同的点，则弦4B的取值范围是（）

A.0<AB<6B.0<AB<12C.0<AB<12D.6<AB<12

【答案】C

【分析】根据直径最大，一般弦，解答即可.

本题考查了圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.

【详解】解：根据圆的性质，得最大是圆的直径，为12,最小是一般弦，大于零即0<

AB<12.

故选C.

【变式1-3］如图，是。。的直径，点C,。在圆上，且。。经过AC中点号连接DC并延长，

与A8的延长线相交于点P,若/CAB=16°,贝lABPC的度数为（）

【答案】B

【分析】连接。C,根据等腰三角形的性质求出N0C4=NC4B=16。，根据三角形外角性

质得出NCOP=/.CAB+/.OCA=32。，根据等腰三角形的性质求出ND。。=^AOE=1

乙40c=74。，求出=3=53。，再求出答案即可.本题考查了三角形的外角性质,

8

三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是

解此题的关键.

【详解】解：连接0C,

.­.AOCA=乙CAB=16°,

.­./.COP=乙CAB+/.OCA.=16°+16°=32°,

••,E为AC的中点，04=0C,

11

・•・乙DOC=^AOE=^AOC=-x(180°—16°-16°)=74°,

•・•OD=OC,

/.^DCO=ZD=*180。-乙DOC)=53°,

•,ZBPC=乙DC。-(COP=53°-32°=21°,

故选：B.

【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度

【典例2】如图，4B为。。的直径，弦CD14B,垂足为E,AE=8,BE=2,则线段CD的

长为（）

A.5B.8C.4V5D.2V10

【答案】B

【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接OC,根据已知条件求出。B,OC,

从而求出。E,然后根据勾股定理求出CE,由垂径定理求出答案即可.

【详解】解：连接。C,

9

A

'：AE=8,BE=2,

：.AB=AE+BE=S+2=10,

•••ZB是。。的直径,

.-0C=OB=^AB=5,

；BE+OE=OB,

：.0E=OB—BE=5—2=3,

-CD1AB,

"CEO=90°,CD=2CE,

；.CE=VOC2-OE2=,52—32=4,

：.CD=8.

故选：B

【变式2-1］如图,圆。的半径0。垂直弦48于点C,连接4。并延长交圆。于点£,连接

BE.若=8,BE=6,

A.2B.2.5D.4

【答案】A

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设O。的半径为厂,

在Rtaaoc中，利用勾股定理求出厂，再利用三角形的中位线定理即可解决问题.

【详解】解：设。。的半径为r,

•••0D1AB,AB=8,

10

AC=BC=4,

•・•4E为直径，

・••BE1AB,

•・•。是4E的中点，

0C==3,

在RtUOC中，

OA2=OC2+AC2,

2

...r2—^2_|_4,

•••r=5,

OD—5,

：.CD=OD-OC=5-3=2.

故选：A.

【变式2-2］如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所

示，已知EF=CD=4,则圆形纸片的半径长是()

4E/--7D

BC

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点。作。H1EF于H,则EH=^EF=2,

AOHE=90°,设圆形纸片的半径长为％,则OE=K,OH=4-X,由勾股定理得22+

(4-x)2=x2,解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作。于H,贝恒”=白尸=2,AOHE=90°,

设圆形纸片的半径长为刈则。E=x,OH=4-x,

-：EH2+OH2=OE2,

.,.22+(4—x)2=%2,

解得%=2.5,

・•・圆形纸片的半径长是2.5,

11

故选：B.

4£/飞、-2

\

I、''i;

BC

【变式2-3］如图，AB是。。的直径，CD是。。的弦，ABVCD,垂足为E.若CD=8,

OD=5,贝UBE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾

股定理求出。E的长即可解决问题.

【详解】•••4B是。。的直径，且4B1CD,

DE=#D=4.

在RtZiDOE中,

0E=V52-42=3,

BE=5—3=2.

故选：B.

【变式2-4】如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）

A.2V2B.4D.4V3

【答案】D

12

【分析】作。。的半径。ci4B于0,连接04AC,如图，利用折叠的性质得AB垂直

平分。c,则ac=40,于是可判断△aoc为等边三角形，所以“oc=60。，利用含30

度的直角三角形三边的关系求出AD,然后利用垂径定理得到2。=BD,从而得到48的

长.本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平

分两圆的公共弦.也考查了折叠的性质.

【详解】解：作。。的半径。C14B于D,连接。4AC,如图,

圆折叠后，圆弧恰好经过圆心,

•••4B垂直平分。C,

AC=A0,

而。4=0C,

0A=AC=OC,

.•.△aoc为等边三角形，

■■.^AOC=60°,^OAD=30°,

1

・•・0D=^0A=2,

AD=y/OA2-OD2=«0D=2M

•・•ODLAB,

AD=BD,

AB=2AD—4V3(cm).

故选：D.

【考点3】垂径定理的实际应用

【典例3】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为8m,拱高CD

（通的中点到水面的距离）为2m.

13

(1)求福所在圆的半径；

(2)若水面下降1m,求此时水面的宽度(保留根号).

【答案】(l)5m

(2)2后m

【分析】

本题考查垂径定理，勾股定理：

(1)根据垂径定理得到。C148,AC=BC,结合勾股定理求解即可得到答案；

(2)根据(1)即可得到。G=5—1—2=2m,OF=5m,结合勾股定理求解即可得

到答案；

【详解】(1)解：如图，设而所在圆的圆心为。，连接040C,

・•・C是丽的中点，CDLAB,即。。为圆的半径，

AC=BC—=4m,

设。4=0D=rm,贝!]0C=0D-CD=(r-2)m,

在Rt△AOC中，0A2=0C2+AC2,

即=0-2)2+42,解得「=5,

故而所在圆的半径为5m；

(2)解：如图，连接。尸，设。。与EF交于点G,贝ljNOGF=90。，

在Rt^OGF中，0G=5—1-2=2(m),OF=5m,

FG=7s2—22=&Tm,

EF—2FG=2V^Tm,

故此时水面的宽度为2后m.

【变式3-1]如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为。，隧道的水平宽48为

24m,4B离地面的高度4E=10m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18m.若在拱顶

的“，N处安装照明灯，且N离地面的高度相等，都为17nl.

14

⑴求圆弧形拱顶的半径的长度;

(2)求MN的长度.

【答案】⑴13m

(2)10m

【分析】本题考查了垂径定理的应用:

(1)设CD与2B交于G,与MN交于〃,根据题意和垂径定理可得CG,AG,CH,利用

勾股定理求半径即可;

(2)利用勾股定理求得即可求解.

【详解】(1)解：设CD与4B交于G,与MN交于H.

AB

E4-地面•••CD=18m,AE=10m,AB=24m,HD=17m,

~r~r

•••CG=CD—DG=18—10=8(m),AG==：x24=12(m),

CH=CD-DH=18-17=l(m),

设圆拱的半径为r,

在RS40G中，OA2=OG2+AG2,

.../_8)2+122,

解得r=13,

•••圆弧形拱顶的半径的长度为13m；

(2)解：OC=13m,

OH=13-1=12(m),

在中，OM2=OH2+MH2,

222

A13=12+MH,

解得MH?=25,

•••MH=5(m),

15

..MN=10(m).

【变式3-2】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，其圆心为点O,如图所示，正常水位下水面宽

AB=60m,水面到拱顶距离为18m,此桥的安全系数是拱顶距离水面不得小于3.5

m.当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由.

D

M二

I、

C

A

'-•O

【答案】不需采取紧急措施，理由见解析

【分析】本考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用，把半弦长，半圆心角，圆

心到弦距离转换到同一直角三角形中，先利用Rtaaoc求出半径，再利用勾股定理求

出MN的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可作出正确判断.

【详解】解：如图，连接。M,

D

/\：

C

A

O

设04=r,

在RtzXZOC中，AC=^AB=30m,CD=18m,

得产=302+(r-18)2,

解得r=34m,

1

设=在Rt^MOE中，ME=16m,

342=162+(34—％下,

解得：%i=4,功=64（不合题设，舍去）,

.・.DE=4m,

v4>3.8,

・•・此时不需采取紧急措施.

【考点4】同心圆

【典例4】如图，以。为圆心的同心圆中，大圆的弦48交小圆于C、。两点，求证:

16

(1)ZXOC=乙BOD；

(2)AC=BD.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两

条弧是解答此题的关键.

(1)过。作。由等腰三角形的性质可知N20E=NB0E,/.COE=Z.DOE,由止匕

可得出结论;

(2)根据垂径定理得到力E=BE,CE=DE,从而得到力C=BD.

【详解】(1)证明：过。作。E14B,

•••△。力B与△OCD均为等腰三角形,

Z.AOE=Z.BOE,Z.COE=Z.DOE,

：.乙4。£-乙COE=乙BOE-乙DOE,即乙4。。=/.BOD-

(2)证明：---OEIAB,

AE=BE,CE=DE,

：.BE-DE=AE-CE,即4C=BD.

【变式4-1](1)一个矩形的长比宽大2cm,面积是168cm2.求该矩形的长和宽.

(2)如图，两个圆都以点。为圆心.求证：AC=BD.

17

【答案】（1）矩形的长为14cm,宽为12cm；（2）见解析

【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径

定理："垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧

（1）设宽为％,则长为x+2,再根据矩形的面积列方程即可求解；

（2）过点。作。E148,垂足为点E,根据垂径定理即可求解.

【详解】（1）解：设宽为％,则长为x+2,

根据题意得：x（x+2）=168,

解得：x=12或x=—14（舍去），

•••%=12,

1+2=12+2=14,

二矩形的长为14cm,宽为12cm；

（2）证明：如图所示，。作。E14B,垂足为点E,

由垂径定理可得：AE=BE,CE=DE,

：.AE-CE=BE-DE,

即AC=BD.

【考点5】圆周角与圆心角的运用

【典例5】如图所示，是。。的直径，弦BC交2D于点E,连接ZB,AC,若

△BAD=30°,贝UzACB的度数是（）

18

B

A.50°B.40°C.70°D.60°

【答案】D

【分析】本题考查圆周角定理，根据〃直径所对的圆周角是直角〃可得乙480=90。，进

而求出NAD8,再根据圆周角定理即可得出答案.

【详解】解：如图，连接

•••4。是。。的直径,

^.ABD=90°,

•••乙BAD=30°,

・・・44。8=90。-30。=60。，

•••乙ACB=乙ADB=60°,

故选：D.

【变式5-1】如图，4、B、。三点都在。。上，若乙4。8=80。，贝IJ乙4cB等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.直接根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：根据圆周角定理可得：^ACB=^AOB=Ix80°=40°.

19

故选：B.

【变式5-2］如图，△ABC的顶点4,5在。。上，点。在。。内（O,C在AB同侧），乙4。8=66°,

贝IJ/C的度数可能是（）

A.33°B.43°C.24°D.23°

【答案】B

【分析】本题主要考查圆周角定理和三角形外角的性质，延长BC交。。于点。，连接

1

4D,根据圆周角定理求得乙结合N2CB是△2CD的一个外角，贝|

乙4cB>乙ADB,即可求得乙4c8可能的度数.

【详解】解：延长BC交。。于点。，连接4D,如图，

■-Z.AOB=66°,

：.^ADB==33°,

••/ACB是△AC。的一个夕卜角，

：.^ACB>/-ADB,

：.^ACB>33°,

.•ZACB的度数可能是43。，

故选：B.

【变式5-3】如图，点4B,C在。。上，连接48,AC,OB,0C.若N80C=100。，则NBAC

的度数是（）

20

A

A.40°B.45°D.55°

【答案】C

【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到乙84。二18。。.由圆周角定

1

理得至（UBAC=jzBOC,而48。。=100°,即可求出Z_B4c=50°.

1

【详解】解：•••^.BAC=-Z.BOC,A.BOC=100°,

•••Z.BAC=50°.

故选：C

【变式5-4］如图，4B是。。的直径，点C在。。上，且。C148,过点C的弦CD于线段OB

相交于点£,连接4。.若乙4EC=65。，贝此84。的度数为（）

A.15°B.18°C.20°D.25°

【答案】C

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角是解题的关

键.连接0D,根据题中的角度关系证明NODC=NOCE=25。，求出NBOD=40。，根

据圆周角定理即可得到答案.

【详解】解：连接0。，

0C1AB,

/./-COE=90°,

•・•/.AEC=65°,

zOCE=90o-65°=25°,

21

•••OC=OD,

・・・4。。。=4。。£=25。，

・•・(DOC=180°—25°-25°=130°,

・••乙BOD=乙DOC-乙COE=40°,

1

・•・乙BAD=^BOD=20°.

A

B

故选：c.

【考点6】圆内接四边形的综合运用

【典例6】如图，四边形/BCD内接于。。，若44。。=140。，则〃8C=()

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】A

【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理,熟记圆内接四边形的对角互

补是解题的关键.根据圆内接四边形的对角互补计算即可.

【详解】解：••・乙4。。=140。，

vZ4DC=^AOC=70°,

•••四边形4BCD内接于。。，

^ADC+乙ABC=180°,

•••^ABC=180°-70°=110°,

故选：A

【变式6-1］如图，点C是。。的劣弧AB上一点，AAOB=96,M贝此力CB的度数为()

22

c

B

A.192°B.120°C.132°D.150°

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的

关键.

在优弧4B上取一点。，连接AD,BD,根据圆周角定理求出乙。=48。，再根据圆内接

四边形性质即得NC=132。.

【详解】在优弧4B上取一点。，连接AD,BD,

■.■^AOB=96°,

;2D=-^AOB=48°,

.-.zC=180°-ZD=132°.

故选：C.

c

D

【变式6-2］如图，A,B,C,。在。。上,^OAB=25。，贝此4cB的度数是（）

c

工c

A.115°B.112.5°C.122.5°D.135°

【答案】A

【分析】由。4=OB得40AB=AOBA:=25。，根据三角形内角和定理计算出乙4OB=

23

130°,则根据圆周角定理得N。=：乙4。8,然后根据圆内接四边形的性质求解.本题考

查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

【详解】解：连接DB.

OA=OB,

・•・乙OAB=^OBA=25°,

•••乙AOB=180°-2x25°=130°,

1

•••乙D=-A.AOB=65°,

・••乙ACB=180°一乙D=115°.

故选：A.

【变式6-3］如图，四边形ABC。内接于。。，它的一个外角4CBE=70。，贝此ZDC的度数

为（）

BE

A.55°B.70°C.110°D.140°

【答案】B

【分析】利用圆内接四边形的性质即可.证明乙MC="BE即可得到答案.本题主要

考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可.

【详解】解：依题意，乙4DC+乙48。=180。，

•••乙ABC+乙CBE=180°,

・•・/.ADC=乙CBE=70°.

24

故选：B.

【变式6-4］如图，四边形ABC。内接于。。，M为边CB延长线上一点.若乙4。。=98。，则

乙48M的度数是（）

A.42°B.49°C.51°D.59°

【答案】B

【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.由圆周角定理求出AD=!

AAOC=49°,由圆内接四边形的性质推出乙4BC+ND=180。，由邻补角的性质得到

^ABC+/-ABM=180°,由补角的性质推出乙48M=4=49°.

【详解】解：vzD=^AOC,Z.AOC=98°,

ZD=49°,

・・•四边形内接于。。，

2LABC+ZD=180°,

•••^ABC+^ABM=180°,

Z.ABM=ZD=49°.

故选：B.

【考点7】点与圆的位置关系

【典例7】。。的半径为5cm，点2到圆心。的距离。4=6cm,则点4与O。的位置关

系为（）

A.点4在圆上B.点2在圆内C.点4在圆外D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若d<r,则点在圆内；若4=「，则点

在圆上；若d>r,则点在圆外是解答此题的关键.直接根据点与圆的位置关系即可得

出结论.

25

【详解】解：=0A=6cm,r=5cm,

：.d>r,

.••点A在圆外，

故选：C.

【变式7-1］如图，在RtaABC中，ZXCB=90°,AC=6,BC=8,CP,CM分别是48上

的高线和中线.如果。力是以点力为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是

)

A.点P,M均在内

C.点P在内，点M在外D.以上选项都不正确

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之

间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键.先利用勾股定理求得的长,

再根据面积公式求出CP的长,根据勾股定理求出4P的长,根据中线的定义求出的长，

然后由点P、M到4点的距离判断点P、M与圆2的位置关系即可.

【详解】解：在RtZi48C中，^ACB=90°,AC=6,BC=8,

■■AB=V"2+BC2=10,

■■CP,CM分别是AB上的高和中线，

•••^AB-CP=|>1C-BC,AM=^AB=5,

即10CP=：x6x8,

•••CP=4.8,

AP=7AC2—CP2-3.6,

■：AP=3.6<4,AM=5>4,

•••点P在内、点M在。a外，

故选：c.

【变式7-2］己知O。的半径是4,点P到圆心。的距离d为方程/一4%+4=0的一个根，则

26

点P在()

A.。。的外部B.。。的内部C.。。上D.无法判断

【答案】B

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离力

圆的半径为，则当d>?""时，点在圆外；当d=?■时，点在圆上；当d<r时，点在圆内,

据此解方程求出d=2即可得到答案.

【详解】解：解方程/—4x+4=0得工1=x2-2,

••.d=2<4,

•••点P在。。的内部，

故选：B.

【考点8】确定圆的条件

【典例8】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点4B,C,其中B点坐标为(4,4),则

该圆弧所在圆的圆心坐标为()

A.(2,0)B.(2,1)C.(2,2)D.(3,1)

【答案】A

【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论:

弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦4B和BC的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问

题的关键.

【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示，则圆心是(2,0).

27

故选：A.

【变式8-1】如图，点4B,C均在直线/上，点P在直线/外，则经过其中任意三个点,

最多可画出圆的个数为（）

P.

ABC

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即

可.

【详解】解：•••不共线的三点可以确定一个圆，

.•・取点尸，再取/、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，

最多可以确定3个圆（过尸、/、B三点、,过P、/、C三点、,过P、B、C三点），

故选B.

【变式8-2】下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆B.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的

交点

C.相等的圆心角所对的弧相等D.平分弦的直径垂直于弦

【答案】B

【分析】根据圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，分别进行判断,

即可得到答案.

【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，故A错误；

三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故B正确；

28

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误；

平分弦的直径垂直于弦（不是直径的弦），故D错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，解题的关

键是熟记定义进行判断.

【变式8-2］平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）

A.0或3或4B.0或1或3C.0或1或3或4D.0或1或4

【答案】C

【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可

得到答案.

【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，

当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定

四个圆.

图1图2图3图4

故选：C.

【点睛】此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关

键.

【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用

【典例9】如图，ZUBC的外接圆半径为8,Z^C5=60°,则N8的长为（）

29

c

A.8V3B.4V3C.6D.4

【答案】A

【分析】连接04,OB,过。作于"，根据圆周角定理得到

乙405=2乙405=120。，根据等腰三角形的性质得到乙408=450小60。，根据直角三角形

的性质得到4〃的长，于是得到答案.

【详解】解：连接CM,OB,过。作OHL4B于H,

山CB=60°,

­.2LAOB=2/-ACB=120°,

•：OB=OA=8,

；.UOH=^BOH=60°,

・・・乙。/乐30°,

••.07/二g。/=4,

••.AH=、0A2一。"2=V82-42=4V3,

'-AB=2AH=8y/3,

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理,

正确的作出辅助线是解题的关键.

【变式9-1】若等边三角形的边长为2cm,则其外接圆的半径等于（）；

30

A.-y-cmB.^-cmC.亨cmD.V3cm

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的概念进行画图分析计算.

【详解】经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆

心是三角形三条边的垂直平分线的交点，设圆的半径为x