2025年高考数学二轮复习专练：平面向量的概念及线性运算

专题4.2平面向量的概念及线性运算

【新高考专用】

题型基础练

题型一平面面基的基本概念

1.（23-24高二下.山东荷泽•阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程;

⑦密度.其中是向量的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解题思路】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解.

【解答过程】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.

故选：C.

2.（24-25高一・江苏•课后作业）下列结论正确的个数是（）

①温度含零上和零下，所以温度是向量;

②向量的模是一个正实数；

③若向量4与3不共线，贝展与石都是非零向量；

④若|a|>\b\,则外>b.

A.0B.1

C.2D.3

【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判

断；④根据向量的性质可判断.

【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；

②错，6的模等于o；

③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确；

④错，向量不能比较大小.

故选：B.

3.（23-24高一下•海南僧州•阶段练习）下列各量中，向量有：③⑤⑥.（填写序号）

①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度.

【解题思路】根据向量的概念判断即可.

【解答过程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.

故答案为：③⑤⑥.

4.（2024高一•全国・专题练习）给出下列命题:

①若切厄为/F,则到力；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量荏与而是共线向量，则A,B,C,。四点必在同一直线上.

其中正确命题的序号是③.

【解题思路】①考虑B=6的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平

行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.

【解答过程】①错误.若3=6,则①不成立；

②错误.起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量国与而必须在同一直线上.

故答案为：③.

题型二[向量的几何表示与向量的模。|

5.（23-24高一下•全国•课后作业）如图所示，在正六边形4BCDEF中，若AB=1,则|屈+而+而|=（）

AB

A.1B.2C.3D.2V3

【解题思路】由正六边形性质可得质=阮，进而由向量的加法法则求解即可

【解答过程】由题,可知而=BC,

所以I而+而+而I\AB+BC+CD\|AD|=2,

故选:B.

6.（23-24高一上.河北保定.期末）若平面向量2,3,^两两所成的角相等，且©=2,|山=2,|c|=6,贝帆+3+

c|=（）

A.4B.8C.4或10D.10或8

【解题思路】讨论Hb,共线时和不共线时，分别求出口+3+4的值.

【解答过程】解：当五，b,F两两所成的角为0。时，五，b,乙共线，怔+B+4=|五|+向+随|=10；

当五，b,乙不共线时，•••平面向量出b,两两所成的角相等，两两所成的角应为120。,

如图所示:

\a+b\=2,且五+B与0共线，但方向相反,

|a+K+c|=|c|—|a+b|=4.

综上，怔+:+目的值是10或4.

故选：C.

7.(23-24高一下.全国•课后作业)如图，在正六边形ABCDEF中，若AB=1,则1屈+而+而1=2.

【解题思路】由向量的加法原则求解即可.

【解答过程】因为而+而+而=前+说+丽=诟，

因为正六边形ABCQE尸是由6个全等的等边三角形构成，所以|而|=2,

所以|方+屈+而|=|前|=2.

8.(23-24高一下•全国•课后作业)在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10m/min,如果船从岸边

出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过lh,该船的实际航程是誓km.

【解题思路】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论.

【解答过程】如图，而是水流方向，而是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此而是船在静水中的

航行方向，|外行=20m/min,\vAB\=10m/min,则=30°,

|诟|=20xcos300=10V3(m/min),故该船lh行驶的航程为10bx60=600V3(m)=言(km).

故答案为：言.

题型三N向量加、减法的几何意义

9.（2024.广东湛江.一模）在平行四边形2BCD中，E为边BC的中点，记方=出DB=b,则荏=（）

A.—CL—bB.-a4—b

2433

ubb

C.H—2D.-45H—4

【解题思路】根据向量的线性运算法则，求得荏=»-）,结合族=前+而=前+|方，即可求解.

【解答过程】如图所示，可得而=4-而=3而-1前=转-扣,

所以标=芯+丽=前+工荏=日+工仁3—工2）^-a+-b.

22\22/44

故选：D.

10.（24-25高三上•甘肃天水•阶段练习）已知AABC,点。为边BC上一点，且满足前=2反，则向量同=

1112

+

----

AC.3333

B.

21D.22

+

----

3333

【解题思路】利用向量的加法和减法运算法则即可求解.

【解答过程】AD=AC+CD=AC+-CB=Zc+|（Zfi-XC）=|XB+|XC,

另解：AD^AB+~BD=AB+|BC=AB+1（AC-AB"）=+|尼.

故选：B.

11.（23-24高一下.海南•阶段练习）设。为四边形ABC。的对角线AC与3。的交点，若荏=五，AD=b,

OD=c,贝!JOB=d—b+c.

【解题思路】在4。4。与4。4B中利用向量加法和减法法则即可作答.

【解答过程】依题意，在Aoao中，OA-OD+DA^c-b；

在AOAB中，OB=OA+AB=c-b+d,

所以。8=（I—b+C.

故答案为：a—b+c.

12.（2024高一•全国•课后作业）如图，D、E、尸分别是△ZBC边A3、BC、CA上的中点，则等式:

①而+DA-AF=0②而+DE-EF=0③屁+DA-BE=0@AD+JE-AF=0

其中正确的题号是③④.

【解题思路】根据向量的线性运算逐项分析判断.

【解答过程】对于①：FD+DA-AF^FA+FA^2FA^0,故①错误；

对于②：FD+^E-~EF=7E+7E=2FE0,故②错误；

对于③：DE+DA-JE=DE-~DB-~BE=JE-~BE=0,故③正确；

对于④：AD+BE-AF^AD+DF-AF^AF-AF^0,故④正确；

故答案为：③④.

题型四1向量的线性运算

13.（2024高一下.全国・专题练习）化简：3伍+3）+3—40—3）=（）

A.2b—CLB.—aC.6a-bD.8b-a

【解题思路】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案.

【解答过程】原式=3d+3b+b-4d+4b=8b-a.

故选：D.

14.（23-24高一下.北京.阶段练习）在梯形A8C0中，AB//CD,AB=2CD,AC与8。相交于点。，则下列

结论错误的是（）

A.AC-AD=^ABB.\0A+20C\=0

--------->9--------->-1--------->--------->--------->--------->--------->—>

C.071=-CD+-CBD.AB+BC+CD=0

33

【解题思路】

结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得.

【解答过程】对A：JC-AD=DC故A正确；

对B：由力B〃CD,故言=累=/故初=—2反，

贝+20C\=\-20C+20C\=0,故B正确；

对C：由方=-2元，故示=|方=|（而+或）=|（屈+2而）=［而+|而,

故C错误；

对D：AB+BC+CD+DA=AC+CA=AC-AC=0,故D正确.

故选：C.

15.（23-24高一下•吉林白城•阶段练习）化简4伍-3b）-6（-2fo-a）=10a.

【解题思路】根据向量的线性运算直接求解即可.

【解答过程】4（a-36）-6（-23-a）=4a-12b+12b+6a=10a.

故答案为:10五.

16.（2024高一.全国•课后作业）若向量2=3"41，b=5t+4f,则—3）—30+|9+（2石—2）=

-16『+壬.

【解题思路】根据向量的加减与数乘，可得答案.

【解答过程】：d-3=式32-鹤-（5?+4方=一4了一日了；

2+|3=（3?-4j）+|（5i+4J）=£7一］；

2b-a=2（5i+47）-（3i-4£）=7i+12j；

-3（d+0）+（2b—a）

=（-4l-y；）-3（yl-3）+（7l+12j）

=-16l+yJ.

故答案为：—16『+日工

题型五上根据向量线性运算求参数

17.（24-25高三上•河南许昌•期中）已知E为△ABC所在平面内的点，且瓦？+［就=2就.若丽=小屈+

nAC,则已=（）

m

11

A.-3B.3C.-D.--

33

【解题思路】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将近,通用方，而表示，求得犯几，即可得出答

案.

【解答过程】

因为籥=屁+荏，

则瓦?+［阮=2BE=2（BC+CE）,

所以2而=-AB-|fiC=-AB-|（4C-/IF）=^AB-|Jc,

所以方=三前一三前，

44

所以mn=-

44

故巴=-3.

m

故选：A.

18.（24-25高三上•浙江•期中）在△ABC中，。是3C上一点，满足丽=2反，M是AO的中点，若前二

XBA+［1BC9贝！+〃=（）

【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.

【解答过程】由题可知，AM=^AD2BM-2BA=^D-BA^>BM=^BA+|BD,~BD=2DC=

2面-前）n丽=|近，

所以有前=3瓦5+工丽=三瓦？+工阮，所以2=工,〃=三，得4+〃=±

2223236

故选：C.

19.（2024•贵州・模拟预测）在△力BC中，点D为边BC中点，若而+近=4荏+〃而，则♦=一、.

〃3-

【解题思路】利用平面向量的加减法法则运算即可.

【解答过程】因为点D为边BC中点，所以而+炭=式而+前）+（左-够）=一]前+日旅，

所以％=一a〃=£：=_'

故答案为：

20.（2024・全国•模拟预测）在平行四边形48c。中，点G在AC上，且满足元=3AG,若丽=m通+n而,

贝Urn一几=1.

【解题思路】

利用向量线性运算求得而=I荏-|而，与题干对照即可求解.

【解答过程】

DG—AG—AD——AC-AD——（AB+4D）—AD——AB—AD,则zn—,n=—,

33、73333

所以TH—n=1.

故答案为：1.

题型六a向量共线定理及其应用。।

21.（2024•黑龙江齐齐哈尔・一模）已知向量匕另不共线，AB=Ad+b,AC=a+11b,其中4>0,〃>0,若

4B,C三点共线，贝1]4+4〃的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.

【解答过程】因为45C三点共线，

所以存在实数匕使荏=k左，即+B=+

又向量江石不共线，所以=加=1,

由2>0,">0,所以4+4〃22J42,=4,

当且仅当4=4〃时，取“=”号，

故选：B.

22.（2024.安徽马鞍山.三模）己知平面向量西，/不共线，N=（2k-1）瓦+2/，3=可一心且力/3,

则k=（）

13

A.-B.0C.1D.-

【解题思路】依题意可得江=石，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.

【解答过程】因为江=（2k-1）京+2石，3=瓦-石且江〃丸

所以巨=正，即（2k-1*7+2^=t⑸一孩），

又耳，互不共线，

所以代U，解得「二?

故选：A.

23.（2024・辽宁・模拟预测）已知向量沅，元不共线，a=Am+n,b=^-l）m-2n,若石〃3,贝奴=二

【解题思路】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得.

【解答过程】由勿区范元不共线，故存在实数kRO,使2=以，

即有2记+n=k（A-l）m-2kn,即有f"=丛'二帖，

I1=-2k

解得13「

k=—

I2

故答案为：

24.（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）在A4BC中，BD=^BC,P是线段上的动点（与端点不重合），

设而=xCA+yCB,则上的最小值是4+2芋.

xy

【解题思路】由丽=IBC,得到荏=3CD,从而有方=xCA+3yCD,再根据2,P,。三点共线,得到x+3y=

1,然后利用基本不等式求解.

【解答过程】解：因为在A48C中，BD=^BC,

所以而=3CD,

又因为方=万方+丫而，则而=江^+3yz方，

因为4P,D三点共线，贝阮+3y=l,结合题意知x>0,y>0,

所以也=工+2.=（工+工）（x+3y）,

xyyx\yxj

=-+—+4>2尼•亚+4=2V3+4,

yxylyx

（'=型（x=理二

当且仅当y-%，即时，等号成立,

1%+3y=10=平

故答案为：4+28.

模拟提升练（19题）

一、单选题

1.（23-24高一下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（）

A.①⑥B.⑦⑧⑨C.①⑧⑨D.①⑥⑦⑧⑨

【解题思路】根据向量的定义可得正确的选项.

【解答过程】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量，

余下皆不为向量，

故选：D.

2.（23-24高一下•河南许昌•期末）已知点。在△力BC所在平面内，满足|刀|=\0B\=\0C\,贝U点。是△ABC

的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【解题思路】根据点。到4B,C的距离相等可得答案.

【解答过程】因为|市|=\0B\=|0C|,即点。到的距离相等，

所以点。是AABC的外心.

故选：A.

3.（2024・甘肃白银•一模）南+阮+2而一而=（）

A.ADB.AEC.AD+CDD.AD+~ED

【解题思路】由向量的线性运算求出即可；

【解答过程】AB+BC+2CD-~CE=AC+CD+CD-CE^AD+^D.

故选：D.

4.（2024高三.全国.专题练习）在AABC中，AB=AC,D、E分另ij是AB、4c的中点，贝”（）

A

B（：

A.说与前共线B.尻与方共线

C.而与荏相等D.而与丽相等

【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.

【解答过程】由题意可知，而与就不共线，A错；

因为。、E分别是4B、4C的中点，所以，DE//BC,故炉与方共线，B对；

因为CD与4E不平行，所以而与族不相等，C错；

因为前=丽=-BD,D错.

故选：B.

5.（2024・四川南充・一模）已知正方形ZBCD的边长为1,贝”屈+阮一方|=（）

A.0B.V2C.2V2D.4

【解题思路】利用向量运算法则得到|航+配-刀|=2\AC\=2V2.

【解答过程］\AB+BC-CA\=\AC-~CA\=2\AC\,

因为正方形ABCD的边长为1,所以ac=Vm=VL

故廓+前-西=2V2.

故选：C.

6.（2024・辽宁•模拟预测）在平行四边形ABC。中，AE=2EC,EF=FB,贝！|（）

A.AF=-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

3636

>q>1>>C>O>

C.AF=-AB+-ADD.AF=-AB+-AD

6363

【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可.

【解答过程】如图，由题意版=2前,可知荏=|北=|（而+而），尸是BE的中点,

所以而=［而+（荏=?荏+|（AB+XD）=|AB+|XD.

7.（2024•陕西安康•模拟预测）已知平面向量2与3不共线，向量访=久之+另,元=^+（3%-2）式若沅〃元,

则实数x的值为（）

A.1B.C.1或D.-1或3

【解题思路】根据平面共线定理，由向量平行，求得x满足满足的方程，求解即可.

【解答过程】由万〃元，且小刀均不为零向量，则蓝=应=4a+4（3x—2）瓦2eR,

可得｛1=2”则然3%-2）-1=0,

整理得3--2x-1=0,解得x=1或x=-1.

故选：C.

8.（2024.全国•二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足加=瓦5+而+前，则直线OP经过

△28C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.

【解答过程】设BC的中点为点D,所以砺+泥=2而，

则而-市=Q=2OD,

若4P,。,。四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，

若4P,。,。四点不共线时，AP//OD,且4P=2。。，连结2D,OP,交于点G,

如图，

综上可知，0P经过△力BC的重心.

故选：A.

二、多选题

9.（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在菱形ABC。中，乙84。=120。，则以下说法正确的是（）

A.与屈相等的向量只有1个（不含通）

B.与荏的模相等的向量有9个（不含方）

C.丽的模恰为瓦5的模的百倍

D.而与瓦5不相等

【解题思路】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD,根据菱形的性质即可求解C.

【解答过程】由于同=尻，因此与方相等的向量只有反，而与荏的模相等的向量有DC,AC,CB,

AD,CD,CA,~BC,BA,故A,B正确；

而在RtAAOD中，•••^ADO=30°,|DO|=^-\DA\,故|砺|=百|瓦?故C正确；

由于施=市，因此而与瓦?是相等的，故D错误.

故选：ABC.

10.（2024・辽宁•二模）A/IBC的重心为点G,点。，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足加=瓦？+

4+反，贝！I（）

A.O,P,G三点共线B.OP=20G

C.20P=AP+JP+CPD.点P在△ABC的内部

【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断.

【解答过程】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+0G+GC

=30G+GA+~GB+GC,

因为点G为AABC的重心，

所以襦+弱+次=6,所以市=3而，

所以。,P,G三点共线，故A正确，B错误；

AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP

=（AO+B0+CO）+3OP,

因为^^OA+OB+OC,

所以（而+月5+而）+3而=一而+3而=2都，^2OP=AP+BP+~CP,故C正确；

因为赤=30G,

所以点P的位置随着点。位置的变化而变化，故点P不一定在AaBC的内部，故D错误；

故选：AC.

11.（2024.山西晋中•模拟预测）在ANBC中，。为边4C上一点且满足而=［反，若P为边BD上一点，且满

足族=4万+4近，A,4为正实数，则下列结论正确的是（）

A.加的最小值为1B.加的最大值为2

C.:；的最大值为12D.；+；的最小值为4

【解题思路】根据8,D,P三点公式求得2+34=1,结合基本不等式判断即可.

【解答过程】因为前比，所以就=3而，

又乔=XAB+iiAC=AAB+3/zAD,

因为P、B、。三点共线，所以4+3/z=L

又入〃为正实数，所以加=：4乂3〃工3'（等）2=*,

当且仅当入=3〃，即4=3〃=：时取等号，故A错误，B正确；

26

+=G+^）（A+3/z）=2+T+^-2+2Jf^l=4,

当且仅当?=；,即；1=；,〃=%寸取等号，故C错误，D正确.

A3〃26

故选：BD.

三、填空题

12.（2024.河南.二模）已知瓦•，互不共线，向量2=3瓦—2孩，B=k瓦＞+6豆，且切"，则k=—9.

【解题思路】根据向量共线定理可知k^+6瓦=32瓦-24名成立，列出方程组，即可得出答案.

【解答过程】因为d〃丸所以UeR,使得3=然成立，即k可+6名=34/一224

因为司局不共线，所以㈢二%，解得［二］；・

故答案为：-9.

13.（2025高三・全国・专题练习）给出下列命题：

①若向量汨武bIIc,则2IIc；

②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；

③在菱形48CD中，一定有同=DC.

其中是真命题的为②③.（填序号）

【解题思路】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断

③.

【解答过程】若3=6,则向量a不一定与向量1平行，故①不正确；

单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点。时，

终点都在以。为圆心，1为半径的圆上，故②正确；

在菱形2BCD中，|荏|=|反荏与反方向相同，故荏=虎，故③正确.

故答案为：②③.

14.（2024.山西太原.三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》

一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽

弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角

形，S.DF=AF,点P在上，BP=2AP,点Q在△DEF内（含边界）一点，若丽=4万+丽，贝。2的最

大值为

【解题思路】先利用向量线性运算得到而=4万，作出辅助线，得到DP〃4H,且喘=|，从而得到答案.

An3

【解答过程】PQ=XPD+PA^>PQ-PA=APDn而=APD,

取DE的中点H,连接2H,

又BP=24P,所以冷券=|，故DP//AH,且.=|,

所以4的最大值为|,此时点Q与点H重合.

故答案为：|.

四、解答题

15.(24-25高一下•全国•课前预习)如图，在矩形4FDC中，AC=2AF,B,E分别为边AC,OF的中点,

在以A,B,C,D,E,尸为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：

(1)分别找出与羽，荏相反的向量；

(2)分别找出与衣，族相等的向量.

【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解.

【解答过程】(1)方向相反，大小相等的向量互为相反向量.

与肝相反的向量有前，~EB,DC；与族相反的向量有瓦5,DB.

(2)方向相同，大小相等的向量是相等向量.

则胡，而与屈方向相同，且长度相等，故与前相等的向量为南，C