2024-2025学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x2+x−2<0}，则A∩B=A.{−1,0} B.{−1,1} C.{0,1} D.{−1,0,1}2.已知命题p：所有的素数都是奇数；命题q：存在一个素数不是奇数.则(

)A.p和q都是真命题 B.￢p和￢q都是真命题

C.￢p和q都是真命题 D.p和￢q都是真命题3.设函数f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[−2,0]时，f(x)=x+1，则f(5)=(

)A.−2 B.0 C.2 D.64.已知a=1.10.5，b=0.51.1，c=A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a5.已知tanα=−2，则cos2α=(

)A.−45 B.−35 C.6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=k⋅log3Q100(k为常数)，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速v=0.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速A.600 B.700 C.800 D.9007.函数f(x)=3(x3−x)exA. B.

C. D.8.已知函数f(x)=tan(x+π3)−sinx，则在下列区间中，函数A.[0,π4] B.[π4,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b>0，c>0，则(

)A.ac>bc B.ac>bc C.10.下列关于函数f(x)=xx2+1A.f(x)的图象关于原点对称

B.f(x)是增函数

C.f(|x|)的最大值是12

D.若0<a<1211.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，P的角速度大小为1rad/s，起点为(1,0)；Q的角速度大小为3rad/s，起点为(12,−32)，则当P与A.(32,12) B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a>0，b>0，且1a+3b=113.一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形圆心角的弧度数是______．14.已知函数f(x)=(2−a2)x2+2ax−3,x≤1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)计算：(338)23−π0+3−164；

(2)已知x16.(本小题15分)

已知函数f(x)=cosx2+3sinx2．

(1)求f(x)的最小正周期；

17.(本小题15分)

近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如表所示：年份20202021202220232024时间(t)/年01234年销售数量(Q)/万片100150225337.5506.25(1)在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；

(2)为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下三种数学模型供选择：

①Q=at+b

②Q=kat

③Q=klogat+b

(i)根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；

(ii)根据(i)中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？(18.(本小题17分)

已知函数f(x)=a−12x+1为奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)若对任意的x∈R，不等式f(m19.(本小题17分)

定义域为集合A的函数f(x)，若存在t∈A，使关于x的方程f(x+t)=f(x)+f(t)有解，则不妨称f(x)在“t处”可拆，且称方程的解为f(x)的“t可拆点”．

(1)若f(x)=2x，求f(x)的“1可拆点”；

(2)证明：对任意m>−1，g(x)=ln(x+m)在“2处”可拆；

(3)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数ℎ(x)=cos2x−a在[0,nπ]上恰有5个“π6可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的a和n；若不存在，请说明理由．参考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.B

6.D

7.C

8.D

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.4+213.2

14.[15.解：(1)：(338)23−π0+3−164=(32)2−1+(−1416.解：(1)函数f(x)=cosx2+3sinx2=2sin(x2+π6)，

故f(x)的最小正周期T=2π12=4π；

(2)x∈[0,2π]，

则x2+17.(1)作图如下：

(2)(i)选择模型②，理由如下：

根据表格数据，下一年比上一年增长约50%，再结合函数图像，符合指数增长模型；

将点(0,100)，(1,150)代入模型②Q=kat，有100=k150=ka，解得k=100a=1.5，故Q=100⋅1.5t．

(ii)解不等式100⋅1.5t>2000，

即1.5t>20，

取对数有：t>lg20lg1.5=lg2+1lg3−lg2=0.301+10.477−0.301≈1.3010.176≈7.39，

取t=8(因t为整数)，

对应年份为2020+8=2028．

18.解：(1)由题意：f(x)=a−12x+1是定义域为R的奇函数，

∴f(0)=0，

即a−120+1=0，

∴a=12，

当a=12时，f(x)=12−12x+1=2x−12(2x+1)，

f(−x)=2x−12(2−x+1)=1−2x2(2x+1)=−2x−12(2x+1)=−f(x)，

故a=12满足题意；

(2)f(x)是R上的增函数，

证明如下：

设∀x1，x2∈R且x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=12x2+1−12x1+1=2x119.解：(1)由题意f(x+1)=f(x)+f(1)，即2x+1=2x+2，解得x=1，

所以f(x)的“1可拆点”为x=1；

(2)证明：由题意知，方程g(x+2)=g(x)+g(2)有解，

即方程ln(x+m+2)=ln(x+m)+ln(2+m)有解，

即x+m+2=(x+m)(2+m)，即x=−m2−m+2m+1，

由x+m+2>0x+m>0，解得x>−m，

因为−m2−m+2m+1−(−m)=2m+1>0(m>−1)，所以−m2−m+2m+1>−m，

所以方程x=−m2−m+2m+1有解，即方程g(x+