2025年人教版八年级数学寒假预习：勾股定理（2个知识点+6大考点举一反三+过关测试）

第04讲勾股定理

T模块导航一素养目标傕

模块一思维导图串知识1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法

2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实

模块二基础知识全梳理(吃透教材)

数与数轴上的点一一对应关系

模块三核心考点举一反三

3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾

模块四小试牛刀过关测股定理进行有关的计算和证明。

模块一思维导图串知识

a—?

常见变形

b2=c2—a2

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为a,b,斜边长

为c,那么a2+b2=c2.

注意：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解,

这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

(3)理解勾股定理的一些变式：

a2=c~-b2,b2=c2-a2,c~=(o+Z))--lab.

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

1

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段

知识点2勾股定理证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图(1)中=(a+4x—ab，所以

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

(*”…=2x；ab+9,所以J+从=6

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：用勾股定理解三角形

例1.在△ABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

（1）若。=7,b=24,求c的值；

（2）若a=12,c=13,求6的值.

【变式1-1］若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则其第三边的长为（

2

A.V13B.9C.V119D.13

【变式1-2】Rt^ABC中，NA、NB、NC所对的边分别是a、b、c,且NC=90。.

⑴若c=25,b=15,求a；

(2)a=6,Z-A=60°,求b,c

【变式1-3】已知：如图，在RtZkZBC中，两直角边AC=6,BC=8.

(1)求的长；

(2)求斜边上的高CD的长.

考点二：已知两点坐标求两点距离

2.阅读理解:在平面直角坐标系中,?!(%!，乃),「2(冷，丸)，如何求匕22的距离.如图，在Rt△P1P2Q，

222

\P1P2f=\PiQ\+岛<2/=(%2-xj+5一yi)2，所以IP1P2I=JCx2-xiy+(y2-y1).因此,

2

我们得到平面上两点「式光1，为)，P2O2/2)之间的距离公式为IPJ2I=、(冷—向)2+(y2-yi)-根据

上面得到的公式，解决下列问题:

修处,)

4<t.0)

。1>

(1)已知点P(2,6),Q(—3,—6),试求P、Q两点间的距离;

(2)已知点M(m,5),N(1,2)UMN=5,求小的值；

(3)求代数式-3)2+y2+(x+3)2+(y+4,的最小值.

3

【变式2-1】阅读材料：

例：说明代数式mrr+j(x-31+4的几何意义,并求它的最小值.

解：7x2+1+d(X-3)2+4=—0)2+1+J(久一3)2+22.

几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(K,0)是X轴上一点，则Jo-0)2+1可以看成点P与点力(0,1)

的距离，—3)2+22可以看成点P与点8(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段24与P8长度

之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

求最小值：设点2关于无轴对称点力'，贝iJP4=P/l'.因此，求24+PB的最小值，只需求P4'+PB的最小

值，而点A',B间的直线段距离最短，所以PA'+PB的最小值为线段A'B的长度.为此，构造直角三角形

ACB,因为力'C=3,CB=3,所以由勾股定理得力'B=3/，即原式的最小值为3金.

根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)代数式-1)2+1+J代_2)2+16的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点4(1,1),点B

的距离之和.(填写点B的坐标)

(2)代数式YN+25+W一12%+45的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点/_、点2的距离

之和.(填写点4,8的坐标)

(3)求出代数式，久2+25+V比2-i2x+45的最/、值.

【变式2-2］如图，PQ,y)是平面直角坐标系中的一点.

4

（1）用二次根式表示线段OP的长.

（2）若久=逐，y=V10,求OP的长.

【变式2-3】阅读材料：一般地，设平面上任意两点4（句,乃）和/?（比2，%）可以用表示/、2两点之间的距

离，那么该如何计算|AB|呢？作轴、作轴，垂足分别是点T、B'；作4rly轴，垂足为

点4"、作B8"ly轴，垂足为点B”,且与AT交于点C,则四边形BBZ'C、力CBN”是矩形.

'：\BC\=\x2-x1\,\AC\=\y2-yi\>

2222

\AB\=\AC\+|BC|=（久2—Xi）?+（y2-yi）-

■■\AB\=J（X2-^l）2+C/2—月）2.

这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式.

如：点力（1,4）和点8（5,2）之间的距离=J（5—1）2+（2—4）2=同=2岔.

⑴请运用公式计算点M（4,2）和点N（2,-1）之间的距离；

⑵在（1）的条件下，点。为原点，求△MN。的周长；

（3）平面直角坐标系中的两点E（l,3）、F（4,1）,P为x轴上任一点，当PE+PF值最小时，用尺规作出

点尸，并求出PE+P尸的最小值.

考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积

5

例3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

2

6cm,则正方形/、B、C、D、E、尸的面积之和为cm^.

【变式3-1】以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母3所代表的正方形的面积为.

【变式3-2］如图，正方形力BCD的边长为2,其面积标记为Si，以CD为斜边向外作等腰直角三角形，再以

该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…，按照此规律继续下去，则S8

的值为（）

A首B苜,2.•GY

【变式3-3］如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为Si，52,S3；如图2,分

别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S4,55,S6.其中S1=16,52=45,55=11,

56=14,则S3+S4=

考点四：勾股定理的证明

6

例4.阅读材料，解决问题:

三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明.实际上，该“弦图”

与完全平方公式有着密切的关系.如图1,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的三角

形拼成的“弦图

⑴在图1中，正方形A8CD的面积可表示为,正方形PQMN的面积可表示为(用含a,b

的式子表示)；

(2)请结合图1用面积法说明(a+b)?,ab,(a-b)2三者之间的等量关系；

(3)已知a+6=7,ab=5,求正方形EFG”的面积.

【变式4-1】【探究发现】

我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形4BED和四边

形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,c之间的一个重要结论：a?+房=

(1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：

已知：RtZkZBC中，Z.ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+/?2=c2.

证明：由图可知S正方形ABE。=4s△谢+S正方形CFGH，

IS正方形4BE0=C，S^ABC=---------，

正方形CFG”边长为,

c2=4x1ah+(a—b)2=2ab+a2-2ab+b2,

即M+62=c2.

7

【深入思考】

如图2,在44BC中，NC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以4B为直角边在4B的右侧作等腰直角△ABD,

其中48=8。，乙48。=90。，过点。作DE1CB,垂足为点E

（2）求证：DE—a,BE=b-,

（3）请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2；

【实际应用】

（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风

车"，若a=12,6=9,“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108,求这个风车图案的面

积.

【变式4-2］我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1

所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a,b,斜边长

为c）.

a

图1图2图3

（1）如图1,请用两种不同方法表示图中空白部分面积.

方法1：S阴影二-----：

方法2：S阴影二-----；

根据以上信息，可以得到等式：;

⑵小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2,请利用图2证明勾股定理;

（3）如图3,将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6,b=3,求阴影部分的面积.

【变式4-3】我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”.如

图，AB=c,BE=a,AE=b(b>a).

8

(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：a2+b2^c2；

(2)若直角三角形4BE的面积为54,c=15,求小正方形所G8的边长.

考点五：勾股定理与无理数

5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的

工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷.

(1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点.如图1,在数轴上找出表示2的点过点/作直线

/垂直于。在/上取点3,使力B=l,以原点。为圆心，0B为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点

。表示的数是；

(2)应用场景2—解决实际问题.如图2,有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把

竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线(BD),已知门宽6尺，求竹竿长.

【变式5-1】甲同学用如图方法作出C点，在AOAB中，ZOAB=90°,0A=2,AB=3,且点0、A、C

在同一数轴上，OB=OC.

9

(1)请求出甲同学所做的点C表示的数；

(2)仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示一旧的点D.

III1IIIIII1II

-6-5-4-3-2-10I23456

【变式5-2］如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点。为圆心，以

矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点C、A.在点C的左侧截取CB=2,点。表示的数为

3,回答下列问题：

(1)点4、B、C表示的实数依次为,,:

(2)计算线段DC和0B的长度，并用作差法比较它们的大小.

【变式5-3】阅读下面的材料:

如图1,在线段4B上找一点C(47>BC),若BC：AC=AC：AB,则称点C为线段4B的黄金分割点,

10

这时比值为年々0.618,人们把手称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很

特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数.

III

ACB

图1图2

我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2,在数轴上点。表示数0,点£表示数2,过点

E作EF1OE,且EF=^OE,连接。F；以尸为圆心，EF长为半径作弧，交OF于H；再以。为圆心，OH

长为半径作弧，交。E于点尸，则点P就是线段。E的黄金分割点.

根据材料回答下列问题：

（1）根据作图，写出图中相等的线段：；

（2）求点尸在数轴上表示的数，并写出票的值.

考点六：勾股数

J''］例6.在下列四组数中，属于勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.1,V2,V3C.1,2,3D.5,12,13

【变式6-1】下列各组数中，是勾股数的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.3,4,6D.4,5,8

【变式6-2】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3,

4,5：5,12,13；7,24,25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾

为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6,8,10；8,15,17；…若此类勾股数的勾为2机（机23,

机为正整数），则其股是（结果用含加的式子表示）.

【变式6-3】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41...,

请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为.

6模块四小试牛刀过关测-

1.下列各组数中，是勾股数的是（）

11

A-*I，3B-3,4,7c.1.V3D,6.8,10

2.如图，在△ABC中，Z.C=90。，AC=8,AB=10,则BC的长为（）

3.如图，有一张直角三角形纸片△ABC,两直角边力C=8,BC=16,现将Rt^aBC折叠，使点B与点A

重合，得到折痕MN,则△力CM的面积为.

4.如图，已知AD=1,AC=AM,则数轴上点M表示的数为

012M

5.如图，直线/上有三个正方形a,b,c,若a,b的面积分别为7和22,贝Uc的面积为.

6.如图，将矩形纸片A8CD沿EF折叠，使D点与8C边上的。'点重合.若DC=4,D'F=3,贝l」CF的长为:

7.如图，在Rt^ABC中，^BAC=90°,AD1BC,垂足为D.

12

A

⑴在AC上求作一点F,使点F到射线BC距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）中，设BF与4D相交于点E,求证AE=4F；

（3）在（2）条件下，若48=6,AC=8,求AE的长.

8.如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm,CO为腰ZB上的高，且CD=16cm,求△力BC的周长.

9.在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的

一种重要的思想方法.

【已有认识】由于a=71中4由此得到在数轴上寻找鱼所表示的点的方法，如图1.

V22

【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段.

【拓展运用】（1）请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为-1）内.

①画出顶点在格点的△4BC,其中AC=V2,BC=242,AB=V10,

②直接写出△ABC的面积=,点C到AB边的距离为.

【拓展运用】（2）①在图3中，设4a21）,1（如＞2），4C||y轴,BC||x轴，AC1BC于点C,则

13

AC=,BC=,由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，AB=

2

J。1一久2)2+(n-y2)；

②图4中，平面直角坐标系中有两点叭―3,4),N(—5,1),P为x轴上任一点，贝IJPM+PN的最小值为

③应用平面内两点间的距离公式，求代数式J(久+2尸+(y-1)2一一6)2+(y+3)2的最大值为:

14

第04讲勾股定理

模块导航素养目标

模块一思维导图串知识2.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法

2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实

模块二基础知识全梳理(吃透教材)

数与数轴上的点一一对应关系

模块三核心考点举一反三

3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾

模块四小试牛刀过关测股定理进行有关的计算和证明。

模块一思维导图串知识

a2=c2-fe2

常见变形

b2=c2-a2

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为a,b,斜边

长为C,那么。2+〃=02.

注意：(1)勾股定理揭直角边示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

(4)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解,

这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

(5)理解勾股定理的一些变式：

112222

ci-c—b,b=c—afH=(q_2Q6.

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第二边；

15

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为的线段

知识点2勾股定理证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中=（a+4x—ab，所以

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

(a+b)(a+b)=2/必+L',所以

222

0：模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：用勾股定理解三角形

1.在△A8C中，“=90。，AB=c,BC=a,AC=b.

（1）若a=7,b=24,求c的值；

⑵若a=12,c=13,求6的值.

【答案】（l）c=25

（2）b=5

【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键.

（1）根据勾股定理c=7蟾+炉求解即可;

（2）根据勾股定理b=二溟求解即可.

【详解】（1）解：在△ABC中，NC=90。，a=7,b=24,

16

c=y/a2+b2—V72+242=25；

(2)解；在△ABC中，ZC=90°,a=12,c=13,

b—y/c2—a2—V132—122=5.

4

【变式1-11若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则其第三边的长为()

A.V13B.9C.V119D.13

【答案】D

【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求

解即可.

【详解】解：•••一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12,

.•.第三边的长为，52+122=13,

故选：D.

【变式1-2】Rt2\4BC中，乙4、乙B、NC所对的边分别是a、b、c,且NC=90。.

(1)若c=25,b-15,求a；

(2)a=6,Z-A=60°,求6,c.

【答案】(1)20

(2)b=2V3,c=4V3

【分析】本题考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30。角所对的直

角边等于斜边的一半是解此题的关键.

(1)由勾股定理计算即可得出答案；

(2)先求出NB=30。，由含30。角的直角三角形的性质得出c=2b,再由勾股定理求出6=2百，进而

可求出c=4V3.

【详解】(1)解：VZC=90°,c=25,b=15,

由勾股定理得：a=7c2—b?-V252—152=20：

17

(2)解：•••在Rt^ABC中,

工人B=30°,

'.c=2b,

・a-2+b2=c2,a=6,

：.62+b2=(2b)2,

解得b=2V3,

：.c=2b=4V3.

【变式1-3］已知：如图，在RtZkZBC中，两直角边AC=6,BC=8.

⑴求4B的长;

（2）求斜边上的高CD的长.

【答案】⑴10

（2）4.8

【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高:

（1）根据直角三角形两直角边的长的平方和等于斜边的平方求解即可;

（2）根据S揖BC=\AC-BC=\AB-CD代值计算即可.

【详解】（1）解：•.•在RtaABC中，两直角边4C=6,BC=8,

：.AB=VBC2+AC2=V82+62=10；

(2)解；由题意得，S》BC="JBC=*B•£1£),

考点二：已知两点坐标求两点距离

2.阅读理解:在平面直角坐标系中,21（巧41）,22（>2，丫2），如何求「记2的距离・如图，在口14「记2<2,

18

I^l^l2=lflQl2+P2QI2=3—%1)2+。2-月)2，所以IP1P2I=J(%2一%1)2+。2一为)2.因此，

我们得到平面上两点Pl(Xl，y。，。2(久2，乃)之间的距离公式为IP1P2I=J(X2—巧)2+(乃—11)2.根据

上面得到的公式，解决下列问题：

ff,(O,y2)..........-：；尸工内必)

/脩0)/1,xv0)

8|(。，乂)0x,.y,)

(1)已知点P(2,6),Q(-3,-6),试求P、Q两点间的距离；

(2)已知点M(m,5),仁(1,2)且“何=5,求m的值:

(3)求代数式-3>+俨+J(X+3)2+(y+4)2的最小值.

【答案】(1)13

(2)7H]=5,m2=—3；

(3)2713

【分析】(1)根据两点距离公式进行计算便可；

(2)根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可；

(3)把J(x—3)2+y2+J(x+3)2+(y+4)2看成点(x,y)到两点(3,0)和(一3,-4)的距离之和，

求出两点(3,0)和(-3,-4)的距离便是。@一3)2+―+J0+3尸+(y+4尸的最小值.

【详解】(1)解：根据两点的距离公式得，\PQ\=7(2+3)2+(6+6)2=V25+144=13；

(2)解：根据题意得，|MN|=—1尸+(5—2尸=V(m-I)2+9=5,

(小一1)2+9=25,

•'•m1=5,m2=—3；

(3)解：°：d(x—3)2+y2+J(%+3)2+(y+4)2看成点(%,y)到两点(3,0)和(―3,—4)的距禺之

和，

.7(X-3)2+俨+d(x+3)2+(y+4)2的最小值为点(X,y)到两点(3,0)和(一3,-4)的距离之和

的最小值，

:当点0,y)在以两点(3,0)和(一3,一4)为端点的线段上时，点(久，y)到两点(3,0)和(一3,-4)

的距离之和的最小值，其最小值为以两点(3,0)和(-3,-4)为端点的线段长度，

.•.J(x—3)2+y2+J(久+3)2+十+4)2的最小值为J(3+3)2+(0+4)2=2V13.

【点睛】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离

和应用两点距离公式解决具体问题.

19

【变式2-1】阅读材料：

例：说明代数式口TT+Jo—3)2+4的几何意义,并求它的最小值.

解：V久2+1+q(X—3)2+4=J(久一0)2+1+d(X—3)2+22.

几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(x,o)是x轴上一点，则J(x-0)2+1可以看成点P与点2(0,1)

的距离，J(久—3)2+22可以看成点P与点8(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与P8长度

之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

求最小值：设点2关于支轴对称点A',贝！|Pa=P4’.因此，求P4+PB的最小值，只需求P4+P8的最小

值，而点A',B间的直线段距离最短，所以P4+PB的最小值为线段A'B的长度.为此，构造直角三角形

ACB,因为4C=3,CB=3,所以由勾股定理得力'B=3&，即原式的最小值为3鱼.

根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)代数式-1)2+1+J(%-2)2+16的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点4(1,1),点2

的距离之和.(填写点8的坐标)

(2)代数式YN+25+W一12%+45的值可以看成平面直角坐标系中点P®0)与点/_、点/的距离

之和.(填写点/,8的坐标)

(3)求出代数式“式2+25+V久2一i2x+45的最/、值.

【答案】(1)(2,4)或(2,—4)；

(2)(0,5),(6,3)；

(3)最小值为10.

【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合

思想解决问题，学会用转化的思想解决问题.

(1)先把原式化为J(X—1)2+1+J(x-2)2+16的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；

(2)先把原式化为，久2+25+—6)2+9的形式,故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系

中点P0，0)与点4(0,5)与(6,3)的距离之和;

(3)在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可.

【详解】(1):原式化为J(久一1尸+1+J2)2+16的形式，

二代数式10+1+J(久—2)2+16的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点4(1,1),

20

点B(2,4)或(2,-4)的距离之和,

故答案为(2,4)或(2,-4)；

(2)原式化为VN+25+，(彳—6)2+9的形式,

/.所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点4(0,5),5(6,3)的距离之和，

故答案为：(0,5),(6,3).

(3)如图所示：设点/关于x轴的对称点为4,贝IJP4=PH',

...PA+PB的最小值，只需求P4+PB的最小值，而点4、8间的直线段距离最短,

：.PA+PB的最小值为线段Z'B的长度，

,.,74(0,5),5(6,3)

-5),AC=6,BC=8,

：.AB=yjAC2+BC2=10,

一代数式，久2+25+J(x-6尸+9的最小值为10.

【变式2-2］如图，P(x,y)是平面直角坐标系中的一点.

(1)用二次根式表示线段OP的长.

(2)若久=逐，y=V10,求OP的长.

【答案】⑴严可

⑵4

【分析】本题考查了坐标与图形，坐标两点的距离公式.

(1)由坐标两点距离公式求解即可；

(2)由坐标两点距离公式求解即可；

【详解】⑴解："(3),0(0,0),

OP=y/x2+y2,即段OP的长为JN+俨；

21

(2)解：若％=迎，y—V10,

I22

则。P=](匹)+(V10)=716=4,

即。P的长为4.

【变式2-3】阅读材料：一般地，设平面上任意两点力(久口当)和30：2，W)可以用以阴表示43两点之间的距

离，那么该如何计算|2阴呢？作AH'_Lx轴、作1x轴，垂足分别是点A'、B■,作轴，垂足为

点2"、作BB"ly轴，垂足为点B”,且与交于点C,则四边形BB,A,C、力CBN”是矩形.

'：\BC\=|%2-xj,\AC\=|y2-yib

222

■­\AB\=\AC^+\BC\=(x2一久i)2+(y2-yj.

=J(>2—尤1)2+—yJ2.

这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式.

如：点力(1,4)和点B(5,2)之间的距离MB|=J(5-1尸+(2—4产=何=2遍.

(1)请运用公式计算点M(4,2)和点N(2,-1)之间的距离；

⑵在(1)的条件下，点O为原点，求△MN。的周长；

(3)平面直角坐标系中的两点E(l,3)、F(4,1),尸为x轴上任一点，当PE+PF值最小时，用尺规作出

点P,并求出PE+PF的最小值.

【答案】⑴旧

(2)713+3V5

(3)5

【分析】本题是阅读理解题，主要考查了尺规作图，轴对称的性质，平面直角坐标系中两点之间的距

离，解题的关键是正确利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式.

(1)利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算眼。|即可；

(2)利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式分别计算出|MO|,|NO|,|MN|,即可计算出△MN。

的周长.

(3)尺规作点E的对称点百，得出当E',P,F三点共线时，EP+FP最小，最小值是E'F,求解即可；

【详解】(1)解：|MN|=J(4-2尸+(2+=V13,

...点M(4,2)和点N(2,—1)之间的距离是

22

(2)解：|M0|二J(4-0)2+(2—0)2=2V5,

|NO|二J(2-0)2+(-1—0)2=V5,

...△MN。的周长=\MN\+\MO\+\NO\=V13+3V5.

(3)解；如图，作点E的对称点E',

则EP+FP=E'P+FP>E'F,F'(l,-3),

当E',P,尸三点共线时，EP+FP最小,最小值是E'F,

E'F=7(4-l)2+(-3-l)2=5.

考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积

例3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

6cm,则正方形/、B、C、D、E、下的面积之和为cm2.

【答案】72

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正

方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解.

【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知，

S正方形E+$正方形F=S大正方形=62=36(cm2),

S正方形C+S正方形D=S正方形E，

S正方形4+S正方形B=S正方形F，

23

S大正方形=5正方形4+s正方形B+S正方形c+S正方形D=36(cm2),

二正方形/、B、C、D、E、尸的面积之36+36=72(cm2)；

故答案为：72.

【变式3-1】以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母8所代表的正方形的面积为.

【答案】144

【分析】本题考查勾股定理的应用.根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则

另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形B的面积.

【详解】解：如图，

由题意得：^CAD=90°,CD2=25,CD2=169,

AD2=CD2-AC2=144,

;正方形B的面积为144,

故答案为：144.

【变式3-2］如图，正方形2BCD的边长为2,其面积标记为Si，以CD为斜边向外作等腰直角三角形，再以

该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S8

的值为()

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的面积以及规律型中数学的变化类,

根据面积的变化找出变化规律%=4x6)-1进行计算即可.

【详解】解：••・△COE是等腰直角三角形,

24

DE=CE/CED=90°,

CD2=DE2+CE2=2DE2,

DE=—2CD,

即等腰直角三角形的直角边为斜边的9倍,

...S1=22=4=4X(1)°,

S2=(2X*2=2=4X(»,

S3=(V2xy)2=1=4x6产

54=(1X苧)2=1=4X(|)3,

•』=4x()T,

•••S8=4X6)7=C)5,

故选A.

【变式3-3］如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为Si，S2,S3；如图2,分

别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S4,S5,S6.其中S1=16,52=45,55=11,

56=14,则$3+54=.

【答案】54

【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边

三角形面积计算和性质，从而完成求解.

设S1，S2,S3对应的边长为乙2,根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得均2,从而计算

得到S3；设S4,S5,S6对应的边长为乙4，区46,通过圆形面积和勾股定理性质，得心2,从而计算得到S*

即可得到答案.

【详解】解：分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1，S2,S3，

则S1，S2,S3对应的边长设为5,6,^3,

过点A作力D1BC,

25

cS3

贝lU/WB=90°,AB=BC=AC=L^BD=CD=露，

：.AD=7AB2-BD2=和1，

：.Si-X——16,

2

同理S2=yL2=45,

.r216x4T?45x4

•.zj+i=叱，

•r.2"=T42-ri2245=x4k1k6x4-4x2n9小,

2

...S3=yL3=fx\x29=29,

以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4,S5,S6,

则S4,S5,S6对应的边长设为乙415/6，

根据题意得：S5=(g)*]=之义区2=11，

S6=W)XI=iXL62=14,

L2=11X-,L2=14x-,

57T716

"i52+^62=N，

OO

：.L42=L52+L62=£x(11+14)=£x25,

.,.S4=^L42=^x^x25=25,

.,.S3+S4=29+25=54,

故答案为：54.

考点四：勾股定理的证明

[\]例4.阅读材料，解决问题：

三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明.实际上，该“弦图”

与完全平方公式有着密切的关系.如图1,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的三角

形拼成的“弦图

26

图1

(1)在图1中，正方形A8CD的面积可表示为,正方形PQMN的面积可表示为(用含a,b

的式子表示)；

(2)请结合图1用面积法说明(a+b)2,ab,(a-卜尸三者之间的等量关系；

(3)已知a+b=7,ab=5,求正方形EFGH的面积.

【答案】(l)(a+b)2；(a—b)2

(2)(a+b~)2=(a-b~)2+4ab；

(3)正方形EFGH的面积为39

【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算.

(1)由正方形面积公式即可得到答案；

(2)由正方形力BCD的面积=正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积X8,即可得到答案；

(3)由正方形EFGH的面积=正方形力BCD的面积-直角三角形的面积X4,得到正方形EFGH的面=(a+

b)2-2ab,代入有关数据即可计算.

【详解】(1)解：正方形4BCD的面积可表示为(a+b)2,正方形PQMN的面积可表示为(a-6产.

故答案为：(a+b)2；(a—b)2；