2025年高考数学专项复习：平面向量基本定理及坐标表示（解析版）

第03讲平面向量基本定理及坐标表示

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐

模块二基础知识全梳理（吃透教材）标系，更应该学会用基底表示平面向量

模块三核心考点举一反三2.会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线

模块四小试牛刀过关测的判断.

3.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面

向量数量积的坐标运算；

加模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理

知识点1平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果，，可是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量Z,有且只有一对实数4,4，

使a=44+%02.

若只不共线，我们把，｛1,£｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

知识点2平面向量基本定理的有关结论

(1)设1是平面内一组基底，若当4=0时，£与1共线；当4=。时，Z与［共

线；当4=4=0时，a=0,同样的a=。时，4=%=0,

Y—X

(2)设a,B是同一平面内的两个不共线的向量，若不。+%1=9。+%B，贝！P「_:.

知识点3平面向量的正交分解

(1)把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.'J

知识点4平面向量的坐标表示

(1)向量的坐标表示\\

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线单位向量7、］・作为基底，。1，’

对于平面内的一个向量Z，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y使得

a=xi+yj,则把有序数对(x,y),叫做向量Z的坐标.记作Z=(x,y),此式叫做向.'j

ylA(x,y)/

量z的坐标表示，其中X叫做£在X轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，|；■."

注意：①对于Z，有且仅有一对实数(x,y)与之对应—*

②两向量相等时，坐标一样

③7=(1,0)，］=(o,i),6=(o,o)

④从原点引出的向量05的坐标(x,y)就是点A的坐标

(2)点的坐标与向量的坐标的关系

区别：①表示形式不同向量£=(x,y)中间用等号连接，而点A(X,y)中间没有等号

②意义不同点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x,y)的坐标(x,y)既表示

向量的大小，也表示向量的方向.另夕卜(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向

量(x,y).

联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

知识点5平面向量的坐标表示

(1)两个向量和(差)的坐标表示

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

坐标表示：a=(%,%),b=(9,%)则:

a+b=(%+x2,%+%)；a-b=(xl-x2,yl-%)

(2)任一向量的坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

B(x2,y2),则荏=(/一%,为一%)・

(3)向量数乘的坐标表示

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

坐标表示:tz=(x,y),贝UAa=(Ax,Ay).

知识点6平面向量共线的坐标表示

设a=(%,%),B=(%,%),其中BH。，则。B=当且仅当存在唯一实数2,使得£=4；

用坐标表示,可写为a||Bo(%,%)=丸(%2,%)，即：

消去％得到：%%-%%=0.

这就是说,向量3,方(BH。)共线的充要条件是石％-々%=0.

知识点7平面向量数量积的坐标表示

在平面直角坐标系中，设7，7•分别是％轴，y轴上的单位向量.向量坂=(9,%)分别等

价于Z=+b=x2i+y2j,根据向量数量积的运算，有：

a-b=(x；z+^]j)-(x2z+y2j)=xxx2i+xxy2i-j+x2yxj-i+yxy2j由于i，J为正交单位向量，故,1=1，

『=1，7-7=0,从而。啰=石为2+X%.即。4=百马+X%，其含义是：两个向量的数量积等于它们

对应坐标的乘积的和.

知识点8两个向量平行、垂直的坐标表示

已知非零向量0=(菁,%),)=(/,为)'

(1)a_L.B<=>a-B=0o.《x,+yry2=0.

(2)a||bo玉%-彳2>1=。

知识点9向量模的坐标表示

(1)向量模的坐标表示

若向量a=(x,y),由于|£|=JU，所以+/.

其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.

(2)两点间的距离公式

已知原点。(0,0)，点4(石，%),3(々，为)，则48=05-。4=(打％)一(%，乂)=(/一%，为一,于是

IAB|=%>+(%-MP-

其含义是：向量荏的模等于A,B两点之间的距离.

(3)向量£的单位向量的坐标表示

设Z=(x,y),乌表示£方向上的单位向量

\a\

知识点10两向量夹角余弦的坐标表示

已知非零向量。=(玉,％)]=(9,%)，。是£与B的夹角，则cos6=f222

\a\\b\+城•+

模块三核心考点举一反三

考点一：用基底表示向量

1.(24・25高三上•陕西汉中•期中)如图，在VABC中，BD=^DC,则而=()

1—.3—►

B.-AB+-AC

2244

1>22►1

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】D

【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用

【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，数形结合求解.

【详解】因为丽=：况,

11Q1

所以15=15+彷=+§而+蔗—通)=1通

故选：D

【变式(2024高三•全国•专题练习)在△A5C中，点。为A5的中点，记演=味，CB=n,则①=()

1一1-

A.m+nB・m-nC.—m+—nD.-m--n

2222

【答案】C

【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用、用基底表

示向量

【分析】利用向量线性运算的几何表示即得.

UUU1UUUUI

【详解】因为点。为AB中点，CA=m,CB=n,

^f^a)=CA+Ab=CA+-AB=CA+-[CB-CA)=-CA+-CB=-m+-n.

222222

故选：c.

【变式1-2](23-24高一下•福建福州•期末)在平行四边形ABC。中，E是BC的中点，则诙=()

A.AB+-ADB.-AB+-ADC.AB--ADD.-AB--AD

2222

【答案】C

【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量

【分析】直接根据平行四边形的性质分解向量即可.

【详解】

故选：C

【变式1-3](23-24高一下•湖北武汉•期末)平行四边形ABC。中，点M是线段5c的中点，N是线段C。

的中点，则向量丽为（）

—.1--1—.___.1—.3―-

A.MN=-AB——ADB.MN=-AD+-AB

2244

--1一1一___.1一3一

C.MN=-AD——ABD.MN=-AD——AB

2244

【答案】C

【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用

【分析】根据三角形中位线性质和向量线性运算即可.

【详解】根据三角形中位线知：MN=^BD=^AD-7^）=^AD-^AB

故选：C.

考点二：根据平面向量基本定理求参数

.例2.（23-24高一下•贵州贵阳•阶段练习）在VABC中，。为边BC的中点，E,F分别为边48,AC

上的点，且通=3淳，AC=4AF,若而=4通+〃/,/L,〃eR,则〃值为（）

【答案】A

【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用

【分析】由向量的线性运算分别求出九〃的值即可.

【详解】Ab=AAE+^iAF=^AB+^AC,因为。为边BC的中点，

所以=所以几=|，〃=2,从而”一〃=1.

故选：A.

【变式2・1】（2024高三•全国•专题练习）如图，在VABC中，点。，£分别在边A5,BC±,且均为靠近

5的四等分点，CD与AE交于点尸,若丽=乂而+y/，则3x+y=（）

A.-1

【答案】A

【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数

DFDF1__►，3—>一►2一►1.

【分析】作出辅助线，得到O石//AC,二=芸=从而OC=AC—=A3,BF=~AB+^AC9得到

FCAC455

21

x==得到答案.

【详解】连接。£,

“BDBE1miDEBD1

由题意可知，-=—=->所以DE//AC,则二大==7=:，

BABC4ACBA4

DFDE1—►I—.—.—.—►—.3--

所以——=——=-,所以50=--AB,DC=AC-AD=AC一一AB,

FCAC444

uumiuumiuum3uim

贝（IDF=-DC=-AC——AB,

5520

uimuunuum1uun1uum3uun9uun1uum

故BF=BD+DF=——AB+-AC——AB=一一AB+-AC.

452055

__._,2i

JLBF=xAB+yAC,所以％=则3%+y=-L.

故选：A

【变式2-2］（2025高三•全国•专题练习）在三角形Q4b中，点?为边A5上的一点，且Q=2而，点。为

直线”上的任意一点（与点。和点尸不重合），且满足而=4函+4砺，则年=.

【答案】1/0.5

【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用

【分析】以砺，砺为基底，其他向量用基底表示后，结合。，P,。共线列式可解.

［详解］由已知无=函+而=函+：通=函+|（而一函）=g函+g加，

__,_A_A；1

OQ=\OA+^OB9因为丽，而共线，所以1-2,所以/=

———/Lj乙

33

故答案为：;

【变式2-3］（2024高三•全国•专题练习）如图，在VABC中，点。,E分别在BC,AC上，S.BD=DC,

AE=2EC,^DE=xAB+yAC,贝1jx+y=.

A

BDC

【答案】-j

【知识点】向量加法的法则、平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用

【分析】根据已知条件知。C=；8C,CE=-：AC,再根据平面向量基本定理，把向量通与向量次作为

一组基底表示出向量成即可

【详解】因为BD=DC,AE=2EC,

所以诙=成+在=；就_(/二函一碉一正二一；通+[宿

所以x=_g,y=J,则x+y=_^.

263

故答案为：--.

考点三：平面向量正交分解及坐标表示

\।例3.(2024高一下•全国•专题练习)如图，向量入b，Z的坐标分别是,

【答案】(-4,0)(0,6)(-2,-5)

【知识点】用坐标表示平面向量

【分析】结合图象运用平面向量坐标表示求解即可.

【详解】如图，

将各向量分别向单位正交基底7=(1,0),]=(o,i)所在直线分解，

贝！|£=-4：+07，/.«=(-4,0),

石=07+6],B=(0,6),

c=-2i-5j,Ac=(-2,-5),

故答案为:(-4,0)；(0,6)；(-2,-5).

【变式3-1](23-24高二上•上海虹口•阶段练习)若向量通=27+3亍,初=1-2]，则工对应的位置向量

的终点坐标是.

【答案】(3,1)

【知识点】平面向量有关概念的坐标表示

【分析】利用向量运算法则进行求解即可.

【详解】AC=AB+BC=2i+3j+i-2j=3i+j,所以正对应的位置向量的终点坐标是(3,1).

故答案为：(3,1)

【变式3-2](24-25高一下•全国•课堂例题)如图，设忆了｝为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表

示向量“，b，c，d,并求出它们的坐标.

【知识点】用基底表示向量、用坐标表示平面向量

【分析】根据各向量在水平和竖直方向上的分解向量，将其分别用7,7表示，即得其坐标.

【详解】由图可知£=27+2”(2,2)；^=-27+37=(-2,3)；

c=—3i—2j=(—3,—2)；d=i—2j=(1,—2).

考点四：平面向量坐标运算

.例4.(2024•山东一模)已知向量1=(1,-3)3=(-2,4),若43+(3方-2耳+0=0,则向量％的坐标为

()

A.(1,-1)B.(-1,1)

C.(-4,6)D.(4,-6)

【答案】D

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示

【分析】利用向量的坐标运算求解.

【详解】向量。=(1,-3)3=(-2,4),若4々+傍-2耳+八0,

贝(11_(3石-2日)=-2a-35=-2一3)-3(-2,4)=(4,-6).

故选：D.

【变式4-1](2024高二上嘿龙江佳木斯•学业考试)若力=(2,1)出=(-1,0),则N-5的坐标是()

A.(1,-1)B.(-3,-1)C.(3,1)D.(2,0)

【答案】C

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示

【分析】根据减法的坐标运算即可得解.

【详解】«-5=(2+1,1-0)=(3,1),

故选：C

【变式4-2](23-24高一下•新疆•期中)已知向量方=(2,1)3=(1,3),则,+3万=()

A.(10,5)B.(1,8)C.(5,10)D.(7,6)

【答案】C

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.

【详解】因为2=(2,1)3=(1,3),

所以方+35=(2,1)+3(1,3)=(5,10).

故选：C

【变式4-3](23-24高一下•广西南宁•期末)已知向量益=(3,1),B=(-l,3),若e满足"2石+>=0,则

【答案】(一5,5)

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示

【分析】依题意可得^=25-Z,根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.

【详解】因为商=（3,1）,5=（-1,3）且汽-2=+^=0,

所以々=需_之=2（_1,3）_（3,1）=（_5,5）.

故答案为：（-5,5）

考点五：根据坐标求模运算

|'例5.（23-24高一•上海•课堂例题）已知向量）=（-2,3）,5=（2,-5）,求31各的坐标及弧-4

［答案］3a—b=（-8,14）,卜4-可=2,65

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模

【分析】根据平面向量的坐标运算，模长公式求解即可.

【详解】根据向量的坐标运算公式，

3a-b=3（-2,3）-（2,-5）=（-8,14）,

|3a-5|=7（-8）2+142=A/260=25/65.

【变式5-1］（2024高三•全国•专题练习）已知向量二=（2,1）,3=（-2,4）,贝“>'=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模

【分析】由平面向量线性运算的坐标表示，利用摸长公式，可得答案.

【详解】因为=（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以，一q=#2+（-3）2=5.

故选：D.

【变式5-2］（24-25高二上•湖南长沙•开学考试）平面内给定两个向量乙=（3,2）石=（-1,2）.

（1）求cosl,方；

⑵求国一日.

【答案】（1）晅

65

⑵屈

【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示

【分析】（1）先求出小6、同和忖，接着由向量夹角余弦公式coso,5=3,即可得解.

（2）由坐标形式的向量模长公式即可计算得解.

【详解】(1)由题无5=3X(-1)+2X2=1,同="+2?=相,W=J(-+2?=君,

1V65

_r日，6

所以8肛八所

屈乂亚-65,

(2)由题得2"9=(7,2),

所以忸_司=|(7,2)|=，72+22=后.

【变式5-3](23-24高一下•江苏徐州•期末)已知向量2=(3,2),&=(-2,-1),贝！]|£+2司=

【答案】1

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模

【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即得.

【详解】向量2=(3,2),b=(-2,-V),则Z+2B=(3,2)+2(-2,-l)=(-l,0),

所以|Z+2昨J(-l)2+()2=1.

故答案为：1

考点六：平面向量数量积的坐标表示

|\।例6.(24-25高三上•广东深圳•期中)设2=(2,-1),^=(-3,1),"=(1,-2),则(£+242=()

A.-2B.1C.-6D.-7

【答案】C

【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示

【分析】根据向量相加的坐标运算以及向量相乘的坐标运算可求得结果.

【详解】因为万=(2,-1),5=(-3,1),

所以。+2石=(-4,1),又己=(1,一2),

所以R+25)•乙=-4x1+1x(-2)=-6,

故选：C.

【变式6-1](24-25高三上•黑龙江•阶段练习)向量Z=(L-1),^=(-1,2),贝!!(22+4£=()

A.-1B.0C.-2D.1

【答案】D

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示

【分析】用坐标表示出正+以再由向量的数量积的坐标运算得出结果.

【详解】由题可知2商+B=(1,0),

/.(2n+Bja=i+o=i.

故选：D.

【变式6-2］（24-25高三上•浙江•阶段练习）已知平面向量口=卜6,-1）,5=卜26,4）,则（）

A.2B.10C.-2右D.2-J3

【答案】A

【知识点】数量积的坐标表示

【分析】根据向量数量积的坐标运算公式求解即可.

【详解】•.2=卜屿,一1）为=卜2也,4）,

.•.那5=卜⑹乂卜2@+（-1*4=2.

故选：A.

【变式6-3］（2024高三•全国•专题练习）已知向量商=（U）,6=（2,0）,贝！|,+5y（2"5）=.

【答案】2

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示

【分析】根据题意先求2+方，2a-b，再结合数量积的坐标运算求解即可.

【详解】因为益=（1,1）,1=（2,0）,则江+加=（3,1）,21-方=（0,2）,

所以（商+5卜（2万一5）=3乂0+2乂1=2.

故答案为：2.

考点七：向量垂直的坐标表示

7.（24-25高三上•浙江•开学考试）已知向量力=（x,l）,B=（l,x）,若+贝!|x=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】C

【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示

【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程即可得出结果.

【详解】易知。+B=（x+l,l+x）,

由可得=1x（尤+I）+X（I+尤）=o,

即X2+2X+1=0,解得x=-1

故选：C

【变式7-1］（23-24高二下•贵州六盘水•期末）已知向量3=5,-3）,b=（3m,m+2）,Kalb,则邸=（）

A.2B.-1C.2或—1D.2或-2

【答案】C

【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示

【分析】应用向量垂直数量积坐标公式计算即可.

【详解】由aZ=0n3加2—3机—6=0=＞相=2或—1,

故选:C.

【变式7・2】(2024高三•全国•专题练习)已知向量Z=(m,3),&=(l,m+l).若2,人则机=.

3

【答案】/-0.75

4

【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数

【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算得解.

_/、3

【详解】依题意，〃•〃=机+3(m+l)=O,所以m=一“

3

故答案为：-:

4

【变式7-3](24-25高三上•安徽•期中)已知平面向量M=(T,2),B=(狐-3)满足26+B),贝!!

m=.

【答案】-1

【知识点】向量垂直的坐标表示

【分析】由向量垂直可得5-冽-6=0,求出m即可.

2

【详解】由题意知a-^a+b^=a+a-b=5—m—6=0f解得根=—1.

故答案为：—1

考点八：向量投影

'例8.(23-24高二下•河北石家庄•期末)设向量6=(3,4),5=(1,-1),则4在5方向上的投影向量为()

A.(2,-2)B.(-2,2)C

【答案】C

【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量

【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可.

【详解】△在5方向上的投影向量为

a-bb-1b1(11

口川&、&二r(「下力

故选：c.

【变式8-1](24-25高二上•陕西•期中)已知向量入B满足石=(2,0),且76=-2,贝壮在B上的投影向量

的坐标为()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)

【答案】A

【知识点】求投影向量

【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求出答案.

【详解】依题意，Z在5上的投影向量为空/7•77—6=/—9—匕=（-1,0）.

闻-4

故选：A

【变式8-2］（23-24高一下•河北•期末）已知力,最是夹角为号的单位向量，则，在晟方向上的投影向量为

()

A.B.C.紧D..

【答案】B

【知识点】求投影向量

【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可.

【详解】因为同8s/0g=-祟.

故选：B.

【变式8-3］（24-25高三上•辽宁•期中）已知向量£=（-3,1）,方=（2,1）,则Z在分方向的投影向量为.

【答案】（-2,-1）

【知识点】求投影向量

【分析】根据投影向量的公式求解即可.

a-bb-3x2+lxl,.,

【详解】2在B方向的投影向量为=.仅1）=（一2，T）.

故答案为：（-2,-1）

考点9：向量夹角

；例9.（23-24高一下•河北邯郸•阶段练习）已知向量益=（3,-2）,石=（4,1）.

⑴求正6与人+乐

⑵求九与B的夹角的余弦值.

【答案】⑴万石=10，归+.=5后

01（）因

w----------

221

【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模

【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可；

（2）根据向量夹角的坐标公式计算即可.

【详解】（1）由2=（3,-2）,方=（4,1）,得无3=12-2=10,

而N+方=(7,-1),贝!|卜+1=749+1=5近；

/_r\a-b10107221

。)T

⑵cos\(a,b/)=同——Mrzj=V/——i3—xV=n=-----2--2--1------

即的夹角的余弦值为臂

【变式9-1］（24-25高二上•云南昭通•期中）若。（）（）则（）（

=2,0,5=-1,1,cosa,B=)

1

B.——

-42cI

【答案】A

【知识点】向量夹角的坐标表示

［分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得cosa石的值.

I_r\-2__V2

【详解】COS（6Z,^）=—7r--==7=

【详解】\/同r忖亚父百

故选：A.

【变式9-2］（23-24高三上•贵州黔东南•开学考试）已知向量@=。,3）,5=（-2,1）,则向量a与B夹角的余

弦值为.

【答案限

【知识点】向量夹角的坐标表示

【分析】根据向量的夹角公式直接求解即可

【详解】因为商=（1,3）,&=（-2,1）,

所以。。《吟=左土舟

故答案沏》

【变式9-3］（23-24高一下•吉林•期末）已知向量£=（1,2）,S=（2-A,2A）,若£与9的夹角为锐角,则实

数X的取值范围为

|,lL(l,+a>)

【答案】

【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示

【分析】由题意列出关于％的不等式组即可求解.

f2—A+4-A->02

【详解】由题可知无B>o且2与B不共线，即“””，得加（-1,1）U（1,+S）.

4—27tW2儿3

、2

故答案为：1）U（L+8）.

【变式9-4]（2024高二下♦湖北）已知平面内两个向量3=（2%,1）,B=若々与6的夹角为钝角，则

实数％的取值范围是.

【答案】1）U（-L,O）

【知识点】向量夹角的坐标表示、向量夹角的计算

【分析】当两向量的夹角是钝角时，其数量积是负数，但必须排除两向量反向（夹角为180°）.

【详解】由题意，a*b=2A:+—<0,<0,

2k1八

------II

当日范反向时，有1K,解得々=一1,

2

的取值范围是（y,-i）u（-1,0）；

故答案为：（F,-1）U（T,O）.

考点10：向量数量积的最值范围问题

10.（23-24高一下•浙江台州•期末）已知尸是边长为2的正六边形ABCD所内（含边界）一点，M

为边8C的中点，则".画7的取值范围是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,6]

【答案】B

【知识点】数量积的坐标表示、平面向量数量积的几何意义

【分析】通过数量积定义得出P与C重合时Q.戒取得最大值，P与尸重合时，Q.丽取得最小值，然后

建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积.

【详解】如图,过尸作PN,AM于N,则而•赤=|丽||说卜。s/FAN=®V-|可，当前与寂同向时4V

为正，当丽与前反向时AN为负,

分别过C,/作CK_LAM,FH±AM,K,H为垂足,

则得当N与K重合（即尸与C重合）时，让说取得最大值，当N与“重合（即尸与歹重合）时，AP-AM

取得最小值,

ABCDEF是正六边形，因此以AB为x轴，AE为V建立如图所示的平面直角坐标系,

则40,0),8(2,0),c⑶拓)，F(-1,A/3),M是BC中点，则〃

谢=(3,乌，AC=(3,A/3),AF=(-I,A/3),

___.一153___.-.53

AM-AC=—+-=9,AMAF=——+-=-1,

2222

所以4•谢的范围是[T，9],

故选：B.

【变式10-1］（23-24高一下•江苏泰州•阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民

间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正

八边形ABCDMC归的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则Q.通的最大值为（）

A.&B.4+2应C.2+应D.20

【答案】B

【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值、平面向量数量积的几何意义

【分析】由投影向量的定义得到当P在CD上时，Q.通取得最大值，进而得到答案.

【详解】由投影向量的定义可知，当尸在。上时，方.费取得最大值，

延长DC交4B的延长线于点T,

荏的最大值为AB-AT,

其中正八边形的外角为360。+8=45°,故A8=BC=2,/CBT=45°,

故BT=2cos45°=④,AT=AB+BT=2+y/2,

故4小47=2（2+&）=4+2立,

所以通最大值为4+2应.

【变式10-2](23-24高一下•上海•期中)如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组

点尸在四段圆弧上运动，则通的取值范围为.

【答案】[-8,24]

【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义、求投影向量

【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使而在通方向上的投影向量的数量

最大和最小的点即得Q.丽的取值范围.

如图，以点A为原点，分别以4民4。所在直线为％V轴建立坐标系.

因Q・丽=|/|•|南|cos〈通,/初二41福|•cos〈ZA,福，

MlAPI-cos(AP.AB)表示而在通方向上的投影向量的数量,

由图不难发现，设过正方形的中心作与x轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点用5，

则当点P与点1重合时，投影向量的数量最大，当点尸与点鸟重合时，投影向量的数量最小.

易得6(6,2),£(-2,2),贝!]|衣|.cos〈毒，丽〉的最大值为6,最小值为-2,

故一84而•通424・

故答案为：[-8,24].

3模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）设向量值=（x,2）石=（6,3）.若2〃,，贝！|x=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】由向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】因为苕〃5,

所以3尤=12,

解得：x=4,

故选：A

2.（2024高二上•黑龙江佳木斯•学业考试）若方=（2,1）3=（-1,0）,则不一分的坐标是（）

A.（1,-1）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（2,0）

【答案】C

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示

【分析】根据减法的坐标运算即可得解.

【详解】a-^=（2+l,l-0）=（3,l）,

故选：C

3.（23-24高二上•吉林•期中）已知荏=（2,1）,BC=（-l,0）,贝！）西=（）

A.72B.2C.710D.10

【答案】A

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模

【分析】根据须=莉+就求出衣的坐标，再计算其模.

【详解】因为荏=（2,1）,BC=（-l,0）,

所以*=丽+前=（2,1）+（—所以|相=#+12=应.

故选：A

4.（24-25高三上•海南•阶段练习）已知向量£=（-1,3）,5=（2,0）,"=（1,3）,若£与"一"平行，则实数2

的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可.

【详解】因为Z=（T3）,5=（2,0）,c=（l,3）,所以"一"="2,0）-（1,3）=（2丸一1,一3）,

由Z与平行，得3（24-1）-（-1）x（-3）=0,解得与=1.

故选：C.

5.（2024高二下•安徽•学业考试）已知同=2,忖=石，万石=亚，贝!I苕与方的夹角为（）

A.tB.四C.&D.为

44-66

【答案】A

【知识点】向量夹角的计算

【分析】根据数量积的定义求解.

【详解】由已知cos（a@=i|iw=2X6=空-,又依般［0,兀］,

故选：A.

6.（2024高三•全国•专题练习）已知同=4,忖=3,40=_12,则向量B在d方向上的投影向量为（）

33-4--京

A.--aB.--bC.--bD.

443

【答案】A

【知识点】求投影向量

【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.

【详解】设4与B的夹角为6,

则向量5在2方向上的投影向量为

a-b一一12一3一

=—z-,a——--xa=—d

同2424.

故选:A.

7.（2024•广东•模拟预测）已知向量力=（x+3,4）石=（苍一1）,^\a+B\=\a-b\,则实数x的值为（）

A.4B.T或1C.-1D.4或一1

【答案】B

【知识点】数量积的运算律、利用数量积求参数

【分析】将卜+可=卜-»平方化简得无石=0,然后利用数量积的坐标公式列式计算即可.

【详解】将卜+5|=卜-可两边平方，得无方=o,

由a=（x+3,4）,B=得（x+3）x+4x（-l）=0,

即f+3x-4=0,解得x=T或1.

故选：B.

8.（2024高三•全国•专题练习）已知向量N=-g],则下列关系正确的是（）

A.B.（苕+5）_1_5

C.（万+5）_1_（1-5）D.（a+b^La

【答案】C

【知识点】垂直关系的向量表示

【分析】根据向量的坐标表示进行计算并判断.

【详解】由题意向第=1,无5=-gx*争臼=-#，

因为（彳+5）.（彳_5）=万2_52=0,

所以仅+方）,所以C正确，A错误.

•••,+5）0=a2+无5=1一*/0,所以D错误

；+=无5+庐=1一w0,所以B错误.

故选：C.

二、多选题

9.（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知点4（0,2）、矶2,0）、C（l,y）,其中yeR,则（）

A.若A、B、C三点共线，贝！|，=1B.若荏_L/，贝！|>=3

C.若|通|=|向则y=2-V7D.当y=2时，（血，衣）=巳

【答案】ABD

【知识点】由坐标解决三点共线问题、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、已知向量垂直求参数

【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用平面

向量的模长公式可判断C选项；利用平面向量夹角余弦的坐标公式可判断D选项.

【详解】因为4（0,2）、3（2,0）、C（l,j）,其中yeR,则通=（2,-2）,AC=（l,y-2）,

对于A选项，若A、3、C三点共线，则卷〃泥，贝！|2仃-2）=-2,解得了=1,A对；

对于B选项，若通，/，贝!J万•恁=2-2（y-2）=6-2y=0,解得y=3,B对；

对于C选项，若|网=|明，即商+（一2）2="+（y_2『,可得（y-2）2=7,

解得y=2+«或y=2-77,C错；

对于D选项，当>=2时，AC=（1,0）,则8s（人民40=同同=显=下-,

因为04（荏，/）4无，故（初,衣）=：,D对.

故选：ABD.

10.（2024•江西•一模）已知向量万=（-2,1）,b=（t,-l）,则（）

A.若&_1_5,则，=—万B.若日，B共线，则/=—2

C.方不可能是单位向量D.若，=0,则口-5卜5

【答案】AD

【知识点】利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的

坐标表示

【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C,

利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.

【详解】对于A,由H5，得无5=-2f-l=0，解得"-5，A正确；

对于B,由。，B共线，得-2x（_l）_11=0,解得7=2,B错误；

对于C,当f=O时，B是单位向量，C错误；

对于D,当/=0时，22-5=（-4,2）-（0,-1）=（-4,3）,贝!一q=5,D正确.

故选：AD

11.（24-25高二上•湖南郴州•开学考试）设向量1=（3#）,3=（2,-1）,则下列说法错误的是（）

A.若万与B的夹角为钝角，贝！U>6

B.同的最小值为9

C.与5共线的单位向量只有一个，为卜垓，一孝

D.若同=3例，贝!]%=±6

【答案】BC

【知识点】由向量共线（平行）求参数、零向量与单位向量、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模

【分析】A选项，7后<0且不反向共线，得到不等式，求出%>6；B选项，利用模长公式得到同的最

小值为3；C选项，求出忖=石，从而得到利用;求出答案；D选项，利用模长公式得到方程，求出左=±6.

【详解】A选项，2与5的夹角为钝角，故£.石<0且日，方不反