2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分训练

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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例题讲模型］

11

模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）11

习题练模型］

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

模型解读

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件,跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足:

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”，一“定”

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型证明

模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线2C外一定点，连接AP,取AP中点。，当点尸在直线上

运动时，则。点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、。向BC作垂线，垂足分别为〃、N,在运动过程中，

因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即。点到8C的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

模型2）如图，在AAP。中AP=AQ,/B40=a为定值，当点P在直线BC上运动时，则。点轨迹也是一条

直线。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,,AAPq〜AAQQ,^APPi=XAQQi，

*：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线.

模型运用

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线;

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）

为其他已知轨迹的线段求最值。

例1.（2024.山东泰安•校考一模）如图，矩形ABCD的边AB=U,BC=3,E为AB上一点，且AE=1,F

2

为边上的一个动点，连接封，若以所为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则CG

C.3D.20

例2.（2024•河北邢台・模拟预测）如图，VABC是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点.连接CE,

将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接AF，则ZC4F=，连接DF，则VCDF周长的最小值是.

例3.（2023・四川成都•模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线AC与比＞相交于点。，点E在边。C

上，连接AE,过。做。尸，AE,垂足为八连接。/，若ZDAE=30°,DE=10,则OF的最小值为.

例4.（2023•安徽•合肥三模）如图，在RdABC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点、D,E分别在2C,

AB边上，连接。E,将ABOE沿。E翻折，使点B落在点尸的位置，连接AR若四边形BEfD是菱形，则

A尸的长的最小值为（）

LL53

A.\/5B.y/3C.—D.一

22

例5.（2024・四川达州•一模）如图，在矩形ABC。中，AB=4,8c=56，点尸在线段上运动（含8,

C两点），连接AP,以点A为中心，将线段相逆时针旋转60。到AQ,连接。Q,则线段OQ的最小值为.

AD

BPC

例6.（2024.重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，。是直线y=Jx+2上的一个动点，将。绕点P（-l,0）

逆时针旋转90。，得到点Q',连接则OQ'最小值为.

例7.（2024・广东•九年级校考期中）如图，RSABC中，ZACB=90°,ZA=3O°,BC=5,点E是边AC上

一点，将8E绕点B顺时针旋转60。到即，连接CP,则CP长的最小值是（）

A.2B.2.5C.75D.@

习题练模型

1.（2024・河南周口•一模）如图，平行四边形ABC。中，AB=\6,4）=12,ZA=60°,E是边AD上一点，

且AE=8,尸是边A5上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°,得到EG,连接BG、CG,则BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4厉C.45D.历

2.（2024・湖南长沙•一模）如图，矩形A8CD中，AB=6,BC=8,尸是AB上一点，E为BC上一点，且BE=2,

连接EF,将EF绕着点£顺时针旋转45°到EG的位置，则CG的最小值为.

3.（2023•江苏宿迁•三模）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=8日点E为矩形对角线8。上一动点,

连接CE,以CE为边向上作正方形CEFG,对角线CF、EG交于点、H,连接则线段的最小值为.

4.（2023上•湖北武汉•九年级校联考期中）如图，已知/MON=30。，B为OM上一点,BA_LQV于A,四

边形ABCD为正方形，P为射线上一动点，连接CP,将C尸绕点C顺时针方向旋转90。得CE,连接BE,

若AB=2,则8E的最小值为.

5.（2023上•陕西渭南•九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AD=6,点E为边AD的中点，连接CE.点

厂是边CE上一动点，点G为边BF的中点，连接。G.当45=4时，0G的最小值是.

6.（2023上•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知点4（1,0）,点C是y轴上

一动点，设其坐标为（0,相），线段C4绕点C逆时针旋转90。至线段CB,则点2的坐标为,连接8。,

则8。的最小值是.

7.（2024•山东校考一模）如图，正方形中，AB=4,点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针

旋转90°得到点F,则DF的最小值为.

BEC

8.（2023•江苏连云港•统考一模）如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,点E为边BC上的动点，连接

AE,过点E作跖，AE,且=连接CP,则线段CF长度的最小值为.

9.（23-24八年级下.辽宁丹东•期中）如图，点B在直线/上，于点8,钻=7,点C在直线/上运动,

以AC为边作等边AACD,连接BO,则8。的最小值为

10.（2024・四川达州•三模）如图，在等腰Rt/VIBC中，ABAC=90°,AB=AC=3及,点”是BC边上一

动点，将线段AM绕点A顺时针旋转60°,得到线段⑷V,连接MV,CN,则AN+CV的最小值是

A

11.（2024・四川成都•一模）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,点、M,N为直线AO上的两个动点，且

NMBN=30。,将线段关于翻折得线段mT,连接CM，.当线段CM，的长度最小时，4cHe的度

12.（23-24八年级下•辽宁沈阳•期中）如图，RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=6,。是线

段AB上一个动点，以或＞为边在"LBC外作等边△3DE.若歹是DE的中点，连接CF,则CE的最小值

为.

13.（2024九年级下•江苏.专题练习）等边“1BC边长为6,。是BC中点，E在AD上运动，连接8E,在BE

下方作等边△3EF，则V班不周长的最小值为.

14.（23-24九年级下•湖北武汉.阶段练习）在等腰AABC中，AC=AB,。是2C延长线上一点，E是线段A3

上一点，连接交AC于点凡

（3）如图3,若Nl=60。，BC=2CD=6,E在直线AB上运动，以DE为斜边向上构造直角且/E=

30°,请直接写出CT的最小值是

15.（2023•山东临沂•二模）如图，矩形ABCD中，AB=2出,AD=2,点E在线段BC上运动，将AE绕点

A顺时针旋转得到反，旋转角等于ZB4C,连接CF.

⑴当点E在8C上时，作句0，47,垂足为求证：AM=AB；（2）连接。尸，点E从点8运动到点C的

过程中，试探究DF是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由.

ABAB

16.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，点A、B、M、E、歹依次在直线/上，点43固定不动，且AB=2,

分别以AB、EF为边在直线/同侧作正方形ABCD、正方形EFGH,ZPMN=90P,直角边MP恒过点C,直

角边MN恒过点（1）如图1,若BE=10,EF=U,求点M与点5之间的距离；（2）如图1,若BE=10,

当点M在点8、E之间运动时，求HE的最大值；（3）如图2,若BF=22,当点E在点3、歹之间运动时，

点〃随之运动，连接“，点。是CH的中点，连接Tffi、MO,则2OM+HB的最小值为.

17.（23-24九年级上•辽宁沈阳・期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问

题：四边形ABCD是边长为3的正方形，点E是边AD上的一动点，连接CE,以CE为一边作正方形CEFG

（点C,E,F,G按顺时针方向排列），连接DG.

（1）如图1,求点G到C。的距离，请写出解答过程；

【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：

（2）如图2,当正经过点。时，求。G的长，请写出解答过程；

【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，

于是给同学们留了一道思考题：

（3）求代数式同G+3b的最小值.经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路;

解题思路：如图3,作等腰直角△ACK，使NCA片=90。，连接AC,CF,AF,则点C,D,月三点共线,

AC

由NAC尸=NOCG,可得△ACPS\DCG,

DCCG2

由/F]CF=ZACE,工工0可得△(7耳尸s/^cAE1,请完成“”部分的解答过程.

ACCE

G

图1图2

18.（2024・山东济南.一模）【问题情境】：（1）如图1,四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，

以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连接OG、BE,则。G与BE的数量关系是.

【类比探究工（2）如图2,四边形ABCD是矩形，A8=4,BC=6,点E是AD边上的一个动点，以CE为

边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=2:3,连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系:

并说明理由：

【拓展提升】：（3）如图3,在（2）的条件下，连接BG,求］2G+2E的最小值.

F

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）11

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

模型解读

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件,跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足:

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”，一“定”

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型证明

模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线2C外一定点，连接AP,取AP中点。，当点尸在直线上

运动时，则。点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、。向BC作垂线，垂足分别为〃、N,在运动过程中，

因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即。点到8C的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

模型2）如图，在AAP。中AP=AQ,/B40=a为定值，当点P在直线BC上运动时，则。点轨迹也是一条

直线。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,,AAPq〜AAQQ,^APPi=XAQQi，

*：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线.

模型运用

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线;

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）

为其他已知轨迹的线段求最值。

例1.（2024.山东泰安•校考一模）如图，矩形ABCD的边AB=U,BC=3,E为AB上一点，且AE=1,F

2

为边上的一个动点，连接封，若以所为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则CG

C.3D.20

【分析】过点G作G7/L4B于氏过点G作由“AAS”可证AGEH咨△EE1,可得GH=AE=1,可

得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当产与方重合时，CG有最小值，即可求解.

【详解】解：如图，过点G作G//LA3于X,过点G作MN〃48,

：.ZB=9Q°,CD=—,AD=3,

2

9

VAE=1,:.BE=—,VZGHE=ZA=ZGEF=90°,

2

ZGEH+NEGH=90°,ZGEH+/尸EA=90°,二NEGH=ZFEA,

又,：GE=EF,丝△EE4（AAS）,：.GH=AE=1,

...点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，

当厂与。重合时，CG有最小值，此时A/=E//=3,

月-T+2=(

；.CG的最小值=故选B.

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键.

例2.(2024•河北邢台・模拟预测)如图，VABC是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点.连接CE,

将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.连接A/，则ZCAF=,连接OF,则VC£>/调长的最小值是.

A

【答案】30°1+6

【分析】证明△C3E会△C4尸(SAS)可得NC4/=NCBE=30。，得到点尸在射线AF上运动，如图所示，作

点C关于AF的对称点C',连接。C',可得当D,F,C'三点共线时，FC+FD取最小值，即

FC+FD=F'C+F'D=CD,由/4。0=90。-/。10=60。得到/(7=30。，即得CO=LcC'=l,进而由勾

2

股定理得CD=JCC'2-CD?=百，据此即可求解.

【详解】解：为等边三角形，E为高3。上的动点，.•.NC2E=：/ABC=30。，BC=AC,

•.,将CE绕点C顺时针旋转60。得到CE,:.CE=CF,NECF=/BC4=60。，

:.ZBCE=ZACF,.-.VCBE^VC4F(SAS),ZCAF=ZCBE=30°,点尸在射线AF上运动，

如图所示，作点C关于"的对称点C',连接DC',

设CC'交AF于点0,则/AOC=90°,在R/AAOC中，ZCAO=30°,则CO=；AC=1,

当D,F,C'三点共线时，FC+FD取最小值，即/C+ED=AC'+ED=C'O,

ZACO=90°-ZCAO=60°,/./C'=90°-ZDCO=90°-60°=30°,

-：CC'=AC=2,：.CD=^CC'=1,：.CD=^CC'2-CD1

.••V8F周长的最小值为1+百，故答案为：30°；1+73.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之

间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

例3.（2023・四川成都•模拟预测）如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与比>相交于点。，点E在边。C

上，连接AE,过。做垂足为尸，连接。尸，若/D4E=30。，DE=10,则。尸的最小值为.

【答案】土立

2

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含30。直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据

面积法可计算DF的长为56,根据三角形的三边关系可得：尸是一个定点，。的轨迹为4）中垂线上的一

部分，所以垂线段最短，可知FN的长是O歹的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论.

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形，

:.ZADE^90°,AC=BD,OA=-AC,OD=^BD,:.OA=OD,

22

■：ZDAE^30°,DE=10,：.AE=2DE=20,AD=^AE2-DE2=7202-102=10>/3.

■.■DFYAE,SiAD£=|xl0xl0^=1x20xDF,=

•.•■F是一个定点，。的轨迹为AO中垂线上的一部分，如下图所示，过点尸作EPLAD于P,过点。作

OMLAD于过点尸作于N,所以垂线段最短，则。产的最小值为FN的值，

A

BC

■,■FP//DE,:.ZDFP=NEDF=30°,:.PD=-DF=—,RtAADE中，AD=10A/3,

22

­.•OMLAD,OA=OD,■-AM=DM=5-^3,■-FN=PM=5-s/3--=—,

22

即。产的最小值为挛.故答案为：挛.

22

例4.（2023•安徽•合肥三模）如图，在MA4BC纸片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,点D,E分别在5C,

A8边上，连接。E,将△BCE沿。E翻折，使点B落在点E的位置，连接AF,若四边形是菱形，则

AF的长的最小值为（）

l厂53

A.^/5B.6C.-D.一

22

【答案】A

【分析】连接BF交ED于点0,设石厂与AC交于点G.根据菱形的性质可得点方在NABC的平分线上运动,

从而得到当AFLBF时,AF的长最小.再证明ABEOsABAF,可得BE=^AB=AE,再证明xAGEsAACB,

EG=-BC=1.5,AG=^-AC=2,从而得到GF=1,再由勾股定理，即可求解.

22

【详解】解：如图，连接2尸交由于点。，设与AC交于点G.

四边形BEFD是菱形，...B尸平分N42C,点F^.ZABC的平分线上运动，

...当尸时，AF的长最小.在菱形8£7切中，BFLED,OB=OF,EF//BC,

-B--E---O---E----B--O--——1Rk——1……

:.EO〃AF,：.ABEOs丛BAF,：.ABAFBF2,2,

在RGABC中，AC=4,BC=3,：.AB=5,：.BE=AE=2.5,

\'AF±BF,：.EF=2.5,,:EF//BC,：./\AGE^/\ACB,

=—=—=ZAGE=ZACB=9Q°,：.EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,：.GF=EF-EG=1,

BCACAB222

2222

VZAGF^ZAGE=90°,：.AF=A/AG+GF=72+l=A/5,故选：A

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角

形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点尸在NABC的平分线上运动是解题的关键.

例5.（2024・四川达州•一模）如图，在矩形ABC。中，AB=4,8c=5百，点尸在线段8c上运动（含8,

C两点），连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60。到AQ,连接。Q,则线段OQ的最小值为.

71

【答案】-Z3-/3.5

22

【分析】如图，以AB为边向右作等边△■,作射线尸。交AD于点E,过点。作。于X.利用全

等三角形的性质证明ZAFQ=90。，推出“犷=60。，推出点。在射线FE上运动，求出可得结论.

【详解】解：如图，以A8为边向右作等边AAB/，作射线歹。交AD于点E,过点。作于5.

••,四边形ABC。是矩形，，=284。=90。，：△ABFAAPQ都是等边三角形，

/.ABAF=APAQ^6Q°,BA=FA,PA=QA,；.ZBAP^ZFAQ,

'BA=FA

在ABAP和△E4Q中,</BAP=ZFAQ,：./△E4Q(SAS),；.ZABP=ZAFQ=90。，

PA=QA

•：ZFAE=90°-60°=30°,ZAEF=90°-30°=60°,

VAB=AF^4,.-.AE=^—=—,.•.点。在射线FE上运动，

cos3003

,:AD=BC=56，**.DE=AD-AE=^-,VDHrEF,ZDEH=ZAEF=60°,：.

3

DH=DEsin60。=述x@=L据垂线段最短可知，当点。与〃重合时，的值最小，最小值为1.

3222

7

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点。的在射

线FE上运动.

例6.（2024重庆模拟预测）如图,在平面直角坐标系中，Q是直线y=1x+2上的一个动点，将Q绕点尸（-L。）

逆时针旋转90。，得到点Q',连接OQ',则OQ'最小值为.

【答案】a

【分析】设矶2,；大+2）,作ABIx轴，作AQLAB,作Q3LA8,根据A4s可证明V/园由此

可求。'（一；力-3"+1）,令矛=一；力-3,y=t+l,可得Q'在直线y=一2矛-5上运动，当。0'±廊时，

02'的值最小，再由tan/C£>0=：得tan/庞？=!，进而得出OE=5,即可得出答案.

【详解】设。（力,；力+2）,过点尸作人x轴，过点。作AQLAB交于A点，过点。作。'8,A8交于8点,

,/AQPQ'=90°,40PA+AQ'PB=90°.

,/AQPA+AAQP=90°,/.AQ'PB=/AQP.

QP=Q'P,：.^APQ^BQ'P(AAS),：.QA=PB,AP=Q'B.

,：P(-l,0),；.3=-t—1,AP=-t+2,；.Q'{--t-3,t+1),

22

令x-f-3?y—t+\,y=-2x—5,

2

.•.点Q'在直线y=-2x—5上运动，当。0'，版时，OQ'的值最小.

在y=Jx+2中，令x=0,贝ljy=2,令y=0,贝lJx=T,C(0,2),D(-4,0),AtanZCDO=1.

ACDO=AOEQ',：.tan/OE。'=；,Q'E=200',

在y=—2x—5中，令x=0,则y=-5,.*.^(0,-5),：.OE=5.

,/WY+(£「y=OE2,即5(07)2=25,解得W=75，所以。Q'的最小值为君.故答案为：下.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点Q'的运

动轨迹是解题的关键.

例7.(2024・广东•九年级校考期中)如图，RtAABC中，/ACB=90。，ZA=30°,BC=5,点E是边AC上

一点，将防绕点B顺时针旋转60。到即，连接CP,则CF长的最小值是()

A.2B.2.5C.45D.好

2

【答案】B

【分析】取的中点为点。，连接DE,过点。作。HLAC,垂足为H,在Rt^ABC中，利用含30度角

的直角三角形的性质可求出的长，NABC的度数，再根据线段的中点定义可得4。=即=3"=5,从

而可得£>〃=[AD=2.5,然后利用旋转的性质可得：BE=BF,ZEBF=60%从而利用等式的性质可得

ZABE=/CBF,进而利用SAS证明最后利用全等三角形的性质可得OE=CF,再根据

垂线段最短，即可解答.

【详解】解：取的中点为点。，连接OE,过点。作AC,垂足为H,ZA/7D=90。，

A

VZACB^90°,ZA=30°,BC=5,：.AB=2BC=10,ZABC=90°-ZA=60°,

丁点。是AB的中点，，^0=2。=工42=5,OH=^AD=2.5,

22

由旋转得：BE=BF,ZEB尸=60。，/.ZEBF=ZABC=60°,

Z.EBF-NEBC=ZABC-NEBC,/.ZABE=ZCBF,

•；BD=BC=5,：.△B£>£,^ABCF(SAS),:.DE=CF,

当DEIAC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2.5,

.••CP长的最小值是2.5,故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

习题练模型

1.（2024・河南周口•一模）如图，平行四边形ABC。中，AB=\6,4）=12,ZA=60°,E是边AD上一点，

且AE=8,尸是边A5上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°,得到EG,连接BG、CG,则BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4厉C.45D.历

【答案】C

【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知

识.取AB的中点N.连接EN,EC,GN,作瓦/LCD交。的延长线于//.利用全等三角形的性质证明

ZGNB=6OP,点G的运动轨迹是射线NG,由“SAS”可证名△及»/,可得GB=GE,推出

GB+GC=GE+GC>EC,求出EC即可解决问题.

【详解】解：如图，取A3的中点N.连接EN,EC,GN,作交。的延长线于

■.■AE=8,AD=12,:.DE=4,,点N是A8的中点，:.AN=NB=8,:.AE^AN,

-.-ZA=60°,.•△AEN是等边三角形，:.ZAEN=ZFEG=6Oa,.-.ZAEF=ZNEG,

■.■EA=EN,EF=EG,:.AAEF沿ANEG（SAS）,:.ZENG=ZA=Gd°,

■.■ZANE=60°,ZGNB=180°-60°-60°=60°,.,.点G的运动轨迹是射线NG,

■：BN=EN,ZBNG=ZENG=60°,NG=NG,：.AEGN^BGN（SAS）,:.GB^GE,:.GB+GC=GE+GC>EC,

在RtAD£W中，ZH=90°,DE=4,NEDH=60°,:.DH=；DE=2,EH=2日

在RtZXECH中，EC=JEH。+CH2=《12+=4庖，，G3+GCN2,.iGB+GC的最小值为4万，故选：C.

2.（2024•湖南长沙.一模）如图，矩形ABCD中，AB=6,3C=8,尸是上一点，E为BC上一点,且比=2,

连接斯，将防绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，则CG的最小值为.

【答案】3夜+2/2+3夜

【分析】将线段迎绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT,ED,设匹交CG于J.证明

厂咨AETG（SAS）,根据垂线段最短计算即可.

【详解】解：如图，将线段班绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT,ED,设ED交CG于J.

•..四边形ABC。是矩形，AB=6,BC=8,BE=2,

：.AB=CD=6,BC=8,EC=CD=6,ZB=ZBCD=90°,：.ZCED=ZCDE=45°,

'：ZBET=ZFEG=45°,?.ZBEF=Z.TEG,

EB=ET

在AEBF和AETG中，:<NBEF=NTEG,/.AEBF均ETG（SAS）：.ZB=ZETG=90°,

EF=EG

.•.点G的在射线7U上运动，，当CGLTG时，CG的值最小，

,/ZCED=ZCDE=45°,ZBET=ZFEG=45°ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

.,•四边形E7G7是矩形，ADE//GT,GJ=TE=BE=2：.CJ工DE,

NEC!=ZDC7=45°,：.CJ=ECsin45°=30，ACG=GJ+CJ=3y/2+2,

CG的最小值为3立+2,故答案为：372+2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，

熟练掌握相应的知识是解题的关键.

3.（2023•江苏宿迁•三模）如图，在矩形ABCD中，4B=8,BC=8有，点E为矩形对角线8。上一动点,

连接CE,以CE为边向上作正方形CEFG,对角线b、EG交于点、H,连接则线段。，的最小值为

G

BC

【答案】20

【分析】作CTLBD于点/，则NE7C=90。,由正方形的性质得/EHC=9（T,CH=EH,所以

NHCE=ZHEC=45。,取CE的中点0,连接OH、。/,以点。为圆心0E为半径作QO,则点H、点/都在O。

上，所以/"=/HCE=45。,可知点H在过点/且与直线BD所交成的锐角为45。的直线上运动，则当

时，线段£）〃的值最小，此时走由矩形的性质得N3CD=90。，CD=AB=8,则

2

BD=yJCD2+BC2=16,由==三=cosZBDC得〃）=«=4,所以=卫x4=2后，于是得到问题的

CDDDBD2

答案.

【详解】如图1,作C/_LBD于点/,则NE/C=90。,•.•四边形CEFG是正方形，

图2

CF±EG,CH=FH=-CF,EH=GH=-EG,S.CF=EG,

22

NEHC=90°,CH=EH,ZHCE=NHEC=45°,

取CE的中点O,连接OH、O/,以点。为圆心OE为半径作。。，

•：OH=01=0E=LcE,：.点、H、点/都在上，.〔NHffi=N"CE=45。，

2

点H在过点/且与直线8。所交成的锐角为45°的直线上运动，

.•.当田时，线段的值最小，如图2,。“，出,则/。/〃=90。，

点H、点/都在以CE为直径的圆上，；.ZHID=180°-ZHIE=NHCE=45°,DH=ID-sin45=—ID,

2

:四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=8/,.1N3CD=90。,CD=A3=8,

:.BD=^CD-+BC-=加+L扃=16，-：^CID=90。,%=工=cos/BDC,

V\/CDBD

:.ID^—=—=4,;.DH=—X4=242,：.DH的最小值为2虚,故答案为：2后.

BD162

【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角

形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

4.（2023上•湖北武汉•九年级校联考期中）如图，已知/MON=30。，B为OM上一点、,B4LON于A,四

边形ABC。为正方形，P为射线上一动点，连接CP,将CP绕点C顺时针方向旋转90。得CE,连接BE,

【答案】1+V3/V3+1

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合

应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解

答.连接尸£»,依据SAS构造全等三角形，即ABCE怂ADCP,将8E的长转化为尸O的长，再依据垂线段最

短得到当尸。最短时，BE亦最短，根据/MON=30。，00=2+26，即可求得尸。的长的最小值.

【详解】解：如图，连接尸£>,

M

由题意可得，PC=EC,NPCE=90°=NDCB,BC=DC,：.ZDCP=ZBCE,

DC=BC

在ADCP和ABCE中，，ZDCP=ZBCE,；.ADCP^ABCE(SAS)，,PD=BE,

CP=CE

当DPLON时，尸。最短，此时BE也最短,

VZAOB=30°,AB=2=AD,03=2x2=4,OA=dU―爰=2石OD=OA+AD=2^+2,

...当OP，。加时，DP=-6>D=2+2^=l+V3,，8E的最小值为l+石.故答案为：1+6

22

5.（2023上•陕西渭南•九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，&。=6,点E为边4）的中点，连接CE.点

厂是边CE上一动点，点G为边B尸的中点，连接。G.当AB=4时，0G的最小值是.

AED

【答案】y

【分析】取2c的中点连接加/,作DGUAH于点G',根据四边形ABCD为矩形，AD=6得">=3。=6,

根据点E为边AD的中点，点H为BC的中点，得AE=DE=3,=8=3,可得AE=CH,根据AE〃CE

得四边形AHCE为平行四边形，则A??〃CE,根据=得与郎的交点为防的中点，根据G为防

的中点，得AH过点G,即点G在线段AH上随点/运动而运动，当DGLAH时有最小值，则DG'即为所

求，根据勾股定理得=5,根据AD〃3C得=根据NABH=NOG'A=90。得

ARAH

AABHSADGA,则f=k，进行计算即可得.

DGDA

【详解】解：如图所示，取2c的中点H,连接作DG'LAH于点G',

AED

BHC

•.•四边形A