2024-2025学年广东省湛江市麻章区八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省湛江市麻章区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分。1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为（）A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣73．（3分）下列运算中，结果正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a6÷a2＝a3 D．(4．（3分）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝7m，PB＝5m，那么A，B之间的距离可能是（）A．2m B．9m C．12m D．13m5．（3分）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．8a2b3c＝2a2•2b3•2c C．x+1=x(1+1x) D．x2+4x+4＝（6．（3分）若点A的坐标为（﹣2，3），则点A关于y轴的对称点的坐标为（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（3，2）7．（3分）要使分式x−2x+5有意义，xA．x≠﹣5 B．x≠2 C．x≠2且x≠﹣5 D．x≠2或x≠﹣58．（3分）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝50°，则∠AED的度数是（）A．70° B．68° C．65° D．60°9．（3分）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（）A．a2+3a B．2a2+6a C．2a2+3a D．a2+6a10．（3分）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■．”设绫布有x尺，则可得方程为120−896A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）分解因式：a2+5a＝．12．（3分）计算：2﹣1+（π﹣3）0＝．13．（3分）如图，AC＝AD，请你添加一个适当的条件，使得△ABC≌△ABD．14．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为度．15．（3分）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°，BF与AE的数量关系是．三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18每题7分，共24分。16．（10分）（1）计算：（m+1）2﹣（m﹣2）（m+1）；（2）化简：a217．（7分）解分式方程：2−xx−3=18．（7分）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。19．（8分）如图，在△ABC中∠B＝40°，D为BC边上一点，且CA＝CD．（1）做∠C的平分线交AB于点M（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接DM，若BM＝BD，求∠A的度数．20．（8分）荔枝是岭南一带的特色时令水果．今年5月份荔枝一上市，某水果店的老板用3000元购进了一批荔枝，由于荔枝刚在果园采摘比较新鲜，前两天他以高于进价40%的价格共卖出150千克，由于荔枝保鲜期短，第三天他发现店里的荔枝卖相已不大好，于是果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元．（1）若购进的荔枝为a千克，则这批荔枝的进货价为；（用含a的式子来表示）（2）求该水果店的老板这次购进荔枝多少千克．21．（8分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．（13分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为n1+m现有杂质含量为1的水．（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：方案编号第一次过滤用净水材料的单位量水中杂质含量第二次过滤用净水材料的单位量第二次过滤后水中杂质含量A6a11+6a//B5a11+5aa1(1+5a)(1+a)C4a2a①请将表格中方案C的数据填写完整；②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为（用含a的式子表示）．23．（14分）将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．（1）一个周长为l，面积为S的等边三角形的“再生三角形”的周长是，面积是；（2）如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△A'B'C'是Rt△ABC的“再生三角形”，其中点A'，B'，C分别是点A，B，C的对称点，试猜想△A'B'C'与Rt△ABC的面积有怎样的关系，并加以证明．（提示：连接AA'，并延长A′A交B'C'于点D．）（3）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝30°，BA＝BC，△A'B'C'是△ABC的“再生三角形”，其中点A'，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．求证：△A'B'C'是等边三角形．（4）小舒认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小雪认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断是正确的？请说明理由．

2024-2025学年广东省湛江市麻章区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ACDBDAACDC一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分。1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（3分）人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为（）A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣6 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7【解答】解：将数0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6．故选：C．3．（3分）下列运算中，结果正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a6÷a2＝a3 D．(【解答】解：A、原式＝a5，故选项A计算错误；B、原式＝﹣8a3，故选项B计算错误；C、原式＝a4，故选项C计算错误；D、原式=x6y故选：D．4．（3分）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝7m，PB＝5m，那么A，B之间的距离可能是（）A．2m B．9m C．12m D．13m【解答】解：连接AB，由三角形三边关系定理得到：PA﹣PB＜AB＜PA+PB，∴7﹣5＜AB＜7+5，∴2＜AB＜12，∴A，B之间的距离可能是9cm．故选：B．5．（3分）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．8a2b3c＝2a2•2b3•2c C．x+1=x(1+1x) D．x2+4x+4＝（【解答】解：A、分解因式的结果是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；B、因式分解是多项式的，不是针对单项式，不是因式分解，不符合题意；C、因式分解是整式范围内的分解，不包括分式，不是因式分解，不符合题意；D、满足因式分解的定义，是因式分解，符合题意．故选：D．6．（3分）若点A的坐标为（﹣2，3），则点A关于y轴的对称点的坐标为（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（3，2）【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，3），∴点A关于y轴的对称点的坐标是（2，3）．故选：A．7．（3分）要使分式x−2x+5有意义，xA．x≠﹣5 B．x≠2 C．x≠2且x≠﹣5 D．x≠2或x≠﹣5【解答】解：∵分式有意义，∴x+5≠0，∴x≠﹣5，故选：A．8．（3分）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝50°，则∠AED的度数是（）A．70° B．68° C．65° D．60°【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝50°，∴△ABE中，∠B=180°−50°∴∠AED＝65°，故选：C．9．（3分）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（）A．a2+3a B．2a2+6a C．2a2+3a D．a2+6a【解答】解：∵拼成的长方形的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，∴拼成的长方形的面积＝（a+3）2﹣32＝a2+6a，故选：D．10．（3分）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■．”设绫布有x尺，则可得方程为120−896A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．每尺罗布比每尺绫布便宜120文【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，设绫布有x尺，则可得方程为120−896∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）分解因式：a2+5a＝a（a+5）．【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，∴原式＝a（a+5），故答案为：a（a+5）．12．（3分）计算：2﹣1+（π﹣3）0＝32【解答】解：原式=1故答案为：3213．（3分）如图，AC＝AD，请你添加一个适当的条件∠CAB＝∠DAB（答案不唯一），使得△ABC≌△ABD．【解答】解：①当添加条件∠CAB＝∠DAB时，使得△ABC≌△ABD，理由如下：在△ABC和△ABD中，AC=AD∠CAB=∠DAB∴△ABC≌△ABD（SAS）；②当添加BC＝AC时，使得△ABC≌△ABD，理由如下：在△ABC和△ABD中，AC=ADAB=AB∴△ABC≌△ABD（SSS）．故答案为：∠CAB＝∠DAB（答案不唯一）．14．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为45度．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM=12∠∠BAF＝∠FAB'=12∠∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案为：45．15．（3分）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°，BF与AE的数量关系是BF=16AE【解答】解：∵AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵EF⊥AB，∠E＝30°，∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，∴△ABC为等边三角形，过点C作CH⊥EF于H，如图所示：设BF＝a，AB＝x，则AF＝AB﹣BF＝x﹣a，∴AC＝AB＝x，∵EF⊥AB，∴∠BFD＝∠CHD＝90°，∵AD垂直平分BC，∴BD＝CD，∴△BFD≌△CHD（AAS），∴BF＝CH＝a，在Rt△ECH中，∠E＝30°，∴CE＝2CH＝2a，∴AE＝AC+CE＝x+2a，在Rt△AEF中，∠E＝30°，∴AE＝2AF，即x+2a＝2（x﹣a），∴x＝4a，∴AE＝x+2a＝6a，∵BF＝a，∴BF=16故答案为：BF=16三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18每题7分，共24分。16．（10分）（1）计算：（m+1）2﹣（m﹣2）（m+1）；（2）化简：a2【解答】解：（1）（m+1）2﹣（m﹣2）（m+1）＝m2+2m+1﹣m2﹣m+2m+2＝3m+3；（2）a=(a+2)(a−2)a−1•=(a+2)(a−2)a−1•＝a+2．17．（7分）解分式方程：2−xx−3=【解答】解：去分母得：2﹣x＝x﹣3+1，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．18．（7分）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M为BC中点，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，BE=CF∠B=∠C∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。19．（8分）如图，在△ABC中∠B＝40°，D为BC边上一点，且CA＝CD．（1）做∠C的平分线交AB于点M（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接DM，若BM＝BD，求∠A的度数．【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；（2）∵BM＝BD，∠B＝40°，∴∠BDM＝70°，∴∠CDM＝110°，∵CM为∠ACD的角平分线，∴∠ACM＝∠DCM，又∵AC＝CD，CM＝CM，∴△ACM≌△DCM（SAS）．∴∠A＝∠CDM＝110°．20．（8分）荔枝是岭南一带的特色时令水果．今年5月份荔枝一上市，某水果店的老板用3000元购进了一批荔枝，由于荔枝刚在果园采摘比较新鲜，前两天他以高于进价40%的价格共卖出150千克，由于荔枝保鲜期短，第三天他发现店里的荔枝卖相已不大好，于是果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元．（1）若购进的荔枝为a千克，则这批荔枝的进货价为3000a元/千克；（用含a（2）求该水果店的老板这次购进荔枝多少千克．【解答】解：（1）依题意得：3000a故答案为：3000a（2）设该水果店的老板这次购进荔枝x千克，依题意得：3000x×40%×150−3000解得x＝200．经检验，x＝200是原方程的根．答：设该水果店的老板这次购进荔枝200千克．21．（8分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∠DEA=∠DFC∠DAE=∠DCF∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK=12∠∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．（13分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为n1+m现有杂质含量为1的水．（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为13（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：方案编号第一次过滤用净水材料的单位量水中杂质含量第二次过滤用净水材料的单位量第二次过滤后水中杂质含量A6a11+6a//B5a11+5aa1(1+5a)(1+a)C4a2a①请将表格中方案C的数据填写完整；②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a（用含a的式子表示）．【解答】解：（1）水中的杂质含量为n1+m∴现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为11+2故答案为：13（2）①方案C水中杂质含量：11+4a，第二次过滤后水中杂质含量：1②11+6a∵a＞0，∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0∴11+6a同理可得：1(1+5a)(1+a)∴1(1+4a)(1+2a)∴方案C的最终过滤效果最好；（3）将第一次净水材料用量定为3a时，第二次过滤后水中杂质含量为1(1+3a将第一次净水材料用量定为2a时，第二次过滤后水中杂质含量为1(1+2a)(1+4a)，结果与将第一次净水材料用量定为4a将第一次净水材料用量定为a时，第二次过滤后水中杂质含量为1(1+a)(1+5a)，结果与将第一次净水材料用量定为5a∵在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，同理，可得1(1+3a∴将第一次净水材料用量定为3a时，其最终过滤效果最好，∴为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a．故答案为：3a．23．（14分）将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．（1）一个周长为l，面积为S的等边三角形的“再生三角形”的周长是2l，面积是4S；（2）如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△A'B'C'是Rt△ABC的“再生三角形”，其中点A'，B'，C分别是点A，B，C的对称点，试猜想△A'B'C'与Rt△ABC的面积有怎样的关系，并加以证明．（提示：连接AA'，并延长A′A交B'C'于点D．）（3）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝30°，BA＝BC，△A'B'C'是△ABC的“再生三角形”，其中点A'，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．求证：△A'B'C'是等边三角形．（4）小舒认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小雪认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断是正确的？请说明理由．【解答】（1）解：如图，△ABC为等边三角形，△A′B′C′为其“再生三角形