2025年中考数学分类复习：相似三角形（解析版）

4<n和旭三角形

■

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

考点1相似三

2024•广州卷：正方形的性质、相似三角形的判定相似三角形这一部分在中考

角形的判定

命题中单独以相似三角形的

考点2相似三

2023•广东卷：正方形的性质、相似三角形的性质判定及性质出题较少，多以压

角形的性质

轴题型考察，综合型较强，难

2020•广州卷：矩形的性质和相似三角形的判定与性质

度系数偏高，常会与三角形、

2022•深圳卷：等腰直角三角形的性质、全等三角形的

特殊四边形、常见几何变换、

判定与性质、相似三角形的判定与性质

解直角三角形、甚至是圆或是

2021•广州卷：正方形的综合问题、相似三角形的判定

考点3相似三函数相结合，故考生复习时，

与性质、等腰三角形的性质

角形综合运用需注重相似在解题时的综合

2020•广州卷：正方形的性质、旋转的性质、相似三角

应用，善于利用题目已知条

形的判定及性质

件，寻找或构造相似三角形来

2021•广东卷：三角形全等的判定及性质、三角形相似

解决问题。

的判定及性质、正方形的性质

■——

5年真题•分点精准练

考点1相似三角形的判定

1.(2024•广东广州•中考真题)如图，点E,尸分别在正方形ABC。的边2C,CD上，BE=3,EC=6,CF=2.求

证：AABESAECF.

【答案】见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键.根据正

方形的性质，得出ZB=NC=90。，AB=CB=9,进而得出〒=­,根据两边成比例且夹角相等的两个三角

ECCF

形相似即可证明.

【详解】解：・.・5E=3,EC=6,

:.BC=9,

・・・四边形A5CO是正方形，

.-.AB=CB=9,ZB=ZC=90°,

AB93BE_3

•EC-6-2，CF-2?

ABBE

'~EC~^F

又・.・NB=NC=90。，

:ABEs@CF.

考点2相似三角形的性质

2.（2023・广东•中考真题）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图）,

则图中阴影部分的面积为.

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：如图，

0C7f=10=AD,

0ZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

0AADJ^A/7C7（AAS）,

团CJ=DJ=5,

团EJ—1,

^GI//CJ,

出小HGIs△HCJ,

GIGH2

团——---——，

CJCH5

团G7=2,

077=4,

回S梯形的=*即+尸/）.跖=15；

故答案为15.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

考点3相似三角形综合运用

3.（2020,广东广州•中考真题）如图，矩形ABC。的对角线AC,BD交于点0,AB=6,BC=8,过点。作

OE1AC,交于点E,过点E作EFLBD,垂足为尸，则OE+EF的值为（）

【答案】C

【分析】根据勾股定理求出AC=BO=10，由矩形的性质得出AO=5,证明AAOE〜AADC得到。E的长，再证

明ADEF〜ADBA可得到所的长，从而可得到结论.

【详解】团四边形ABCZ）是矩形，

:.AC=BD,ZABC=ZBCD=ZADC=ABAD=90°

AB=6,BC=S

..AD=BC=8,DC=AB=6

AC^y/AB2+BC2=10>BD=10,

:.OA=-AC=5,

2

•••OE±AC,

:.ZAOE=90°

ZAOE=ZADC,

又NG4D=NfiAC,

.'.^AOE—△ADC,

.AOAEEO

*AD-AC-c5?

.5AEEO

,,8-Io---6"，

k25八厂15

AE=—,OE——

44f

:.DE=~,

4

同理可证，&DEF〜ADBA,

DE_EF

••B一_,，

7BA

4一

空,

10~6~

:.EF=—

20

152124

:.OE+EF=------1------

420y

故选：c.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键.

4.（2022•广东深圳•中考真题）已知VABC是直角三角形，ZB=90。,A3=3,5C=5,AE=26，连接CE以CE

为底作直角三角形CD石且=DE,F是AE边上的一点，连接5。和BF,9且/FBD=45。,则AF长

【答案】沔

【分析】将线段8。绕点。顺时针旋转90。，得到线段印），连接HE,利用SAS证明AEDH=ACDB,

得EH=CB=5,ZABF=ZBHE,则AABFSAEHF,即可解决问题.

【详解】解：将线段5。绕点。顺时针旋转90。，得到线段HD,连接9,HE,

.•.ABZ汨是等腰直角三角形,

酿〃3。=45°

ffiFBZ)=45°

团点3、F、”共线

又,.,AEDC是等腰直角三角形，

:.HD=BD,ZEDH=ZCDBfED=CD,

.•.AEDH=ACDB(SAS),

.-.EH=CB=5,ZEHD=ZDBC,

•,-ZABF=900-ZFBD-ZDBC=450-ZDBC

ZBHE=450-ZEHD

:.ZABF=ZBHE

:.AB//HE

\ZAFB=ZHFE,

:.AABF^AEHF,

.ABAFAF

AE-AF"

•/AE=2A/5,

3_AF

''5~2A/5-AF，

"3,

4

故答案为：1A/5.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等

知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形.

5.(2021•广东广州•中考真题)如图，正方形A8CD的边长为4,点E是边8c上一点，且BE=3,以点A

为圆心，3为半径的圆分别交AB、于点RG,DF与AE交于点H.并与04交于点K,连结HG、CH.给

7

出下列四个结论.(1)反是FK的中点；(2)AHGD%HEC；(3)/.：SADHC=916；(4)DK=~,

其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

【答案】（1）（3）（4）.

【分析】由正方形的性质可证明Zk/MF之&BE,则可推出/M个=90。，利用垂径定理即可证明结论（1）

12

正确；过点H作MN〃AB交BC于N,交AD于由三角形面积计算公式求出A8=不，再利用矩形的判

AQCO

定与性质证得MG=NE,并根据相似三角形的判定与性质分别求出MH=五，NH=—,则最后利用锐角

三角函数证明NMGHW/HEN,即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得

AM=!|,即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论。K=。尸-2FH并由勾股定理求出小，再求得

DK,即可证明结论（4）正确.

【详解】解：（1）团四边形ABC。是正方形，

EIAD=AB=4,/ZMF=NABE=90°.

又回AF=5£=3,

^ADAF^AABE.

⑦ZAFD=ZBEA.

国NBEA+NBAE=90。,

国/AFD+/BAE=90。,

团NAHF=90。，

国AHLFK,

国FH=KH,

即〃是尸K的中点；故结论（1）正确；

（2）过点、H作MN//AB交BC于N,交AO于

由（1）得AH_LFK,则,4。-4尸=,。尸-A//.

22

^DF=y/AF2+AD2=5>

SAH=­.

5

回四边形ABC。是正方形，MNIIAB,

0ZZMB=ZABC=ZAW=9O°.

回四边形是矩形.

^\MN=AB=4,AM=BN.

团AG—BE,

^\AG-AM=BE-BN.

即MG=NE.

^ADUBC,

^\ZMAH=ZAEB.

国ZABE=ZAMN=90。,

国AMAH〜ABEA.

AHMH

团--------.

AEAB

12

即5二竺史.

1_一丁

解得知”=毛48.

52

则NH=4-MH=云.

八-MH/一…NH

回tanNMGH=-----,tan/HEN=.

MGNE

出MG=NE,MH手NH,

MGNE

团----w----.

MHNH

BZMGH^ZHEN.

由NDGHw/CEH.

EIAHGD与△HEC不全等，故结论(2)错误；

(3)0AM4H~ABEA,

AHAM

团---=----.

AEBE

12

即二二AM.

~r~~r

解得AM=||.

由⑵得S^DHC=^DC\AD-AM).

48

SAHrMHAG石'J9

0===;

SX^.(AD-AM)4X^4_36^16故结论⑶正确;

(4)由(1)得，H是相的中点，

中DK=DF—2FH.

由勾股定理得FH=^AF2-AH2=j32-(y)2=|.

97

0D^=5-2x-=-;故结论（4）正确.

故答案为：（1）（3）（4）.

【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质

是解题的关键.

6.（2020•广东广州,中考真题）如图，正方形ABC。中，44BC绕点A逆时针旋转到,AB',AC分别

交对角线于点E，尸，若AE=4,则£F•田的值为.

【答案】16

【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明AA£F〜从湖，利用相似的性质即可得出答案.

【详解】解：在正方形ABCD中，ZBAC=ZADB=45°,

皿绕点A逆时针旋转到AAB'C,

团NB'AC'二NBAC=45。,

团NEAF=NADE=45。，

团NAEF=NAED,

团AAEF〜LDEA,

AEEF

团-------，

DEAE

团EF・ED=A£2=42=16.

故答案为：16.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的

性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键.

7.（2021•广东•中考真题）如图，边长为1的正方形ABC。中，点E为AO的中点.连接班，将沿班

折叠得到△ES及所交AC于点G,求CG的长.

【答案】CG=2

【分析】根据题意，延长8尸交CD于4连通过证明及AEDH四放ADHESAAEB得至9

CH=^,再由AHGCSABG4得到CG=：（AC-CG）,进而即可求得CG的长.

【详解】解：延长所交C。于H连£W,

0AFBE由AABE沿BE折叠得到，

^EA=EF,ZEFB=ZEAB=90°,

ae为AD中点，正方形ABCD边长为1,

@EA=ED=L

2

^\ED=EF=-,

2

团四边形ABCD是正方形，

ZD=ZEFB=ZEFH=90°,

在Rt/\EDH和Rt^EFH中，

[ED=EF

[EH=EH'

⑦Rt^EDH沿RMEFH(HL),

①ZDEH=NFEH,

又田ZAEB=/FEB,

ZDEH+ZAEB=90°,

^ZABE+ZAEB=90°,

国NABE=NDEH,

⑦ADHES^AEB,

「DHAE1

回---=---=一,

DEAB2

国DH=L

4

13

国CH=CD—DH=1——=—,

44

^\CH//AB,

团小HGCsABGA,

CGCH_3

团——=

AG

33

0CG=-AG=-(AC-CG),

^AB=l,CB=\,NCBA=90°,

回AC=&，

0CG=|(V2-CG),

0CG=-V2.

7

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌

握相关几何知识是解决本题的关键.

1年模拟•精选模考题

8.（2024,广东深圳•三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛力B在暗盒中所成的像CD的长是1cm,则像CD

到小孔。的距离为（）

C.3cmD.4cm

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用

相似三角形对应边成比例.

【详解】解：设像CD到小孔。的距离为xcm

由题意得A*|C£>,

^ZABO^ADCO,NBAO=NCDO,

0AAB4ADCO

CDx

团--------

AB18

解得x-3,

故选C.

9.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，直线a〃\〃c,分别交直线〃于点A,B,C,D,E,尸.若AC:BC=5:2,

EF=4,则的长为（）

C.6D.10

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可.

【详解】解：“〃匕〃c,

.ABDE

,,一,

BCEF

BAC:BC=5:2,

国AB:BC=3:2

•DE3

,,一，

EF2

,•,DE—―3，

42

/.DE=6.

故选：C.

10.（2024•广东中山・二模）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，BC,各部分长度的比满足

生=些二e二1,这体现了数学中的（）

BCAB2

A.黄金分割数B.平移C.平均数D.轴对称

【答案】A

【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得点C为A3的黄金分割点，即可求解，掌握黄金分

割的定义是解题的关键.

【详解】解：0BC,4?各部分长度的比满足4£=生=亚二1,

BCAB2

团点。为A5的黄金分割点，

故选：A.

11.（2024•广东梅州•一模）如图所示，在VABC中，。为2C中点.E为上一点，AE=^-EB,CE和AO

2

CF

相交于点/，则=二二（）

c

【答案】c

【分析】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例的性质，构造平行线

进行求解.过点。作。欣〃AB,可得AOCMSA」BCE,根据相似三角形的性质可得C0=ME,从而证明

AAFE^ADFM,即可求解.

【详解】过点。作n暇〃AB,交CE于M,

贝l|ADCMMCE

c

一

AEB

_C_D___D__M___C__M_

BCBECE

回。为5c中点

^CD=-BC

2

DMCD1CM

QBE~BC~2~CE

^\CM=ME

^\AE=-BE

2

AE1

团---=—

BE2

^\DM=AE

^\DM//AB

团ZMDF=ZEAF,ZDMF=ZAEF

^AAFE^ADFM

^MF=FE=-ME

2

13

^CF=CM+MF=ME+-ME=-ME

22

3

CF2MEa

0—=4——=3

FE-ME

2

故选：C.

12.（2024•广东东莞•三模）如图，VABC和AECD都是等腰三角形，且/BAC=/CED,点B,C,。在同

一条直线上，VA3C和AECD的面积分别为16和25,则图中阴影部分的面积为（）

【答案】B

AR

【分析】根据题意可判定AABCSAECD,AB//EC,从而得到——的比，再由VA5CAB边上的高和AACE

SA8

EC边上的高相等，得到产=诉的比，即可计算/MCE的面积.

【详解】•・,VABC和△ECO是等腰三角形，且NB4C=NCED

/.ZABC=ZACB=ZECD=ZEDC

:AABCsAECD,AB//EC

又:S&BC=16,S@CD=25

.SMBC_16

SFcn25

AB_4

,EC"5

­.­AB//EC

「•NABCA3边上的高和△ACEEC边上的高相等

.ABC=AS=4

S^ACEEC5

S

.ACE=।S-ABC=3%=2°.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于对应边的比

的平方，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

13.（2024,广东广州•二模）如图，在三角形ABC中,。、尸是48边上的点,E是AC边上的点，上〃3c,

EF\\DC,则下列式子中不正确的是（）

EFAF

A------------B.-----=------c----=-----D.AD2=ABAF

•ADACABAC,CDFD

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，通过证明△ADCSAME以及平行

线分线段成比例可求解.

【详解】解：回跖IIDC,

SAADC^AFE,

AFAEEF_AF

团-------,

ADAC而一耘,

@DE〃BC,

ADAE

团-------,

ABAC

ADAEAF

回一=

ABAC-AD'

^AD2=ABAF，

故只有C选项不正确

故选：c.

14.（2024・广东佛山•二模）《墨子・天文志》记载："执规矩，以度天下之方圆”.度方知圆，感悟数学之美.如

图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A3'CZ>',若AB:A3'=l:2,

则四边形A'3'C'D'的面积为（）

【答案】C

【分析】本题考查的是位似图形的性质，由位似图形的性质可得正方形ABCD的面积:正方形AB'C'D'的面

积=再进一步可得答案.

【详解】解：团正方形ABCD的面积为1,AB:A3'=1:2,正方形ABCD与正方形AB'C'D'是位似图形，

国正方形ABCD的面积:正方形AB'C'D'的面积=（；]=；；

团四边形A'B'C'D的面积为4：

故选C.

15.（2024•广东深圳,二模）如图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是对角线AC上一点，连接助，作

Ap1DF

N3EF=120。交CO边于点R若〒=彳，则亍的值为（）

EC2FC

A.巫B.典C.D.&

3334

【答案】D

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出

AB=BC=CD=AD,ZD=ZABC=60°,判定VABC,AACD是等边三角形，得至！JNBC£=NACD=60。，

BC=AC,求出NCBE+/BEC=180。—60。=120。，ffi]ZCEF+ZBEC=120°,得到NCEF=NCBE,即可证

44s

明LCEFSACBE，推出CF:CE=CE:8C,令AE=x，则EC=2x,得出CF=ax,得到。B=3x-可x=—x,

。JJ

即可求出答案.

【详解】解：回四边形A5CD是菱形，

AD

^\AB=BC=CD=AD,ZD=ZABC=60°,

0VABC,△ACD是等边三角形，

^\ZBCE=ZACD=60°,BC=AC,

0ZCBE+ZBEC=180°-60°=120°,

^ZBEF=120°f

团NCEF+NBEC=120。,

©NCEF=NCBE,

⑦/ECF=/BCE,

国ACEFs^CBE,

团CF:CE=CE:BC,

「A£1

团--=—，

EC2

团令AE=x,则石C=2x,

团AC=x+2x=3x,

0BC=AC=3x,

团CF:2x=2x:3x,

4

团CF=­x,

3

45

回DF=3x—x=—x,

33

DF5

团---=一.

FC4

故选：D.

3

16.（2024•广东深圳,三模）如图，在等腰VABC中，AB=AC=10,sinB^-,。为AB的中点，E为AC上

AF1

一点，且"=：；，F、G是3c上两动点，且方G=2，则。方+EG的最小值为（）

CE3

【答案】B

【分析】过点A作AHL3C于点过点E作应0〃3C交AH于连接首先解得AH=6,

AP1AF1

BH=CH=8,结合可得若=：，根据平行线分线段成比例定理，可解得ME=2,进而证明四边

CE3AC4

形£MFG为平行四边形，可得EG=MF；作点M关于直线3C的对称点N,连接FN,过点。作OK13C

于点K,由对称的性质可得万N=MR=EG,故当点。、F、N在同一直线上时，叱+EG取最小值，最小

值等于DN的长度，结合三角函数和勾股定理分别解得OK,HK,AM,MH的值，由轴对称的性质可得

Q12

NH的值，证明由相似三角形的性质解得K/=M，进而可得尸理由勾股定理分别

解得。尸，NV的值，即可获得答案.

【详解】解：如下图，过点八作AH_L5C于点H,过点E作石M〃5C交AH于M,连接

gBH=CH,

3

[?]sinB,

3

⑦AH=ABxsinB=10x—=6,

aBH=CH=y/AB2-AH2=8，

AE1

团--=一,

CE3

AE11

团=——,

AC3+14

^EM//BC,

^\ME=-CH=2,

4

⑦ME=FG=2,

团四边形EMFG为平行四边形，

⑦EG=MF,

作点”关于直线5C的对称点N,连接FN,过点。作OKI5c于点K,如图,

由对称的性质可得不N=M/=EG,

⑦DF+EG=DF+NF,

团当点。、F、N在同一直线上时，。方+EG取最小值，最小值等于DN的长度，

团。为A5的中点，

BBD=-AB=5

2

⑦DK_LBC,

3

国DK=BDxsinB=5x—=3,

5

^BK=yjBD2-DK2=A/52-32=4,

⑦HK=BH—BK=8—4=4,

^AE1

团---=—

AC4

团AE」AC=2.5,

4

回AH_LBC,EM//BC,

^\ME±AH,

团在中，AM=^AE2-ME2=V152-22=1.5，

国MH=AH—AM=6—1.5=45,

由轴对称的性质可得NH=MH=4.5,

⑦/DFK=/NFH,ZDKF=ZNHF=90°,

田ADKFS^NHF,

DK法,即二=上KF

回——=

NHHF4.5HK-KF4—KF

Q

解得KF=g,

Q12

^FH=HK-KF=Ar一一=—,

55

团在RMDKF和RLANHF中，

DF=JDK。+KF。==y,NF=^NH2+HF2=卜5?+［；=5.1,

1717

BDN=DF+NF=—+5A=—

52

17

回止+EG的最小值为3.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的

性质、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键.

17.（2024•广东深圳•三模）如图，VABC中，ZABC=45°,/BAC=75。,BC="，点尸是BC上一动点,

PDLAC于。，PELAB于E,在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（）

A.373-3B."C.迪D.-

352

【答案】D

【分析】根据PDLAGPELAB可以确定4D,P,E四点共圆，根据三角形内角和定理确定44c=60。，

进而确定当时，线段OE取得最小值,根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定NADE=45。,

根据相似三角形的判定定理和性质可当=段，设AE=2x,根据等角对等边和勾股定理表示出4?和AP,

ABBC

根据30。所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出AD,最后代入比例式中计算即可.

【详解】解：回即J_AC于£>,于E,

0ZAr>P=ZA£P=9O°,

SZADP+ZAEP=180°,

妫、D、P、E四点共圆，且直径为AP,

团/B4c=75。，是定值，所以直径针最小时，ZZME所对的弦DE最小，此时APLBC,

在RtZkPBE1中，23=45。

团△P3E是等腰直角三角形，/APE=45°,

团VAPE也是等腰直角三角形，

0ZB4E=45°,

©/PBE"PAE=45。，

团NAD石=45。，

⑦ZADE=ZB,

⑦/EAD=/CAB,

ADDE

团---------,

ABBC

设AE=2x,贝!JPE=EB=2x，AP=2A/2X，

贝|J人0=0。=。P=缶，

BZDAP=ZBAC-ZPAE=30°,

团ZDOP=2ZDAO=60°,

过。作于M,

SZODM=30°,OM=—x,

2

SDM=y/OD2-OM2=—x,

2

2*

由勾股定理得：AD=yjAM2+DM2=y/6x-

l46xDE

团----=-f=-,

4xV6

3T

3

则线段小的最小值为万

故选：D.

【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，含30。

的直角三角形，正确确定何时3E取得最小值是解题关键.

18.（2024•广东广州•二模）如图，在矩形ABC。中，AB=8,AZ）=6,AC是矩形ABCD的对角线，将VABC

绕点A逆时针旋转得到△AEF,使点E在线段AC上，EF交CD于点、G,AF交C。于点H,则tanNFGH的

值为（）.

F

243

A.—B.—C.—D.5y3

334

【答案】B

【分析】本题主要考查了矩形的性质、正切的定义、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵

活运用相关性质和定理成为解题的关键.

根据矩形的性质和勾股定理可得AC=JAD2+℃2=10、ZA=ZECG,再结合旋转的性质可得

3

CE=AC-AE=2,NCEG=ZB=90°,易证^CGE^^ACB,运用相似三角形的性质列比例式可得GE=j,

最后根据正切的定义即可解答.

【详解】解：团在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,

^AD=BC=6,DC=AB=8,ZD=90°,DC//AB,

^AC=^AD2+DC2=10>ZA=NECG,

团将VABC绕点A逆时针旋转得到，使点E在线段AC上，

AF=AC=10,AE=AB=?,,ZAEF=ZB=90°,

E]CE=AC—AE=2,NCEG=NB=90°,

同/A=/ECG,ZCEG=ZB=9O°,

团MJGEs八ACB,

GECEGE2"/日3

团---=---，即nn---=—,解得：GE=—

BCAB682

CF4

tan//GH=——

团GE33

2

故选B.

19.（2024•广东•二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金

分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）

眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为〃），眉头和眉尾的水

平距离（图中直线①和直线③的距离）设为6,。与6的比例为黄金分割比存：（3）眉尾、眼梢、鼻翼

在同一直线上.某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm,则眼梢到

鼻翼的距离为cm.（如。2.236,结果保留两位小数）

眉毛和眼睛的黄金比例

①眉峰②③

眉头

1眉尾

眼头尹眼梢

/鼻翼

【答案】3.24

AR

【分析】本题考查的是黄金分割的含义，平行线分线段成比例的含义，先画出图形，可得黑=隹，再建

BCEF

立方程求解即可.

【详解】解：如图,

由题意可得：AD//BE//CF,BC=a,AC=b,

ABDECly/S-1

团---=----,而DE=2,

BCEF~b~2

c2b-ab.2\/5-1

回——=----=——1=-；=------1=-------

EFaaV5-12

国EF=—=A/5+1®3.24,

V5-1

经检验符合题意；

回眼梢到鼻翼的距离约为3.24cm,

故答案为3.24

20.（2024•广东广州•二模）如图，VABC与ADEF是位似图形，点。为位似中心，OC:OF=1:2.若VABC

的周长为4,则ADEF的周长为.

【答案】8

【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题

的关键.

根据位似图形的概念得到A4BCS^DEF,BC//EF,进而得到AOBCS△。砂，贝ij台。：防=。。：=i：2,

根据相似三角形的性质即可解答.

【详解】解：回VA3C与ADE尸是位似图形,

HAABC^ADEF,BC//EF,

0QBCsQEF,

SBC:EF=OC:OF=1:2,

国VABC的周长：ADEF的周长=1:2,

团VABC的周长为4,

IBADEF的周长为8,

故答案为：8.

sr

21.（2。24广东佛山三模）如图’平行于2c的直线上把VABC分成面积相等的两部分，则1r

【答案】72

【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，由平行得由相似三角形的性质得

AC2

*ABC,即可求解；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.

a^ADEAE

【详解】解：设邑ADE=a，

•,SAABC=2〃，

QBC〃DE,

I22a

乙ABCAC

q

^^ADEAEa

故答案：也.

22.（2024•广东•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=5,3c=4,/为5C边上一点，将△OC厂沿。尸翻折,

若点C刚好落在口边上的点E处，则冷

D

F

AB

E

3

【答案】j/0.6

【分析】本题考查了折叠变换，矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由四边形ABCD是矩

形得AB=CD=5,AD=BC=4,ZA=/3=/C=90。，由翻折性质可知DE=CD=4,ZDEF=/C=90°,

CF=EF,再通过定理求得AE=3,然后证明AADESAB防，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握

知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：回四边形ABCD是矩形,

0AB=CD=5,AD=BC=4,ZA=ZS=ZC=90°,

由翻折性质可知，DE=CD=4,/DEF=/C=9伊,CF=EF,

在RSADE中，由勾股定理得AE=后/=折=斤彳=3,

0ZAED+ZBEF=90°,ZAED+ZADE=90°,

©ZADE=ZBEF,

团AADES八BEF，

AEBF

团----二----

DEEF

BF3

0-----二一，

FC5

3

故答案为：—

23.（2024•广东广州•三模）如图，在VA3C中，=AC=10,点。是边2c上一动点（不与8、C重合）,

4

ZADE=NB=a,DE交线段AC于点E,且cosa=《.

（1）若30=8,贝UCE的长度是；（2）线段CE的取值范围是

3232

【答案】y0<CE<y

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用

图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.

（1）作于G,如图，根据等腰三角形的性质得5G=CG,再利用余弦的定义计算出3G=8,则

1Q

BC=2BG=16,设BD=x,贝iJCD=16-x,证明利用相似比可表示出CE=-而尤?十^》，

将x=8代入即可；

（2）利用二次函数的性质求CE的取值范围.

【详解】解：（1）作AG_L3C于G,如图，

­.AB=AC,

BG=CG,

•«,ZADE=ZB=a,

n5G4

/.cosB=cosa==—,

AB5

4

，5G=—xl0=8,

5

:.BC=2BG=16,

^BD=x,贝。=16-%,

•,-ZADC=ZB+ZBAD.即a+/CDE=NB+NBAD,

:./CDE=/BAD,

而NB=NC,

:.AABDsADCE,

ABBD10_x

即

~CD~CE16-x~~CE

CE=-----%2-|—xf

105

32

当x=8时，CE=M；

181

(2)CE=——炉9+_%=——(X-89)2+6.4,

10510

故当尤=8时，CE最大，最大值为6.4,

当x=0时，CE=0,

・・•点。是边5C上一动点(不与3、。重合),

32

:.0<CE<—.

5

3232

故答案为：—,0<CE<—.

24.（2024,广东广州•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=16,点M在直线上，连接

（1）当MC=3MB,则一=_____

MD

（2）当黑最大时，BM=_____

MD

【答案】巫3

15

【分析】①根据矩形的性质和勾股定理即可求解；

②作NA〃=NME>C,过点A作AE_LAF于点E,则NA£D=90。连接CE,取43中点O,连接OE,OC,

先证明八4£064^中，继而△ADMS2\EDC,因此处=空=生，故土的最大值转化为EC的最大

MDDC6MD

值，由NAED=90。，知点E在以点。为圆心，OE=8为半径的圆上运动，由ECWOE+OC,故当O,E,C三

点共线时，EC取得最大值为18,故处="4学=3.

MDDC6

【详解】解：①回MC=3MB,8c=16,

E]8M=4,MC=12,

团四边形ABC。是矩形，

0ZB=ZC=9O°,AB=CD=6,

团由勾股定理得：AM=^AB2+BM2=2-J13>DM=JCD?+MC?=6岔，

国M42屈曲

W-6A/5-1T，

故答案为：—;

15

②作NAD/=NME>C,过点A作于点E,则/A£D=90。连接CE,取A3中点。，连接OE,OC,

@AD=BC=16,ZADC=90°

团点。为AZ＞中点，

团OD=6,

团由勾股定理得oc=io,

国NADF=NMDC,

⑦ZADM=NEDC

团四边形ABCD是矩形，

团NBCD=90°,

⑦ZAED=NBCD,

IzlAAED^AMCD,

DADE

回-------,

DMDC

DADM

团---=----

DEDC

国/ADF=NMDC

国NADM=NEDC

BAADM^AEDC,

AMDM

团---=----,

ECDC

MAECEC

"MDDC6

回黑的最大值转化为EC的最大值，

MD

团NAED=90。，

团点E在以点。为圆心，0£=8为半径的圆上运动,

国ECWOE+OC,

回当。及C三点共线时，EC取得最大值为18,

MAEC,18°

回——=——<—=3.

MDDC6

故答案为：3.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角

形是解决本题的关键.

25.（2024•广东惠州•二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与相交于点。，过点。作。AB于点

F,交AC于点E.已知AE=4,EC=6,则C£＞的长为.

AD

【答案】国

【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和相似