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专题28解直角三角形(58题)

一、单选题

1.(2024・吉林长春•中考真题)2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在

黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为。千米,仰角

为,,则此时火箭距海平面的高度AL为()

C.次os。千米D.T千米

cos6*

2.(2024・天津•中考真题)V^cos45。-1的值等于()

C.显—1

A.0B.1D.72-1

2

4,,

3.(2024•甘肃临夏•中考真题)如图,在AABC中,AB=AC=5,sinB=-,则BC的长是()

A.3B.6C.8D.9

4.(2024・四川自贡・中考真题)如图,等边融。钢架的立柱CDLAB于点,长12m.现将钢架立柱

缩短成ZBED=6Q°.则新钢架减少用钢()

A.(24-12退)mB.(24-8«)mC.(24-6⑹mD.(24-4V3)m

5.(2024.四川德阳•中考真题)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物8的高度,在建筑物旁边有一

高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底3处测得C处的仰角为60。,在小楼房楼顶A处测得C处

的仰角为30。.(AB、CD在同一平面内,在同一水平面上),则建筑物CD的高为()米

A.20B.15C.12D.10+5A/3

6.(2024・广东深圳・中考真题)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高L8m的测量仪所测得的仰角为

45。,小军在小明的前面5m处用高L5m的测量仪CD测得的仰角为53。,则电子厂A8的高度为()(参

434

考数据:sin53°«—,cos53°«-,tan53°«—)

A

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

7.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图,在矩形ABC。中,瓦尸是边3。上两点,且BE=EF=FC,连接

。及AfO石与.相交于点G,连接3G.若AB=4,BC=6,则sin/GBb的值为()

8.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)如图,菱形ABCD中,点。是50的中点,AMA.BC,垂足为M,

AM交BD于点、N,O暇=2,30=8,则的长为()

2

A.75B.述C.西D.也

555

9.(2024・四川乐山•中考真题)如图,在菱形A3CD中,ZABC=60°,AB=1,点尸是BC边上一个动点,

在BC延长线上找一点。,使得点尸和点。关于点C对称,连接。P、AQ交于点当点P从8点运动到

C点时,点M的运动路径长为()

A.正B.3C.WD.73

632

10.(2024.山东泰安・中考真题)如图,菱形ABCD中,ZB=60°,点E是AB边上的点,AE=4,BE=8,

点厂是BC上的一点,△EGF是以点G为直角顶点,/EFG为30。角的直角三角形,连结AG.当点尸在

直线2C上运动时,线段AG的最小值是()

A.2B.46-2C.273D.4

11.(2024•四川泸州・中考真题)宽与长的比是叵1的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称

2

的美感.如图,把黄金矩形ABC。沿对角线AC翻折,点B落在点9处,AB,交CD于点E,贝|sin/D4E的

值为()

12.(2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)如图,在正方形A3CD中,点X在边上(不与点A、。重合),

ZBHF=90°,HF交正方形外角的平分线。尸于点E连接AC交于点连接昉交AC于点G,交

CD于点、N,连接50.则下列结论:①NHBF=45。;②点G是8尸的中点;③若点X是AD的中点,则

sin/NBC=叵;④BN=叵BM;⑤若AH=gnD,则△丽,其中正确的结论是()

1022

AHD

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

二、填空题

13.(2024.黑龙江绥化•中考真题)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼

顶部点C的仰角为60。,测得底部点B的俯角为45。,点A与楼的水平距离AD=50m,则这栋楼的高度

为m(结果保留根号).

14.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树的高度.如图,点C处

与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达。处,测得古树顶部8的俯

角为45。,古树底部A的俯角为65。,则古树的高度约为米(结果精确到0.1米;参考数据:

sin65°«0.906,cos65°«0.423,tan65°它2.145).

钵一

;\\

!\\

1\、、

:\、B

I\\

「\

C'--------U

15.(2024・湖北武汉•中考真题)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次

综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼A8的高度,具体过程如下:如图,将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处,测得黄鹤楼顶端A的俯角为45。,底端B的俯角为63。,则测得黄鹤楼的高度

4

是m.(参考数据:tan63°82)

16.(2024・四川内江•中考真题)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在。C上,将矩形ABCD沿

AE折叠,点。恰好落在8C边上的点尸处,那么tan/EFC=.

17.(2024・江苏盐城・中考真题)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30m的

点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37。,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点。处,测得教

学楼顶端点B的俯角为45。,则教学楼A3的高度约为m.(精确至Ulm,参考数据:sin37°«0.60,

cos37°»0.80,tan37°«0.75)

PQ

;'<37°二邻。

I、、、

I、、

,、X

'、'、、'、B

''、、1

18.(2024・北京・中考真题)如图,在正方形ABCD中,点E在A8上,AF1DE于点尸,CGLOE于点G.若

AD=5,CG=4,则的面积为

19.(2024•甘肃临夏•中考真题)如图,对折边长为2的正方形纸片ABCD,。〃为折痕,以点。为圆心,OM

为半径作弧,分别交AD,BC于E,尸两点,则斯的长度为(结果保留兀).

AED

20.(2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题)如图,数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时,发现了如“花

朵”形的美丽图案,他们将等腰三角形02C置于平面直角坐标系中,点。的坐标为(0,。),点8的坐标为(1,0),

点C在第一象限,ZOBC=120°.将△O3C沿x轴正方向作无滑动滚动,使它的三边依次与无轴重合,第

一次滚动后,点。的对应点为。',点c的对应点为C"OC与O'C'的交点为A,称点A为第一个“花朵”

的花心,点4为第二个“花朵”的花心;……;按此规律,△Q5C滚动2024次后停止滚动,则最后一个“花

叠,折痕交直线BC于点尸(点P不与点8重合),点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上,则尸C长

为.

22.(2024.山东泰安.中考真题)在综合实践课上,数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度,

他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机,如图,无人机在河上方距水面高60米的点尸处测得瞭望台

正对岸A处的俯角为50°,测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6。,己知瞭望台2C高12米(图中点A,B,

30

C,P在同一平面内),那么大汶河此河段的宽A5为米.(参考数据:sin4O0^-,sin63.6°=—,

tan50°ag,tan63.6°®2)

23.(2024・四川达州・中考真题)如图,在中,NC=90。.点。在线段上,ZBAD=45°.AC=4,

CD=1,则AABC的面积是.

6

24.(2024・贵州・中考真题)如图,在菱形ABCD中,点区厂分别是3C,8的中点,连接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,则AB的长为.

25.(2024・广东深圳・中考真题)如图,在AABC中,AB=3C,tanZB=巨,。为BC上一点,且满足—

12CD5

CF

过。作OE1AD交AC延长线于点E,则就=

26.(2024•黑龙江绥化•中考真题)在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点E在直线AD上,且DE=2cm,

则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm.

三、解答题

27.(2024•内蒙古通辽•中考真题)计算:*-2|+2sin6(T-(F)°.

28.(2024・四川甘孜・中考真题)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东37。方向,距离灯塔100海里的A处,

它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔尸的南偏东45。方向上的3处.这时,B处距离A处有多远?

(参考数据:sin37°«0.60,cos37。70.80,tan37。70.75)

29.(2024•北京・中考真题)计算:(万一5)°+而-2sin3(r+\

30.(2024・湖南长沙•中考真题)计算:(;尸+卜百卜2cos30。-(兀-6.8)°.

31.(2024・广东深圳・中考真题)计算:-2.cos45°+(%—3.14)°+"0[+];).

32.(2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题)先化简,再求值:一丁「十/--1,其中〃?=cos60。.

m-1Im~+mJ

33.(2024・吉林・中考真题)图①中的吉林省广播电视塔,又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔,

此时飞行高度AB=873m,如图②,从直升飞机上看塔尖C的俯角㈤C=37。,看塔底。的俯角

/E4D=45。,求吉塔的高度CZX结果精确到0.1m).(参考数据:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

34.(2024•青海•中考真题)计算:炳一tan45°+万。一卜也|.

35.(2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)计算:+tan60°+|A/3-2|+(TI-2024)°.

36.(2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题)综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图,

无人机在离地面40米的。处,测得操控者A的俯角为30。,测得楼楼顶C处的俯角为45。,又经过人

工测量得到操控者A和大楼3C之间的水平距离是80米,则楼8C的高度是多少米?(点AB,C,。都

在同一平面内,参考数据:A/3®1.7)

8

D

-30017^50—

37.(2024•内蒙古通辽•中考真题)在“综合与实践”活动课上,活动小组测量一棵杨树的高度.如图,从C

点测得杨树底端B点的仰角是30。,2C长6米,在距离C点4米处的。点测得杨树顶端A点的仰角为45。,

求杨树48的高度(精确到0.1米,AB,BC,。在同一平面内,点C,。在同一水平线上.参考数据:

73»1.73).

38.(2024・湖南•中考真题)某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行测量活动.

活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积

测量工具皮尺、测角仪、计算器等

某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩形其示意图如下:

模型抽象

活动GEFH

过程

①在水池外取一点E,使得点C,B,E在同一条直线上;

②过点E作GHLCE,并沿E”方向前进到点尸,用皮尺测得跖的长为4米;

测绘过程与

③在点F处用测角仪测得NaU=60.3。,ZBFG=45°,/AFG=21.8。;

数据信息

④用计算器计算得:sin60.3°«0.87,cos60.3°»0.50,

tan60.3°«1.75.sin21.8°«0.37,cos21.8°«0.93,tan21.8°«0.40.

请根据表格中提供的信息,解决下列问题(结果保留整数):

(1)求线段CE和的长度:

(2)求底座的底面A3CD的面积.

39.(2024.贵州・中考真题)综合与实践:小星学习解直角三角形知识后,结合光的折射规律进行了如下综

合性学习.

【实验操作】

第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿A处投射到底部8处,入射光线与水槽

内壁AC的夹角为2A;

第二步:向水槽注水,水面上升到AC的中点E处时,停止注水.(直线MV'为法线,49为入射光线,OD

为折射光线.)

【测量数据】

如图,点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内,测得AC=20cm,ZA=45°,折射角/DON=32。.

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题:

(1)求BC的长;

(2)求2,。之间的距离(结果精确到0.1cm).

(参考数据:sin32°«0.52,cos32°«0.84,tan32°®0.62)

40.(2024.河南•中考真题)如图1,塑像A3在底座3c上,点。是人眼所在的位置.当点B高于人的水平

视线OE时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大.数学家研究发现:当经过

A,8两点的圆与水平视线OE相切时(如图2),在切点尸处感觉看到的塑像最大,此时/APB为最大视

角.

⑴请仅就图2的情形证明NAPBANADB.

10

⑵经测量,最大视角/AP3为30。,在点P处看塑像顶部点A的仰角4PE为60。,点P到塑像的水平距

离尸”为6m.求塑像AB的高(结果精确到0.1m.参考数据:小1.73).

41.(2024.天津・中考真题)综合与实践活动中,要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔48的高度(如

图①).某学习小组设计了一个方案:如图②,点C,D,E依次在同一条水平直线上,DE=36m,EC±AB,

垂足为C.在。处测得桥塔顶部8的仰角(NCDB)为45。,测得桥塔底部A的俯角(/QM)为6。,又

在E处测得桥塔顶部B的仰角(NCEB)为31。.

图①

(1)求线段的长(结果取整数);

(2)求桥塔的高度(结果取整数).参考数据:tan31°«0.6,tan6°®0.1.

42.(2024・四川乐山・中考真题)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》,其中有一道

与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的:

平地秋千未起,踏板一尺离地.

送行二步与人齐,五尺人高曾记.

仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.

良工高士素好奇,算出索长有几?

词写得很优美,翻译成现代汉语的大意是:有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推进10

尺(5尺为一步),秋千的踏板就和某人一样高,这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉的很直)

地面地面

图1

(1)如图1,请你根据词意计算秋千绳索的长度;

(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为a的位置OA释放,秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为4的地方

OA",两次位置的高度差尸Q=〃.根据上述条件能否求出秋千绳索。4的长度?如果能,请用含a、/和耳

的式子表示;如果不能,请说明理由.

43.(2024•山东•中考真题)【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点尸之间的距离

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点3.测量A,3两点间的距离以及

和NPBA,测量三次取平均值,得到数据:AB=60米,/PAB=79°,ZPBA=M°.画出示意图,如图

图1

【问题解决】(1)计算A,尸两点间的距离.

(参考数据:sin64°»0.90,sin79°®0.98,cos79°®0.19,sin37°»0.60,tan37°«0.75)

【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案:

如图2,选择合适的点。,E,F,使得A,D,E在同一条直线上,且AD=DE,NDEF=NDAP,当

F,D,尸在同一条直线上时,只需测量所即可.

图2

(2)乙小组的方案用到了.(填写正确答案的序号)

①解直角三角形②三角形全等

12

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案.

44.(2024.北京・中考真题)如图,在四边形ABCD中,E是A8的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,

AF//DC.

(1)求证:四边形APCD为平行四边形;

⑵若N£FB=90°,tan/FEB=3,EF=1,求BC的长.

45.(2024•甘肃临夏・中考真题)乾元塔(图1)位于临夏州临夏市的北山公园内,共九级,为硅框架式结

构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,傲立苍穹.某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形,,之后,开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,

点C,。在点B的正东方向,在C点用高度为1.6米的测角仪(即CE=L6米)测得A点仰角

为37。,向西平移14.5米至点。,测得A点仰角为45。,请根据测量数据,求乾元塔的高度(结果保

留整数,参考数据:sin37°®0.60,cos37°®0.80,tan37°®0.75)

图1图2

46.(2024.安徽・中考真题)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图,光线自点8处发出,

经水面点E折射到池底点A处.已知3E与水平线的夹角a=36.9。,点B到水面的距离BC=1.20m,点A处

水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m,点3,C,。在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平

面内.记入射角为/,折射角为九求任史的值(精确到0.1,参考数据:sin36.9°«0.60,cos36.9°-0.80,

sin/

tan36.9°«0.75).

池底

47.(2024•浙江•中考真题)如图,在中,AD1BC,AE是边上的中线,

AB=10,=6,tanZACB=1.

(1)求BC的长;

(2)求sin/ZME的值.

48.(2024•甘肃・中考真题)习近平总书记于2021年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实

现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,

“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践

活动.如图,已知一风电塔筒A”垂直于地面,测角仪CO,E尸在AH两侧,。。=毋=1.6111,点C与点

E相距182m(点C,H,E在同一条直线上),在。处测得简尖顶点A的仰角为45。,在尸处测得筒尖顶

434

点A的仰角为53。.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin53°«-,cos53°«-,tan53°«-.)

49.(2024・河北.中考真题)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高

点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离8。=4m,仰角为a;淇淇向前走了3m后到达点。,

透过点尸恰好看到月亮,仰角为夕,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m,

点尸到8。的距离尸0=2.6m,AC的延长线交尸Q于点£(注:图中所有点均在同一平面)

(1)求产的大小及tana的值;

(2)求CP的长及sinZAPC的值.

G—2|+tan60。—出.

50.(2024・四川广元•中考真题)计算:(2024-兀)°+

14

51.(2024.四川广元.中考真题)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角a的正

eina

弦值与折射角P的正弦值的比值一7叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,

sinp

介质对光作用的一种特征.

⑴若光从真空射入某介质,入射角为折射角为6且=争尸=3。。,求该介质的折射率;

(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,。分别是长方体棱的中点,

若光线经真空从矩形A224对角线交点。处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知a=60。,

CD=10cm,求截面ABCD的面积.

52.(2024.内蒙古包头.中考真题)如图,学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼A5的高度”的实践活动.教

学楼周围是开阔平整的地面,可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的

两点间的距离;测角仪的功能是测量角的大小).

(1)请你设计测量教学楼的高度的方案,方案包括画出测量平面图,把应测数据标记在所画的图形上(测

出的距离用孤,等表示,测出的角用d夕等表示),并对设计进行说明;

(2)根据你测量的数据,计算教学楼A8的高度(用字母表示).

53.(2024•甘肃・中考真题)马家窑文化以发达的彩陶著称于世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共

用,彩绘线条流畅细致,图案繁缗多变,形成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术

精品,体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位

的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知O。和圆上一点〃.作

法如下:

①以点M为圆心,长为半径,作弧交O。于A,8两点;

②延长MO交。。于点C;

即点A,B,C将。。的圆周三等分.

彩陶纹样三点定位法三等分圆周

图1图2

(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图2中将。。的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);

(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若。。的半径为2cm,则AABC的周长为cm.

54.(2024.黑龙江牡丹江.中考真题)如图,某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC,对垂直于地面8

的建筑物AD的高度进行测量,于点C.在B处测得A的仰角/A3E-45。,然后将测角仪向建筑

物方向水平移动6米至FG处,FGLCD于点G,测得A的仰角NAEE=58。,郎的延长线交AD于

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