2025年人教版七年级数学寒假提升讲义：几何图形初步（3重点串讲+17考点提升+过关检测）（解析版）

专题06几何图形的初步

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考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

考点聚焦

平面图形各脚在同一平面

----------------------------------

概念-------图形各髓叼在同一平面

联系图形某蜩分是平面图形

两个端点

特点:可跑

融无方向

基本性质点之间，线段最短

有一^^^

特点;不可以度量

线附可以向一个方向无限延伸

词错射线BAO寸线AB是不同的射线

几何图形初步有端点

特点「高以向两端无限延伸

直线不可

公理两点确定，直线

两钿线组成

定义有公？墉点

线飙端点旋转形成

工具量角器

单位度分秒

角

双两个角的和等于90°

互余

的同角（等角）的余角相等

关系

我两个角的和等于90°

互补

的同角（等角）的补角相等

平分线的射线二等分角

重点专攻

知识点1:认识几何图形

1.立体图形

立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.

【补充】

1）同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.

2）不是所有的立体图形都有平面展开图，比如：球.

3）常见的立体图形的种类：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.

4）常见立方体图形平面展开图：

2.平面图形

平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.

几何图形的概念：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形.

【补充】几何图形不研究物体的颜色、质量、质地等性质，只关注物体的形状、大小和位置.

【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等.

3.点、线、面、体

知识点2:直线，射线，线段

直线射线线段

定义直线是几何图形基础，是一个直线上一点和它一旁的部分叫做射直线上两点和它们之间的部分

不做定义的原始概念.线.叫做线段.

图形••m

AB0A”----------------

表示方法直线AB或直线BA射线0A线段AB、线段BA

直线m射线n线段1

端点个数无1个2个

度量情况不可度量不可度量可以度量

延伸情况可向两方无限延伸只能以一方无限延伸不能延伸

作法叙述作直线AB作射线0A作线段AB作线段m

作直线m连接AB

延伸叙述反向延伸射线0A延长线段AB

反向延伸线段BA

射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射

联系

线向反方向无限延伸就成为直线.

2、有关直线的基本事实

经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.

3、线段的性质

两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量.

线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短.简记为：两点之间，线段最短.

4、线段的中点

线段的中点：如图，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB,点C就叫做线段AB的中点.

ACB

几何描述：：点C为线段AB的中点.•.AC=BCgAB或AB=2AC=2BC

【补充说明】

1）线段的中点只有一个；

2）某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：

①点必须在这条直线上.②它把这条线段分为两条相等的两条线段.

[易错点]若AM=BM,则点M不一定是线段AB的中点（点M可能在线段AB外）.

3）线段的三等分点有两个，四等分点有三个，且这些点都在线段上.

知识点3：角

1、角的定义

角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是

角的两条边.

角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角

的内部.

2、角的表示方法

角的几何符号为"N",表示方法有以下四种:

角的表示图例记法适用范围

用三个大写AZABC或任何情况都适用，但表示顶点的字母一定要写在中间，

字母表示ZCBA边上的字母写在两侧.

用一个大写Z0当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这

字母表示个顶点的字母来表示.

用一个数字Z1在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字

表示上或小写的希腊字母.

注意：数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的

用一个希腊Za

角.

字母表示

注意：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.

3、角的换算方法：

1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：10=60,，1'=60〃；

2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：1'=1'-]°,1"=1二-]'.

4、角平分线

角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.

角平分线的性质：若0C是NA0B的角平分线，则

ZAOC=ZBOC=-ZAOB,ZAOB=2ZAOC=2ZBOC；反之，若

2.......

ZAOC=ZBOC=^ZAOB(^ZAOB=2ZAOC=2NB0C),贝|OC是/AOB的角平分线.

。》提升专练------------------------------------

»考点剖析

【考点11几何图形的初步

1.（24-25七年级上•全国•期中）（1）如图是一些基本立体图形，在括号里写出它们的名称.

（）（）（）（）（）

（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由.

【答案】（1）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；（2）见解析

【分析】本题考查的是几何体的分类；

（1）根据各个几何体的特征即可得到结果；

（2）可按面分，也可按柱体分，方法不一.

【详解】解：（1）（从左至右）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；

（2）按面分：曲面：球、圆柱、圆锥；平面：长方体、三棱柱.

2.（24-25七年级上•全国,单元测试）将下列几何体按名称分类：

0@0©A

①正方体②圆柱③长方体④球⑤圆锥

柱体有:

锥体有;

球体有.（请填写序号）

【答案】（1）（2）（3）,（5）,（4）

【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键.根据柱体、锥体、球体进行分类

求解.

【详解】解：根据图形可知

柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（2）（3）；

锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）

球体属于单独的一类，球有（4）.

故答案为：（1）（2）（3）,（5）,（4）.

3.（2022七年级上•浙江,专题练习）例题：图（a）、（b）、（c）、（d）都称作平面图.

（1）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填入表中（其中Q）已填

好）.

图顶点数边数区域数

(a)463

(b)

(c)

(d)

(b)(d)

（2）观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？

⑶现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据（2）中推断出的关系，确定这个图有多少条边?

【答案】⑴见解析

⑵顶点数+区域数—边数=1

⑶边数为1997条

【分析】（1）根据图示分析即可解;

（2）根据表格的分析结果可解；

（3）根据（2）中所得出的关系即可得出答案.

【详解】（1）解：所填表如下所示：

图顶点数边数区域数

(a)463

(b)8125

(c)694

(d)10156

(2)解：由(1)中的结论得：设顶点数为n,

则边数=n+5=竽；区域数=]+1,即顶点数+区域数一边数=1；

(3)解：某一平面图有999个顶点和999个区域，根据(2)中推断出的关系有999+999—边数=1,

解得：边数为1997条.

【点睛】本题考查了平面图形的知识，注意从特殊情况入手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其

中的共同规律，这是解本题的关键.

4.(2024七年级上•全国•专题练习)观察下列几何体：①正方体；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤三棱

锥；⑥球.回答下面的问题：(用序号填空)

⑴表面都是平面的是表面没有平面的是表面既有平面又有曲面的是「

(2)只有一个表面的是二有两个表面的是有三个表面的是有四个表面的是有六个表面的是一

⑶面与面相交都是直线的是面与面相交都是曲线的是一

【答案】⑴①②⑤，⑥，③④

⑵⑥，④，③，⑤，①②

⑶①②⑤，③④

【分析】本题主要考查了常见的立体图形的特征，

(1)通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；

(2)通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；

(3)通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况；

熟练掌握它们的特征是解决此题的关键.

【详解】(1)解：•••正方体①由六个完全相同的正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成，三棱锥⑤

由多个三角形平面组成，

表面都是平面的是①②⑤，

球体⑥的表面是完全弯曲的，没有平的面，

••・表面没有平面的是⑥，

圆柱③由两个圆形平面和一个弯曲的侧面组成，圆锥④由一个圆形平面和一个弯曲的侧面组成，

•••表面既有平面又有曲面的是③④，

故答案为：①②⑤，⑥，③④；

(2)•.,球体⑥整个外表面是一个连续的曲面，只有一个表面，

••・只有一个表面的是⑥，

•・•圆锥④由一个底面圆形平面和一个弯曲的侧面组成，共两个面，

•••有两个表面的是④，

•••圆柱③由两个圆形底面和一个弯曲的侧面组成，共三个面，

有三个表面的是③，

•••三棱锥⑤由三个三角形侧面和一个三角形底面组成，共四个面，

有四个表面的是⑤，

•••正方体①由六个正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成，

.・•有六个表面的是①②；

故答案为：⑥，④，③，⑤，①②；

（3）•••正方体①、长方体②、三棱锥⑤的面与面相交的线都是直线，

•••面与面相交都是直线的是①②⑤，

•••圆柱③和圆锥④的面与面相交的线都是曲线，

•••面与面相交都是曲线的是③④，

故答案为：①②⑤，③④.

【考点21识别正方体的展开图

5.（24-25七年级上•陕西宝鸡•期中）请在下图中①②③的方格纸上分别用阴影补画一个正方形，使它与

原有的阴影正方形拼在一起折叠后可以围成一个正方体.（每图画一种）

【分析】本题主要考查了作图应用与设计作图，正方体的展开图，熟记正方体展开图的常见的11种形式是

解题的关键.根据正方体"种展开图进行求解即可.

【详解】解：如图，（画出一种即可）

①①①①

6.（2024七年级上•全国•专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图.

L—L———J——1———1—J厂———J———J———I———1———J卜———J———U»——1———1———）

图①图②图③

（1）请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体；

（2）若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值.

【答案】①见解析

（2）x=1,y=—1

【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解

答问题.

（1）根据正方体的展开与折叠解答即可；

（2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定相对面，再根据相反数

的定义求出x、y的值.

【详解】（1）解：如图所示.（答案不唯一，任选两种即可）

（2）解：根据题意，得x+l=2,即x=l,

因为一％=y,

所以y=-1.

7.（24-25七年级上•辽宁沈阳•阶段练习）问题情景:2024年6月5日是第53个世界环境日，某校七（5）

班综合实践小组进行废物再利用的环保小达人行动,他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒.

—LL_UU|人

BD

BlM2

操作探究：

(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒；(填字母)

(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与"达"字相对的是;

⑶在活动中发现，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小刚准备将其四角各剪去一个小正方形，折成

无盖长方体纸盒.若四角各剪去了一个边长为xcm(x<10)的小正方形，请求出这个纸盒的底面周长.(用含

比的代数式表示)

【答案】(1)C

⑵保

(3)(80-8x)cm

【分析】本题考查正方体的表面展开图，列代数式

(1)根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；

(2)根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；

(3)根据题意，纸盒的底面是边长为(20—2x)cm的正方形，根据周长公式，列出代数式即可求解.

【详解】(1)解：根据题意可得，图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒，

故答案为：C；

(2)解：根据题意可得，与"达"字相对的字是"保"，

故答案为：保；

(3)解：依题意，这个纸盒的底面周长为4x(20-2%)=(80—8x)cm

答：这个纸盒的底面周长为(80—8x)cm.

8.(24-25七年级上•河北张家口•期中)如图1,一个不透明小立方体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,

5,6.

图1图2图3

⑴若其展开图如图2所示，贝与数字"1”相对的面上的数字是,与数字"2"相对的面上的数字是

，与数字"3"相对的面上的数字是；

(2)将三个同样的小立方体搭成图3所示的几何体，请确定该几何体能看得到的面上数字之和最小为多少？

【答案】⑴4,6,5

(2)32

【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是解题的

关键.

(1)根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得答案；

(2)分别求出最右边的正方体、最上边的正方体、左下角的正方体所能看到的数字之和最小的情况即可.

【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知,

“1”与“4"，“2”与“6”，“3”与“5”是对面，

故答案为：4,6,5；

（2）由（1）知"1"与"4","2"与"6","3"与"5"相对，要使图3中的几何体能看得到的面上数字之和最小，

最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、4、2、3,

最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5,

左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、4、2,

所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为10+15+7=32.

【考点3】与几何体展开图有关的计算

9.（24-25七年级上•广东佛山•期中）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状

是正方形，高为12cm.

12cm

⑴正方形底面的边长是一厘米，

（2）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？

⑶若1平方米硬纸板价格为5元.则制作12个这样包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）

【答案】（1）5

（2）290

（3）1.74%

【分析】（1）由长方体包装盒的展开图即可直接求出正方形底面的边长；

（2）根据"表面积=2个底面面积+4个侧面面积"计算即可得出答案；

（3）根据题意列式计算即可.

【详解】（1）解：由长方体包装盒的展开图可知，其正方形底面的边长是：

17cm—12cm=5cm,

故答案为：5；

（2）解：根据题意，制作一个这样的包装盒需要的硬纸板的面积为：

5x5x2+12x5x4=290cm2,

答：制作一个这样的包装盒需要290平方厘米的硬纸板；

（3）解:12X2904-10000x5=1.74（元），

答：制作12个这样的包装盒需花费1.74元.

【点睛】本题主要考查了几何体展开图的认识，有理数的减法运算，由展开图计算几何体的表面积，有理

数四则混合运算，有理数乘除混合运算等知识点，正确地计算出长方体的表面积是解题的关键.

10.（24-25七年级上•江西抚州•期中）如图所示是一个几何体的表面展开图.

⑴该几何体的名称是，其底面半径为;

⑵根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留力）.

【答案】（1）圆柱；1

⑵表面积为8m体积为3P.

【分析】本题主要考查了几何体的展开图；

（1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论；

（2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积.

【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1,

故答案为：圆柱；1；

（2）该几何体的表面积为2nx1x3+2nxI2-8TT

该几何体的体积=TTXI2X3=3Tt.

11.（24-25七年级上,陕西西安,期中）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示.

⑴折叠后与长方体的顶点A重合的点是；

（2）如图：EB=10cm,FM=14cm,NM=16cm,求这个长方体包装盒的体积.

【答案】⑴J

（2）240（cm3）

【分析】本题主要考查长方体的展开图和体积计算，

（1）根据长方体的展开和折叠图可知线段力B和线段/B重合，即可知重合点；

（2）利用已知求得长方体对应的长、宽和高，结合体积公式即可求得体积.

【详解】（1）解：折叠后线段4B和线段/B重合，则点/和点/重合，

故答案为：J;

(2)解：,•EB=10cm,FM=14cm,

.-.CM=FM-EB=4,

由题意得CM=FD=EA=BK=4,贝=JB=EB—EA=6,

,:NM=16cm,

：.BC=MK=MN—NK=MN-JB=10,

则长方体包装盒的体积BCxZBxCM=10x6x4=240（cm3）.

12.（24-25七年级上•江西吉安・期中）问题情景：某综合实践小组开展了'‘长方体纸盒的制作〃实践活动.

⑴下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是.（填序号）

二皿口口

①②③④

（2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸

盒，图2为有盖的长方体纸盒）.其中a=30cm,b=5cm.

a—<—q—>

—k:多

1

____I_______I_______III

图1图2

①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子.方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为6（cm）的小正

方形，再沿虚线折合起来.则长方体纸盒的底面积为cm2；

②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒.方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为6（cm）的小正

方形和两个同样大小在的小长方形，再沿虚线折合起来.则该长方体纸盒的体积为cm3；

③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍.

⑶若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3,将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，则该长方体

表面展开图的最大外围周长为cm.

【答案】⑴①③④

⑵①400；②1000；③2

⑶7。

【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；

（2）①根据长方形面积公式即可得解；

②根据长方体的体积公式即可得解；

③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解；

（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案.

【详解】（［）解：根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒，

故选：①③④；

(2)①长方体纸盒的底面面积为(a—2bA=(30—2x5)2=400(cm2),

.•.长方体纸盒的底面积为400cm2,

故答案为：400；

②长方体纸盒的底面积为(3°-广5)2=200(cm2),

二该长方体纸盒的体积为5X200=1000(cm3),

故答案为：1000；

③无盖盒子的体积：5x400—2000(cm3),

有盖盒子的体积：1000cm3,

•••2000+1000=2,

••.制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍，

故答案为：2；

(3)如图所示，

该长方体表面展开图的最大外围周长为6x8+4x4+3x2=70(cm),

故答案为：70；

【点睛】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键.

【考点4】平面几何体旋转后得到的立体图形

13.(24-25七年级卜.•江西九江•阶段练习)课本重现：如图，已知长方形的长为a、宽为b,将这个长方形分

别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙

甲

(1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为

A.点动成线B.线动成面C.面动成体

(2)当a=5,b=2时

①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系

②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比

⑶请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母a和b表示）

【答案】⑴C

⑵①侧面积相等②体积比为:

⑶侧面积相等；体积比为5

【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本

题的关键.

（1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体；

（2）①分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可；

②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可；

（3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系.

【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体，

故选：C；

（2）解：①甲圆柱的侧面积为：2nX2X5=20n,

乙圆柱的侧面积为：2nx5x2=20m

所以甲乙两圆柱的侧面积相等；

②甲圆柱的体积为：TTX22x5=20n,

乙圆柱的体积为：TTx52x2=50TT,

所以甲乙两圆柱的体积比为：=

□On5

⑶解：由⑵知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比=需.

14.（24-25七年级上•全国•期中）如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？用线

连起来.

【答案】见解析

【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体：梯形绕底边旋转得中间圆柱、上下圆锥，半圆绕直

径旋转得球，矩形绕边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，可得答案.

【详解】解：第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来为:

15.(24-25七年级上•甘肃兰州•期中)小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得

到的两个立体图形.我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等.

小军小红

甲4白乙

(1)小红得到的立体图形可以看成是由.和.构成的，这个现象用数学知识解释为.

(2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由.

【答案】⑴圆锥；圆柱；面动成体

(2)小红的说法正确，理由见解析

【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体:

(1)由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成

体;

(2)根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案.

【详解】。)解：由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识

解释为面动成体,

故答案为：圆锥；圆柱；面动成体;

(2)解：小红的说法正确，理由如下:

-1

甲的体积为3X3XTTX6--X3X3XTTX(6-3)=45zrcm3,

乙的体积为3x3x7rx3+-x3x3x7rx(6—3)=367rcm3,

.•・甲、乙两个立体图形的体积不相等，

二小红的说法正确.

16.（24-25七年级上•全国・单元测试）小明学习了"面动成体"之后，他用一个边长分别为6cm,8cm和10cm

的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体.

⑴绕6cm的边所在的直线旋转一周，可以得到图；绕8cm的边所在的直线旋转一周，可以得到图

绕10cm的边所在的直线旋转一周，可以得到图；（请填写序号）

（2）请计算图①和图②中几何体的体积.（结果保留m圆锥体积=9x底面积X高）

【答案】⑴①，②，③

⑵题图①中几何体的体积为128ircm3；题图②中几何体的体积为96Ttem3.

【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握三角形旋转得到圆锥，是解题关键.

（1）根据三角形旋转是圆锥，可得几何体；

（2）根据圆锥的体积公式计算可得答案.

【详解】（1）解：绕6cm的边所在的直线旋转一周，可以得到图①；绕8cm的边所在的直线旋转一周，可

以得到图②；绕10cm的边所在的直线旋转一周③，

故答案为：①，②，③

（2）解：题图①中几何体的体积为：|xTrx82x6=128n（cm3）；

题图②中几何体的体积为：|XTTX62X8=96Tt（cm3）.

图①的截面形状是图②的截面形状是

图③的截面形状是图④的截面形状是

图⑤的截面形状是图⑥的截面形状是

（2）结合上图中图⑤、图⑥，想一想，如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是几边形？

【答案】（1）圆，长方形，三角形，圆，长方形，三角形；（2）五边形，六边形

【分析】此题考查判断几何体的名称以及截面形状.

（1）首先观察图形，先判断出各个几何体的名称，然后根据平面截几何体的方向和角度，判断出截面的形

状；

（2）正方体共有六个面，故用平面截一个正方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形，最少与三

个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形.

【详解】解：（1）图①的截面形状是圆，图②的截面形状是长方形，

图③的截面形状是三角形，图④的截面形状是圆，

图⑤的截面形状是长方形，图⑥的截面形状是三角形.

故答案为：圆，长方形，三角形，圆，长方形，三角形；

（2）正方体共有六个面，故用平面截一个正方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形，最少与三

个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形.

,如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是五边形、六边形.

【考点5】截一个立体图形可能出现的图形

18.（22-23七年级上•河南平顶山•期中）用一个平面去截一个正方体，请你画出三种不同的截面情况.

【答案】见解析（答案不唯一）

【分析】此题主要考查了正方体的特点，分别画出截面为三角形、四边形、五边形，理解题意，分别准确

地画出图形是解决问题的关键.

根据正方体的特点，及截面的形状为三角形、四边形、五边形分别画出图形即可.

【详解】解：沿上底的对角线斜切至棱EF的中点，得到的截面三角形；如图所示（答案不唯一）；

解：沿上底的对角线直切至下底的对角线，得到的截面为四边形；如图所示（答案不唯一）;

A

C

解：沿上底相邻两边上的点尸、G至下底顶点D,得到的截面DEFG/为五边形；如图所示（答案不唯一）;

A

----------------z

【考点6】画直线、射线、线段

19.(20-21七年级上•广西玉林・期末)如图，已知4,B,C,。四点，根据下列语句画图:

①画直线4B；

⑵连接AC,BD,交于点O；

⑶画射线SO,BC,交于点尸.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶见解析

【分析】本题考查画直线，射线和线段，掌握直线，射线和线段的定义，是解题的关键:

(1)根据直线的定义，画图即可；

(2)画出线段AC,BD,交于点O即可；

(3)根据射线的定义，画图即可.

【详解】(1)解：如图，直线4B即为所求；

(2)如图，AC,BO,点。即为所求

(3)如图，射线ZD,BC,点P即为所求.

B

4

20.（2024七年级上•全国•专题练习）如下图，在平面内有4B,C三点.

A•C•

/?•

（1）画直线ac,线段BC和射线4B；

（2）在线段BC上任取一点。（不同于点B,C）,连接线段4D；

⑶此时图中有几条线段？

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶有6条线段

【分析】此题考查了直线、线段、射线，解题的关键熟知概念并会画图.

（1）根据条件画图即可.

（2）根据已知条件画图即可.

（3）根据图，数出线段条数即可.

【详解】（1）解：如图，直线4C,线段BC和射线AB即为所求.

（2）解：如图，线段即为所求.

（3）解：由题可得，图中有线段一共6条.所以图中线段的条数为6.

【考点7】计算直线、射线与线段的数量

21.（2024七年级上•全国•专题练习）阅读：在直线上有〃个不同的点，则共有多少条线段？通过分析、画

图得如下表格:

直线上点的个共有线段的条

图形两者关系

数数

1_____12X(2-1)

4力2210+1=—、~-=1

]_____1________]3X(3-1)

A\A24330+1+2=————-=3

4X(4-1)

]______1______1______]0+1+2+3=——\——-

力2434446

=6

]________|________|________|________I

44434…4n

问题：

（1）把表格补充完整；

（2）根据上述得到的信息解决下列问题：

①某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共

要进行多少场？

②乘火车从/站出发，沿途经过10个车站方可到达3站，那么在8两站之间需要安排多少种不同的车

票？

【答案】0+1+2+3+…+O—1）=^^

（2）①15场；②132元

【分析】本题考查图形类规律探究.解题的关键是得到一条线段上有几个点，可以得到*2条线段.

（1）根据表格中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有0+1+2+3+…+（n—1）=辿卢条；

（2）①根据（1）中的结论，进行求解即可；②根据（1）中的结论进行求解即可.

【详解】（［）解：从左到右依次为田展0+1+2+3+…+（n—1）=硬卢.

故答案为：若也，0+1+2+3+…+（九—1）="卢；

（2）①把每一个班级看作一个点，则该校七年级的辩论赛共要进行丝罗2=15（场）.

②由题意可得一共有12个车站，将其看作12个点，则线段的条数为曾=66.

因为有起点站和终点站之分，

所以需要安排2x66=132种车票.

22.（24-25七年级上•吉林长春•阶段练习）如图：

①②③

⑴试验观察：如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画一条直线；图②中最多可以画一条直线；图③

中最多可以画一条直线.

（2）探索归纳：如果平面上有"nN3）个点，且任意3个点均不在一条直线上，那么经过两点最多可以画条直

线.（用含”的式子表示）

⑶解决问题：某班54名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握一次手.

【答案】⑴3,6,10

⑵产

⑶1431

【分析】（1）根据图形画出直线即可；

（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；

（3）将几=54代入公式即可求解.

本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律.

【详解】（1）解：根据图形得:

如果经过两点画直线，那么图①中最多可以画3条直线；图②中最多可以画6条直线；图③中最多可以

画10条直线;

故答案为：3,6,10；

（2）解：如果平面上有n（n23）个点，且任意3个点均不在一条直线上,

.•・1+2+3+......+兀-1=也卢（条）

那么经过两点最多可以画区展2条直线;

故答案为：月❷

（3）解：某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握吗史次,

把n=54代入色芦，得54x（；4-i）=1431（次）.

故答案为：1431.

23.（23-24七年级下•河南南阳•开学考试）我们知道，两条直线相交，最多有1个交点（如图①）；三条直

线两两相交，最多有3个交点（如图②）；四条直线两两相交，最多有6个交点（如图③）；五条直线两两相

交，最多有多少个交点（如图④）；六条直线两两相交，最多有多少个交点......n条直线两两相交，最多有多

少个交点呢（用含n的代数式表示）:

X•••

①②③④

⑴完成下表

直线数23456n

交点数136

⑵在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第

一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有12个班，则这一轮共要进行多少场比赛？

【答案】⑴10；15；—1)

(2)这一轮要进行66场比赛

【分析】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么

规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.

根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多

有10个交点.6条直线相交最多有15个交点，而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,

15=1+2+3+4+5,故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+(n-1)="九—1)个交点；

把每个班作为一个点，进行一场比赛就是用线把两个点连接，用此方法即可.

【详解】(1)解：①两条直线相交最多有1个交点：1=在押；

②三条直线相交最多有3个交点：3=小尹；

③四条直线相交最多有6个交点：6=士亭2

④五条直线相交最多有10个交点：10=咨匚2,

⑤六条直线相交最多有15个交点：15=丝户

n条直线相交最多有*212个交点；

故答案为：10；15；1n(n-1)

(2)解：该类问题符合上述规律，所以可将71=12代入》(九—1),

即—1)=|X12X11=66；

故这一轮要进行66场比赛

【考点8】与线段中点有关的计算

24.(22-23七年级上,安徽合肥•阶段练习)如图，已知8,C两点把线段4。分成2:5:3三部分，M为4D的中

点，BM=6cm,求CM的长.

ABMCD

【答案】4cm

【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，

先根据题意设可设28=2xcm,BC=5xcm,CD=3%cm,即可表示AD,再根据中点的定义表示出AM,进

而表示出8M=4M—48,再结合的长列出方程，求出解，最后根据CM=M。-得出答案.

【详解】解：由2,C两点把线段4D分成2:5:3三部分，可设4B=2xcm,BC=5xcm,CD=3xcm,

所以ZD=AB+BC+CD=10%cm.

因为A/■是2。的中点，所以AM=MD=5久cm,

所以BM=4M-AB=3xcm.

因为BM=6cm,

所以3x=6,

解得x=2,

所以CM=MD—CD—Sx—3x—2x—2x2—4(cm).

25.(23-24七年级上•四川自贡•期末)如图，A,B,C,。是直线/上的四个点，M,N分别是AB,CD的中点.

MN

[_____________I_______]1___________________I11________

ABCD

⑴如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,贝1]力。的长为cm；

(2)如果MN=10cm,8c=6cm,贝的长为cm；

⑶如果MN=a,BC=b,求4。的长，并说明理由.

【答案】⑴12.6；

(2)14；

(3)2a—b,