2025年中考数学二轮复习：二次函数 压轴解答题练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：二次函数压轴解答题练习题

—.解答题(共20小题)

1.(2024•楚雄州一模)网络直播带货已经成为一种热门的销售方式.某水果生产商在一销售平台上直播

销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y(千克)与销售单价x(元)满足一次函数

关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克.设

销售枇杷的日获利为w(元).

销售单价x(元)2227

日销量y(千克)200150

(1)求日销售量y与销售单价x的函数关系式；

(2)当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？

2.(2024•沈丘县一模)如图，抛物线：>=尤2+法+。的图象与％轴交于A和B(-3,0)两点，与y轴交于

C(0,-3),直线y=x+机经过点且与y轴交于点与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式和E点坐标；

(2)在y轴上是否存在点P,使得以。、E、P为顶点的三角形与△B。。相似，若存在，直接写出点尸

的坐标；若不存在，试说明理由.

3.(2024•新泰市一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C(0,2),且顶点尸的坐标为(-1,3).

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,点D(-1,I),若点M是二次函数图象上的点，且在直线的上方，连接MC,MD.求

AMCD面积的最大值及此时点M的横坐标；

(3)如图2,设点。是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC,将线段QC绕点。逆时

针旋转90°，点C的对应点为凡直线尸尸交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出

4.（2024•雅安模拟）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与

销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元.

（1）直接写出y与尤之间的函数关系式：

（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？

（3）设每天的总利润为卬元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？

5.（2024•红塔区三模）在二次函数y=/-2代+3（t>0）中，

（1）若它的图象过点（2,1）,贝卜的值为多少？

（2）当04W3时，y的最小值为-2,求出/的值.

6.（2024•金乡县三模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售

利润不高于进价的50%.在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价

每提高5元，则每天销售量减少50件.设销售单价为x元（销售单价不低于35元）

（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？

（2）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价无（元）之间的函数表达式；

（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

7.（2024•德城区一模）以x为自变量的两个函数y与g,令仁y-g,我们把函数〃称为y与g的“相关

函数”例如：以无为自变量的函数y=/与g=2尤-1它们的"相关函数"为fi=y-g=W-2x+l.11=*

-2x+l=(x-1)22o恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量尤取何值，y'g恒成

立.

(1)已知函数与函数g=4x+l相交于点(-1,-3)、(3,13),求函数y与g的"相关函

数”h；

(2)已知以x为自变量的函数y=3x+/■与g=_r-2,当尤>1时，对于x的每一个值，函数y与g的"相

关函数”〃>0恒成立，求t的取值范围；

(3)已知以x为自变量的函数yu/+bx+c与g=-2fcv-c(a、6、c为常数且a>0,bWO),点4$,0)、

B(-2,口)、C(1,y2)是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2c<y2<yi,求函数h

的图象截x轴得到的线段长度的取值范围.

8.(2024•市中区校级一模)如图，已知抛物线>=0?+灰+5与无轴交于A(-1,0),B(5,0)两点(点

A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,B不重合)，过点。作。下，无轴于点R交直

线8c于点E,连接8D直线BC能否把分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点。的

坐标；若不能，请说明理由.

(3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△AffiC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.

9.(2024•武威二模)如图，已知抛物线经过原点。和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,

直线y=-2x-1经过抛物线上一点8(-2,加)，且与y轴、直线x=2分别交于点。、E,点D是BE

的中点.

(1)求机的值；

(2)求该抛物线对应的函数关系式；

(3)若尸(x,y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得尸B=PE?若存在，试求出所

有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

y

E

某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查,刹车距离.

【知识背景】“道路千万条，安全第一条."刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行

驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离.

【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它

的刹车性能进行测试.兴趣小组成员记录其中一组数据如下：

刹车后行驶的时间0123

刹车后行驶的距离y0274863

发现：①开始刹车后行驶的距离y(单位：力)与刹车后行驶的时间/(单位：s)之间成二次函数关系；

②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间r的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全

停止.

【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：

(1)求y关于f的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；

(3)若汽车司机发现正前方80机处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是

否会撞到抛锚的车？试说明理由.

11.(2024•天长市二模)已知，在平面直角坐标系内，抛物线y=a/+2x+c交x轴于A,8两点，交y轴于

点C,且A(-1,0),B(3,0).

(1)求抛物线与直线AC的解析式;

(2)点尸在抛物线的对称轴上，且使得|朋-PC|的值最大，过对称轴上的另一点。任作与x轴不平行

的直线/,交抛物线于点N,若△产阿的内心始终在抛物线的对称轴上，求点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，已知点。是线段AC上(不含端点A,C)的一个动点，过点。作直线。E48,

交直线/于点E,过点E作E凡LA8,垂足为点孔求线段。尸的最小值.

12.(2024•柳州一模)2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，

中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军，女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往

直前.投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的

一部分.建立平面直角坐标系xOy,篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y(单位：加)与

水平距离单位：相)近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3根，韩旭进行了两次

投篮训练.

(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离尤与竖直高度y的几组数据如下：

水平距离01234

竖直高度

①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接:

5

4

3

2

2345H

②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度；

③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5〃z,韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由.

(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与

水平距离x近似满足函数关系y=a(x-3)2+4.25,若投篮成功，求此时韩旭距篮筐中心的水平距离d

的取值范围.

13.(2024•朝阳区校级三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y—a^r+bx+c(a>0)的对称轴为直线x

=7,点A(-3机)，B(2f,n),C(xo,yo)在抛物线上.

(1)当f=2时，直接写出m与w的大小关系；

(2)若对于5<xo<6,都有机>yo>%求f的取值范围.

14.(2024•喀什地区一模)如图，在Rt^ABC,ZABC=90°,该三角形的三个顶点均在坐标轴上.二次

函数y=o?+6x+c过A(-1,0),B(0,2),C(4,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)点尸为该二次函数第一象限上一点，当△2CP的面积最大时，求尸点的坐标；

(3)M为二次函数上一点，N为无轴上一点，当B、C、M.N成的四边形是平行四边形时，直接写出

N的坐标.

15.(2024•电白区一模)在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小

星同学对会场进行装饰.如图1所示，他在会场的两墙A3、CD之间悬挂一条近似抛物线-表+3

的彩带，如图2所示，已知墙与CD等高，且AB、CD之间的水平距离8。为8米.

图I图2部

(1)如图2,两墙42,C。的高度是米，抛物线的顶点坐标为；

(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M

到墙A8距离为3米，使抛物线人的最低点距墙A8的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距

离；

(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的

位置，使抛物线放对应的二次函数的二次项系数始终为g若设点〃距墙AB的距离为加米，抛物线

/2的最低点到地面的距离为“米，探究”与相的关系式，当2Wn3上寸，求心的取值范围.

16.(2024•中原区校级三模)水龙头关闭不严会造成滴水.为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小

组进行以下试验与探究：

试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每5根讥记录一次容器中的水量，但由于操

作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据.

时间t/min510152025…

水量y/mZ,173247a77…

(1)探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量y与时间f的关系：①丫二^，②丫二

kt+b,®y=pt1+qt+r,你认为选用函数(填序号)模拟最合理(不必说明理由)，并求出相应的

函数表达式和漏记的。值；

(2)应用：

①兴趣小组用100〃4量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？

②成年人每天大约需饮水1600mL,请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？(结

果保留一位小数)

17.(2024•万山区一模)排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测

试中，某生在。处将球垫偏，之后又在4、8两处先后垫球，球沿抛物线G-C2-C3运动(假设抛物

线。、C2、C3在同一平面内)，最终正好在。处垫住，。处离地面的距离为1米.如图所示，以。为

坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，无轴平行于地面水平直线处已知点4(|,各，点8的横坐

标为—抛物线Ci表达式为^二。%2-2ox和抛物线C3表达式为yuZaf+b尤(aNO).

(1)求抛物线Ci的函数表达式；

(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；

(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处2离地面的高

18.(2024•龙马潭区二模)如图，抛物线y=a/+5or+b经过点£>(-1,-5),且交x轴于A(-6,0),

8两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,过点。作。轴，垂足为点尸在直线下方抛物线上运动，过点P作PELAO,

PFA.DM,求VIPE+P尸的最大值，以及此时点P的坐标.

V5

(3)将原抛物线沿射线C4方向平移］■个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G,使得/CAG=45°,

请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程.

备用图

19.(2024•重庆模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+6*+c与％轴交于a*，0)、8(-

2,0)两点，与y轴交于点C,连接AC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,直线交彳轴于点。(2,0),点尸为线段AC下方抛物线上的一点，过点尸作

轴交直线CD于点H,在直线CD上取点Q,连接PQ,使得HQ=PQ,求2PQ-卓的最大值及此时

P点的坐标；

(3)连接BC,把原抛物线y=4/+族+£：沿射线2。方向平移2有个单位长度，点M是平移后新抛

物线上的一点，过点M作MN垂直x轴于点M连接AM,直接写出所有使得的点M

的横坐标.

20.（2024•临沂一模）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的

冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图，是乒乓球台的截面示意图，

一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75c机的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，

乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm）,乒乓球运行

的水平距离记为无（单位：cm）.测得如下数据：

水平距离x/cm0105090130170230

竖直高度ylem28.7533454945330

（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm,当乒乓球落在对面球台上时，到

起始点的水平距离是cm；

②求满足条件的抛物线解析式；

（2）技术分析：如果只上下调整击球高度OA,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能

过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练.如图②.乒乓球台

长OB为274cm,球网高CD为15.25c〃z.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为

1.27cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的OA值（乒乓球大小忽略不计）.

图①图②

参考答案与试题解析

—.解答题（共20小题）

1.（2024•楚雄州一模）网络直播带货已经成为一种热门的销售方式.某水果生产商在一销售平台上直播

销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数

关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克.设

销售枇杷的日获利为卬（元）.

销售单价元（元）2227

日销量y（千克）200150

（1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；运算能力.

【答案】（1）y=-10x+420；

（2）当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利w最大，最大利润为1210元.

【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；

（2）先根据利润=销售量X（销售单价-成本价）求出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性

质求解即可得.

【解答】解：（1）设日销售量y与销售单价尤的函数关系式为y=fcc+b（20）,

由题意得:｛露M瑞

解得仁深

则日销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-lOx+420；

（2）由题意得：w=（-10.r+420）（x-20）

=-10^+620%-8400

=-10（x-31）2+1210,

：20WxW32,-10<0,

由二次函数的性质可知，当x=31时，w取得最大值，最大值为1210,

答：当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利w最大，最大利润为1210元.

【点评】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题

关键.

2.(2024•沈丘县一模)如图，抛物线：y=/+6x+c的图象与x轴交于A和8(-3,0)两点，与y轴交于

C(0,-3),直线》=无+初经过点3,且与y轴交于点。，与抛物线交于点E,与对称轴交于点f

(1)求抛物线的解析式和E点坐标；

(2)在y轴上是否存在点P,使得以。、E、尸为顶点的三角形与△BO。相似，若存在，直接写出点产

的坐标；若不存在，试说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=/+2x-3,点E的坐标为(2,5)；

(2)点尸的坐标为(0,7)或(0,5).

【分析】(1)把B(-3,0),C(0,-3)代入y=f+6x+c,求出抛物线解析式，把B(-3,0)代入

y^x+m,求出直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式求出点E的坐标；

(2)通过坐标求出OE和BD的长,利用分类讨论思想分和两种情况，

从而求出点P的坐标.

【解答】解：(1)把8(-3,0),C(0,-3)代入y=f+bx+c,

得e二学解得已二、

抛物线的解析式为y=/+2x-3,

把8(-3,0)代入y=x+m,

直线BE的解析式为丫=尤+3,

2+2X33

{y：x+3--»＜：5＜：0(点8的坐标，舍去),

.♦.点E的坐标为(2,5)；

(2)把x=0代入y=x+3,得y=3,

.•.点。的坐标为(0,3),

:点E的坐标为(2,5),点8的坐标为(-3,0),

：.DE=2V2,BD=3V2,

由于点尸在y轴上，设P(0,a),则P£)=a-3,

①若ABODSAPED,

,ODBD口“33V2

得=,即-尸=---，

DEPD2V2PD

解得PD=4,

.•.点P的坐标为(0,7),

②若ABODs^EPD,

BDOP3V23

得--=---,即-，

DEPD242F=P--D--

解得尸。=2,

.,.点P的坐标为＜0,5),

综上所述，点尸的坐标为(0,7)或(0,5).

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，求两函数交点的坐标，相似三角形的

性质，第(2)题的难点在于利用分类讨论思想求出点P的坐标.

3.(2024•新泰市一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=a?+及+c的图象与x轴交于A、8两点，与y

轴交于点C(0,2),且顶点P的坐标为(-1,3).

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,点。(-|,1),若点“是二次函数图象上的点，且在直线C。的上方，连接MC,MD.求

△MCD面积的最大值及此时点M的横坐标；

(3)如图2,设点。是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC,将线段QC绕点。逆时

针旋转90°,点C的对应点为F,直线PF交抛物线于点E(点E与点P不重合)，判断此时能否求出

点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】代数几何综合题；分类讨论；图形的全等；推理能力.

【答案】(1)y=~x2-2x+2；

r125

(2)点M的横坐标为：时，面积的最大值为一；

464

(3)能求出点E的坐标，点E的坐标为(-2,2).

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)由AMCD面积=SAMHD+S^MHC,即可求解；

(3)证明(A4S),得到CG=2-t=QN,QH=\=FN,则点F(L3,什1),求出直

线尸尸的表达式，进而求解.

【解答】解：(1)设抛物线的表达式为：y="(x-h)2+k=a(x+1)2+3,

当x=0时，y=a(0+1)2+3=2,

解得：a=-1,

则抛物线的表达式为：y=-(x+1)2+3=-X2-2X+2；

(2)如图1,过点加作"“〃,轴交于点”，

由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=3+2,

1

设点M(m,-m2-2m+2),点、H(m,—m+2),

则△MCZ)=S/\MHD+S/\MHC=(XC-XD)=ix[(-m2-2m+2)-(m+2)]xf=—7(m2+5m),

ZZZ4,Z

<0,故函数由最大值，

r125

当m=一9时，AMCD面积的最大值为~7丁；

464

(3)能求出点E的坐标，理由：

设点。(-1,力,如图2,

①当点。在点C的下方时，

过点Q作x轴的平行线交y轴于点H,交过点尸与y轴的平行线于点N,

VZFQN+ZQFN=90°,ZFQN+ZCQH=90°,

：.ZFNQ=ZQCH,

；/N=NCHQ=90°,CQ=QF,

：.AQNF^/\CHQ(44S),

CH=2-t=QN,QH=1=FN,

点尸(f-3,t+1),

由点尸、尸的坐标得，直线尸尸的表达式为：y=x+4②，

联立①②得：x+4=-7-2尤+2,

解得：x=-2(不合题意的值已舍去)，

即点£(-2,2).

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋

转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质.

4.(2024•雅安模拟)某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与

销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元.

(1)直接写出y与x之间的函数关系式：

(2)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？

(3)设每天的总利润为卬元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？

y(千克)

150--------

100--------匚一-二

।

।

।

__।.

ol3080X(元/千克)

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；待定系数法求一次函数解析式.

【专题】一次函数及其应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设y与尤之间的函数关系式为>=丘+6(左N0),由待定系数法求解即可；

(2)利用总利润等于每千克的利润乘以销售量，列出函数关系式并根据问题实际得出自变量的取值范

围，并根据每天所获利润为3600元，建立方程，求解即可；

(3)将w关于x的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案.

【解答】解：(1)设y与龙之间的函数关系式为>=丘+6(ZWO),

将(30,150)；(80,100)分别代入得：

(30k+b=150

l80fc+b=100'

解得：K=

S=180

与x之间的函数关系式为y=-x+180；

(2)设利润为卬元，

由题意得：

w=(x-30)(-x+180)

=-7+210x-5400,

；.w=-^+21Ox-5400(30WxW80)；

令-7+21Ox-5400=3600,

解得x=60或x=150(舍)，

如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；

(3)由(2)知，w=-(%-105)2+5625,

V-1<0,

当尤W105时，w随x的增大而增大，

：30。（80,

.•.当尤=80时，w最大，最大为5000元.

当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元.

【点评】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函

数的性质是解题的关键.

5.（2024•红塔区三模）在二次函数了=/-2我+3（?>0）中，

（1）若它的图象过点（2,1）,贝h的值为多少？

（2）当0WxW3时，y的最小值为-2,求出，的值.

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

3

【答案】（1）

2

（2）t=V5.

【分析】（1）将点坐标代入解析式，求解；

（2）分情况讨论：①时，对称轴在直线x=3右侧或与x=3重合，②Y3时，分别确定自变量取

值范围内的函数极值，建立方程求解.

【解答】解：（1）图象经过点（2,1）,

/.4-4/+3=1,解得t=去

（2）y=J?-2fx+3=（x-f）2+3-F,

时，y谩，僮=3—产

①时，对称轴在直线x=3右侧或与尤=3重合，

y最小值=32-2tx3+3=-6t+12=-2,解得t=（（舍去）；

②<3时，对称轴在直线尤=3左侧，

丫最小值=3一仔=_?，解得t=一有（舍去）或^=有；

综上，t=小.

【点评】本题考查二次函数的性质，根据自变量取值范围确定函数极值是解题的关键.

6.（2024•金乡县三模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售

利润不高于进价的50%.在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价

每提高5元，则每天销售量减少50件.设销售单价为x元（销售单价不低于35元）

（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？

(2)求这种儿童玩具每天获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；

(3)当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据儿童玩具进价为每件30元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%,求出尤的

取值范围；

(2)根据总利润=每件利润X销售量列出函数解析式；

(3)根据(2)中解析式，由函数的性质和x的取值范围求出最大值.

【解答】解：(1)：xW30X(1+50%)=45,

；.xW45,

当x=45时，每天的销售量为350-50x坦萨=250(件)，

当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；

(2)根据题意得，w=(350—^^x50)(x-30)=(-10x+700)(尤-30)=-10x2+1000x-21000,

...这种儿童玩具每天获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式为w=-10?+1000x-

21000；

(3)Vw=-10?+1000x-21000=-10(x-50)2+4000,

'：a=-10<0,对称轴x=50,

,.”W45,

.•.当x=45时，w最大=-10X(45-50)2+4000=3750,

答：当销售单价为45时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

7.(2024•德城区一模)以x为自变量的两个函数y与g,令h=y-g,我们把函数/i称为y与g的“相关

函数”例如：以尤为自变量的函数y=/与g=2x-1它们的"相关函数"为h=y-g=7-2x+l.仁？

-2x+l=(x-1)22。恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量尤取何值，恒成

立.

(1)已知函数与函数g=4x+l相交于点(7,-3)、(3,13),求函数y与g的“相关函

数”h；

(2)已知以尤为自变量的函数y=3x+f与g=x-2,当x>l时，对于x的每一个值，函数y与g的“相

关函数”/7>0恒成立，求r的取值范围；

(3)已知以x为自变量的函数>=/+云+。与g=-2bx-c(a、6、c为常数且a>0,bWO),点0)、

8(-2,V1),C(1,”)是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足2c<y2<yi,求函数h

的图象截x轴得到的线段长度的取值范围.

【考点】二次函数综合题.

【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】(1)2x-3；

(2)/2-4；

(3)函数w的图象截x轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1.

【分析】(1)利用待定系数法求得y=/+2x-2,进而得至4=y-g=(x2+2x-2)-(4x+l)=x2-2x

-3；

(2))首先推导出相关函数〃=y-g=2x+什2,进而得到当x〉l时，对于％的每一个值，函数y与g的

“相关函数”h>0恒成立，h=2x+t+2>0(x>l)恒成立，当x=l时，卬=什4,当x>l时，什420

恒成立，所以湿-4；

(3),函数y=cu?+bx+c与g=-2bx-c,推导出h=aW+3bx+2c,进一步解得yi=4〃-6A+2c,y2=

,121h

q+3Z?+2c,从而得到c=—ga—由2c<y2<yi9推导了出2c<a+3b+2c<4a-6b+2c,得到一不<-<

ib__________________

可且lH0,最后求得函数h的图象截x轴得到的线段长度为：|%i-J(久1+%2尸—4/％2=

2

零—§£=匡_8(一齐¥]U+a2+6afo=|a+3b|=|1+3t|)进而得到—£vtv/且fWO.

、aa、aa33

【解答】解：⑴•••已知函数尸/+如+〃与函数g=4x+l相交于点(7,-3)、(3,13),代入得：

[(—1)2—m+n=—3

I32+3m+n=13

解得｛根=2

l几=—2

函数y=x2+2x-2,

•\h=y-g=(X2+2X-2)-(4x+l)=/-2x-3；

(2)•函数y=3x+/与g=x-2,

・•・相关函数h=y-g=2x+/+2,

・・,当x>l时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”力>0恒成立，

：.h=2x+t+2>0(x>l)恒成立，

当x=l时，w=2X1+/+2=/+4,

当x>l时，什420恒成立，所以/2-4；

(3)*.*函数y=ax*1+bx+c与g=-2bx-c,

h=aj?+3bx+2c,

将点0),5(-2,yi),C(1,>2)代入解析式得:

13

-a+-b+2c=0,

42

yi=4〃-6b+2c,”=〃+3/?+2。，

c=—oa--rh,

*.*2c<yi<y\,

2C<4Z+3Z?+2C<4<2-6b+2c,

解不等式得：-V且2丰0)

5asa

All

令t——,则一且/WO,

设函数/l与X轴交于(XI,0),(X2,0),

.*.xiX2是方程«x2+3ta+2c=0的两根，

3b2c

••X1+%2=一-----Xi■%2=-------

a1za

9后8c

二・函数h的图象截X轴得到的线段长度为：|%1-％2I=J（%1+第2）2-4%1%2=

a2a

22

9b28（一患一挈）9b+a+6ah,a+3b.M,o+l

、百CL--a-=、-----“次----=I-一1=|1+34‘

11

—2<t<可且rWO,

；.0<|1+3|<2且|l+3r|Wl,即0<|xi-X2|<2且田-X2|W1,

函数w的图象截无轴得到的线段长度的取值范围大于0小于2且不等于1.

【点评】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，

理解“相关函数”的定义.

8.（2024•市中区校级一模）如图，已知抛物线>=0?+桁+5与无轴交于A（-1,0）,B（5,0）两点（点

A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

(2)点。是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,8不重合)，过点。作。尸，x轴于点F,交直

线8C于点E,连接直线BC能否把△B。尸分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的

坐标；若不能，请说明理由.

(3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△KBC为直角三角形，请直接写出点〃的坐标.

【考点】二次函数综合题.

【专题】代数几何综合题；函数的综合应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用待定系数法求解可得；

(2)利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=-x+5,设。(x,-/+4x+5),则E(尤，-x+5),F

(x,0),(0<x<5),贝-7+5尤，EF=-x+5,利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF=2：

3时，SABDE：SABEF=2：3；当DE：EF=3：2时，S^BDE：S&BEF=3：2,从而可得到关于x的方程，

然后解方程求出尤就看得到对应的D点坐标；

(3)先确定抛物线的对称轴，如图，设M(2,力，利用两点间的距离公式得到8c2=50,-

lOr+29,MB2=r+9,利用勾股定理的逆定理分类讨论：当8。2+林外=加#时，△方皿为直角三角形，

则50+r-10什29=尸+9；当BC2+MB2^MC2时，ABCM为直角三角形，则50+?+9=?-10Z+29；当

MC2+MB2=BC2时，为直角三角形，则於-10什29+及+9=50,然后分别解关于f的方程，从而

可得到满足条件的"点坐标.

【解答】解：(1)将A(-1,0),B(5,0)代入>=0?+陵+5,

彳日-b+5=5

何：l25a+5Z)+5=0，

解得£=；i,

3=4

则抛物线解析式为y=-7+4尤+5；

(2)能.

设直线BC的解析式为y=kx+m,

把C（0,5）,B（5,0）代入得［誉：5

15k+m=0

解得g

=5

所以直线BC的解析式为y=-尤+5,

设。（尤，-X2+4X+5）,则E（X,-X+5）,F（x,0）,（0＜尤＜5）,

DE=-X2+4X+5-（-尤+5）=-X2+5X,EF—-x+5,

当DE：EF=2：3时，S^BDE：SMEF=2：3,即（-7+5无）：（-尤+5）=2：3,

整理得3/-17x+10=0,

*2265

解得％1=5，X2=5（舍去），此时。点坐标为（-，一）；

339

当DE：EF=3：2时，S/^BDE：SABEF=3：2,即（-x2+5x）：（-x+5）=3：2,

整理得27-13x+15=0,

0335

解得Xl=5，X2=5（舍去），此时。点坐标为（-，一）；

/24

综上所述，当点。的坐标为（马—）或（三，—）时，直线BC把△8。厂分成面积之比为2：3的两部

3924

分；

（3）抛物线的对称轴为直线尤=2,如图,

设M(2,力，

,：B(5,0),C(0,5),

.,.BC2=52+52=50,MC2=22+(/-5)2=?-10/+29,MB2=(2-5)2+?=?+9,

当BC2+MC2=A/#时，△BCM为直角三角形，ZBCM=90°,即50+於-10什29=尸+9,解得r=7,此

时M点的坐标为(2,7)；

当8。2+知22=减呼时，ABCM为直角三角形，ZCBM=90°,即50+Z+9=P-10/+29,解得r=-3,

此时M点的坐标为(2,-3)；

当MC2+M82=BC2时，△8CM为直角三角形，ZCMB=9Q°,即r2-10/+29+尸+9=50,解得fi=6,ti

=-1,此时M点的坐标为(2,6)或(2,-1),

综上所述，满足条件的M点的坐标为(2,7),(2,-3),(2,6),(2,-1).

【点