2018-2019学年高中一轮复习数学讲义第四章三角函数解三角形

第四章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[小题体验]1．若θ满足sinθ<0，cosθ>0，则θ的终边在第________象限．答案：四2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cosα＝________.答案：－eq\f(4,5)3．α为第一象限角，则sinα＋cosα________1.(填“>”“<”“＝”)答案：>1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).[小题纠偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二eq\f(2π,5)2．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是____________．答案：(cosθ，sinθ)

eq\a\vs4\al(考点一角的集合表示及象限角的判定)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.下列命题中，真命题是()A．第一象限角是锐角B．直角不是任何象限角C．第二象限角比第一象限角大D．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B390°是第一象限角，但不是锐角，A错；135°是第二象限角，390°>135°，C错；直角不是任何象限角，D错，B对．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是()A．sineq\f(α,2)>0 B．coseq\f(α,2)>0C．taneq\f(α,2)>0 D．sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)<0解析：选C∵eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角，即taneq\f(α,2)>0一定成立，故选C.3．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))·180°＋45°，k∈Z))，N＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))·180°＋45°，k∈Z，那么M________N．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))·180°＋45°，k∈Z))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.答案：⊆4．终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y＝eq\r(3)x，可以发现它与x轴正半轴的夹角是eq\f(π,3)，终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)))，k∈Z)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)))，k∈Z))5．若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．答案：一或三[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或eq\f(α,k)的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．eq\a\vs4\al(考点二扇形的弧长及面积公式)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()A．40πcm2 B．80πcm2C．40cm2 D．80cm2解析：选B∵72°＝eq\f(2π,5)，∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,5)×202＝80π(cm2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcm B.eq\f(8\r(3),3)πcmC.4eq\r(3)cm D．8eq\r(3)cm解析：选B设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\r(3)cm，∴l＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)πcm.3．已知扇形周长为40，则当扇形面积最大时，圆心角等于________．解析：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝eq\f(1,2)θr2＝eq\f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R＝10cm，求扇形的弧长l及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.设弧形的面积为S，则S＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×102×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50π,3)－25\r(3)))cm2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．eq\a\vs4\al(考点三三角函数的定义)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，则eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________.解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，即x＝eq\f(5,2)或x＝－eq\f(5,2)(舍去)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，∴sinα＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，则eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.解析：设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝eq\f(t,\r(5)|t|).当t>0时，cosθ＝eq\f(\r(5),5)；当t<0时，cosθ＝－eq\f(\r(5),5).因此cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)角度二：三角函数值的符号判定3．若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选C由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．4．已知点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ＜0,2cosθ＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＞0，,cosθ＜0，))所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq\f(4,5)，则cosα的值为()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：选D因为点A的纵坐标yA＝eq\f(4,5)，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－eq\f(3,5)，由三角函数的定义可得cosα＝－eq\f(3,5).2．已知角α的终边经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，角β的终边经过点B，且点B与点A关于y轴对称，则cos∠AOB＝()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：选A角β的终边与角α的终边关于y轴对称，而由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))可得点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，所以cosβ＝－eq\f(1,2)，sinβ＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，所以cos∠AOB＝cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝eq\f(1,2).一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P(tanα，sinα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D因为点P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0，,sinα<0，))所以α的终边在第四象限，故选D.2．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则sinα的值为()A.eq\f(3,5) B.－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：选B设点P与原点间的距离为r，∵P(－4a,3a)，a<0，∴r＝eq\r(－4a2＋3a2)＝|5a|＝－5a.∴sinα＝eq\f(3a,r)＝－eq\f(3,5).3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D．2解析：选C设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝αr，所以α＝eq\r(3).4．在直角坐标系中，O是原点，A(eq\r(3)，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))5．角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝eq\r(10)，则m－n＝________.解析：∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，∴角α的终边在第三象限．又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝eq\r(10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝3m，,\r(m2＋n2)＝\r(10)，))解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的eq\f(1,6)，即为－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).2．(2018·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：选D因为α是第二象限角，所以cosα＝eq\f(1,5)x＜0，即x＜0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16)).解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于()A．sin2 B.－sin2C．cos2 D．－cos2解析：选D因为r＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.4．设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B.第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选B由θ是第三象限角，知eq\f(θ,2)为第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)<0，综上知eq\f(θ,2)为第二象限角．5．点A(sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C由2018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2018°角的终边在第三象限，所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，即点A位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则sinβ＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2eq\r(2)，1)，其关于y轴的对称点(－2eq\r(2)，1)在角β的终边上，此时sinβ＝eq\f(1,3)；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－2eq\r(2)，1)，其关于y轴的对称点(2eq\r(2)，1)在角β的终边上，此时sinβ＝eq\f(1,3).综上可得sinβ＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．已知角θ的终边上有一点(a，a)，a∈R且a≠0，则sinθ的值是________．解析：由已知得r＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)|a|，sinθ＝eq\f(a,r)＝eq\f(a,\r(2)|a|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，a＞0，,－\f(\r(2),2)，a＜0.))所以sinθ的值是eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)10．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.11．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ的值．解：由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a)．所以sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ＝－eq\f(2,\r(5))×eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))×eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则y＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))),sin\f(α,2))＋eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))),cos\f(α,2))的值为()A．0 B.2C．－2 D．2或－2解析：选A由于α是第三象限角，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角，当eq\f(α,2)是第二象限角时，y＝eq\f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(－cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝1－1＝0；当eq\f(α,2)是第四象限角时，y＝eq\f(－sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝－1＋1＝0.2．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)求eq\f(α,2)终边所在的象限；(3)试判断taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符号．解：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα＞0,知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)终边在第二、四象限．(3)当eq\f(α,2)在第二象限时，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0,coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正号；当eq\f(α,2)在第四象限时，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0,coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正号．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin(π＋α)＝______.答案：－eq\f(4,5)2．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，则tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值为________．答案：23．化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，则cosα＝________.答案：－eq\f(12,13)2．(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝________，(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(26π,3)))＝________.答案：(1)eq\f(\r(2),2)(2)eq\r(3)eq\a\vs4\al(考点一三角函数的诱导公式)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin210°cos120°的值为()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(\r(3),4)解析：选Asin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2} B.{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：选C当k为偶数时，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；当k为奇数时，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.3．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)4．(易错题)设f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))的值．解：∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－eq\f(3,5)，求sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,2)))＝sin(π＋α)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))))＝sinα·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝sinα·eq\f(cosα,sinα)＝cosα＝eq\f(3,5).[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．eq\a\vs4\al(考点二同角三角函数的基本关系)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则sin2α－sinαcosα的值为()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：选D依题意得：eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则cosα＝________.解析：依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))由此解得cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，因此cosα＝－eq\f(\r(5),5).答案：－eq\f(\r(5),5)3．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则sinθ－cosθ的值为________．解析：因为(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，所以2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，则(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9).又因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).答案：－eq\f(\r(2),3)[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ[即时应用]1．若sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析：选D法一：因为α为第四象限的角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).法二：因为α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(5,13)，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(5,12).故选D.2．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).求tanα的值是()A．－eq\f(3,5) B.－eq\f(4,5)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：选D联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形的内角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).3．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，则cosα－sinα的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)解析：选B∵eq\f(5π,4)＜α＜eq\f(3π,2)，∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0，又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，∴cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜α＜π))，则sinα－cosα＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)，得sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，①将①两边平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(2,9)，故2sinαcosα＝－eq\f(7,9).∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(16,9).又∵eq\f(π,2)＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，则cos(－α)＝()A．－eq\f(4,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：选B因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，即cos(－α)＝eq\f(4,5).2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则θ等于()A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：选D∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3).∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).3．已知tanα＝2，则sin2α＋1＝()A．0 B.eq\f(9,5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析：选Bsin2α＋1＝eq\f(2sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋1,tan2α＋1)＝eq\f(9,5).4.eq\r(1－2sinπ＋2cosπ＋2)＝()A．sin2－cos2 B.cos2－sin2C．±(sin2－cos2) D．sin2＋cos2解析：选Aeq\r(1－2sinπ＋2cosπ＋2)＝eq\r(1－2sin2·cos2)＝eq\r(sin22－2sin2·cos2＋cos22)＝|sin2－cos2|.又∵eq\f(π,2)＜2＜π，∴sin2＞0，cos2＜0.∴|sin2－cos2|＝sin2－cos2.5．如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))的值是________．解析：∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝eq\f(3,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝()A.eq\f(4,5) B.－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：选B因为tan(α－π)＝eq\f(3,4)，所以tanα＝eq\f(3,4).又因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α为第三象限的角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(4,5).2．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2018)＝5，则f(2019)的值是()A．2 B.3C．4 D．5解析：选B∵f(2018)＝5，∴asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＋4＝5，即asinα＋bcosβ＝1.∴f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1009π－2α))的值为()A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C．2 D．－eq\f(1,2)解析：选B由题意可得tanα＝2，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1009π－2α))＝－cos2α＝－eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(3,5).4．当θ为第二象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)时，eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))的值是()A．1 B.－1C．±1 D．0解析：选B∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，∴coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(θ,2)在第一象限，且coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)，∴eq\f(\r(1－sinθ),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))),cos\f(θ,2)－sin\f(θ,2))＝－1.5．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝()A.eq\f(3,5) B.eq\f(5,3)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)解析：选B由5x2－7x－6＝0，得x＝－eq\f(3,5)或x＝2.则sinα＝－eq\f(3,5).故原式＝eq\f(cosα－cosα·tan2α,sinα·－sinα·－sinα)＝eq\f(1,－sinα)＝eq\f(5,3).6．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋eq\r(5) B.1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：选B由题意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．解析：由题意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案：08．sineq\f(4π,3)·coseq\f(5π,6)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))的值是________．解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案：－eq\f(3\r(3),4)9．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝2.10．已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ－θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，∴sinθ＝－eq\f(1,3).∴原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ·－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(91,2).答案：eq\f(91,2)2．已知f(x)＝eq\f(cos2nπ＋x·sin2nπ－x,cos2[2n＋1π－x])(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(504π,1009)))的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝eq\f(cos22kπ＋x·sin22kπ－x,cos2[2×2k＋1π－x])＝eq\f(cos2x·sin2－x,cos2π－x)＝eq\f(cos2x·－sinx2,－cosx2)＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝eq\f(cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x],cos2{[2×2k＋1＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x],cos2[2×2k＋1π＋π－x])＝eq\f(cos2π＋x·sin2π－x,cos2π－x)＝eq\f(－cosx2sin2x,－cosx2)＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(504π,1009)))＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\f(1008π,2018)＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2018)))＝sin2eq\f(π,2018)＋cos2eq\f(π,2018)＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且xeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))为增；eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))为减[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)))为增对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ[小题体验]1．①y＝cos2x;②y＝sin2x;③y＝tan2x;④y＝|sinx|四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋2的定义域为________________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)))，k∈Z))1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是()A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是减函数答案：D2．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值为________．解析：由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，故函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最小值为－eq\f(\r(2),2).答案：－eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al(考点一三角函数的定义域)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y＝eq\r(2sinx－1)的定义域为____________．解析：由2sinx－1≥0，得sinx≥eq\f(1,2)，所以2kπ＋eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)2．函数y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定义域为______________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x>0，,9－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ<x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3.))∴－3≤x<－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2).∴函数y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．eq\a\vs4\al(考点二三角函数的值域或最值)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－eq\r(3) B．0C．－1 D．－1－eq\r(3)解析：选A∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).2．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝eq\f(1,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的最大值为()A.eq\f(6,5) B.1C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,5)解析：选A因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以f(x)＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，于是f(x)的最大值为eq\f(6,5).3．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为________________．解析：设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－1≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．解析：依题意，f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)＝－cos2x＋eq\r(3)cosx＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(\r(3),2)))2＋1，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝eq\f(\r(3),2)时，f(x)max＝1.答案：1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数．[即时应用]求函数y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值与最小值．解：令t＝sinx，∵|x|≤eq\f(π,4)，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，∴当t＝eq\f(1,2)时，ymax＝eq\f(5,4)，当t＝－eq\f(\