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文档简介
专题28解直角三角形(58题)
一、单选题
1.(2024・吉林长春•中考真题)2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在
黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为。千米,仰角
为,,则此时火箭距海平面的高度AL为()
C.次os。千米D.T千米
cos6*
2.(2024・天津•中考真题)V^cos45。-1的值等于()
C.显—1
A.0B.1D.72-1
2
4,,
3.(2024•甘肃临夏•中考真题)如图,在AABC中,AB=AC=5,sinB=-,则BC的长是()
A.3B.6C.8D.9
4.(2024・四川自贡・中考真题)如图,等边融。钢架的立柱CDLAB于点,长12m.现将钢架立柱
缩短成ZBED=6Q°.则新钢架减少用钢()
A.(24-12退)mB.(24-8«)mC.(24-6⑹mD.(24-4V3)m
5.(2024.四川德阳•中考真题)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物8的高度,在建筑物旁边有一
高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底3处测得C处的仰角为60。,在小楼房楼顶A处测得C处
的仰角为30。.(AB、CD在同一平面内,在同一水平面上),则建筑物CD的高为()米
A.20B.15C.12D.10+5A/3
6.(2024・广东深圳・中考真题)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高L8m的测量仪所测得的仰角为
45。,小军在小明的前面5m处用高L5m的测量仪CD测得的仰角为53。,则电子厂A8的高度为()(参
434
考数据:sin53°«—,cos53°«-,tan53°«—)
A
FDB
A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m
7.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图,在矩形ABC。中,瓦尸是边3。上两点,且BE=EF=FC,连接
。及AfO石与.相交于点G,连接3G.若AB=4,BC=6,则sin/GBb的值为()
8.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)如图,菱形ABCD中,点。是50的中点,AMA.BC,垂足为M,
AM交BD于点、N,O暇=2,30=8,则的长为()
2
A.75B.述C.西D.也
555
9.(2024・四川乐山•中考真题)如图,在菱形A3CD中,ZABC=60°,AB=1,点尸是BC边上一个动点,
在BC延长线上找一点。,使得点尸和点。关于点C对称,连接。P、AQ交于点当点P从8点运动到
C点时,点M的运动路径长为()
A.正B.3C.WD.73
632
10.(2024.山东泰安・中考真题)如图,菱形ABCD中,ZB=60°,点E是AB边上的点,AE=4,BE=8,
点厂是BC上的一点,△EGF是以点G为直角顶点,/EFG为30。角的直角三角形,连结AG.当点尸在
直线2C上运动时,线段AG的最小值是()
A.2B.46-2C.273D.4
11.(2024•四川泸州・中考真题)宽与长的比是叵1的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称
2
的美感.如图,把黄金矩形ABC。沿对角线AC翻折,点B落在点9处,AB,交CD于点E,贝|sin/D4E的
值为()
12.(2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)如图,在正方形A3CD中,点X在边上(不与点A、。重合),
ZBHF=90°,HF交正方形外角的平分线。尸于点E连接AC交于点连接昉交AC于点G,交
CD于点、N,连接50.则下列结论:①NHBF=45。;②点G是8尸的中点;③若点X是AD的中点,则
sin/NBC=叵;④BN=叵BM;⑤若AH=gnD,则△丽,其中正确的结论是()
1022
AHD
A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤
二、填空题
13.(2024.黑龙江绥化•中考真题)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼
顶部点C的仰角为60。,测得底部点B的俯角为45。,点A与楼的水平距离AD=50m,则这栋楼的高度
为m(结果保留根号).
14.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树的高度.如图,点C处
与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达。处,测得古树顶部8的俯
角为45。,古树底部A的俯角为65。,则古树的高度约为米(结果精确到0.1米;参考数据:
sin65°«0.906,cos65°«0.423,tan65°它2.145).
钵一
;\\
!\\
1\、、
:\、B
I\\
「\
C'--------U
15.(2024・湖北武汉•中考真题)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次
综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼A8的高度,具体过程如下:如图,将无人机垂直上升
至距水平地面102m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45。,底端B的俯角为63。,则测得黄鹤楼的高度
4
是m.(参考数据:tan63°82)
16.(2024・四川内江•中考真题)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在。C上,将矩形ABCD沿
AE折叠,点。恰好落在8C边上的点尸处,那么tan/EFC=.
17.(2024・江苏盐城・中考真题)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30m的
点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37。,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点。处,测得教
学楼顶端点B的俯角为45。,则教学楼A3的高度约为m.(精确至Ulm,参考数据:sin37°«0.60,
cos37°»0.80,tan37°«0.75)
PQ
;'<37°二邻。
I、、、
I、、
,、X
'、'、、'、B
''、、1
18.(2024・北京・中考真题)如图,在正方形ABCD中,点E在A8上,AF1DE于点尸,CGLOE于点G.若
AD=5,CG=4,则的面积为
19.(2024•甘肃临夏•中考真题)如图,对折边长为2的正方形纸片ABCD,。〃为折痕,以点。为圆心,OM
为半径作弧,分别交AD,BC于E,尸两点,则斯的长度为(结果保留兀).
AED
20.(2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如图,数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时,发现了如“花
朵”形的美丽图案,他们将等腰三角形02C置于平面直角坐标系中,点。的坐标为(0,。),点8的坐标为(1,0),
点C在第一象限,ZOBC=120°.将△O3C沿x轴正方向作无滑动滚动,使它的三边依次与无轴重合,第
一次滚动后,点。的对应点为。',点c的对应点为C"OC与O'C'的交点为A,称点A为第一个“花朵”
的花心,点4为第二个“花朵”的花心;……;按此规律,△Q5C滚动2024次后停止滚动,则最后一个“花
叠,折痕交直线BC于点尸(点P不与点8重合),点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上,则尸C长
为.
22.(2024.山东泰安.中考真题)在综合实践课上,数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度,
他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机,如图,无人机在河上方距水面高60米的点尸处测得瞭望台
正对岸A处的俯角为50°,测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6。,己知瞭望台2C高12米(图中点A,B,
30
C,P在同一平面内),那么大汶河此河段的宽A5为米.(参考数据:sin4O0^-,sin63.6°=—,
tan50°ag,tan63.6°®2)
23.(2024・四川达州・中考真题)如图,在中,NC=90。.点。在线段上,ZBAD=45°.AC=4,
CD=1,则AABC的面积是.
6
24.(2024・贵州・中考真题)如图,在菱形ABCD中,点区厂分别是3C,8的中点,连接AE,AF.若
4
sinZEAF=-,AE=5,则AB的长为.
25.(2024・广东深圳・中考真题)如图,在AABC中,AB=3C,tanZB=巨,。为BC上一点,且满足—
12CD5
CF
过。作OE1AD交AC延长线于点E,则就=
26.(2024•黑龙江绥化•中考真题)在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点E在直线AD上,且DE=2cm,
则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm.
三、解答题
27.(2024•内蒙古通辽•中考真题)计算:*-2|+2sin6(T-(F)°.
28.(2024・四川甘孜・中考真题)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东37。方向,距离灯塔100海里的A处,
它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔尸的南偏东45。方向上的3处.这时,B处距离A处有多远?
(参考数据:sin37°«0.60,cos37。70.80,tan37。70.75)
29.(2024•北京・中考真题)计算:(万一5)°+而-2sin3(r+\
30.(2024・湖南长沙•中考真题)计算:(;尸+卜百卜2cos30。-(兀-6.8)°.
31.(2024・广东深圳・中考真题)计算:-2.cos45°+(%—3.14)°+"0[+];).
32.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)先化简,再求值:一丁「十/--1,其中〃?=cos60。.
m-1Im~+mJ
33.(2024・吉林・中考真题)图①中的吉林省广播电视塔,又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔,
此时飞行高度AB=873m,如图②,从直升飞机上看塔尖C的俯角㈤C=37。,看塔底。的俯角
/E4D=45。,求吉塔的高度CZX结果精确到0.1m).(参考数据:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)
34.(2024•青海•中考真题)计算:炳一tan45°+万。一卜也|.
35.(2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)计算:+tan60°+|A/3-2|+(TI-2024)°.
36.(2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题)综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图,
无人机在离地面40米的。处,测得操控者A的俯角为30。,测得楼楼顶C处的俯角为45。,又经过人
工测量得到操控者A和大楼3C之间的水平距离是80米,则楼8C的高度是多少米?(点AB,C,。都
在同一平面内,参考数据:A/3®1.7)
8
D
-30017^50—
37.(2024•内蒙古通辽•中考真题)在“综合与实践”活动课上,活动小组测量一棵杨树的高度.如图,从C
点测得杨树底端B点的仰角是30。,2C长6米,在距离C点4米处的。点测得杨树顶端A点的仰角为45。,
求杨树48的高度(精确到0.1米,AB,BC,。在同一平面内,点C,。在同一水平线上.参考数据:
73»1.73).
38.(2024・湖南•中考真题)某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行测量活动.
活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具皮尺、测角仪、计算器等
某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩形其示意图如下:
模型抽象
活动GEFH
过程
①在水池外取一点E,使得点C,B,E在同一条直线上;
②过点E作GHLCE,并沿E”方向前进到点尸,用皮尺测得跖的长为4米;
测绘过程与
③在点F处用测角仪测得NaU=60.3。,ZBFG=45°,/AFG=21.8。;
数据信息
④用计算器计算得:sin60.3°«0.87,cos60.3°»0.50,
tan60.3°«1.75.sin21.8°«0.37,cos21.8°«0.93,tan21.8°«0.40.
请根据表格中提供的信息,解决下列问题(结果保留整数):
(1)求线段CE和的长度:
(2)求底座的底面A3CD的面积.
39.(2024.贵州・中考真题)综合与实践:小星学习解直角三角形知识后,结合光的折射规律进行了如下综
合性学习.
【实验操作】
第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿A处投射到底部8处,入射光线与水槽
内壁AC的夹角为2A;
第二步:向水槽注水,水面上升到AC的中点E处时,停止注水.(直线MV'为法线,49为入射光线,OD
为折射光线.)
【测量数据】
如图,点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内,测得AC=20cm,ZA=45°,折射角/DON=32。.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题:
(1)求BC的长;
(2)求2,。之间的距离(结果精确到0.1cm).
(参考数据:sin32°«0.52,cos32°«0.84,tan32°®0.62)
40.(2024.河南•中考真题)如图1,塑像A3在底座3c上,点。是人眼所在的位置.当点B高于人的水平
视线OE时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大.数学家研究发现:当经过
A,8两点的圆与水平视线OE相切时(如图2),在切点尸处感觉看到的塑像最大,此时/APB为最大视
角.
⑴请仅就图2的情形证明NAPBANADB.
10
⑵经测量,最大视角/AP3为30。,在点P处看塑像顶部点A的仰角4PE为60。,点P到塑像的水平距
离尸”为6m.求塑像AB的高(结果精确到0.1m.参考数据:小1.73).
41.(2024.天津・中考真题)综合与实践活动中,要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔48的高度(如
图①).某学习小组设计了一个方案:如图②,点C,D,E依次在同一条水平直线上,DE=36m,EC±AB,
垂足为C.在。处测得桥塔顶部8的仰角(NCDB)为45。,测得桥塔底部A的俯角(/QM)为6。,又
在E处测得桥塔顶部B的仰角(NCEB)为31。.
图①
(1)求线段的长(结果取整数);
(2)求桥塔的高度(结果取整数).参考数据:tan31°«0.6,tan6°®0.1.
42.(2024・四川乐山・中考真题)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》,其中有一道
与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的:
平地秋千未起,踏板一尺离地.
送行二步与人齐,五尺人高曾记.
仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.
良工高士素好奇,算出索长有几?
词写得很优美,翻译成现代汉语的大意是:有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推进10
尺(5尺为一步),秋千的踏板就和某人一样高,这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉的很直)
地面地面
图1
(1)如图1,请你根据词意计算秋千绳索的长度;
(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为a的位置OA释放,秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为4的地方
OA",两次位置的高度差尸Q=〃.根据上述条件能否求出秋千绳索。4的长度?如果能,请用含a、/和耳
的式子表示;如果不能,请说明理由.
43.(2024•山东•中考真题)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点尸之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点3.测量A,3两点间的距离以及
和NPBA,测量三次取平均值,得到数据:AB=60米,/PAB=79°,ZPBA=M°.画出示意图,如图
图1
【问题解决】(1)计算A,尸两点间的距离.
(参考数据:sin64°»0.90,sin79°®0.98,cos79°®0.19,sin37°»0.60,tan37°«0.75)
【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案:
如图2,选择合适的点。,E,F,使得A,D,E在同一条直线上,且AD=DE,NDEF=NDAP,当
F,D,尸在同一条直线上时,只需测量所即可.
图2
(2)乙小组的方案用到了.(填写正确答案的序号)
①解直角三角形②三角形全等
12
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案.
44.(2024.北京・中考真题)如图,在四边形ABCD中,E是A8的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,
AF//DC.
(1)求证:四边形APCD为平行四边形;
⑵若N£FB=90°,tan/FEB=3,EF=1,求BC的长.
45.(2024•甘肃临夏・中考真题)乾元塔(图1)位于临夏州临夏市的北山公园内,共九级,为硅框架式结
构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,傲立苍穹.某校数学兴
趣小组在学习了“解直角三角形,,之后,开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,
点C,。在点B的正东方向,在C点用高度为1.6米的测角仪(即CE=L6米)测得A点仰角
为37。,向西平移14.5米至点。,测得A点仰角为45。,请根据测量数据,求乾元塔的高度(结果保
留整数,参考数据:sin37°®0.60,cos37°®0.80,tan37°®0.75)
图1图2
46.(2024.安徽・中考真题)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图,光线自点8处发出,
经水面点E折射到池底点A处.已知3E与水平线的夹角a=36.9。,点B到水面的距离BC=1.20m,点A处
水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m,点3,C,。在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平
面内.记入射角为/,折射角为九求任史的值(精确到0.1,参考数据:sin36.9°«0.60,cos36.9°-0.80,
sin/
tan36.9°«0.75).
池底
47.(2024•浙江•中考真题)如图,在中,AD1BC,AE是边上的中线,
AB=10,=6,tanZACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin/ZME的值.
48.(2024•甘肃・中考真题)习近平总书记于2021年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实
现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,
“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践
活动.如图,已知一风电塔筒A”垂直于地面,测角仪CO,E尸在AH两侧,。。=毋=1.6111,点C与点
E相距182m(点C,H,E在同一条直线上),在。处测得简尖顶点A的仰角为45。,在尸处测得筒尖顶
434
点A的仰角为53。.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin53°«-,cos53°«-,tan53°«-.)
49.(2024・河北.中考真题)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高
点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离8。=4m,仰角为a;淇淇向前走了3m后到达点。,
透过点尸恰好看到月亮,仰角为夕,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m,
点尸到8。的距离尸0=2.6m,AC的延长线交尸Q于点£(注:图中所有点均在同一平面)
(1)求产的大小及tana的值;
(2)求CP的长及sinZAPC的值.
G—2|+tan60。—出.
50.(2024・四川广元•中考真题)计算:(2024-兀)°+
14
51.(2024.四川广元.中考真题)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角a的正
eina
弦值与折射角P的正弦值的比值一7叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,
sinp
介质对光作用的一种特征.
⑴若光从真空射入某介质,入射角为折射角为6且=争尸=3。。,求该介质的折射率;
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,。分别是长方体棱的中点,
若光线经真空从矩形A224对角线交点。处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知a=60。,
CD=10cm,求截面ABCD的面积.
52.(2024.内蒙古包头.中考真题)如图,学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼A5的高度”的实践活动.教
学楼周围是开阔平整的地面,可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的
两点间的距离;测角仪的功能是测量角的大小).
(1)请你设计测量教学楼的高度的方案,方案包括画出测量平面图,把应测数据标记在所画的图形上(测
出的距离用孤,等表示,测出的角用d夕等表示),并对设计进行说明;
(2)根据你测量的数据,计算教学楼A8的高度(用字母表示).
53.(2024•甘肃・中考真题)马家窑文化以发达的彩陶著称于世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共
用,彩绘线条流畅细致,图案繁缗多变,形成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术
精品,体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位
的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知O。和圆上一点〃.作
法如下:
①以点M为圆心,长为半径,作弧交O。于A,8两点;
②延长MO交。。于点C;
即点A,B,C将。。的圆周三等分.
彩陶纹样三点定位法三等分圆周
图1图2
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图2中将。。的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若。。的半径为2cm,则AABC的周长为cm.
54.(2024.黑龙江牡丹江.中考真题)如图,某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC,对垂直于地面8
的建筑物AD的高度进行测量,于点C.在B处测得A的仰角/A3E-45。,然后将测角仪向建筑
物方向水平移动6米至FG处,FGLCD于点G,测得A的仰角NAEE=58。,郎的延长线交AD于
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