2025年中考数学二轮复习：尺规作图

第8讲尺规作图

前言：近来越来越多省市中考题中出现尺规作图的影子，尺规作图名义上是作图题，实则蕴藏着推理与计算，

了解每一步作图背后的原理，会发现这是个很有趣的话题.

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尺规作图

(1)定义：用无刻度的直尺和圆规作图.

即两个基本操作：

①过确定两点画直线；

②以确定点为圆心，确定的两点间距离为半径画圆.

(2)5种基本作图

①作一条线段等于已知线段.

作法：作射线AP,以点A为圆心，a为半径作圆，与射线AP交于点B,则AB=a.

②作一个角等于已知角.

作法：作PC=OB,CD=BA,又：PD=PC=0B=0A,；.4PDC0/XOAB,・•・ZDPC=ZAOB.

③作已知线段的垂直平分线.

作法：分别以A、B为圆心，线段为半径作圆，交点是C、D,连接CD.

则直线CD即为线段AB的垂直平分线.

④作已知角的角平分线.

春

0

作法：以点。为圆心作圆与角两边分别交于A、B，分别以A、B为圆心，为半径作圆相交于点C、

D,连接OC（或OD）,即为/AOB的角平分线.

⑤过一点作已知直线的垂线.

作法：以点P为圆心作圆与AB交于C、D,分别以C、D为圆心，CD）为半径作圆交于E、F,连接E

F,EF即为AB的垂线.

引例1：如图，点M和点N在/AOB内部.

（1）请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等，且到/AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写

作法）；

（2）点P到M、N距离相等，即点P在线段MN的垂直平分线上，点P至U/AOB的两边距离相等.即点P

在NAOB的角平分线上，.•.分别作MN的垂直平分线和NAOB的角平分线，交点即为所求P点.

⑶推理与计算

尺规作图的背后，每一步都蕴含着推理与计算，看似是作图题，实则是几何问题.确定要作的点或线满足的特

殊几何关系，是解题的关键.

弓I例2:如图，NBPD=120。，点A、C分别在射线PB、PD上，ZPAC=30°,AC=2V3

⑴用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切.要求：写出作法，并保留作图

痕迹;

⑵求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积.

A

B

C

解析：⑴如图，・・・/BPD=120。，ZPAC=30°,.,.ZPCA=30°,即APAC是等腰三角形.

分别以A、C为圆心，AC的长为半径作圆,两圆交点记为O,连接OA、OC,则OA=OC,以点O为圆心,

OA为半径作AC,止匕时与射线PB、PD均相切.

SCMPC=2x5x2x2有=4有,S扇形以。=•乃,(2后)=24，

...该劣弧与PA、PC围成的封闭图形的面积为4V3-2n.

2单尺作图

(1)单尺作图：仅用无刻度的直尺作图.

⑵作图思路：单尺只能作直线，重点分析已知条件，从已有的点、线关系分析出要求的点、线位置.与尺规作

图相比，单尺作图能做的事情更少，所以需要的条件更多.

引例3:在△ABC中，AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留

画图痕迹).

(1)在图1中作弦EF使EF〃BC;

(2)在图2中以BC为边作一个45。的圆周角.

解析：⑴如图，分别延长BA、CA,与半圆分别交于点F、E,连接EF,则EF〃BC.

⑵分别连接BE、CF并延长交于一点，连接该点与A,与半圆相交，连接B点与交点，则有45。角.

3格点作图

(1)格点作图：即在正方形方格纸中按要求完成作图.

(2)作图思路：充分发挥正方形方格纸的作用，可以作平行线、垂线、相等线段等.

引例4:如图，在7x6的方格中，△ABC的顶点均在格点上.试按要求画出线段EF(E、F均为格点)，各画出一条

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图1：E尸平分图2：EFLAC

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图3：EF垂直平分

解析：如图所示.

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图1：E尸平分BC图2：EF1AC

图3：EF垂直平分4B

真题演练

1.如图，在菱形ABCD中.ZA=30°,取大于|AB的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过

此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE、BD.则NEBD的度数为.

2.如图.在等腰小ABC中，AB=AC=2近,BC=8，按下列步骤作图：

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于|EF

的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；

②分别以点A,B为圆心，大于|AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线MN,交射线AH于点0;

③以点0为圆心，线段0A长为半径作圆.

3.如图，在小ABC中，按以下步骤作图:①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E.

②分别以点D、E为圆心，大于|DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F.

③作射线BF交AC于点G.

如果AB=8,BC=12,△ABG的面积为18,贝必CBG的面积为.

求作：。0，使它经过点B和点C,并且圆心0在NA的平分线上.

C

5.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：Na,直线1及1上两点A、B.

求作RSABC,使点C在直线1的上方，HZABC=90°,ZBAC=Za.

AB

6.已知：如图,NABC,射线BC上一点D.求作：等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在NABC

内部，目点P到/ABC两边的距离相等.

7.如图，已知△ABC,A&AB，/C=45。请用尺规作图法，在AC边上求作一点P,使/PBC=45。.（保留作图痕

迹，不写作法，答案不唯一）

8.如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM.请用尺规作图法，在AM上作一点P,使

ADPA-△ABM.（不写作法，保留作图痕迹）

9.在RtAABC中，ZC=90°.

⑴如图1,点。在斜边AB上，以点。为圆心，0B长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相

切于点F.求证：Z1=Z2;

（2）在图2中作0M，使它满足以下条件：

①圆心在边AB上；②经过点B;③与边AC相切.（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

10.（1）如图1,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连接CF.

求证：ZAFE=ZCFD.

⑵如图2,在RtAGMN中,/M=9（T,P为MN的中点.

①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得/GQM=/PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果NG=60。，那么Q是GN的中点吗?为什么?

1L如图，已知△ABC是锐角三角形(AC<AB).

⑴请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线1,使1上的各点到B、C两点的距离相等；设直线1与A

B、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切;(不写作法，保留作图痕

迹)

(2)在(1)的条件下，若=|,BC=2,则。O的半径为.

12.如图，点。在/ABC的边BC上，以0B为半径作。O,/ABC的平分线BM交。。于点D,过点D作DE

-LBA于点E.

⑴尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形；

(2)判断。。与DE交点的个数，并说明理由.

13.如图.在四边形ABCD中，AB〃CD,AB=2CD,E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画

图(保留画图痕迹).

(1)在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；

(2)在图2中，若BA=BD,画出△ABD的AD边上的高.

图1,图2

14.在6义6的方格纸中.点A、B、C都在格点上，按要求画图：

(1)在图1中找一个格点D,使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.

(2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分(保留画图痕迹，不写画法).

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图2

15.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

(1)如图1,A为。O上一点，请用直尺(不带刻度)和圆规作出。O的内接正方形；

(2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于

一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.

请运用上述性质，只用直尺(不带刻度)作图.

①如图2,在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.

②如图3,在由小正方形组成的4x3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.

图3

第8讲尺规作图

1.45°.

解析：由题意彳导：EA=EB,AZABE=ZBAE=30°,XZABD=ZADB=75°,AZEBD=45°.

2.D.

解析：勾股定理设未知数列方程可得r=5,故选D.

3.27.

解析：由题意得BG平分/ABC,.•.衿=等=5又SABG=18,.-.SCBG=27.

4.解析：如图.

AB

5.解析：如图，先构造相等角，再过点B作AB的垂线.

6.解析：如图.

7.解析：如图.

8.解析：如图，作AN=BM,则△DAN0△ABM,；.Z^DPAS^ABM.

9.解析：(1)连接OF,则OFLAC,XBCXAC,

.,.OF//BC,.*.ZOFB=Z1,

VOF=OB.Z0FB=Z2,：.Z1=Z2.

(2)如图所示.(先作/ABC角平分线，再确定圆心M)

10.解析：（1）VEK垂直平分BC,.,.FB=FC,.*.ZCFD=ZBFD,又：NAFE=/BFD,，/AFE=/CFD.

⑵①如图

②Q是GN的中点.

连接M'N,若/G=60。，则NGNM=30。，ZMNM'=60°,

AMM,N是等边三角形，：点P是MN的中点，

;.M'P±MN,/.QM=QN,ZQMN=ZQNM=30°,

/.ZQMG=60°,；.QM=QG,；.QG=QN,

即点Q是GN中点.

11.解析：⑴如图，分别作BC的垂直平分线和/ABC的角平分线,交点即为圆心O.