2025年新高考数学重难点专项复习：解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】（原卷版）

重难点11解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1两次使用余弦定理】...................................................................3

【题型2等面积法】...........................................................................3

【题型3解三角形中的中线模型】..............................................................4

【题型4解三角形中的倍角模型】..............................................................5

【题型5解三角中的角平分线模型】............................................................6

【题型6解三角中的高模型】...................................................................8

【题型7解三角形中的等分点模型】............................................................9

【题型8三角形的重心问题】..................................................................10

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】.......................................................11

►命题规律

1、解三角形的图形类问题和重要模型

解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三

角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查

的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活

求解.

►方法技巧总结

【知识点1三角形图形类问题的解题策略】

1.解决三角形图形类问题的常用方法：

(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了二角形的性质和正余弦定理

的性质解题；

(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问

题，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的

不错选择；

(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法

则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

【知识点2解三角形中的重要模型】

1.中线模型

(1)中线长定理：在△ABC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,是8c边上的中线，则

22

AB+AC=2(31)2+ADiy

(2)向量法：AD2=^(b2+c2+2bccos^4).

2.倍角模型

B=2Aob?=〃(q+c)

C=2BQC2=bQb+a),这样的三角形称为“倍角三角形”.

A=2C=/=0(0+6)

、人abc,cic

推论1：A=2Bo--------=-------=---------=b=---------=----------z—

sin25sin8sin352cos53-4sin2B

推论2：A=2B=3=1+2cosA<^>b+c=2acosB.

3.角平分线模型

iAriAD

角平分线张角定理：如图，/。为N84C平分线，贝！Jcos/54D=—(—+——)

2bc

斯库顿定理：如图，4。是的角平分线，则可记忆：中方=上积-下积.

4.等分点模型

如图，若尸在边上，且满足定=2而，|ZP|=冽，则延长4尸至。，使丽=4/，连接O).

A

D

易知48〃DC,且Z)C=Xc,\AD\=(1+A)\AP\,

ABAC+ZACD=1SO0.

►举一反三

【题型1两次使用余弦定理】

【例1】(2024・河南•三模)在△力BC中，AB=3V2,coszB/lC=~^,AD1AC,且4D交BC于点D,AD=3,

贝（JsinC=（）

A1TJV3r，V6c2V2

A.§B.TC.-D.—

【变式1-1］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△力BC的内角4B,C的对边分别为a,hc,且a=6,BC边上中

线长为1,则6c最大值为（）

77

A.B.-C.V3D.2V3

74Z

【变式1-2】（2024•浙江台州•二模）在△ABC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccos

A,则占的最大值为（）

A.V3B.IC.yD.3

【变式1-3］（2024•陕西咸阳•三模）在△ABC中，a、b、c分别为△ABC的内角4、B、C的对边，M为边4c

上一点，满足MC=34M,若a?+c2—房+公=0,c—2,a=4,贝1万方|=（）

【题型2等面积法】

【例2】（2024•海南•模拟预测）在aaBC中，乙4cB的平分线与对边A8交于点。，若△C2D的面积为△C8D

的2倍，且CD=2/ACB=120°,则BC=()

A.3B.4C.6D.8

【变式2-1］（2024•辽宁丹东•二模）在△力BC中，点。在BC边上，4D平分ABAC,ABAC=120°,AB=2

V3,力。=苧，则4C=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【变式2-2](2024・湖南长沙•三模)记△4BC的内角4B,C的对边分别为a,Ac,已知a=2/=4.

(1)若cosB+2cos4=ccosC,求C的值；

(2)若。是边力B上的一点，且CD平分N4CB,cosN力CB=求CD的长.

【变式2-3](2024•山东泰安・模拟预测)已知△4BC内角4B,C的对边分别为a,6,c,b(sinB+sinC)=(a-c)(

sinA+sinC).

⑴求/;

(2)/的平分线力D交BC于D点，9b+c=64,求4。的最大值.

【题型3解三角形中的中线模型】

【例3】(2024•全国•模拟预测)记△48C的内角NBAC/B/C的对边分别为a,6,c,已知2bcos8cos2C=a-2c

cosfcos2B.

(1)求乙84c.

(2)若b+c=8,且边BC上的中线2。=竽，求△ABC的面积.

【变式3-1](2024•湖南长沙•三模)如图，在△2BC中，已知AB=3/C=6/为锐角，BC/C边上的两条

中线力MBN相交于点P,△ABC的面积为竽.

(1)求BC的长度；

(2)求乙4PB的余弦值.

【变式3-2](2024•陕西西安•三模)在△4BC中，角A,B,C的对边是a,b,c,已知b(l+cosA)=c(l-cos2B).

(1)证明:6=c;

⑵若BC边上的高力。为2,AC边上的中线BE为2近,求△ABC的面积.

【变式3-3](2024•新疆乌鲁木齐•二模)在△A8C中，点M,N分别为BC/C的中点，AM与BN交于点G,

AM=3/AMB=45°.

(1)若4C=5立，求中线BN的长；

(2)若△ABC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围.

【题型4解三角形中的倍角模型】

【例4】(2024•陕西安康•模拟预测)己知锐角△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=8,

巴=1+sin"—Sin2c

且QWC.

csin2B

(1)求证：B=2C；

(2)已知点M在线段AC上，^ABM=Z.CBM,求的取值范围.

【变式4-1](2024•内蒙古•三模)在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,瓦c,且(a—V^))cosC=c

(V2cosB-cos/l).

(1)求一的值；

(2)若B=2C,证明：△2BC为直角三角形.

【变式4-2](2024•陕西商洛•模拟预测)在锐角△ABC中.内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,已知

a—2ccosB=c.

(1)求证：B=2C-

(2)求sinB4-2V^cos2c的取值范围.

【变式4-3](2024•天津河北•二模)在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知c=4,6=3.

(1)若cosC=-j求a的值和△ABC的面积；

(2)在(1)的条件下，求cos(2C+p的值；

(3)若力=2B,求a的值.

【题型5解三角中的角平分线模型】

【例5】(2024•河北张家口•三模)在△ABC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,点。为边BC上一

点，且满足(前+尼)•近=0.

(1)证明：AD=b-,

(2)若an为内角/的平分线，且而=|•荏+|而，求sina.

【变式5-1](2024•四川攀枝花•三模)请在①2a—6=2ccosB,②於篇=tanC+tanB,

③信也(4+B)=3-2cos2^三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，B,C所对的边分别是a,b,c,己知

(1)求角C；

(2)若b=4,点D在边4B上，CD为N4CB的平分线，求边长a的值.

【变式5-2](2024•广东深圳•模拟预测)已知△ABC中内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且满足遮c+b

sinA=V3acosB.

(1)求角4的大小；

(2)若。是边8C上一点，且ND是角力的角平分线，求案的最小值.

【变式5-3】(2024•山东•模拟预测)从①^=嘴2②黑:黑=一,③2asin2?=V^sin2这三个

条件中任选一个，补充在下面的问题中.

已知△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c且.

⑴求角8的大小；

(2)若2的角平分线交边8c于点D,且逐，c=2,求边6.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【题型6解三角中的高模型】

【例6】(2024•四川•模拟预测)在△4BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且V^csinB+bcos(4+B)

=b.

(1)求角C的大小；

(2)若a=8,△ABC的面积为4g,求ZB边上的高.

【变式6-1](2024•福建泉州•模拟预测)设△4BC的内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且有26cos(4-三

=a+c,

⑴求角8：

(2)若NC边上的高h=fb,求cosAcosC.

【变式6-2](2024•河北秦皇岛•三模)在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,C4且

a+b=7,△4BC的外接圆半径为竽.

(1)求△4BC的面积；

(2)求△4BC边力B上的高比

【变式6-3](2024•全国•模拟预测)已知△A8C的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,a=l,sinB+V3

bcosA=0.

(i)求角a；

(2)设AM是△ABC的高，求AM的最大值.

【题型7解三角形中的等分点模型】

【例7】(23-24高二上•云南・期末)在△ABC中，点D为线段8c的四等分点且靠近点B,乙82。与NB4C互补.

⑴求票的值；

(2)若4艮4。=30。,48=4,求4D的长.

【变式7-1](2023・湖北•模拟预测)在△4BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2(l+cosA)

=2bcsin2a.

⑴判断△ABC的形状；

(2)已知。为BC上一点，则当4=争a=3技20=旧时，。为BC的几等分点？

【变式7-2]（2024•湖南衡阳•模拟预测）在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC—

—csinfi

3

(1)求角8

(2)过B作BD1BA,交线段AC于。，且AD=2DC,求角C.

【变式7-3]（23-24高三上•湖南长沙•期中）设a,b,c分别为△ABC的内角/,B,C的对边，AD为BC

边上的中线，c=l,Z.BAC—y-,2csinXcosB=asinX—fosinB+jfosinC.

⑴求4D的长度；

（2）若E为NB上靠近8的四等分点，G为△ABC的重心，连接EG并延长与NC交于点尸，求/尸的长度.

【题型8三角形的重心问题】

【例8】（2024•江苏苏州•二模）记△4BC的内角ASC的对边分别为a,b,c,已知竺=包户吗.

csin71—sine

⑴求角4；

（2）若a=6,点M为△28C的重心，且4M=2b，求△ABC的面积.

【变式8-1]（2023・四川内江•一模）△4BC的内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,a=6,bsin—=asin

B.

(1)求角力的大小；

(2)M为△4BC的重心，AM的延长线交BC于点D,且AM=2g，求△ABC的面积.

【变式8-2](2023•江西景德镇•一模)如图，已知A4AD的重心为C,AABC三内角/、B、C的对边分别

为a,b,c.且cos2^=g^

Z2c

⑴求乙4cB的大小；

(2)若求sin/CZM的大小.

【变式8-3](2023•广东佛山•模拟预测)在△ABC中,角4B,C的对边为a,hc,c•sin4=a•cosC,设△ABC

的面积为S,S=*bc.

(1)求角B的大小；

(2)若a=3,过aaBC的重心点G的直线I与边a,c的交点分别为E,F,丽=4方，BA=1iBF,请计算4+〃的

值.

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】

【例9】(2024•云南曲靖•二模)在△A8C中，角45。的对边分别为a,4以MacosC+V3csin71=b+c.

(1)求角8的取值范围；

(2)已知△ABC内切圆的半径等于乌，求△ABC周长的取值范围.

【变式9-1](2023•河南•模拟预测)已知△4BC的外心为0,点分别在线段4B/C上，且。恰为MN的中

点.

(1)若BC=g,04=l,求△ABC面积的最大值；

(2)证明：AM-MB=AN-NC.

【变式9-2](2024•浙江•模拟预测)如图，在平面内的四个动点4B,C,D构成的四边形4BCD中,

48=1,BC=2,CD=3,AD=4.

D

(1)求△ac。面积的取值范围;

(2)若四边形4BCD存在外接圆，求外接圆面积.

【变式9-3］（2024•全国•模拟预测）已知△4BC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,遮6—csin2=V^a

cosC.

（i）求角a的大小；

（2）若a=7,△ABC外接圆的半径为R,内切圆半径为r,求£的最小值.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•贵州六盘水•三模）在△ABC中，4B=2,AC=3,〃=今则△ABC外接圆的半径为（）

夕V21迫2V21

3333

2.（2024•新疆喀什•三模）在△4BC中，AB=2,BC=®ABAC=120。，。是BC边一点，是NB4C的

角平分线，则（）

A.|B.1C.2D.V3

3.（2024・陕西•模拟预测）在△4BC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,c（sin4—sinC）=（a—b）

（sin4+sinB）,若△力8c的面积为苧，周长为36,则/C边上的高为（）

A.亨B.亨C.V3D.2V3

4.（2024・福建福州•模拟预测）在△4BC中，角4B,C所对应的边分别为a,6,c,点M为边的中点，若

AM=AC,cos2B=cos（4+C）,则sin/RAC=（）

A.叵B.逅C.叵D.”

3377

5.（2024•山西•三模）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,hc.已知4=专炉+©2=24,△4BC的外接

圆半径R=2b,D是边4C的中点，则BD长为（）

A.V2+1B.2V3C.6V2D.

6.（2024•山东泰安•三模）在△ABC中，内角48,C所对的边分别为a,b,c,且智—a=（…乎。,延长江

至点。，使得BC=CD,若4。=2旧/8=2,则a=（）

A.IB.V3C.2D.3

7.（2024•广东广州•模拟预测）在△ABC中，角力、B、C的对边分别为a、b、c,若c=3,6=2,ABAC的

平分线4。的长为华，则BC边上的中线4"的长等于（）

迫4V2叵D.迪

2343

8.（2024•全国•模拟预测）已知在中，角4SC的对边分别为见瓦c,2sin/=acos&c=2.若G为AABC

的重心，则G%2+GB2—GC2的最小值为（）

A12-4«B8+4«C4«-2D4+2近

•9•-9—•-3-•-3-

二、多选题

1

9.（2024•广西•二模）已知△48C内角45。的对边分别为a,瓦c,。为△ABC的重心，cos4=g/O=2,则

（）

A.AO=+^ACB.AB-AC<3

C.△ABC的面积的最大值为3乃D.a的最小值为2遍

10.（2024•福建泉州•模拟预测）△ABC中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c.己知a=2,△ABC

的面积S=李历•尼，则以下说法正确的是（）

A.4=30°

B.△ABC的周长的最大值为6

C.若be=4,则△ABC为正三角形

D.若4B边上的中线长等于竽，贝口=仃

11.（2024•云南曲靖・模拟预测）在△ABC中，AB=4,2C=6,4=去。为边BC上一动点，贝U（）

A.SC=2V7

B.当4。为角4的角平分线时，2£>=喑

C.当。为边8c中点时，AD=3五

D.若点P为△4BC内任一点，成・（丽