2025年中考数学二轮复习：瓜豆原理（含解析）

第5节瓜豆原理

前言：“瓜豆原理”是近来中考最值中的热点话题之一，“瓜豆”是寓意，由一个动点轨迹探究另一动点轨迹，正

所谓：种瓜得瓜，种豆得豆.用数学语言解释即旋转、放缩，本节介绍模型及解题思路.

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1轨迹圆

探究1：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点当点P在圆。上运动时，探究Q点

轨迹.

分析：线段AQ可以理解为由AP放缩得来，

则P点轨迹放缩即可得Q点轨迹，

连接AO,取AO中点M,

则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ=10P.

任意时刻.均有△AMQ-AAOP,

MQ_AQ_1

OP~AP~2

探究2：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP，作AQXAP且AQ=AP.当点P在圆0上运动时,

探究Q点轨迹.

分析AQ可以理解为由AP绕点A逆时针旋转90。得来，则P点轨迹绕点A逆时针旋转90。即可得Q点轨迹,

•••点Q轨迹也是圆.

点Q轨迹圆圆心M满足AM=AO且AM_LAO,在任意时刻均有^APO^AAQM.

探究3如图,△APQ是直角三角形,/PAQ=90。且AP=2AQ,当P在圆O运动时，探究Q点轨迹.

分析：由APLAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMLAO油荒=|,Q点轨迹圆圆心M满足筹=|,

即可确定圆M位置,

任意时刻均有△APOS^AQM,且相似比为2:1.

由P点轨迹推Q点轨迹.

通常称点P为“主动点”，点Q为“从动点”.

瓜豆问题的必要条件：两个定量

⑴主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/PAQ是定值）；

（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）.

(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM;

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：喘=黑=区.

AQAMTjvf

探究动点的旋转与放缩，即动点轨迹的旋转与放缩.

引例1：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边△APQ.当点P在圆。上运

动时，探究Q点轨迹.

解析：如图，；AP=AQ,且NPAQ=60。，可得点Q轨迹圆圆心M满足AM=AO,且NOAM=60。.

弓I例2：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.当点P在圆。

上运动时，探究Q点轨迹.

解析：△APQ是等腰直角三角形，即有黑=彳且NPAQ=45。.由此得点Q轨迹圆心M满足券=圣且NMA

0=45。.

2轨迹直线

探究4:如图，P是线段BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，探究Q点轨迹.

分析：当P点轨迹是线段时，Q点轨迹也是一条线段.

分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,

在运动过程中，AP=2AQ,ON=^AM,

••.Q点到BC的距离是定值，，Q点轨迹是一条线段，即下图中的线段EF.

探究5:如图，AAPQ是等腰直角三角形，NPAQ=90。且AP=AQ,当点P在线段BC上运动时，探究Q点轨

迹.

分析：当AP与AQ夹角固定且AP：AQ为定值的话，所以Q点轨迹也是线段.分别确定P在起点和终点

时，点Q的位置，即可得Q点轨迹.

模型总结

必要条件：两个定量

⑴主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

⑵主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）.

(1)P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于/PAQ.

(当/PAQW90。时，/PAQ等于MN与BC夹角)

(2)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ

(由△ABC-AAMN,可得券=等)

所谓“种圆得圆”、“种线得线”，谓之“瓜豆原理”.

弓I例3:如图，在等边△ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为

边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________.

解析：根据△DPF是等边三角形，，可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8,

•••F点运动的路径长是8.

3其它图形

所谓“瓜豆原理”，就是主动与从动点的轨迹的旋转放缩，只需主、从动点满足①夹角定角；②比例定值，当

主动点轨迹是任意图形时，从动点轨迹必然也是与其相似的图形.

引例4：如图，在反比例函数y=-|的图像上有一个动点A,连接AO并延长交图像的另一支于点B,在第

一象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数y=：的图像上运动，若tanZCAB=2,k=()

解析：NAOC=90。且AO:OC=1:2,显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别

为M、N,连接0C,贝！］△AMOSAONC,；.CN=20M,ON=2AM,ONCN=4AMOM，,k=4x2=8,故选D.

引例5:如图，A(-l,1),B(-l,4),C(-5,4),点P是△ABC边上一动点连接OP,以OP为斜边在OP的右上

方作等腰直角△OPQ,当点P在仆ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为.

解析：根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据翡=号可得P点轨迹

图形与Q点轨迹图形相似比为企：1,；•面积比为2:1,AABC面积为ix3x4=6,

•••Q点轨迹形成的封闭图形面积为3.

真题演练

1.如图在等腰RtAABC中，AC=BC=2/,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点

A运动至点B时，点M运动的路径长为.

2.如图，正方形ABCD中，AB=2V5,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE，将线段

DE绕点D逆时针旋转90。得DF,连接AE、CF.线段OF长的最小值是.

3.如图，点A、B的坐标分别为A(2,0)、B(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,点M为线段AC的中点，连

接OM，则OM的最大值为()

/1,V2+1B.V2+1

C.2V2+1。.2夜旺

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。O与x轴的正半轴交于点A,点B是。O上一动点，点C为

弦AB的中点，直线y=|x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,则4CDE面积的最小值为.

5.AABC中，AB=4,AC=2,以BC为也在^ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点0,则线段A0的最

大值为.

'D

6.如图所示，AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角△BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则P

B的取值范围为.

7.如图，在平面内，线段AB=6,P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB

垂直相较于点P,且满足PC=PA,若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为.

8.如图，已知点A是第一象限内横坐标为b2的一个定点，AC_Lx轴于点M,交直线y=-x于点N,若点P

是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA±PA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当

点P从点0运动到点N时，点B运动的路径长是_______.

9.如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边

在AB的下方作等边△ABP,点B在y轴上运动时，OP的最小值是.

10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-1+2上的一个动点，将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90°,得

到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为()

「5V2

B.V5

A"3

11.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边

向右侧作等边△EFG,连接CG，则CG的最小值为

AD

G

C

第5讲瓜豆原理

71.

解析：考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点0,连接C0取CO中点D,以D为圆

心,DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点则弧EF即为M点轨迹.；.M点路径长为署・2・兀•1=加

360

5V2-2.

解析：E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2,故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.考虑DE

±DF且DE=DF,故作DMLDO且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆.直接连接OM,与圆M交

22

点即为F点，此时OF最小.。"=（2V5-V5）+（2V5+V5）=5V2,OF的最小值为5V2-2.

解析：连接AB,取AB中点N,M点轨迹是以点N为圆心，称为半径的圆，如图当点。、N、M共线时，OM最

大，最大值为V2+|,故选B.

解析：由题意可知点E坐标为(0,-3),点D坐标为(4,0),取OA中点M(l,0),则点C轨迹是以点M为圆心，1为半

径的圆，连接MC并延长交DE于点H,当CH_LDE时QH最小此时三角形面积最小QH的最小值为MH-MC

=|-1=|,三角形CDE面积的最小值为|x5x1=2,BPACDE面积的最小值为2.

3V2.

解析：固定AB,将AC看成动线段，求得线段A0的最大值.根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为

半径的圆.观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以0点轨迹也

是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形,直角顶点M即为点0轨迹圆圆心.连接AM并延长与圆M交点即为所

求的点。，此时A0最大，最大值为2V2+V2=3V2.

4-2V2<PB<4+2V2.

固定AB不变，AC=2，则C点轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，则D点

轨迹是以点M为圆心、或为半径的圆考虑到AP=2AD,故P点轨迹是以N为圆心，2加为半径的圆，可得PB

的取值氾围是4—2V2<PB<4+2>/2.

解析：连接CA,则CA=&P4可得点C轨迹长为&34=6隹；.点£运动的路径长为（6&.

2V2.

根据/PAB=90。，/APB=30。可得:AP:AB=旧:1,故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之

比也为百：1,P点轨迹长ON为2&,故B点轨迹长为2企。P=|.

解析：求OP最小值需先作出P点轨