2025版高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第7讲二项分布及其应用分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第7讲二项分布及其应用1．(2024·东北四市高考模拟)将一枚质地匀称的硬币连续抛掷n次，事务“至少有一次正面对上”的概率为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P≥\f(15,16)))，则n的最小值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选A.由题意得P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≥eq\f(15,16)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,16)，所以n≥4，故n的最小值为4.2．投掷一枚匀称硬币和一枚匀称骰子各一次，记“硬币正面对上”为事务A，“骰子向上的点数是3”为事务B，则事务A，B中至少有一个发生的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(3,4)解析：选C.依题意，得P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，且事务A，B相互独立，则事务A，B中至少有一个发生的概率为1－P(eq\o(A,\s\up6(－))·eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(7,12)，故选C.3．(2024·广西三市第一次联考)某机械探讨所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件状况如下：运用时间/天10～2021～3031～4041～5051～60个数1040805020若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的运用寿命在30天以上的概率为()A.eq\f(13,16) B.eq\f(27,64)C.eq\f(25,32) D.eq\f(27,32)解析：选D.由表可知元件运用寿命在30天以上的频率为eq\f(150,200)＝eq\f(3,4)，则所求概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,32).4．甲乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场竞赛，且这三场竞赛可看做三次独立重复试验，若甲至少取胜一次的概率为eq\f(63,64)，则甲恰好取胜一次的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(9,64) D.eq\f(27,64)解析：选C.假设甲取胜事务为A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事务A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝eq\f(63,64)，得p＝eq\f(3,4)，则事务A恰好发生一次的概率为Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,64).5．(2024·河北“五个一名校联盟”模拟)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪耀，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下其次次闭合后出现红灯的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事务A，“其次次闭合后出现红灯”为事务B，则由题意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下其次次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故选C.6.如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开和关的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．解析：设“a闭合”为事务A，“b闭合”为事务B，“c闭合”为事务C，则甲灯亮应为事务ACeq\o(B,\s\up6(－))，且A，eq\o(B,\s\up6(－))，C之间彼此独立，P(A)＝P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(C)＝eq\f(1,2).所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，竞赛依次是：第一局是甲队对乙队，其次局是第一局的胜者对丙队，第三局是其次局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对其次局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事务A，有下列状况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；其次局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，因各局竞赛中的事务相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.098．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事务记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事务记为B，则P(A|B)＝________．解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果．由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等．所以事务B包含4个基本结果，事务AB包含1个基本结果，所以P(B)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(1,9).所以P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(1,9),\f(4,9))＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事务A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事务B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．所以P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝eq\f(5,36).(2)由(1)知P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).10．(2024·河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量依据AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严峻污染．一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)从茎叶图中可以发觉样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×eq\f(3,5)＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为eq\f(3,5)，ξ的全部可能取值为0，1，2，3，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,5))).所以P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(36,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(54,125)，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125).ξ的分布列为ξ0123Peq\f(8,125)eq\f(36,125)eq\f(54,125)eq\f(27,125)1．已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为eq\f(1,3).某小组为了探讨连续服用该药物后出现A症状的状况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关．(1)若出现A症状，则马上停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．解：(1)法一：记试验持续i天为事务Ai，i＝1，2，3，4，试验至多持续一个周期为事务B，易知P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)，P(A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)，则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(65,81).法二：记试验至多持续一个周期为事务B，则eq\o(B,\s\up6(－))为试验持续超过一个周期，易知P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,81)，所以P(B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(65,81).(2)随机变量η的全部可能取值为1，2，P(η＝1)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)·eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9)，P(η＝2)＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9)，所以η的分布列为：η12Peq\f(1,9)eq\f(8,9)2.(2024·陕西省宝鸡市高三教学质量检测(一))现有4个人去参与春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参与者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子确定自己去参与哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参与甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参与乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参与甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参与甲项目联欢的人数大于去参与乙项目联欢的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参与甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．解：依题意，这4个人中，每个人去参与甲项目联欢的概率为eq\f(1,3)，去参与乙项目联欢的概率为eq\f(2,3).设“这4个人中恰有i人去参与甲项目联欢”为事务Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i).(1)这4个人中恰好有2人去参与甲项目联欢的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).(2)设“这4个人中去参与甲项目联欢的人数大于去参与乙项目联欢的人数”为事务B，则B＝A3∪A4.故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9).所以，这4个人中去参与甲项目联欢的人数大于去参与乙项目联欢的人数的概率为eq\f(1,9).(3)ξ的全部可能取值为0，2，4.P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列为ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)3.(2024·武汉调研)某次飞镖竞赛中，规定每人至多放射三镖．在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，假如前两次得分之和超过3分即停止放射，否则放射第三镖．某选手在M处的命中率q1＝0.25，在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处放射一镖，以后都在N处放射，用X表示该选手竞赛结束后所得的总分，其分布列为X02345P0.03P1P2P3P4(1)求随机变量X的分布列；(2)试比较该选手选择上述方式放射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处放射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M处射中为事务A，在N处射中为事务B，则事务A，B相互独立，且P(A)＝0.25，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.75，P(B)＝q2，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－q2.依据分布列知：当X＝0时，P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8.当X＝2时，P1＝P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up