2025年高考数学二轮复习：集合和常用逻辑用语（讲义）（原卷版）

专题01集合和常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

07军nt口旦囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破............................................................7

题型一：集合的基本概念7

题型二：集合间的基本关系8

题型三：集合的运算9

题型四：充分条件与必要条件10

题型五：全称量词与存在量词11

重难点突破：以集合为载体的创新题13

差情;奏汨•日标旦祐

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分

值5分.近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能

力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练.

考点要求目标要求考题统计考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13题，4分

本要素

预测2025年高考，多

以小题形式出现，也有可

2024年北京卷第1题，5分

能会将其渗透在解答题的

年甲卷（文）第题，分

202425表达之中，相对独立.具

熟练掌握集合的

2024年天津卷第1题，5分体估计为：

集合的运算并、交'补集运算

2023年I卷第1题，5分（1）以选择题或填空

方法

2022年I卷第1题，5分题形式出现，考查学生的

2021年I卷第1题，5分综合推理能力.

（）热点是集合间的

2024年北京卷第5题，5分2

基本运算'数轴法的应用

2024年甲卷（理）第9题，5分

理解充分必要，掌和体现集合的语言工具作

2024年天津卷第2题，5分

充分条件与必要条件握逻辑判断，熟练

用.

2023年天津卷第2题，5分

应用题解

2022年天津卷第2题，5分

2021年甲卷第7题，5分

㈤3

1、集合中的逻辑关系(备注：全集为/)

(1)交集的运算性质.

ACiB=BC\A,Xn5£X,XnBGB,AC\I=A,AnA=A,Xn0=0.

(2)并集的运算性质.

AVB=BA,AQAkJB,BU4UB,AVI=I,AuA=A,A\J0=A.

(3)补集的运算性质.

G(GC)=A,C/0=I,CJ=0,(CM)n4=0,XU(CM)/.

补充性质：4nB=a=auB=BQau8=QBUC；AQanC；B=0.

(4)结合律与分配律.

结合律：力u(8uC)=(力uB)uC,An(BnC)=(An8)nC.

分配律：4n(Buc)=Q4nB)u(力nc),au(BnC)=(AuB)n(力uC).

(5)反演律(德摩根定律).

WCB)=(CM)U(GB),Cr(AUB)=(C/)n(C/S).

即“交的补=补的并"，“并的补=补的交

2、由n(nGN*)个元素组成的集合4的子集个数

4的子集有2"个，非空子集有2n-1个，真子集有2"-1个，非空真子集有2n-2个.

3、容斥原理

Card(AU8)=Card(A)+Card(B)—Card(AnB).

4、从集合与集合之间的关系上看

设4={x|p(x)},B={%一(%)}.

(1)若力贝Up是q的充分条件(p=q),q是p的必要条件；若A曙B,则p是q的充分不必要条件,

q是p的必要不充分条件，即p0q且q分p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小今大”.

(2)若则p是q的必要条件，q是p的充分条件;

(3)若4=8,贝!Jp与q互为充要条件.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知命题p：X/xER,|x+1|>1；命题q：3%>0,x3=%,则()

A.p和q都是真命题B.->p和q都是真命题

C.p和->q都是真命题D.->p和->q都是真命题

2.(2024年上海秋季高考数学真题)定义一个集合Q,集合中的元素是空间内的点集，任取PLB，尸36Q，

存在不全为。的实数使得%函++%西=6.已知(L0,0)eQ，则(0,0,1)0Q的充分条

件是()

A.(0,0,0)eQB.(—1,0,0)€。

C.(0,1,0)EQD.(0,0,-1)£。

3.(2024年北京高考数学真题)设a,B是向量，贝仪2+fo)-(a-K)=0"是2=一3或N=户的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量2=(x+l,x),3=(x,2),则()

A.“x=-3”是21"的必要条件B.“久=-3”是*〃定的必要条件

C.“久=0”是*1点的充分条件D.“久=-1+百”是%〃户的充分条件

5.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知集合4={1,2,3,4,5,9},B={x|«64},则金(4。8)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

6.(2024年天津高考数学真题)已知a,beR,则=6”是“3。=3〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)己知等差数列{a“}的公差为等集合S={cosan|nGN*},若S={a,b},

则a%=()

11

A.-1B.--C.0D.-

22

8.(2023年北京高考数学真题)若xy大0,贝『次+y=0"是?+：=-2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集U={0,124,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUQVN=

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

10.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设甲：sin2a+sin2/?=1,乙：sina+cos/?=0,贝!J()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

11.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+l,keZ},N={x|x=3k+

2,kEZ},CU(MUN)=()

A.{x\x=3k,kEZ}B.{x}x=3k-l,kEZ]

C.{x|x=3fc—2,fceZ}D.0

12.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设集合U=R,集合M={x\x<1},N={x\-1<x<2},则

{x\x>2}=()

A.CU(MUN)B.NUQUM

C.Cu(MnN)D.MURN

13.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知集合M={—2,—1,0,1,2},N=(x\x2-x-6>0},则MCN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

14.(2023年新课标全国n卷数学真题)设集合a={0,—a},8={1,a—2,2a—2},若力UB,则a=().

2

A.2B.1C.-D.-1

3

15.(2023年新课标全国I卷数学真题)记立为数列{aj的前n项和，设甲：为等差数列；乙：{学}为等

差数列，贝I()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

16.(2022年新高考全国n卷数学真题)已知集合A=={x||久一1|W1},则AnB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

17.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足QM={1,3},贝I()

A.2eMB.3£MC.4cMD.5gM

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024•广东.模拟预测）若爪6{1,3,4,爪2},则根可能取值的集合为（）

A.[0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4）

【典例1-2][新考法]（2024•河南新乡•三模）下列集合中有无数个元素的是（）

A.[xEN\^EN^B.[%ez|^e/v}C.{xeN|：ez}D.{XCQI^CN}

集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和

无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。

【变式1-1]（2024・高三・江西赣州•期中）已知a、bER,若{a,，1}={a?,a+6,0},贝布2。2。+^2021的值为

（）

A.-1B.0C.1D.-1或0

【变式1-2]（2024・四川乐山•三模）己知集合4={-1,0,1},B={1,2},C=（x\x=a+b,aEA,beB},则集

合C的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式1-3]（2024・四川绵阳•模拟预测）已知集合4={neN*|n2>2n],则集合力的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.无穷多个

1命题预测11

1.[新考法]集合M=则以下可以是/（%）的表达式的是（）

A.sinxB.exC.InxD.x2+2x+3

2.已知集合—1）=0}的元素之和为1,则实数。所有取值的集合为（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1}

3.已知集合/={1,2,3},B=[3,5],则。={幻％=2。+/7,。£//€8}中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知集合集={0,1,Q2},B={1,0,2a+3},若4=则。=()

A.-1或3B.0C.3D.-3

题型二：集合间的基本关系

【典例2-1】(2024•河南•模拟预测)已知集合2={%|1<%<2},5={%|1<x<a},若BU4则实数a的

取值范围是()

A.(2,+oo)B.(1,2]C.(-co,2]D.[2,+oo)

【典例2-2】(2024・宁夏•模拟预测)设集合M={x\x=4n+l,neZ],N={x\x=3n+l,n6Z},

P={x\x=12n+l,nEZ},贝!J()

A.MB.N星P

C.MCNUPD.MCN=0

(1)判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的

关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法.

(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满

足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.

【变式2-1](2024•江西新余•模拟预测)已知集合力={x\x2-6x+8<0},B={y\y>a],若力aB,则a的

取值范围是().

A.(-oo,2)B.(-oo,4)C.(-oo,2]D.(-8,4]

【变式2-2](2024.四川成都.模拟预测)若集合2={xeN门则集合A的真子集有()个.

A.7B.15C.31D.63

【变式2-3](2024.贵州遵义.模拟预测)已知集合4={0,1,2},B={1,2,3},

若集合C={zeN*|z=xy,xe2且y6B},则C的子集的个数为()

A.8B.16C.32D.64

【变式2-4][新考法](2024•江西新余•模拟预测)已知集合力、B、C为全集U的子集，A(^B=QVC^0,则

(力uB)nC=().

A.^u(BnC)B.(CyX)n(CyB)

C.[C(7(XnB)]n(XUB)D.[Cu(4UB)]UQ4nB)

命题预测

1.已知集合集={n，ez},B={n|^ezj,C={nGZ},则()

A.ACiB是CB.BVC=AC.CACtBD.BdCACtB

2.(多选题)已知{a,6}U{1,2,3},(a,b)e{(x,y)Iy=x+1},则2。"的值可以为()

A.2B.64C.256D.1024

3.(多选题)已知集合4={1,2},B={0,1,2,3,4},集合C满足4呈CUB,贝U()

A.1eC,2GCB.集合C可以为{1,2}

C.集合C的个数为7D.集合C的个数为8

4.(多选题)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M,N可能是()

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={%|%2<1},/V={%|%>-1}

C.M={x\y=1g%},N={y|y=e*+5}

D.M={(居y)Ix2=y2},N={(%,y)\y=x]

题型三：集合的运算

2

【典例3-11已知集合/={x\-l<x<0],B={x|log2(x-%)<1},则anB=()

A.{x|-1<%<0}B.{x|-1<%<0}

C.{x|-1<%<0}D.{x|-1<%<0}

【典例3-2](2024.广东广州.模拟预测)已知全集U=71U^={xeN|0<x<10},/n(QJB)={1,357},

则B=()

A.{1,3,5*}B.{2,4,6,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

图图图巧

凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、

并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.

【变式3-1](2024・高三.黑龙江佳木斯•期中)已知集合4={x|l<x<3},B=±>O},则AUB=()

A.{x|2<x<3}B.{x|2<x<3}C.{x\x>1}D.{x\x>2}

【变式3-2](2024・高三・福建三明•期中)某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个

兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学

有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人.

【变式3-3](2024•江西九江•模拟预测)设U={5,6,7,8,9},若4nB={8},(CM)CB={6},(QM)n(QB)=

{5,9},则集合4=.

(命题预测:]

1.(多选题)设U为全集，集合4B,C满足条件4UB=auc,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BQAB.CcA

c.4n(CuB)=xn(QC)D.(CiM)ns=(Q4)nc

2.(多选题)已知集合4B均为R的子集，若anB=0,则()

A.4cCRBB.CR2£B

C.A(JB=RD.(CR4)U(CRB)=R

3.已知集合4={%|4x2—x—S>O],B-{x\x>m],若m=0,则(CR&)nB=；若4UB=R,

则zn的取值范围为.

4.(2024.高三.重庆沙坪坝・开学考试)设集合M={x\-l<x<2],集合N={x\x—kW0},若MCCRN=0,

则k的取值范围为.

题型四：充分条件与必要条件

【典例4-1](2024・高三・福建宁德•期中)对任意实数x£(2,+oo),"a<%+军是“a<4”的()

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例4-2]若“x>a”是“久2一2久一3<0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.(—00,—1)B.(—00,—1]C.(―1,+oo)D.[―1,+OO)

国国.巧

抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.

【变式4-1］（2024•吉林•模拟预测）已知y=/（久）是y=/'（久）的导函数，贝1J'V'Oo）=0"是"久o是函数y=/（x）

的一个极值点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式4-2］（2024•吉林长春.模拟预测）设a,beR,则使a>6成立的一个充分不必要条件是（）

A.a3>b3B.lg（a—b）>0

C.a2>b2D.\a\>b

【变式4-3］（多选题）（2024.山东临沂.二模）已知a,beR,则使“a+b>1”成立的一个必要不充分条件

是（）

A.小+b2>1B.\ci\+\b\>1C.2。+2b>1D.—I------>10

ab

【变式4-4］已知集合力={%eN*|l<x<3］,B={x\ax2-（2+a）x+2=0},若“xGB”是式G4”的充分

不必要条件，则实数a的所有取值组成的集合是.

1命题预测」

1.若不等式|乂-3|Wa成立的一个充分不必要条件是-则实数a的取值范围为.

2.总<1”是“久2>1”的（）

X

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（多选题）若xeR,则“2/一3x-2<0”成立的充分不必要条件可以为（）

A.x£［—1,2）B.%£（0,1）

C.xE（0,2）D.x6（一L1）

4.已知集合/=（x\x2+7%+12<0},集合8={%|1—2m<x<2m}其中％e/是久G8的充分不必要条件，

则m的取值范围是.

题型五：全称量词与存在量词

【典例5-1］（2024.湖北一模）命题汨a>0,a2+1<2”的否定为（）

A.3a>0,a2+1>2B.3a<0,a2+1>2

C.Vet>0,a2+1>2D.Vet<0,a2+1>2

【典例5-21［新考法］(2024・吉林长春.模拟预测)已知定义域为R的函数/(x)不是偶函数，则()

A.Vx6R,fQ—x~)+/(x)0B.VxGR.f(-x')—/(x)#=0

C.eR,/(—Xo)+/(而)K0D.3x0e/?,/(-x0)-/(x0)0

(1)含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论；

(2)清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；

(3)注意命题的否定与否命题的区别；

(4)当「p的真假不易判断时，可转化为去判断p的真假.

【变式5-1]已知命题p:3%£[0,3],a=~x2+2x：命题q:Vxe[—1,2],%2+ax—8<0.若p为假命题，q为

真命题，则实数a的取值范围为()

A.[-3,1]B.(-oo,2]

C.[-7,-3)U(1,2]D.(-oo,-3)U(1,2]

【变式5-2]命题汨久e[1,2],%2+Inx-a<0”为假命题，贝Ua的取值范围为()

A.(—8,1)B.(—8,0)C.(-8,ln2+2)D.(—oo,ln2+4)

【变式5-3](2024•高三・江苏连云港•开学考试)若命题石比GR,(m-1)瞪+(m-l)x0+1<0”是假命题，

则实数小的取值范围是.

【变式5-4](2024・高三•河北承德•开学考试)已知命题p:V比GR,e#>1；命题q：3x>l,lnx=-(x-l)2,

贝IJ()

A.p和q都是真命题B.-ip和q都是真命题

C.p和rq都是真命题D.-ip和-iq都是真命题

命题预测T

二1..............

1.已知命题Txe(1,+8),2%-爪+1=0”是假命题，则小的取值范围是.

2.若命题：TxeR,a/+%+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为.

3.若命题打刀67?,/+2尤+(1工0”为真命题，则。的取值范围是()

A.(-co,1]B.(-co,1)C.(-oo,0]D.(-oo,0)

4.命题“Vx6[-1,3],久2一3x+2<0”的否定为()

A.3xG[—1,3],/—3x+2之0B.3%6[—1,3],X?—3x+2>0

C.VxG[—1,3],%?—3%+220D.3%任[—1,3],—3%+2之0

重难点突破：以集合为载体的创新题

【典例6-1]（2024.广东.模拟预测）对于非空数集4B,定义4XB={（x,y）|xGA,yEB）,将4xB称为“4与

B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为|M|,若4B是两个非空数集，则若^詈的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【典例6-2]（2024.高三上海模拟）已知{即}是等差数列，%=sin（an）,存在正整数<8）,使得“+t=bn,

nEN,n31.若集合5={%|%=%,71€可,7121}中只含有4个元素，贝心的可能取值有（）个

A.2B.3C.4D.5

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

法并不难，难在转化.

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.

【变式6-1]（2024.高三・四川.开学考试）定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，

称为不交）的非空真子集久,心，…〃式keN*）,且&u&u…u4c=u,那么称子集族{2,4，,••，构成

集合U的一个k划分.已知集合/={%eN|/-6%+5<0},则集合/的所有划分的个数为（）

A.3B.4C.14D.16

【变式6-2]（2024.高三.北京海淀.开学考试）设集合M={（多％2，％3,久4）IXtG{0,1},i=1,2,3,4）.对于集

合M的子集A,若任取A中两个不同元素（月,丫2，为，判），（Z1，Z