2025年中考数学分类复习：解直角三角形（58题）（原卷版）

专题28解直角三角形（58题）

一、单选题

1.（2024・吉林长春•中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在

黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为。千米，仰角

为，，则此时火箭距海平面的高度AL为（）

C.次os。千米D.T千米

cos6*

2.（2024・天津•中考真题）V^cos45。-1的值等于（）

C.显—1

A.0B.1D.72-1

2

4,,

3.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，在AABC中，AB=AC=5,sinB=-,则BC的长是（）

A.3B.6C.8D.9

4.（2024・四川自贡・中考真题）如图，等边融。钢架的立柱CDLAB于点，长12m.现将钢架立柱

缩短成ZBED=6Q°.则新钢架减少用钢（）

A.（24-12退）mB.（24-8«）mC.（24-6⑹mD.（24-4V3）m

5.（2024.四川德阳•中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物8的高度，在建筑物旁边有一

高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底3处测得C处的仰角为60。,在小楼房楼顶A处测得C处

的仰角为30。.（AB、CD在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物CD的高为（）米

A.20B.15C.12D.10+5A/3

6.（2024・广东深圳・中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高L8m的测量仪所测得的仰角为

45。，小军在小明的前面5m处用高L5m的测量仪CD测得的仰角为53。，则电子厂A8的高度为（）（参

434

考数据：sin53°«—,cos53°«-,tan53°«—）

A

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

7.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在矩形ABC。中，瓦尸是边3。上两点，且BE=EF=FC,连接

。及AfO石与.相交于点G,连接3G.若AB=4,BC=6,则sin/GBb的值为（）

8.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）如图，菱形ABCD中，点。是50的中点，AMA.BC,垂足为M,

AM交BD于点、N,O暇=2,30=8,则的长为（）

2

A.75B.述C.西D.也

555

9.（2024・四川乐山•中考真题）如图，在菱形A3CD中，ZABC=60°,AB=1,点尸是BC边上一个动点，

在BC延长线上找一点。，使得点尸和点。关于点C对称，连接。P、AQ交于点当点P从8点运动到

C点时，点M的运动路径长为（）

A.正B.3C.WD.73

632

10.（2024.山东泰安・中考真题）如图，菱形ABCD中，ZB=60°,点E是AB边上的点，AE=4,BE=8,

点厂是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，/EFG为30。角的直角三角形，连结AG.当点尸在

直线2C上运动时，线段AG的最小值是（）

A.2B.46-2C.273D.4

11.（2024•四川泸州・中考真题）宽与长的比是叵1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称

2

的美感.如图，把黄金矩形ABC。沿对角线AC翻折，点B落在点9处，AB，交CD于点E,贝|sin/D4E的

值为（）

12.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在正方形A3CD中，点X在边上（不与点A、。重合），

ZBHF=90°,HF交正方形外角的平分线。尸于点E连接AC交于点连接昉交AC于点G,交

CD于点、N,连接50.则下列结论：①NHBF=45。；②点G是8尸的中点；③若点X是AD的中点，则

sin/NBC=叵;④BN=叵BM;⑤若AH=gnD,则△丽，其中正确的结论是（）

1022

AHD

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

二、填空题

13.（2024.黑龙江绥化•中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼

顶部点C的仰角为60。，测得底部点B的俯角为45。，点A与楼的水平距离AD=50m,则这栋楼的高度

为m（结果保留根号）.

14.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度.如图，点C处

与古树底部A处在同一水平面上，且AC=10米，无人机从C处竖直上升到达。处，测得古树顶部8的俯

角为45。，古树底部A的俯角为65。，则古树的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：

sin65°«0.906,cos65°«0.423,tan65°它2.145）.

钵一

;\\

!\\

1\、、

：\、B

I\\

「\

C'--------U

15.（2024・湖北武汉•中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次

综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼A8的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45。，底端B的俯角为63。，则测得黄鹤楼的高度

4

是m.（参考数据：tan63°82）

16.（2024・四川内江•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在。C上，将矩形ABCD沿

AE折叠，点。恰好落在8C边上的点尸处，那么tan/EFC=.

17.（2024・江苏盐城・中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的

点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37。，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点。处，测得教

学楼顶端点B的俯角为45。，则教学楼A3的高度约为m.（精确至Ulm,参考数据：sin37°«0.60,

cos37°»0.80,tan37°«0.75）

PQ

；'<37°二邻。

I、、、

I、、

,、X

'、'、、'、B

''、、1

18.（2024・北京・中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在A8上，AF1DE于点尸，CGLOE于点G.若

AD=5,CG=4,则的面积为

19.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD,。〃为折痕，以点。为圆心，OM

为半径作弧，分别交AD,BC于E,尸两点，则斯的长度为（结果保留兀）.

AED

20.（2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花

朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形02C置于平面直角坐标系中，点。的坐标为（0，。），点8的坐标为（1,0）,

点C在第一象限，ZOBC=120°.将△O3C沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与无轴重合，第

一次滚动后，点。的对应点为。'，点c的对应点为C"OC与O'C'的交点为A，称点A为第一个“花朵”

的花心，点4为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△Q5C滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花

叠，折痕交直线BC于点尸（点P不与点8重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则尸C长

为.

22.（2024.山东泰安.中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，

他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点尸处测得瞭望台

正对岸A处的俯角为50°,测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6。，己知瞭望台2C高12米（图中点A,B,

30

C,P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽A5为米.（参考数据：sin4O0^-,sin63.6°=—,

tan50°ag,tan63.6°®2）

23.（2024・四川达州・中考真题）如图，在中，NC=90。.点。在线段上，ZBAD=45°.AC=4,

CD=1,则AABC的面积是.

6

24.（2024・贵州・中考真题）如图，在菱形ABCD中，点区厂分别是3C,8的中点，连接AE,AF.若

4

sinZEAF=-,AE=5,则AB的长为.

25.（2024・广东深圳・中考真题）如图,在AABC中，AB=3C,tanZB=巨，。为BC上一点，且满足—

12CD5

CF

过。作OE1AD交AC延长线于点E,则就=

26.（2024•黑龙江绥化•中考真题）在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,点E在直线AD上，且DE=2cm,

则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm.

三、解答题

27.（2024•内蒙古通辽•中考真题）计算：*-2|+2sin6（T-（F）°.

28.（2024・四川甘孜・中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37。方向，距离灯塔100海里的A处,

它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔尸的南偏东45。方向上的3处.这时，B处距离A处有多远?

（参考数据：sin37°«0.60,cos37。70.80,tan37。70.75）

29.（2024•北京・中考真题）计算：（万一5）°+而-2sin3（r+\

30.（2024・湖南长沙•中考真题）计算：（；尸+卜百卜2cos30。-（兀-6.8）°.

31.（2024・广东深圳・中考真题）计算：-2.cos45°+（%—3.14）°+"0[+]；）.

32.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）先化简，再求值：一丁「十/--1,其中〃?=cos60。.

m-1Im~+mJ

33.（2024・吉林・中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，

此时飞行高度AB=873m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角㈤C=37。，看塔底。的俯角

/E4D=45。，求吉塔的高度CZX结果精确到0.1m）.（参考数据：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

34.（2024•青海•中考真题）计算：炳一tan45°+万。一卜也|.

35.(2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)计算：+tan60°+|A/3-2|+(TI-2024)°.

36.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图，

无人机在离地面40米的。处，测得操控者A的俯角为30。，测得楼楼顶C处的俯角为45。，又经过人

工测量得到操控者A和大楼3C之间的水平距离是80米，则楼8C的高度是多少米？（点AB,C,。都

在同一平面内，参考数据：A/3®1.7）

8

D

-30017^50—

37.（2024•内蒙古通辽•中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C

点测得杨树底端B点的仰角是30。，2C长6米,在距离C点4米处的。点测得杨树顶端A点的仰角为45。，

求杨树48的高度（精确到0.1米，AB,BC,。在同一平面内，点C,。在同一水平线上.参考数据：

73»1.73).

38.（2024・湖南•中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.

活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积

测量工具皮尺、测角仪、计算器等

某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形其示意图如下：

模型抽象

活动GEFH

过程

①在水池外取一点E,使得点C,B,E在同一条直线上；

②过点E作GHLCE,并沿E”方向前进到点尸，用皮尺测得跖的长为4米；

测绘过程与

③在点F处用测角仪测得NaU=60.3。，ZBFG=45°,/AFG=21.8。；

数据信息

④用计算器计算得：sin60.3°«0.87,cos60.3°»0.50,

tan60.3°«1.75.sin21.8°«0.37,cos21.8°«0.93,tan21.8°«0.40.

请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）:

（1）求线段CE和的长度：

（2）求底座的底面A3CD的面积.

39.（2024.贵州・中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综

合性学习.

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部8处，入射光线与水槽

内壁AC的夹角为2A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线MV'为法线，49为入射光线，OD

为折射光线.）

【测量数据】

如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内，测得AC=20cm,ZA=45°,折射角/DON=32。.

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

（1）求BC的长；

（2）求2,。之间的距离（结果精确到0.1cm）.

（参考数据：sin32°«0.52,cos32°«0.84,tan32°®0.62）

40.（2024.河南•中考真题）如图1,塑像A3在底座3c上，点。是人眼所在的位置.当点B高于人的水平

视线OE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过

A,8两点的圆与水平视线OE相切时（如图2）,在切点尸处感觉看到的塑像最大，此时/APB为最大视

角.

⑴请仅就图2的情形证明NAPBANADB.

10

⑵经测量，最大视角/AP3为30。，在点P处看塑像顶部点A的仰角4PE为60。，点P到塑像的水平距

离尸”为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m.参考数据：小1.73）.

41.（2024.天津・中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔48的高度（如

图①）.某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36m,EC±AB,

垂足为C.在。处测得桥塔顶部8的仰角（NCDB）为45。，测得桥塔底部A的俯角（/QM）为6。，又

在E处测得桥塔顶部B的仰角（NCEB）为31。.

图①

（1）求线段的长（结果取整数）;

（2）求桥塔的高度（结果取整数）.参考数据:tan31°«0.6,tan6°®0.1.

42.（2024・四川乐山・中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道

与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的:

平地秋千未起，踏板一尺离地.

送行二步与人齐，五尺人高曾记.

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.

良工高士素好奇，算出索长有几?

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时,踏板离地1尺，将它往前推进10

尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.（假设秋千的绳索拉的很直）

地面地面

图1

（1）如图1,请你根据词意计算秋千绳索的长度;

（2）如图2,将秋千从与竖直方向夹角为a的位置OA释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为4的地方

OA",两次位置的高度差尸Q=〃.根据上述条件能否求出秋千绳索。4的长度？如果能，请用含a、/和耳

的式子表示；如果不能，请说明理由.

43.（2024•山东•中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点尸之间的距离

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点3.测量A,3两点间的距离以及

和NPBA,测量三次取平均值，得到数据：AB=60米，/PAB=79°,ZPBA=M°.画出示意图，如图

图1

【问题解决】（1）计算A,尸两点间的距离.

（参考数据：sin64°»0.90,sin79°®0.98,cos79°®0.19,sin37°»0.60,tan37°«0.75）

【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2,选择合适的点。，E,F,使得A,D,E在同一条直线上，且AD=DE,NDEF=NDAP,当

F,D,尸在同一条直线上时，只需测量所即可.

图2

（2）乙小组的方案用到了.（填写正确答案的序号）

①解直角三角形②三角形全等

12

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案.

44.（2024.北京・中考真题）如图，在四边形ABCD中，E是A8的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,

AF//DC.

（1）求证：四边形APCD为平行四边形；

⑵若N£FB=90°,tan/FEB=3,EF=1,求BC的长.

45.（2024•甘肃临夏・中考真题）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为硅框架式结

构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形，，之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端，

点C,。在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE=L6米）测得A点仰角

为37。，向西平移14.5米至点。，测得A点仰角为45。，请根据测量数据，求乾元塔的高度（结果保

留整数，参考数据：sin37°®0.60,cos37°®0.80,tan37°®0.75）

图1图2

46.（2024.安徽・中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点8处发出,

经水面点E折射到池底点A处.已知3E与水平线的夹角a=36.9。，点B到水面的距离BC=1.20m,点A处

水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m,点3,C,。在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平

面内.记入射角为/，折射角为九求任史的值（精确到0.1,参考数据：sin36.9°«0.60,cos36.9°-0.80,

sin/

tan36.9°«0.75）.

池底

47.（2024•浙江•中考真题）如图，在中，AD1BC,AE是边上的中线,

AB=10,=6,tanZACB=1.

（1）求BC的长；

（2）求sin/ZME的值.

48.（2024•甘肃・中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实

现碳中和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，

“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践

活动.如图，已知一风电塔筒A”垂直于地面，测角仪CO,E尸在AH两侧，。。=毋=1.6111,点C与点

E相距182m（点C,H,E在同一条直线上），在。处测得简尖顶点A的仰角为45。，在尸处测得筒尖顶

434

点A的仰角为53。.求风电塔筒AH的高度.（参考数据：sin53°«-,cos53°«-,tan53°«-.）

49.（2024・河北.中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高

点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离8。=4m,仰角为a；淇淇向前走了3m后到达点。，

透过点尸恰好看到月亮，仰角为夕，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m,

点尸到8。的距离尸0=2.6m,AC的延长线交尸Q于点£（注：图中所有点均在同一平面）

（1）求产的大小及tana的值；

（2）求CP的长及sinZAPC的值.

G—2|+tan60。—出.

50.（2024・四川广元•中考真题）计算：（2024-兀）°+

14

51.（2024.四川广元.中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角a的正

eina

弦值与折射角P的正弦值的比值一7叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,

sinp

介质对光作用的一种特征.

⑴若光从真空射入某介质，入射角为折射角为6且=争尸=3。。，求该介质的折射率；

（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A,B,C,。分别是长方体棱的中点,

若光线经真空从矩形A224对角线交点。处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②，已知a=60。,

CD=10cm,求截面ABCD的面积.

52.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼A5的高度”的实践活动.教

学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的

两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）.

（1）请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测

出的距离用孤，等表示，测出的角用d夕等表示），并对设计进行说明；

（2）根据你测量的数据，计算教学楼A8的高度（用字母表示）.

53.（2024•甘肃・中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共

用，彩绘线条流畅细致，图案繁缗多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术

精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位

的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知O。和圆上一点〃.作

法如下：

①以点M为圆心，长为半径，作弧交O。于A,8两点；

②延长MO交。。于点C；

即点A,B,C将。。的圆周三等分.

彩陶纹样三点定位法三等分圆周

图1图2

（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将。。的圆周三等分（保留作图痕迹,不写作法）；

（2）根据（1）画出的图形，连接AB,AC,BC,若。。的半径为2cm,则AABC的周长为cm.

54.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC,对垂直于地面8

的建筑物AD的高度进行测量，于点C.在B处测得A的仰角/A3E-45。，然后将测角仪向建筑

物方向水平移动6米至FG处，FGLCD于点G,测得A的仰角NAEE=58。，郎的延长线交AD于