2025年湖南省永州市高考数学二模试卷+答案解析

2025年湖南省永州市高考数学二模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={剑一34力<2},B={x\x=2n+l,neZ},则4c_B=（）

A.{-3,-1,1,3}B.{-3,-1,1}C.{-1,1}D.{1}

2.已知复数z=H，则⑶=（）

3—4z11

A.^2B.V3C.^5D.1

3.已知非零向量才，了满足（才―！"）.（/—3了）=0，且=3|用，则方与了的关系是（）

7T7T

A.垂直B.共线C.夹角为3D.夹角为刁

36

1+4a①〉0

2'"2八是R上的增函数，则实数q的取值范围是（）

{—X+。力+。，力<（J

A.[0,4]B.（0,4）C,（0,4]D.[0,4）

22

5.设田，尸2分别是椭圆。：4+《=l（a〉b〉0）的左、右焦点，过点用作X轴的垂线交C于4,3两点,

azbz

其中点工在第一象限，且|4西|=2|4凡|.若尸是C上的动点，则满足△PF1E是直角三角形的点P的个数

为（）

A.0B.2C.4D.6

6.正三棱台AB。-43G的上、下底边长分别为6,18,该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和

三个侧面都相切），则正三棱台的高为（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知数列{厮}满足厮+1=号+工，则下列说法正确的是（）

A.{厮}所有项恒大于等于，万

B.若W=1,则{厮}是单调递增数列

C.若{厮}是常数列，则的=代

D.若©=2,贝*%+1+导}是单调递增数列

8.在平面直角坐标系中，4（1,0）,F（-l,p）,Q（l,q）,其中夕〉0,q〉0,AAOQ=APOQ,则当

p

△OPQ面积最小时，-=（）

A+1BV/3+1cA/5—1口-1

・2222

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设样本空间Q={1,2,3,4}含有等可能的样本点，且4={1,2},B={1,3},。={1,4},则下列结论

正确的是()

A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A|C)=P(C\A)

C.P(ABC)=P⑷P(B)尸(C)D.P(BC)=P(B)P(C)

22

10.斜率为2的直线/与双曲线,一口=l(a>0,b>0)的两条渐近线交于阴)，B(X2,42)两点，与双

曲线交于C,D两点,P是线段的中点，则下列说法正确的是()

22

A.之_《=。是双曲线两条渐近线所构成的“r'形图象的方程

a20-

B.尸也是线段CD的中点

C.若/过双曲线的焦点，则直线O尸的斜率是——

D.若/过双曲线的焦点，点尸的坐标为(2,1),则a=b

11.已知/Q)的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：

①f(±y)=f⑺+于⑻；

②f(x+妨》min{/3)"(g)}；

③当/⑶#/®)时,+沙)=min{/(x)J®)},

/

其中min{a,b}=<A。

下列说法正确的是()

A.若〃2)>r,/(y)>r,则/(立一0)〉r

B.f(*=0恰有两个整数解

C.若c+g+z=0,xyz^O,则/(，)，f(y),/(z)中至少有两个相等

D.若/⑵=1,则/(240)=3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知cos(a+1)=cos(a-7r),则cos2a+sin2a=.

13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相

同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用

了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有种.

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14.在平面直角坐标系xQy中，射线八：沙=c(/20),，2：y=0(s>0),半圆C：,=J1_(2_4产.现

从点4(1,0)向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线I时会发生镜面反射.

设光线在发生反射前所在直线的斜率为左，若光线始终与半圆C没有交点，则左的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△48。中，角N,B,C所对的边分别为a,b,c,c=l,asi"—smC=4+申.

a-b

(1)求△ARC的外接圆半径；

⑵若△ARC为锐角三角形，求△48。周长的取值范围.

16.(本小题15分)

如图，正方体AB。。—4bBic15的棱长为1,点N分别在线段481，BCi上,M|AM|=A|ABi|,

CiN|=〃|G却

(1)若A=〃=g,证明：DDJMN；

⑵若=点P,。分别在直线皿，MN上,且PQLDDi，PQLMN,求|PQ|的取值范围.

17.(本小题15分)

箱子里有四张卡片，分别写有数字1，2,3,4,每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均

为;，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：

(a)第一次抽取的卡片上写的数字是4；

⑹设n为大于等于2的整数，第n次抽取的卡片上写的数字大于第n-1次抽取的卡片上写的数字.例如，

当记录的数字依次为3,2,2,4时，这个操作在第4次结束.

(1)若操作进行了4次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；

⑵求操作在第〃次结束的概率.

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18.(本小题17分)

〃-2e~a

已知函数/⑸=(e。+2e-a)V^+—〉0.

y/X

(1)设直线刀=4与曲线沙=/侬)交于点尸，求尸点纵坐标的最小值；

⑵a取遍全体正实数时，曲线4=/(乃在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数g(①)，求9他)

的解析式；

(3)证明：当时，对任意正实数a,“为》21na;+2.(附：el«3.49)

19.(本小题17分)

22

在直角坐标系X。"中，椭圆C：4+q=i(a>b〉0)经过点P(—2禽,1),短半轴长为，和过点S(0,5)作

a2炉

直线/交C于/,2两点，直线尸/交〉轴于点直线尸2交y轴于点N,记直线尸/,尸2的斜率分别为岛

和M

(1)求C的标准方程；

(2)证明二+3是定值，并求出该定值；

卜2

(3)设点H(0,l),证明C上存在异于其上下顶点的点0,使得NMQR=NNQR恒成立，并求出所有满足

条件的。点坐标.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合a={剑-34尤w2},B={x\x=2n+l,nEZ},

则月门5={—3,—1,1}.

故选：B.

利用交集定义、不等式性质求解.

本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：复数z=1

3-42

故选：D.

根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：设定与了的夹角为仇

由（下—了）•（才一3了）=0.

可得/2一4才.了+372=o，又同=3|用，

则有Z•丁=3|用2，则COS0=」一乂=司=1;

同|b|31bl2

因此。=0，即丁与了共线.

故选：B.

设丁与了的夹角为出由已知条件，进行数量积运算，可求得cos。=1,从而得出结论.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题.

4.【答案】A

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I1+4a/〉0

【解析】解：根据题意，函数/(*=<2'/2是尺上的增函数，

—X+ax+a<U

—20

则〈2,解可得0WQ<4,即〃的取值范围为[0,4].

4a2a2

故选：A.

根据题意，由函数单调性的定义可得(一220,解可得答案.

[4Q2Q2

本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意可得MF2|=L|4FI|+ME|=2Q,M碎=2|4玛,

a

i29fa2=3力，

.•2=等，即《y=2力，

a3[c2=t

取上顶点时最大.

P^F1PF2

a2+a2—(2c)231+3力一411八

COS/F1PF2=----------=—〉0，

2a•a6力3

/./丹9片不会为直角，二只有当NPF1E或/。用丹是直角才符合题意.

则满足△PB凡是直角三角形的点P的个数为4个.

故选：C.

由椭圆的性质及定义可得匿b的关系，利用余弦定理可得尸取上顶点时//「凡不会为直角，从而可得结

论.

本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意可得上下底面内切圆的半径分别为工X遗x6=禽，工义武义18=3通，

3232

.•.该正三棱台的斜高为，^+3禽=4\8，

:该正三棱台的高为^(4\/3)2-(3^-\/3)2=6.

故选：D.

根据题意可得该正三棱台的斜高为上下底面内切圆的半径之和，从而可求解.

本题考查正三棱台的内切球问题，属基础题.

7.【答案】D

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【解析】解：数列｛厮｝满足厮+1=8+',

NQn

当电<0,可得厮<0,故N错误；

3

若Ql=1,可得。2=],

由。计1-an=----三厮，可得几=1时，。2-。1=三〉0,

an22

9R

々=2时，a3-a2=|-|<0,故｛QzJ不是单调递增数列，故5错误；

若｛%｝是常数列，即有Q计1=Q/即%九=厮，解得厮=±故C错误；

若向=2,可得%〉0,且a〃+i=—anH---2\—=\/2，可得Qiz〉，

2anV2

11a

可得%+1+耳勾=狐+一,由对勾函数的单调性，可得｛r即+1+”ny｝是单调递增数列，故。正确.

2an2

故选：D.

由数列的递推式和数列的单调性、对勾函数的单调性，对选项分析，可得结论.

本题考查数列的递推式和数列的单调性，以及对勾函数的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属

于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意知，tanZAOQ=q,tanZAOP=-p,

「Ltifee//sc/5八、tan/LAOP—tanZAOQ—p—Q

所以tanAPOQ=tanZAOF-AAOQ)=———―/Ann=1-----，

1+tanAAOPtanZ.AOQ1—pq

因为Z.AOQ=Z.POQ,

所以tan乙4OQ=tan/尸。Q,即q=d-'整理得P=:。

1-pqqz—1

又p>0,q〉0,所以q>1,

由尸（一1,0）,Q（l,q）,知QP|=，p2+i,QQ|=vV+l,

由tanAPOQ=tanZ.AOQ—q,知sinZPOQ=+1,

q，p2+i

所以AOrQ面积S=1|OF|-|OQ|sinZFOQ，/+i.，g2+i.q

,4+1

2.J（3_）2+i，q（/+i）

2VV-1+—2十一i

2

设/（".罕3q〉1,

/_仞2_]

则尸⑷=

2d-I》

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令/⑷=0,则q4—4q2—1=0,解得/=2+通(负值已舍)，即〃=&+后

所以当qe(1,12+6)时，f'(q)<。，〃q)在(1,^2+通)上单调递减;

当qe(j2+通,+oo)时，f'S))。，/(。)在(/2+西,+oo)上单调递增，

所以当/(q)取到最小值时，q2=2+冷，

此时面积S取得最小值，

,_2Q22v^-1

由°=~1r>知P一=——-=---7=—=--—■

Q2-1qQ2-12+^/5-12

故选：C.

利用NAOQ=NPOQ,结合两角差的正切公式，推出「=”7,再利用三角形的面积公式，可得△OPQ

面积5=1.叫+1),然后设/(q)=1.吗±U,q>l,利用导数研究该函数的单调性与最值，即可得

2qz—12q/—1

解.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，还涉及两角差的正切公式，直线斜率的求法等，考查转

化与化归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，P(A)=P(B)=P(C)=I，

依次分析选项：

对于4AB={1},则P(AB)=；,而P(4)=P(B)=；,

则P(4B)=P(⑷尸仍),Z正确;

对于5,40={1},P(AC)=:,则。(川。)=^^=、

4/

p©闺一耳厂了

故P(川。)=。(。|4),8正确;

对于C,ABC={1},P(ABC)=：,

而P(A)=P(B)=P(C)=：,则P(A)P(B)P(C)=J,

28

则有P(4BC)#P(4)P(B)尸(C),C错误;

对于D,B={2,4}-5={2,3}，BC={2}'

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——1——1

P(B)=P©=,则尸(BO)="

则有P(Z。)=P宙)尸(5),。正确.

故选：ABD.

根据题意，由古典概型公式可得P(4)=P(B)=P(C)=；,由古典概型公式分析/、C、D,由条件概率

公式分析2,综合可得答案.

本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题.

10.【答案】ABD

22

【解析】解：对于选项4易知"半=弓_„+=0，

所以——X£V=0或X_+V:=0,

a0ab

即g=纥或y=——x,

aa

该直线方程恰好为双曲线的两条渐近线，故选项/正确；

对于选项公设直线/的方程为g=2/+m，。(73,明)，。(74,%)，

(x2y2

联立Ia2匕2—1,消去y并整理得(b2—4Q2)/2_4Q2ml-Q2m2—Q2b2—0,

Iy=2xm

若昭―4Q2=0,渐近线方程为V=±2%

此时与直线/平行，不符合题意，

由韦达定理得磔+24=/£%；

俨—4az

(x2y2

联立\混—京一°，消去歹并整理得(62-4(?)/_4Q2m工-a2m2=0,

Iy=2xm

由韦达定理得力i+冲=工产7?'

俨—4Q‘

所以CQ共用同一个中点，故选项5正确；

对于选项C：若直线/过焦点(G。)，

此时直线I的方程为y=2x—2(m=-2c),

石、4T石二f4Q2m-8a2c

由选项2知碇+工4=庐下=庐下'

所以叼=屋£,

廿—4出

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代入直线方程中,

一4。2c_-2b2c

解得yp=2x2C2

b—4Q2b—4Q2

—2b2cb2

此时kop=—

xp—4Q2c2a2

若直线/过焦点(一c,0),

此时直线方程为y=2x+2clm=2c),

石、4T石「f4a2m8Q2c

由选项2知的+&=庐二审=位二室，

所以"=庐中’

代入直线方程中，

妊+2c=-2*乙

解得yp=2x

N—4。2N—4蟆

此时dp="=粤=2，故选项c错误;

xp4a'c2az

;)21

对于选项。：由选项。知二=上,

2a22

即02=火

因为a〉0,b>Q,

所以a=b,故选项。正确.

故选：ABD.

22

由题意，易知"也=「—令*+§=0,求出直线方程，结合双曲线的渐近线方程即可判断选项/；设

22

出直线/的方程，将直线方程分别与双曲线方程以及之-4=0联立，利用韦达定理即可判断选项氏设出

a2b2

直线/的方程，结合选项3中信息以及斜率公式即可判断选项C；结合选项C中信息即可判断选项ZZ

本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：A：令x=y=l,有/(1x1)=/(1)+/(1),即〃1)=0；

令z=V=—1,有〃1)=/(一1)+/(一1),即〃-1)=0；

令y=-1,有/(一①)=/(①)+/(—1)=/3),即/(g)是偶函数;

因为f{x-y)=f(x+(-妨)》min{/⑶"(-=}=min{/⑶,/⑼},

/(e)>r，/(y)>r,所以/(c-g)〉r,/正确；

B-.假设选项正确，对于任意除1和-以外的整数a,有/(a)/),

即/(2厚0,〃3)网,而/⑵=/(l+l)》min{〃l),/(l)}20,且/⑵邦,

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所以/⑵>0,/⑶=/(l+2)=min{/(l)"(2)}=0,矛盾,故8错误；

C：x+y+z=0^x+y=-z^f(x+y)=f(-z)=/(2),所以/(z)》min{/(c)"Q/)},

若于⑸=于⑻,结论显然成立；

若/⑶"®),则f(z)=min{/(a;),/(y)},

即/(z)=/(c)或/(2)=/®),结论依然成立，C正确:

D：/⑶=/(2+1)==/⑴=0,

/(5)=/(3+2)=min{/⑶"⑵}=/⑶=0,

7(240)=/(24x3x5)=/(24)+/(3)+/⑸=4/(2)=4,D错误.

故选：AC.

应用特殊值法及奇偶性定义判断/(乃奇偶性，进而有/(力-力)min{/(z),/(妨},即可判断出

应用反证法，对于任意除1和-1以外的整数。有/(a)/。，根据已知推出矛盾判断3

根据已知得/(z)》min{/(x),/(?/)},讨论/(研=f(y)、/(立厚/⑻判断上述结论是否成立判断C；

由函数性质得/⑶=/(5)=0、/(240)=/(24)+/⑶+/(5)求值判断D.

本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题.

12.【答案】二T

2

【解析】解：由己知可得一sina=—A/3cosa，贝Itana=通，

；匚［、1门.小cos2a—sin2a+2sinacosa1—tan2a+2tana1—3+2\/3—1

JTT以cos2a+sin2a=-------------------------=------------------=-----——---=-------.

sin2a+cos2atan2a+13+12

故答案为：)T.

2

利用诱导公式求出正切值，然后根据正余弦的倍角公式以及弦化切化简即可求解.

本题考查了诱导公式，倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式的应用，属于基础题.

13.【答案】6

【解析】解：先将红、橙、黄、绿四种颜色正四面体模具4-上色，

有用=24种不同的上色模式，

又如果两个己上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上

色模式.

24

那么不同的上色模式共有了=6种.

4

故答案为：6.

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由排列、组合及简单计数问题，结合染色问题求解.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了染色问题，属中档题.

14.【答案】［—目）u（苧,+刈

o124

【解析】解：将半圆依次沿着沙=应2=0，v=—，作对称，如图所示:

光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，

因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示，

当光线与3—4）2+/=1仅20）相切时，光线所在直线斜率为自=—4——=工2，

由对称性可知当光线遇射线。时反射光线若与（X-4）2+/=l（y20）相切，

则入射光线所在直线为1与圆/+仅—4）2=1相切，

当光线与圆/+（y-4）2=1相切但遇射线A时反射光线不与（x-4）2+/=l（y》0）相切时，

此时tan。=所以光线斜率为k2=—tan4-20）=—二=考，

42tan202tan008

2X4

当光线与（2+4）2+/=1仅》0）相切时，光线斜率为扁=-/，=—尊，

v52—112

所以由图可知k的取值范围是（-竺，-遗）U（逛,+OO）.

<8127k45）

故答案为：（弋，—第U（孚+8）.

o1Z4

求出光线与（，—4日+“2=1（“（工+4）2+/=1（“20）,/+@—4）2=1相切时的斜率，数形结

合即可得解.

本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

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15.【答案】解：⑴因为c=l，asm4—广0二+”

a-b

asmA—csinC.门

可得--------------=smB,

a—b

22

由正弦定理可得Q2—c=b(Q—6)=ab—bf

即a2+b2—c2=ab，

由余弦定理可得：a2+b2—c2=2abcosC,

可得cosC=；,而Ce(0,7T),

7T

可得。=可，

o

所以sinC=，

2

设△48。的外接圆的半径为R,

C1一通

由正弦定理可得＜}=2H,即“—一Vf一飞，

smC9­—

2

所以△ABC的外接圆的半径为迎；

3

abc12

(2)由正弦定理可得sinAsinBsinC遮通，

~T

22

所以a=sinA,b=~^=sinB,

2,、

所以△4BC的周长为a+b-\-c=—(sinA+sinB)+1

A/3

2

=71叵114+sin(3+4)]+1

27T7T

=—7=(sinA+sin—cosA+cos—sinA)+1

v333

23.\/3八

=smA+—cosA)+1

7T

=2sin(A+—)+1,

o

[AC%)

可得ae*?),

在锐角△ABC中，\27r7r

=A€(o,-)02

IBo/

可得呜等,

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所以sin（4+‘）e1],

o/

所以a+6+cC（\/3+1,3].

【解析】（1）由题意及正弦定理，余弦定理可得cos。的值，再由角。的范围，可得角C的大小，由正弦定

理可得△4BC的外接圆的半径的大小；

（2）由正弦定理可得°,6的表达式，再由辅助角公式及锐角三角形的性质可得三角形周长的范围.

本题考查正弦定理，余弦定理及辅助角公式的应用，锐角三角形的性质的应用，属于中档题.

16.【答案】证明：（1）连接Bi。，AC,当》=〃=：,

则M是』口1的中点，N是场。的中点，

所以

因为C面/BCD,。1。_1面/8。，所以。1OL4C,

所以OiOLMN；

解：（2）以。点为原点，咒，虎，方方方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,

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ZA

则4(1,0,0),Ci(0,l,l),B(l,l,0),01(0,0,1)

AB[=(0,l,l),C^=(1,0,-1);所以皿=(0,入X),亦=(出0,—〃)，

所以,所以MR=(〃—1,1-入1—〃-,

又DDi=(0,0,1),设直线尸。的方向向量为方=侬,。,2),

皿1da/万,DDi=0zgf2=0

[7?.M^=0I(M-l^+(l-A)y+(l-M-A>=0>

取7?=(1—A,1—也0),又D就=(1,1X)，

_1

所以\PQ\=|%不|=”=2

yA2+/12—2(A+4)+2+〃)2—2(A+4)+1

11

=X=2,

a+〃-ii从+々_1|'

2A

(0A1]

易知沙=X+《—1在心彳］单调递减，［彳,1］单调递增,

所以沙口0一1,口，所以|PQ|e［1,乌力.

/2

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【解析】(1)当X=〃=g时分别找到点M和点N的位置，利用线面垂直，可证线线垂直；

⑵根据题中垂直关系，建立空间直角坐标系，把|PQ|表示为人的函数，求函数值域即可.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意，前四次抽取的情况有：

1111,2111,3111,2211,3211,3311,2221,3221,

3321,3331,2222,3222,3322,3332,3333,共有15种；

(2)设操作在第n次结束的概率为Pn,操作在第n次未结束的概率为Q”

当n22时，Pn—Qn-i-Qn>当n=l时，马=；，

接下来我们讨论操作进行了“次，但是并没有结束的情形，

抽取的数字结构如下所示：

3,…,3,2,…,2,1,…,1刀,,

分别设序列中的3,2,1的个数为x,»z,可知c+v+2=n(/

利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如下:

令X=z+1,Y=y+1,Z=z+1,即X+y+Z=n+3(X2l,y2l,Z》l),

一共有a+2=国土”巴地种情形，

各情形概率均为所以有Qn=(九+1"2)铲,

当打》2时，Pn=Q——Qn=亚异—(n+lXn+2)(l)w(n+l)(3n-2)1

2卬’

经检验，其对n=1依然成立，即P“二仇+I',九一2)(].

【解析】(1)根据题设，列举出对应的结果即可；

(2)设操作在第〃次结束的概率为操作在第〃次未结束的概率为Qn，再利用隔板法进行讨论，即可求

得结论.

本题考查概率的综合应用，属难题.

15

18.【答案】解：(1)2=4时，/(x)=2ea+4e-a+-ea-e-a=-ea+Se-0,

令h{a)=""+3e~a>2^/1ea-3e~a—V3O,

In6

当且仅当5。。2。_6物时等号成立，

所以P点纵坐标的最小值为v/30；

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(2)/(2；)=(V^+7)e°+2(近一

，力

3)e。+2(垓--W）e-。，

令/l(Q)={y/x+-

JX.

3)e,-2陷--X-\-lcl—1n力+lc6一

则h，(Q)=(y/x+-~^=)e~na=~^ena-2^^e~a=~^e~na/(e92na-2——-),

\JXy/Xy/Xy/Xy/XX1

T一1

①当2J<1,即0＜力W3时，h\a）》0,九（Q）在（0,+oo）上单调递增，

x+1

/z(Q)>/i(0)=3y/x---

vx

x—1

②当2」＞1,即-3时，由e2-2三今小芳

1+1，

X+12

无（Q）在m（E）、上单调递减，在J"2—;）、上单调递增,

（0,----2----）（----2----'+0°）

（3）证明:由第⑵问可知/（，）》g（c）恒成立,所以只需证明g（M）21n2+2即可.

①若xG［1,3］,构造九（力）—3y—.——21nl—2,

31211

则“3=5+五西一1=—（3x-4v^+l）=五方（33一1）（3一1）,

因为①》1,所以\（乃》0在［1,3］上恒成立，Mr）在［1,3］上单调递增,

所以h[x)2/i(l)=0,

即3，^—-/=22In力+2在[1,3]上恒成立;

②若xE[3,+oo),g(力)=2\/2A/rr——,

Vx

因为223,所以2四工》2代{x—\，

构造h(工)=x—g—2Inx-2>

'1

■一2X--

3

则小）=—一1=

\x~sX

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令9（力）=V2x—2

/（力）=A/2—

则」

I3

所以久乃在[3,+00）单调递增，

L4L

而『（3）=3\/2--y6>0,所以3（乃〉00力（乃>0恒成立,

O

八(化)在［3,+oo)单调递增，h(x)》fi⑶=-\/3—2In3—2.

o